yv"*
V A
DAI HOC QUOC
GIÀ
HA NOI
TRUÒNG
DAI HOC KHOA HOC
TU NHIÈN
~
* * *
*
fc£j
%^
*S^
*Ì^
^fi *Jfi
»^
fc.)*
•J»
*^
•1'
•^ ^^ ^*
*J*
'I*
DA]\G DIÉIJ TIÉM
€A]\
ClIA
HE
DÒ]\G LlTC
-« ^
VA MOT SO

^n ^^ ^^ '^ *^ '^ *|^
DAI\G DIÉU TIÉM
CA1\
CÉA
HE
DÒ]\G LlJC
• •
•
• • •
VA
MOT SO
tn\G DUIVG CÉA PHlJOrVG TRÌI\H
VI
PHA]\
CO CHAM
MA
SO:
QT0601
Chù
tri
de tài:
PGS.
TS. Dang Dình Chàu
Càc càn bó tham
già:
T.S
Nguyén Thiéu
Huy
T.S
Nguyén Sinh

tri de
tài: PGS.TS. Dàng Dình Chàu
e.
Cac càn ho
phdi hgfp
:
TS Nguyén Thiéu Huy
TS Nguyén Sinh Bay
Thgc
SI
Tran Tàt Dgt
CN.
Nguyén Bùi
Cuc/ng
d. Muc tiéu
va
nói
duns nshién
cihi:
He dòng
lue tóng
quàt là mot trong nhung mò
hình ly
thuyét toàn hoc co nhiéu
ùng
dung
quan trong trong thuc té. Nhung còng trình nghién
cùu ve
ly
thyét

di sàu vào viec nghién
cùu
nhung
tinh
chat ca bàn cùa he dòng
lue
tóng quàt
va
khai thàc càc khà
nàng
ùng dung cùa
nò,
chùng tòi ( trong
de
tài QT
06-
01) dà
trién
khai nghién
cùu va
giài quyét càc bài toàn cu the sau day:
(*)
Nghién cùu
tinh
ón dình
va
su tuang duang tiem can cùa phuang trình tuyén
tinh co
cham vói nhiéu tuyén
tinh va

(*)
Ap dung mot so két qua nhan dugc cho mò hình ngoai thuang da quóc
già
(*)
Nghién cùu mò hình dàn
so'
phi tuyén phu thuoc vào
lùa
tuoi
va
càc ùng dung cùa ly
thuyét dinh
tinh
phuang trình vi, sai phàn trong mò hình
dàn
so.
e. Càc két qua dat dugc
• Viét dugc 2 bài bào(dà
dàng) va
hoàn thành 1 bài bào (dà gùi
dàng)
,1 bào cào hòi
nghi khoa hoc nhàn dip ky niem 50 nàm truyén thò'ng DHTH
Ha
Nói
• Hoàn thành 3
luan
vàn thac
si
(dà bào ve)

phuang trình vi phàn hàm 5
1.
Dinh
nghia va ki
hieu 5
2.
Diéu kien dù ve
sir ón
dinh déu
va 6n
dinh tiem càn déu 8
3.
Tuang duang tiem càn cùa phuang trình vi phàn co chàm trong
khóng gian Banach 10
CHLTONG
2.
Tinh
hàu tu dàng cà'u cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn 13
1.
Tóng cùa toàn
tu
giao hoàn
va
su tón tai cùa nghiem
hàu
tu dàng
càu
13
2.
Càc he dòng

THAM KHÀO 31
PHU LUC
MODAU
Trong nhùng nàm
gàn
day, tàp the nghién cùu "Ly thuyét dinh tinh cùa
phuang
trình vi
phàn'"
thuóc bg món Giài
tich
Khoa Toàn - Ca - Tin hoc
Truòng
Dai Hgc
Khoa hgc Tu Nhién, Dai Hgc Quóc
Già Ha
Nói dà tién hành nghién cùu nhiéu de
tài khoa hgc(toàn hgc) dugc dành già
co
chà't
lugng
cao. Két qua nhan dugc trong
càc de tài này là dà tap trung vào mot huóng nghién cùu mang
tinh
thói su
va co
y
nghia
khoa hgc sàu sàc ve mat ly
thuyét.

mot so két
qua ve
dàng dieu cùa he dóng lue tuyén tfnh va
phi tuyén yéu.
Chuang 2: Nghién cùu su tón tai cùa nghiem hàu tuàn hoàn
va
hàu
tuàn
hoàn tiém
can cùa phuang trình vi phàn trung tfnh vói bién hàng tùng
khùc.
Chuang 3: Trình
bay mot
so két
qua
trong viec khai thàc khà nàng
ùng
dung cùa
càc két qua nhan dugc cho mò hình dàn so
co
su nhap cu di cu
va
mò hình ngoai
thuang da quóc
già.
CHllÒNG
1
Mot so
vàn
de ve phuang trình vi phàn hàm

(p
G
C([a,ò],i?"),
chuàn
cùa
(p
dugc dinh
nghla
là \\ip\\ =
supa^e^b\v{d)\-
Dàc
biét, khi
[a,b] =
[—7',
0],
trong do r là hàng
so
duang, chung ta sé ky hiéu C =
C{[-r,0],R^)
. Vói
io
e
R,A>0,x
e
C{[to -
r,to
+
A],R'') va
t G
[to,to

nghia
1.1. Hàm
x{a,
(p)
dugc ggi là nghiem cùa phuang trinh (1) néu tón tai
a
G
i?
va >1
> 0 sao cho
X{G,
ip)
là hàm lién
tue tir
[a,
a
+
A] vào
i?"
co
càc tfnh chat sau:
(i)
xt{a,^) eC
{a
^t^a + A)
(ii)
Xt{a,ip),
(a
^
t

là nghiem cùa phuang trinh (1)
(ii)
Xt^{to.^) =
p:
De
thày (1) chùa cà phuang trình vi phàn
thucmg
(ODEs)
va
phuang trình vi phàn
i{t) =
f{t;x{t);x{t
-
T,(t));
;x(t
-
r^{t))
vói 0
^ Tj{t) ^
r;
j
= 1; 2;
;p va
ta
co thè
xày dung nhu là phuang trinh
tich
phàn sau:
±{t)
= / g{t-d\x{t^e)de

cho truàc
va f{t,(p)
là hàm lién
tue
trén fi thì viec tìm
nghiem
phuaìig
trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) =
ip{0)
+
Jlf{s,Xs)ds;t>to,
^to
=
^\
Dinh ly 1.4. (Tén tgi nghiem) Già su
Vi
là tàp
ma
trong Rx C
va
f là hàm lién tue trén
fi
va
f lién
tue
trén fi. Né'u {to,
(p)
G fi, thi tón tgi nghiem cùa phuang trinh (1) di qua
{to,

là lipschitz vai
(p
trén mèi tàp compact trong fi. Neu (to,
p)
G fi, thì
co
duy nhàt
nghiem cùa phuang trình (1) di qua
{to,<p).
Ta
co thè
di tim
nghiem
cùa phuang trinh vi hàm (1)
bang
hai phuong phàp là phuang
phàp
tùng buóc
va
phuang phàp Laplace.
Vi
du 1.6. (giài
bang
phuang phàp Laplace) Xét phuang trinh vi phàn
co
cham:
x{t) = x{t~ 1)
ip{t)
=
t,-l

ve
dang:
pXip) =
i^
- - +
e-^X{p)
P^
P
Dodo:
1 1 -
e"P
X{p)
^- ,
._„.
+
p{p
—
e
P)
p'^{p
—
e"P
Mot
so*
v^n
de ve
phuang trình
hàm.
Suy
ra,

v{t)
=
1
khi
X
> 0
0
khi
a;
<0
Vi
du 1.7.
(phuang
phàp tìmg
buóc)
Xét
phuong
trình
vi
phàn
co
chàm
sau:
x{t)
= 6x{t - 1)
Ta
se tìm
nghiem
x{to,(p),{to
=

hay
Trén doan
[2,3] ta
co:
x{t)
=
ip{l)
+
J^6sds;2
>t>l,
x{t)
=
ip{t)
O^t^l;
x{t)
= l +
3{t-iy;2>t>
1,
x{t)
=
^{t)
0
^ i ^
1;
x{t)
=
ip{2)
+
/^
6x(s -

x{t)
=
t;l>t>0,
x{t)
= l +
3(<-l)2;2> t
> 1,
xit) =
6(i - 2)[{t -
2)2
+ 1] +
4;
3 >
t
> 2,
8
CU
nhu vay ta
co
the ma rgng nghiem trén mot doan
hiju
han tuy y.
Gióng nhu phuang trình vi phàn
thuòng
(ODEs) ta cung
co
càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó
de
1.8. Neu

cp)
là Lipschitz voi (p trong tap compact K cùa
RxC
néu tón tai
so
duang
A;
> 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E
K\i
=
1,2
\f{t,<Pi)~f{t,cpi)\^k\<P,-<P2\
Dinh ly 1.10. (Duy nhàt nghiem) Gid su fi là tàp ma trong
Rx
C,
f :
fi -^
R""
lién
tue
,
va
f{t,
(p)
là lipschitz vai
(p
trén mèi tap compact trong fi. Né'u {to,
p)
E fi, thì co duy nhàt
nghiem cùa phuang trình (1) di qua {to,

càc két qua
ve
diéu kién dù cùa su ón dinh
déu
,
ón dinh tiém càn déu
va
tfnh
tuong
duong tiém càn cùa phuang trinh
co
dang trén.
2.
Diéu kién dù ve su ón dinh déu va ón dinh tiém càn déu
De thuàn tién cho viéc trinh
bay
két qua
lói
xin dugc néu lai càc khai niem ón dinh cùa
phuong trình vi phàn hàm hay phuang trinh vi phàn
co
cham:
Dinh nghla 2.1. nghiem tàm thuòng x{t)
=
0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh
iheo
Lyapunov khi
t
—)•
CXD

Ón dinh theo Lyapunov
ii)
Vto
G [a, +00) : 35 = S{to)
\\fp>EC
sao cho \\p\\ <
5
ta
co:
lim||x(t,to,v:^)||
=
0
Dinh nghla 2.3. nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh
mù
néu
vói mòi nghiem x{t) =
x{t,
to,
(p),ipEC luón luón
tón tai càc hàng
so
M,
A
> 0 khóng phu
thuóc vào
(p
E C sao cho:
||x(t)||^M.||(/.(to)||-e-^(^-*°);Vt>to
Càc ón dinh trén dugc goi là déu néu 6 khóng phu thuóc vào diéu kién ban
dàu tue

+
9))\\^g{t)\\x{t +
9)\\
a
day
g{t) là hàm thòa man:
/•OO
/ g{r)dr
^
m < 00.
Jo
voi diéu kien ban dàu:
x{t)
=
p{t),
-h ^
t
^ 0]
ip{.) E
C([-h,0],,
E).
Khi
dò,
phuong trinh (2) thòa man diéu kién cùa dinh ly tón tai
va
duy nhàt nghiem . Do
dò,
phuong
trình (2)
co

co
dinh ly sau:
Dinh ly 2.4. (i) Neu
||r(t)|l ^
M,\'t
> 0
;///
nghiem làm thuòng x{t)
=
0 cùa phuang
trinh (2) là ón
dinìi
déu.
(ii) Neu
lim(_»3c
||2"(t)||
=
0 thì
ngìiiém
tdm
thuang
x{t)
=
0 cùa
phucnig
trinh (2) là ón
dinh mù déu.
Tu
dò»
chùng tòi

tri don
(tue
là, ò Jordan ùng vói
A
co co là 1)
He qua 2.6. Càc tfnh chà't sau là tuang duong:
a)
lim,^oo||r(t)||=0
b)
||r(t)||
^C.e"^^Vt>0
e)
nghiem tàm thuòng x{t)
=
0 cùa phuang trinh (2) ón dinh tiem càn déu.
d) nghiem tàm thuòng x{t)
—
cùa phuong trinh (2) ón dinh
mti
déu.
e) tàt cà càc già tri riéng cùa A déu
co
phàn
thiic
àm,
tue
là, ReX < 0;VA G a{A)
3.
Tuang duang tiém can cùa phuang
trình

C,
u va
phép
chié'u
P
:
E
^
E sao cho:
(a):
|ir(t)P||
^:Ue ^VtG/^+,
(b):
\\T{t){I-P)\\^C,ytER.
thì khi
dò
phuang trình (4)
va
phuang trình (5) là tuang duang tiém càn.
Tuong tu nhu két qua
a
bài bào
[?],
chùng tói dua ra két qua
de
àp dung nhu sau:
He qua 3.3. Phuang trinh (4)
va
phuang trình (5) là tuong duong tiém càn néu 1 trong
càc diéu kién sau duoc thòa man:

Trong phàn này chùng ta quan tàm dén
sir
tón tai cùa nghiem dù
tòt
hàu tu
dàng
càu cho
càc phuang trinh tién hoà co dang
du .
(7) — =
Au
+ f{t),
a
day
A là mot toàn tu tuyén tfnh (khóng bi chan)
ma
sinh ra
mot
nùa nhóm
chinh
hình cùa
càc toàn tu tuyén tfnh trén
mot
khóng gian Banach X
va
/ là mot hàm hàu tu dàng càu nhan
già tri trong X.
Chùng ta già su ràng A
là
toàn tu sinh cùa

Két qua duói
day
dà dugc chùng
minh trong [?]:
Dinh ly 1.1. Cho
A
là toàn tu sinh cùa mot
nùa
nhóm gidi tich
va
cho f E AA{X).
Thè'
tìiì
tón tgi duy nhàt
mot
nghiem dù tot g E
AA{%)
cùa Eq. (7) sao
elio spu{g)
C
spu{f)
vài
diéu kien là
a
{A)
fi ispu{f) —
0 duac
tìiod
man.
Diéu này ma róng mot két qua dà biét trong huóng này. Hon

toàn tu tuyén
tinh
(nói chung khóng bi chan) trén mot khóng gian Banach
X
ma
sinh ra mot
qua
trinh tién hoà
1-tuàn
hoàn
{U{t,
s))t>s,
va
/ là mot hàm hàu tu dàng
càu nhan già tri trong X trén
R.
Chùng ta quan tàm càc diéu kien
ma
dói vói no moi nghiem
dù tot giói nói cùa phuong trình này là hàu tu dàng càu. Toàn
tu
C/(l,
0) dugc ggi là toàn
tu
monodromy két hgp vói phuang trình.
Dinh ly duói day dà dugc chùng minh trong [?]:
Dinh ly 1.2. Cho A{t) trong Eq. (8) sinh ra mot
qua
trinh tién hoà lién
tue

déu cùa /.
2.
Càc
he
dóng lue ròi rac
va
su lién
he
vai càc
he
dóng
lue
lién
tue
Xét phuong trinh sai phàn tuyén tfnh
(9)
Xn+l = BXn
+
fn,
TI
E Z,
ò day B là mot toàn
tu
tuyén tfnh giói
nói.
Duói
day
chùng ta se ky hiéu ar{B) phàn phó
cùa B trén duòng tròn don vi
F

là dè'm dugc. Han the, gid
su
ràng khóng gian X khóng chùa
khóng gian con nào dàng càu vài
Co.
The thì, x E A.
Dua trén càc Bó
de
này chùng ta co
thè
chùng minh Dinh ly duói day ([?]):
Dinh ly 2.3. Cho B là
mot
toàn tu tuyè'n tinh giài nói trong X vài
ar{B)
là dè'm duac,
va
cho X khóng gian con nào dàng càu vài
CQ.
Già su thém ràng
{xn}n<^z
là
mot
day bi
cliàn
thod man phuang trình
(11)
Xn^\
= BXn +
Vn.

day:
Bó
de
2.4. Cho u là mot nghiem dù tot giài nói cùa (8) trén R
va
f là hàu tu dàng càu.
Khi
dò,
u là hàu tu dàng càu né'u
va chi né'u
day
{u{n)}n€Z là
hàu tu dàng càu.
Vi
vày, bó
de
trén cho phép chùng ta
su diing
càc ké't qua ve tfnh hàu
tir
dàng càu cùa
càc day
de
chùng minh càc két
qua
tuong
tir
cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn. Ky thuàt
này dac biét
hiru

2.6.
Gid su ràng phàn cùa a{B) trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, f là hàu
tuàn hoàn tiém can, x là
mot
nghiem giài nói cùa (12)
ma
là ergodic toàn cuc. The thì, x là
hàu tuàn hoàn tiém càn.
Chùng ta xét duói
day
phuong trinh
(13) ^^{t)
= A{t)x{t) + f{t),
tGR+,
ò
day
A{t) là mot toàn tu tuyén tfnh trén X
ma
sinh ra
mot
qua trinh tién hoà
1-tuàn
hoàn
va
/ là hàu tuàn hoàn tiém can.
Dinh ly 2.7. Gid
su
ràng Eq(13) eó
mot
nghiem bi chgn x{t), phàn pho cùa

thù tu dac biét, trong dò:
M là khóng gian metric. G là nhóm dugc sàp thù
tir
dac biét. / là ành xa tu khóng gian
tfch M
X
G vào M thoà man càc tfnh chat sau:
(i)
f{p,e)=p
(ii)
f{f{P.9i).92) = f{p.gi92)
(iii) Vói mpi p E
M,
phàn
tu 5
G
G va so £
> 0, tón tai so 6 > 0 sao cho vói mgi
q E S{p,6) bàt dàng thùc
p{f{p,g)J{q,g))
<
e(*)
thoà man.
Dói khi diéu kién cuoi ta thay
bang
diéu kién lién
tue
manh hon là diéu kién lién
tue
tfch

f{p,g)
vói diém p co dinh goi là chuyén dòng. Tàp goi f{p, G) là quy dao cùa chuyén
dóng (hay quy dao toàn phàn.
1.1.1. Tdp bàt bien. Tàp A
C
R
oq\
là
tàp bàt bién néu
f{A,g) =
A vói moi g E G
Dinh ly 1.1.
Tcjp
bàt bien là
nwt
tàp tgo nèn
tu
hgp cùa
mot
so càc quy dao toàn phàn
va ngU(fc
lai tàp
tu/p
càc quy dao toàn phàn
làp
nèn
mot
tàp bàt bien
Dinh ly 1.2.
H(/p

can
Uq,
V5
G
G,
tón tai phàn
tu
g'
E
Gsao
cho
g'
> g
va
f{p,
g')
E
U,^.
Tap hgp tàt cà càc diém
a;-
giói han cùa chuyén dòng f{p,g) ta kf hiéu là fip.
Tuong
tir
ta
co
djnh nghla diém
a-giói
han cùa chuyén dòng f{p,g) néu vói moi làn can
Uq.
Mg E G, tón tai phàn

Chuyén
dóng ón dinh theo Lagrange. Ta dà biét ky hiéu
T>A
=
f{A,G),T.^
=
f{A,G^)
Dinh nghla
1.6.
Chuyén dóng f{p,g) là ón dinh duong (ón dinh ) theo Lagrange néu
E+(Sp)
là tàp compact.
Dinh ly 1.7. Néu G là
mot
nhóm eó huàng
va
chuyén dóng f{p,g) là ón dinh Lagrange
tlieo
huàng duang thì fi
7^
0
Djnh ly 1.8. Néu G là mot nhóm co huàng
va
chuyén dòng f{p,g) là on dinh Lagrange
tlieo
huàng duang thì vài mgi e >
Q va
vài mgi g E G luón tón tgi g' > g sao cho
p{f{p,g'),Qp)<e
1.3.1. Diém dùng.

là dièm dùng yèn.
Cac
mó
hình
img
dung
_^^
2.
Mò hình dàn so
Sau day chùng tói xin dugc giói thiéu so qua
ve mot
so mó hình dàn so
co
dién.
2.1.
Mó hình dàn so co dién cùa Malthus. : Nàm 1789 TR.Malthus dat ra mó hình
dàn so dóng
lue ma
trong do toc dò tàng
truòng
cùa quàn
thè
ti le vói dò
lón
cùa dàn so vói
càc già thiét sau:
1.
Mgi dóng vat déu eó càc tfnh chat sinh thài nhu nhau (khóng eó su khàc nhau
ve tuoi
hay

càc dòng vat chét theo don vi thòi gian (biéu thi
toc
dò chét). Nhu vày,
ta eó:
Trong khoàng thòi gian At:
P{t + At)
=
P{t) + bP{t)
-
dP{t)
nén ta
co:
Cho At
^
0 ta co hàm P{t) thoà man phuong trinh vi phàn sau:
^^^{b-d)P{t) = XP{t)
t>0
dt
a day
A
là tham
so
Malthus là hàng
so
dói vói quàn
thè
cho truóc chi su tàng truòng nói
tai.
Day là phuong trinh vi phàn don gian:
Ta eó

mói trong dò A giàm khi P{t)
tàng
va co
su phu thuóc vào tiém nàng cùa mói truòng.
De
mó tà diéu dò ta chon:
f{t,p(t))
p~{t
K
20
.
Tue
là:
A^A.Il-^
Do
dò,
hàm P{t) thoà man phuang trinh vi phàn sau:
Phuong trinh vi phàn tra thành phuang trinh logistic. Trong
dò.
Ai
là hàng
so
miéu tà
sir
phàt
trién nói tai cùa quàn thè
va I{ àuge
goi là tiém nàng tài.
Ta
co

dién tuyén
tinh
cùa F.R.Sharpe va
A.Lotka:
Mó hình cùa Malthusi
va
Verhulst là càc vf
dii
cùa su lién
tiic va sir
tàt yéu cùa mò hình dàn
so.
Sau dò, ly thuyét
dóng hgc lién
tiic
cùa càc quàn thè sinh hgc dugc nhiéu nhà toàn hgc, sinh hoc
va
diéu tra dàn
so ma róng
va
phàt trién. Dàc biét, mó hình quàn thè tuyén tfnh
co
ành huong cùa càu trùc
tuoi
dugc nghién cùu róng rài. Trong so càc mò hình
dò,
phài kè
dèh
mò hình cùa F.R.Sharpe
va

dò,
tóng so dàn tai thòi dièm t cùa càc thành vién cùa quàn thè
co
dò
tuoi
tu
ai
dén
a2
là :
fO.2
/
p{a,
t)da
J a\
và tóng so dàn tai thòi dièm t cùa quàn thè là:
P[t)= I p{a,t)da
Hàm mat dò phài thoà man
luàt
càn bang (balance
law)
cùa qua trình dàn so.
Tue
là:
Dl{a,f) =
-li{a)p{aJ).
Cac mó hình
ung
dung
a day

hay ta eó thè hiéu
day
là khà nàng sinh san cùa
tuoi
a. Biéu thùc
p(0,
t) eó thè giài thfch là
so
thành vién chào
dòi cùa quàn
thè
tai thòi diém t. Thóng thuòng do càc
loài
déu co
tuoi hùu
han nén ta thuòng
già
su
a; < +00 là
tuoi
tho lón nhàt cùa quàn thè thì khi
dò
tóng so dàn cùa quàn
thè
và so
tré chào dòi tai thòi diém t duoc viét lai nhu sau:
puf
Jo
P{t)
=

(P{0) =
/
p{a)4>{a)da.
2.3.
Mò hình cùa
Gunrtin-MacCamy:
Dén nàm 1974,
Gunrtin-MacCamy
dà ma róng
mó hình dàn
so
phi tuyén. Trong dò khà nàng tiéu hao( mortality modulus) và
khà
nàng sinh
san ( fertility modulus) phu thuóc phi tuyén vào mat dò.
Già
su
p{a,
t) và P{t) Ta eó tóng
so
dàn vàn
co
dang;
P{t)
= I p{a,t)da
Jo
Nhuiìg
luàt càn
bang
cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:

bang
ly thuyét
GQ
nùa nhóm.
De
thuàn tién chùng tói
xin dugc giói thiéu mò hinh dugc mó tà
bang
he Lotka- von foerster khóng thuàn nhàt:
Dat p(a,t)
=
{pi{a,t),p2{a,t),
,pn{a,t)y,
trong
dópi(a,t),
0
^ z ^
n là hàm mat
dò cùa quàn thè con thù
z,
tue là
J^
Pi{u,
t)du là thè hién so cà thè ò quàn thè con thù i trong
eó
tuoi
tu a dén 6 tai thòi diém t. Dat L{à) là
mot
ma tran n x
n,

0
^ z ^
n
0
dò kf hiéu cùa khà nàng tiéu hao (chét) (mortality modulus) cùa quàn thè con thù i.
Dàt a; < oc là
tuoi
thg lón nhàt cùa quàn thè. Ta dinh nghla ma tran ty le chuyén tiép
L{b,a)
:=
L{b)L~'^{a)
vói 0
^
a
^
a;
và
L{a,a)
= /. Dàt M{a)
là
ma tran ti le sinh, trong
dò mij{a)
> 0 cùa nò là trung bình
so
cà thè con chàu ò quàn thè con thù i trén don vi thòi
gian, dugc sinh ra bòi
mot
cà thè
j.
Bài toàn là nghién cùu mot mò hình quàn thè

lim[p(a +
/z,
t +
/i)
- L{a +
h,
a)p{a,
t)],
dugc ggi là hàm mat dò
tuoi
cùa càc cà thè di cu thuàn tuy (the age-desnity function of the
net migrants).
Chùng ta xét toàn
tu
A dugc ggi là toàn
tu
dàn so xàc dinh nhu sau:
A : D{A) C
L^(0,a;;G")
^
L'{0,u;C')
vói
A(P{a):=-—(P{a)
+
Q{a)(P{a),
da
D{A)
:= {(p
E
Li(0,a;;G")

L'{0,u-a')
:=
X. Tu càc ké't
qua dà biét trong bài bào [4] ta eó toàn
tu
A là toàn
tu
dóng, mién xàc dinh cùa D{A) trù
mat trong X và toàn
tu
A sinh ra nùa nhóm compact
{T{t))t>o-
2.5. Mó hình dàn so nghién cùu
chình:
Thuc té, so nguòi di cu và nhàp cu sau mot
thòi gian nhàt dinh mòi ành huòng dén
toc
dò tàng truòng cùa quàn thè cung gióng nhu mot
phàn tu cùa quàn thè khi chuyén dói
tu
trang thài này dén trang thài khàc càn eó thòi gian
de
thich nghi thì khi dò
nò
mói dugc coi hoàn toàn là ò trang thài mói. Do dò chùng tói dà
dua ra
he
Lotka
-
von Foerster

hàm
7;(a,0) =
<^(«),
/ :
[0,cv'l
X
[(),oc] C
24
vói
f{a,
t,p{a,
t + 9)) :=
lim[p(a -{-h,t +
9
+
h) -
L{a-\-
h, a)p{a, t
+
9)],
Do
dò
tuong
ti;
nhu trén ta dua dugc
ve
bài toàn Cauchy cùa phuang trình
\'i
phàn
co

di cu). Hon
nua,
trong mó hinh sau khi dà
co sir
di cu (khóng thuàn nhàt) co
thè tfnh dugc
so
thành vién ò dò
tuoi
a , thóng qua so thàn vién tuong ùng vói thành vién o
dò
tuoi
b cùa mó hinh khóng eó
sijf
di cu (thuàn nhàt). Tu do cho chùng ta eó su
dir
doàn
so
thành vién cùa do
tuoi
a cùa mó hinh di cu néu chùng ta
co
so liéu cu thè. Càc két qua trén
co
thè giùp chùng ta trong viéc diéu
chinh
so nguòi sao cho phù hgp vói yéu càu
lao
dóng
trong càc vùng khàc nhau cùa

hình chung
Tóng thu nhap quóc dàn (Y) bao góm :
Tong già tri
xuàt
khàu(X) + Tong tiéu dùng (D) + long CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y
=
X + D
+
I.
Ky hiéu:
Y
=
Tóng thu nhàp quóc dàn; M = Tóng GT nhàp khàu
X = Tóng GT xuà't khàu; C = Tóng tiéu dùng ; I = Tóng chi
phi
dàu tu ;
Chù y ràng tóng kinh phf cho tiéu dùng nói dia (D)
bang
:
Tong chi phi tiéu dùng (C) - Tong GT nhàp khdu (M).
Tue
là :
D = C-M.
Nén ta co tóng thu nhàp quóc dàn (Y) sé bao góm :
Tong già tri xuà't khàu(X) + Tong tiéu dùng (C)- Tong GT nhàp
khdu (M) +
+ tong CP dàu tu ròng (I)
Hay:

,
M,(n^l)=
a^,Y-Jn),
(i=]J;j=3-i)
.
Gid
su
long
so'
chi cho nhàp
kliàu
cùa
nuàc
này là tóng so thu cùa xuàt khdu cùa
nude
kia
và ngugc lai :
Mj(n)=X,(n)
.
M,(n)=Xj(n),
Tu
càc già thiét trén
cuòi
cùng ta se di dén
he
phuang trình sai phàn :
2.He
hai phuang trình sai phàn :
25
y,(n+l)=

)
3.Giài
phuang trình sai phàn và ve do
thj
minh hoa:
>
a:=l/2;
Vi
du
bang so
a
:•
> b
>
e
:
> e :
= 1;
= 0;
= 1/4
b
:=
1
e :=
0
e
:= —
>ptl:=y(n+l)=a-*'y(n)-^b*2
(n)+5;
pll

rsolve({ptl,pt2},(y(n),2(n);;
26