TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
TUYỂN TẬP SƯU TẦM 85 ĐỀ THI HỌC
SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
CÓ HƯỚNG DẪN CHẤM CHI TIẾT
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
1
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian
phát đề)
Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức:
5 3 29 12 5− − −
= cotg45
0
Bài 2: (4đ) Cho biểu thức
( ) ( )
( )
2
4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 

x y z
+ + = + +
Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ
đỉnh M vẽ góc 45
0
sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.
Chứng minh rằng:
EF
1
4
M ABC
S S
∆ ∆
<
Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường
thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O).
Chứng minh MK = MA
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
2
ĐỀ CHÍNH
THỨC
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Bài
Nội dung – Yêu cầu
Điể
m
1

4 1 4 1
1
1
1
4 1
x x x x
Q
x
x x
− − + + −
 
= × −
 ÷
−
 
− −
( ) ( )
2
1 2 1 1 1 2 1 1
2
1
4 4
x x x x
x
Q
x
x x
− − − + + − + − +
−
= ×

− −
* Nếu 1 < x < 2 ta có:
1 1 1 1 2
2 1
x x x
Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x
=
−
* Nếu x > 2 ta có:
1 1 1 1 2
2 1
x x x
Q
x x
− − + − + −
= ×
− −
2
1
Q
x
=

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:
( )
1 1
1 1 1
2 2
x x
x x
+ −
− = − ≤ =

1 1
2
x
x
−
⇒ ≤
(vì x dương)
Và:
( )
1 1 4 4
4 4 4
2 2 2 4
y y
y y
+ −
− = − ≤ × =

4
1

2 2
1 1
x yz y xz
x yz y xz
− −
=
− −
( )
( )
( )
( )
2 2
x yz y xyz y xz x xyz⇔ − − = − −
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2
0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz
⇔ − − + − + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3 2 2 2 2 2 2
0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z
⇔ − − − + − − − =
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
0xy x y xyz x y z x y xyz x y
⇔ − − − + − − − =
( ) ( ) ( )
2
0x y xy xyz x y z x y xyz
 

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
4
C
K
B
F
A
C
Q
N K
E
A
P
I
Q
M
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Kẻ MP
⊥
AB tại P, MQ
⊥
AC tại Q

S S S S S
∆ ∆ ∆
+ < ⇔ <
(*)
Chứng minh được:
1
2
MAP MAB
S S
∆ ∆
=

1
2
MAQ MAC
S S
∆ ∆
=

1
2
APMQ ABC
S S
∆
⇒ =
(**)
Từ (*) và (**) ta có:
EF
1
4

MK
2
= MO
2
– R
2
(
∆
MKO vuông tại K)
MK
2
= (MI
2
+ OI
2
) – R
2
(
∆
MOI vuông tại I)
MK
2
= (MI
2
+ OI
2
) – (OP
2
– PB
2

2
)
MK
2
= MI
2
+ AI
2
(
∆
IAP vuông tại I)
MK
2
= MA
2
(
∆
IAM vuông tại I)
⇒
MK = MA
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút)

Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức

9 6 9 0x x x− + − + =
b/
2 2
4 4 0x x− − + =
Bài 6(2,5đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D
là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại
E. CA cắt Dx tại F. Đặt
·
MDC
α
=
a/ Chứng minh AM là phân giác của
·
FCB
. Tính độ dài DM, CE theo a và
α
b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của
sin
α
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
6
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài Nội dung Biểu
chấm
1(1,5đ) a.(1đ)
A =




0; x
≠
3
=








++








++−
+
++ x
xx
xxxxx 3
33
)33)(3(
3
33

33)3(
2
2

3
1
−
=
x
b. (0,5 đ) Thay x =
3
+2010 vào A ta có:
A
3
1
−
=
x

2010
1
320103
1
=
−+
=
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
3(1đ)
0.25
0.25
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
7
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0
0
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
a ab b b bc c a ac c
a b b c a c
+ + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
⇔ − + + − + + − + ≥
⇔ − + − + − ≥
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
0.5
4(2đ) a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a
2
+ b
2
( )
( ) ( )

( ) ( )
( )
2
2 2
2
max
2 8 8 2
8 2 8 2
2 2 2 .2 2 2 2 8
8 2 2 2 8
8
x y x y
B y y y y
y y
y
B
+ = ⇒ = −
= − = −
 
= − − + −
 
 
= − − ≤
=
5(2đ)
( )
( )
( )
2 2
/ 9 6 9 0

1
0 0
0
2
5
b x x
x x
t
t t t t
t
x
x
− − + =
− − − =
=

⇔ − = ⇔ − = ⇔

=

= ±
= ±
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
6(2.5đ)
E

v uông tại M có
·
MDC
α
=
và CD=2a nên
cos .cos
DM
DM DC
DC
α α
= ⇒ =
DEC
∆
vuông tại D có DM là đường cao nên
CE.CM=CD
2
(1)
Mà
sin 2 sinCM CD CM a
α α
= ⇒ =
Từ (1) ta có
2
2
sin
CD a
CE
CM
α

α
⇒ = + ⇒ = − +
= − ⇒ = −
−
= =
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
9
·
·
·
ECF ACM MDC
α α
= = ⇒ =
TUYN TP THI HC SINH GII TON 9
Phòng GD- ĐT vĩnh tờng
Trờng THCS vũ di
==========
Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )

Bài 1. (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau :

2
+ 4x + 10 = 2
2
14 7x
b)
2 4 2 2
4 4
4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + =
c) x
4
- 2y
4
x
2
y
2
4x
2
-7y
2
- 5 = 0; (vi x ; y nguyờn)
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì
,a b
ta luôn có:
2
2
a b
ab
+

Bài 5 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn
ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
a) Chứng minh :
2 2 2
1 1 4
R r a
+ =
b) Chứng minh :
3 3
2 2 2
8
( )
ABCD
R r
S
R r
=
+
; ( Kí hiệu
ABCD
S
là diện tích tứ giác ABCD )
2) Cho tam giác ABC cân tại A có
ã
0
108BAC =
.Chứng minh :
BC
AC

223
và biến đổi => x
3
= 6 + 3x
Suy ra B = 2006
0,75
a
Có A =
15
15


+
59
59


+
913
913


+ +
20012005
20012005


+
20052009
20052009

x
x
x
x
x
x
=

+ =


=
=


=




=


(Th a món)
0,25
0,25
0,25
b
i u ki n :
2

k t h p v i (1) v (3) suy ra x
= 2
Thay v o (4): y
2
2y + 1
0

; ỳng v i m i giỏ tr c a y.
Thay x = 2 v o ph ng trỡnh v gi i ỳng, tỡm c y = 1,5
V y nghi m c a ph ng trỡnh: (x = 2; y = 1,5)
0.5
0,25
c Bi n i a c pt v d ng: (x
2
2y
2
5)(x
2
+ y
2
+1) = 0

x
2
2y 5 = 0

x
2
= 2y
2

4n
2
= 2(k
2
+ k 1)

2n
2
+ 1 = k(k + 1)
(*)
Nhỡn v o (*) ta cú nhn xột: V trỏi nhn giỏ tr l, v phi nhn giỏ tr
chn (Vỡ k v k + 1 l hai s nguyờn liờn tip)

(*) vụ nghim

pt ó
cho vụ nghim
0,25
0,25
Bài 3a
(2,0đ)
Ta có:
2
2 2 2 2
2 2
2 4 4
a b a ab b a ab b
ab ab
+ + + +


Dấu đẳng thức xảy ra khi
a b
=
b
Theo kết quả câu 3.a, ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
4a b c a b c a b c

+ + = + + +

mà
1a b c
+ + =
(giả thiết)
nên:
( ) ( )
2
1 4 4a b c b c a b c + + +
(vì a, b, c không âm nên b + c không
âm)
Nhng:
( )
2
4b c bc+
(không âm)
Suy ra:
16b c abc
+
.


( )
2
2 2 2 2 2 2
sin cos 3sin cos 1 3sin cosP

= + =
áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos
4

+
Suy ra:
2 2
3 1
1 3sin cos 1
4 4
P

= =
Do đó:
min
1
4
P =
khi và chỉ khi:

+ Do đó ta có phơng trình:
( )
22 1 23
1 22 1 22
1 1
x
x y x y
x x
+
= + = = +

0,25
0,25
0,25
+ Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên
1x

phải là ớc số của 23.
Mà 23 nguyên tố, nên:
1 1 2x x = =
hoặc
1 23 24x x = =
Nếu
2x
=
thì
22 23 45 30y = + = >
(trái giả thiết)
Nếu
24x

Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy
một điểm E đối xứng với điểm I qua
M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có
hai đờng chéo EI và AB vuông góc
0,25
Gv: Nguyn Vn Thnh Trng THCS Ngc Liờn
13
TUYN TP THI HC SINH GII TON 9
với nhau và cắt nhau tại trung điểm
mỗi đờng )
1a
Ta có
ã
ã
BAI EBA=
mà
ã
ã
0
90BAI ABO+ =
ã
ã
0
90EBA ABO + =
0,25
Xét

EBK có
ã
0

A
chung
AOB AMI :
2
.
2
AO AM AM AB AB
AO
AB AI AI R
= = =
Chứng minh tơng tự ta đợc
2
.
2
BM AB AB
BO
BK r
= =
0,25
0,25
Ta có
4
2. . 2.
4
ABCD
AB
S AO OB
Rr
= =
Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có

0,25
2
x
C
D
B
A
0,25
Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của
ã
BCx
, tia Cx cắt đờng thẳng AB
tại D.Khi đó Ta có
ã
ã
0
36DCA ACB= =
DCA
cân tại C ,
BCD
cân tại B
AB AC DC
= =
.Theo tính chất đờng phân giác trong tam giác BCD ta có
;
CB AB BC CA
BC BD
CD AD CA BD CA
= = =


.Vậy
BC
AC
là số vô tỉ
0,25
Gv: Nguyn Vn Thnh Trng THCS Ngc Liờn
14
1
a b c d+ + +
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/01/2010
Bài 1(4đ)
a) Tính tổng:
b) Cho a, b, c, d là các số dương và
a c
b d
=
. Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức
sau:
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
15
2 2 2 2

15 35 63 399
P

với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 3: (4đ)
a) (2đ) Phân tích thành nhân t‰:
M =
1xxx1x7
23
−+−−−
với
1x ≥
b) (2đ) Giải phương trình

83xx326x
3
2
=++++
Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:
( 2) ( 3) 8x m m y m+ + − = −
a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b) (1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua
một điểm cố định.
Bài 5: (2 đ)
Cho
∆
ABC đều điểm M nằm trong
∆
ABC sao cho AM
2
= BM
2
+ CM

2
7
=
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
16
(0,5
điểm)
(0,75
điểm)
(0,5
điểm)
(0,25
điểm)
a d b c
a d b c
+ − −
=
+ − −
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
b)
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).
(0,5 điểm)
.

2 2
a c
do ad bc ad bc
b d
 

Vậy
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
( 1đ )
1) ( 2 đđiểm )
Viết được
2
2
100 10 1
100 10 4 4
abc a b c n
cba c b a n n

= + + = −


= + + = − +


Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5
M
99 (3) ( 0,75 đ )
Mặt khác : 100
2 2
1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤



−






−−−−=
4
25
2
1
1x1x
2
(0,5đ)
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
17
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a d b c
a d b c a d b c
+ − +
=
   
+ + + + − +
   
1
( ) ( )a d b c

Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ)
Với
1x0
<≤
thì:
831132613xx326x
3
2
3
2
=++++<++++
Nên PT vô nghiệm với
1x0
<≤
(0,5đ)
Với x >1 Thì:
831132613xx326x
3
2
3
2
=++++>++++
Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ)
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ)
Bài 4: (2 điểm)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên
( 2).( 1) ( 3).1 8 5 8 3.m m m m m+ − + − = − ⇔ − = − ⇒ =
(0,5 điểm)
b) Gọi
( )

mà
2 2 2
AM BM CM= +
2 2 2
BN BM MN⇔ = +
BMN
⇔ ∆
vuông tại M.
·
·
·
0 0 0
90 60 150BMC BMN NMC⇒ = + = + =
. (1 điểm)
Bài 6: (4,0 đ)
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB
2

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)
AB . EB = HB
2

AC . EH = AC . AD = AH
2
=> ĐPCM (1 điểm)
b) S
(ADHE
)= AD.AE
≤


(ADHE
)=
2
2
R
Khi AD = AE
Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ)
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
Thực hiện tính:
24
422
2
2
++−
−+
xx
xx
với
362 +=x
Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
a.
2455

+x
3
)(x
2
+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
)
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M.
Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung
điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh ∠ ICB = ∠ IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Cho A(n) = n
2
(n
4
- 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN

M
xy x y
= +
+
.
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình:



+=++
=+
243
11
22
yxyx
yx
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
20
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Bài 3: (2.0 điểm)
Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên
tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O
song song vơi AB cắt QM tại H.
a. Chứng minh HM = HN.
b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP.
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho n‰a đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên n‰a
đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C.
CH cắt AB tại I

)2)(2(222
2
+
=
++−+
−++
=
++−+
−++−++
=
xxxx
xx
xxx
xxxx
0,75
Thay
362 +=x
vào được:
23
23
1
)23(
1
3262
1
2
−=
+
=
+

2
=++ xx
được x
1
= 0; x
2
= -5. 0,25
Th‰ lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25
Ghi chú: Có thể đặt y = x
2
+ 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương
hai vế.
b.
322323
22
−++−=+++− xxxxxx
)3)(1(23)2)(1( +−+−=++−− xxxxxx
0,25
032)32(1 =++−−+−−− xxxxx
0)11)(32( =−−+−− xxx
0,50
032 =+−− xx
vô nghiệm;
011 =−−x
được x = 2. 0,25
Th‰ lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm. 0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x
2
+ 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ

+ 2009x + 1 = 0
x
3
, x
4
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x
1
+x
3
)(x
2
+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
)
Giải:
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x
1
x

+ x
3
)(x
1
-x
4
)(x
2
-x
4
) = (x
1
x
2
+ x
2
x
3
- x
1
x
4
-x
3
x
4
)(x
1
x
2

= x
1
x
2
x
3
2
- x
3
x
4
x
2
2
- x
3
x
4
x
1
2
+x
1
x
2
x
4
2
= x
3


= (x
3
+ x
4
)
2
-( x
2
+ x
1
)
2
0,50
Thay x
1
+x
2
= -2009; x
3
+ x
4
= -2010 được : 2010
2
- 2009
2
=2010+2009 =4019 0,25
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x
1
+x

0,75
∠ICB = ∠IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1)
DK // AB (Cùng vuông góc với BO)
⇒ ∠ IDK = ∠IAB (2)
Từ (1) và (2) được: ∠ ICB = ∠ IDK
1.0
∠ ICB = ∠ IDK hay ∠ ICH = ∠ IDH ⇒ Tứ giác DCIH nội tiếp.
⇒ ∠HID = ∠ HCD
∠ HCD = ∠ BED (Cùng chắn cung DB của (O))
⇒ ∠HID = ∠ BED ⇒ IH // EB
⇒ IH là đường trung bình của DEK ⇒ H là trung điểm của DK
1,25
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Chứng minh A(n) = n
2
(n
4
- 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n
2
- 1)( n
2
+ 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n
2
+ 1). Do n(n - 1)(n+1)
chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n.
0,25
- A(n) = n
2

a. Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
. Với
;a b
là các số dương.
b. Cho
;x y
là hai số dương và
1x y
+ =
.Tìm giá trị nhỏ nhất của

xy
P
2
1
=
;
2 2
2 3
M
xy x y
= +
+
.
1 1 4
a b a b

P
0,50
Gv: Nguyễn Văn Thành Trường THCS Ngọc Liên
24
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
P đạt giá trị nhỏ nhất tại: x = y =
2
1
0,25
hoặc:
2
2
1
4
1
4
1
)(42
222
≥⇔≥⇔≤⇔+≤⇔+≤
xyxy
xyyxxyyxxy
2 2
2 3
M
xy x y
= +
+
=
14122

1
.
-
22
3
2
3
yx
xy
+
+
đạt GTNN tại x = y =
2
1
. Nên M đạt GTNN tại x = y =
2
1
.
0,25
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình:



+=++
=+
243
11
22
yxyx

+=S
được
23
1
=P
;
25
2
−−=S
được
258
2
+=P
0,25
- Với
23
1
+=S
;
23
1
=P
có x, y là hai nghiệm của phương trình:
023)23(
2
=++− XX
0,25
- Giải phương trình được
2;3
21


=
=
3
2
y
x
0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
-Chứng tỏ MBND là hình bình hành ⇒ O là
trung điểm của MN.
- OH // AB ⇒ OH ⊥ MN.
- ⇒∆HMN cân tại H (Trung tuyến vừa là
đường cao) ⇒ HM = HN.
0,75
- OH // BM được:
OB
OQ
HM
HQ
=
- ON // BP được:
NP
NQ
OB
OQ
=
⇒
NP
NQ