ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỐNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
«1« ^
'ĩ'
TÊN ĐỂ TÀI:
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH VÀ
LỜI GIẢI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI số VÀ
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ẩn
MÃ SỐ: QT-06-02
CHÚ TRÌ ĐÊ TÀI:
TS. VŨ HOÀNG LINH
CÁC CÁN BỘ THAM GIA:
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, TS. Lê Còng Lợi,
NCS. Hà Thị Ngọc Yên, ThS. Nguvễn Quốc Tuấn,
CN. Lê Huv Hoàng, CN. Đoàn Duv Hài
HÀ NỘI - 2006
Mục lục
0. Báo cáo tóm tắt 2
1. Lời mở đầu 9
2. Nội dung chính 12
2.1 Tính ổn định vững của hệ vi phân đại số
có chứa tham số bé 12
2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân
đại số với hệ số biến thiên 17
2.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân
ẩn và ứng dụng 20
3. Kết luận 22
4. Tài liệu tham khảo 23
5. Phụ lục 26
1. BÁO CÁO TÓM TẮT
a. Tên đê tài, mã số.

cận các hướng nghiên cứu hiện đại trên thê giới, từ nhiều năm nay chúng tôi đã
duy trì một seminar về phương trình vi phân và tính toán khoa học. Ngoài mục
tiêu chính là đạt được các kết quả khoa học có chất lượng, chúng tôi cũng hướng
tới việc bồi dưỡng, đào tạo các sinh viên, học viên cao học, và lớp cán bộ trẻ có
năng lực trong lĩnh vực Toán học tính toán và Toán ứng dụng thành những cán
bộ khoa học có chuyên môn tốt, đảm nhận được công tác đào tạo và nghiên cứu
khoa học, đổng thời đóng góp vào việc nghiên cứu lý thuyết phương trình vi
phân đại số.
- Nội dunẹ: Phương trình vi phân đại số cấp 1 có dạng tổng quát:
f(x\x,t)=0, (1)
trong đó ma trận Jacobi của f theo biến thứ nhất được giả thiết là suy biến. Dạng
tuyến tính của (1) có thể viết như sau:
E(t)x’(t)+A(t)x(t)=q(t). (2)
Chúng tôi cũng quan tâm đến hệ thời gian rời rạc
Enxn+I+Anxn=qn (3)
cũng như các trường hợp hệ (2-3) với hệ số hằng. Nội dung nghiên cứu của đề
tài gồm các vấn đề chính như sau:
1. Tính ổn định vững của hệ PTVPĐS với hệ số hằng có chứa tham số bé:
tính ổn định của hệ khi ma trận dẫn có chứa tham số bé, dáng điệu tiệm
cận của bán kính ổn định phức khi tham số tiến đến 0.
2. Bán kính ổn định và tính ổn định vững của phương trình (2): xây dựng
công thức tính bán kính ổn định, mở rộng lý thuyết số mũ Bohl, khảo sát
sự phụ thuộc của tính ổn định vững vào dữ liệu của bài toán. Chúng tối đã
có một số kết quả ban đầu trong hướng nghiên cứu này và đã được nhận
đăng ở tạp chí J. Differential Equations, một trong những tạp chí toán học
hàng đầu trên thế giới (theo các số liệu thống kê mới nhất, tạp chí này
được xếp hạng thứ 22 trong số trên 500 tạp chí toán học lý thuyết trên thế
giới).
/. Tình hình kinh phí của đề tài (hoặc dự án).
Kinh phí 20 triệu đồng đã chi vào các mục như sau:

2006, Oberwolfach, Germany, 43-45.
Báo cáo tại hội nghị khoa học:
1. Hội nghị Quốc tế về Phương trình vi phân đại số, Oberwolfach, Germany,
16-22/4/2006, người báo cáo: V.H. Linh, tên báo cáo: Stability radii for
lineơr time-varying differential algebraic equations and their dependence
on data. (báo cáo mời)
2. Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo:
Vũ Hoàng Linh, tên báo cáo: Exponentiơ! stability and stabiỉity radii for
time-varvinq differentiơl-aloebrơic equations.
3. Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo:
Phạm Kỳ Anh, tên báo cáo: Some recent results on singular difference
equations.
Đào tạo đại học và sau đại học: 6 luận vãn đại học, 4 luận văn cao học 1 NCS
(chuẩn bị bảo vệ)
/. Tình hình kinh phí của đề tài (hoặc dự án).
Kinh phí 20 triệu đồng đã chi vào các mục như sau:
1. Thanh toán dịch vụ công cộng: 800.000đ
2. Vật tư văn phòng: l.OOO.OOOđ
3. Thông tin liên lạc: l.OOO.OOOđ
4. Hội nghị: l.OOO.OOOđ
5. Công tác phí: 5.000.000đ
6. Thuê mướn: 10.000.OOOđ
7. Chi phí nghiệp vụ chuyên môn: 1.200.000đ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC T ự NHIÊN
KHOA QUẢN LÝ
(Ký và ghi rõ họ tên)
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
(Ký và ghi rõ họ tên)
GS.TS. Nguyễn Hữu Dư
TS. Vũ Hoàng Linh

e. Main resuỉts of the projects.
Publications (in journals and conĩerence proceedings):
1. N.H. Du, V.H. Linh, On the robust stability of implicit linear systems
containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical
Control and ỉnỊormation, 23(2006), 67-74.
2. P.K. Anh, H.T.N. Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous
difference systems, J. Xĩath. Anal. Appl., 321(2), 2006, 921-929.
3. V.H. Linh, N.H. Du, Stability radii for linear time-varying differential
algebraic equations and their dependence on data, in: Oberwolfach Report
ỉ812006, MFO VVorkshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22,
2006, Oberwolfach, Germany, 43-45.
Lecture at conference and vvorkshop:
1. MFO Workshop on Differential-Algebraic Equations, Oberwolfach,
Germany, 16-22/4/2006, speaker: V.H. Linh, title: Stability radii for linear
time-varyìng differential algebraic equations and their cỉependence on data.
(invited lecture)
2. Conference of Faculty Mathematics, Mechanics and Iníormatics,
7/10/2006, speaker: V.H. Linh, title: Exponenticil stability ancỉ Sỉabilitỵ raclii
for tinie-vcirxin° clijferential-algebraic equations.
3. Conĩerence of Faculty Mathematics, Mechanics and Informatics,
7/10/2006, speaker: Phạm Kỳ Anh, title: Sorne recent results on sinẹular
difference equations.
Education and training: % B.Sc. theses, 4 M.Sc. Theses, 1 Ph.D. Thesis
Một số bài toán trong
lý thuyết định tính và lời giải số
của phương trình vi phân đại số
và phương trình sai phân ẩn
1 Lời mở đầu
Lý thuyết định tính và lời giải số của phương trình vi phân đại
số được các nhà nghiên cứu lý thu vết và ứng dụng trẽn thế giới

đại số của cặp ma trận hệ số và tính ổn định của hệ khi ma trận
dẫn có chứa tham số bé. Chúng tôi cũng chỉ ra dáng điệu tiệm
cận của bán kính 011 định phức khi tham số tiến đến 0.
2. Bán kính ổn định cho hệ PTVPĐS tuyến tính chỉ số 1 với
hệ số biến thiên dạng
E{t)y'ự) = A(t)y(t),
trong đó hàm ma trận E(t) suy biến với mọi t. Chúng tôi đã xây
dựng công thức tính bán kính ổn định cho hộ trcn đồng thời khảo
sát sự phụ thuộc của tính ổn định vững vào dữ liệu của bài toán.
3. Lý thuyết Floquet cho hệ sai phân tuyến tính an dạng
A n X n + l -f- B nx n — CỊni
trong đó ma trận An suy biến với mọi n. Chúng tôi chứng minh
rằng mọi hệ sai phân chỉ số 1 đều có thể đưa về dạng chính tắc
Kronecker. định nghĩa tính khả qui và mở rộng định lv cổ điển
Floquet cho hệ sai phân tuần hoàn. Như một ứng dụng, tính 011
định rủa hệ tuần hoàn phi tuyến cũng được đề cập.
Các kết quả nghiên cứu của đề tài đã được trình bày tại
• Xemina "Giải số phương trình vi phân", Khoa Toán-Cơ-Tin
học, 2/2006-11/2006,
• Hội nghị kv niệm 50 năm thành lập Khoa Toán-Cơ-Tin học.
Hà Nội. 10/2006.
• Hội Iighị quốc tế Dại học Osaka- ĐHQG Hà Nội về khoa học
mũi nhọn, Hà Nội, 10/2005.
• Hội nghị Quốc tế về PTVPĐS. Viện Toán học Ober\volfach.
CHLB Đức, 4/2006.
10
Kết quả của đề tài đã dược công bố trong 3 bài báo khoa học
(1-1 bài trong các tạp chí quốc tế IMA Journal on Mathematical
Control and Information - Nhà xuất bản Đại học Oxfonl và tạp
chí .ĩournal on Mathernatical Analysis and Applications - Nhà

r{E+sF.A:B.C) = mf {II A|| . A E c pỵq và (2.2) không ô.ả.t.c.} .
(2.3)
Chuẩn được- sử dụng là chuẩn ma trận tương thích với chuẩn véc
tơ bất kỳ. Chú ý rằng nhiễu có thể làm mất tính chính qui của
cặp ma trận hệ số. Khi đó, dương nhiên khống thể Iiói gì về tính
011 định của hệ. Công thức của bán kính ổn định cho hộ chì số
1 đã được xây (lưng trong [24.6 . và cho hệ chỉ số bất kỳ trong
12
[8,9]. Hinrichsen &z Prithchard trong [16] đã chỉ ra rằng, đối với
hệ hiển E = I. bán kính ổn định phụ thuộc liên tục vào ma trận
hệ số A. Câu hỏi thứ hai đặt ra ở đây là bán kính ổn định phụ
thuộc như thế nào vào ma trận dẫn? Hàm r(E + sF. A: B. C) có
. tiến đến r(E, A\ B , C) khi £ tiến đến 0 ? Vì £ có giá trị nhỏ, việc
tính toán r{E + cF, A \ B,C) thường dẫn đến bài toán đặt không
chỉnh. Vì thế một công thức tiệm cận của r(E + £F, A; B. C) có
ý nghĩa trong cả lý thuyết và tính toán.
Trước hết. chúng tôi nhắc lại kết quả về bán kính ổn định cho
hệ vi phân đại số bất kỳ.
Mệnh đề 1 Giả sử cặp {E. A} chính qui và ổn định tiệm cận.
Khỉ đó
r(E, A: B,C) = ị sup \\C(sE - A)~lB\\\ . (2.4)
Ị, .SGỉK J
ớ đây, ilR kỷ hiệu trục số ảo trong mặt phẳng phức.
Dưới sự tác động của tham số c. cấu trúc đại số (chỉ số. số giá
trị riêng hữu hạn) có thể thay đổi. Chỉ số của cặp ma trận hệ số
trong (2.1) cũng c:ó thể trở thành lớn hơn 1. Tuy nhiên khi đó.
bán kính ổn định của hệ thường bằng 0. trừ trường hợp nhiễu ở
vế phải có cấu trúc đặc biệt. Vì thế chúng tôi phân loại và chỉ
quan tâm đến các trường hợp sau.
Cl. Chỉ số thay đổi: Chỉ số của {E + zF.A} thay đổi từ

Mệnh đề 2 Giả sử 8 €
cnxn
là ma trận hằng, «4(c) : [0,CQJ —>
C";\ B(e) : [0. £0J -> ẻ nxp,C(e) : [0,cO] -» p * n là các hàm ma
trận liên tục. cặp {<£*. -4.(0)} cỏ chỉ số 1 và ổn định. Khi dó
lim r{£.A{s):B{s).C{e)) = r(£. A(O): 5(0). C(0)).
ong
Mệnh đề này thực chất là một mở rộng của Mệnh đề 2.2 tr
[16], cho PTVPĐS chỉ số 1.
2.1.1 Trường hợp chỉ số thay đổi
Trước hốt. chúng ta phát bicu điều kiện cần và đủ đổ trường hợp
này xảy ra.
Mệnh đề 3 Ma trận dẫn (E + cF) không suy biến với mọi £ đá
nhó khi và chi khi cặp {E, F} chính qui.
Chúng ta giả thiết thêm như sau.
Giả thiết A2. Ma trận F-22 không suy biến.
14
Giả thiết A3. Các cặp ma trận {F22-A22} và {E\\, A ị\—A\2A 0}Aọ\}
ổn (lịnh tiệm cận.
Chúng ta có thể chứng minh rằng các điều kiện trên không
phụ thuộc vào quá trình biến đổi các ma trận về dạng khối thưa
như đã trình bày ở trên. Hơn nữa. các điều kiện Iiày đủ dể đảm
bảo tính ổn định của hệ (2.2).
Mệnh đề 4 Giả sử A1-A3 đúng. Khi đó hệ (2.1), (2.5) ôn định
với mọi £ đủ nhỏ. nói cách khác, tồn tại c > 0 sao cho ơ{E +
cF,A} c c - với mọi £ € [0,c].
Chứng minh của mệnh đề này còn chỉ ra dáng diệu tiệm cận
của các giá trị riêng hữu hạn của cặp {E + cF, A}. Nếu chúng ta
ký hiệu tập giá trị riêng của các cặp ma trận như sau
Ơ{E\1, ^ 11 — ^12^221^21} — {ụ-1-•••, ụ-m })

index {E + eF, A} — 1 và ơ{E + eF, A} c c _
đúng với mọi. £ 6 [0,c].
Định lý 2 Giả sử Al,A2uà A'3 đủny. Khi dó
lim r(E + cF. A: B,C) = min{r(£', A: B. C), r(F22, A22' Bọ, C2)}.
2.1.3 Trường hợp cấu trúc đại số không thay đổi
Chúng ta xét trường hợp tầm thường khi ma trận E không suy
biến.
Mệnh đề 6 Giả sứ E không suy biến và {E.A} ổn đinh tiệm
cận. Khi đó cặp {{E + sF).A} có chi số 0 và ôn dinh VỚI mọi. giá
trị £ đủ nhỏ. nói cách khác, tồn tại ĩ > 0 sao cho E + íF không
suy biến và ơ{E + eF, .4} c c - với mọi £ G [0,?].
Định lý 3 Giả sử các giả thiết của mệnh đề trên được thỏa mãn.
Khi đó
lim r{E + eF. A: B. C) = r(E. A: D. C).
- - - + 0
Các kết quả trẽn đúng với mọi ma trận F. Xhư vậy. trung trường
hợp này. bán kính ổn định phụ thuộc liên tục vào ma trận dẫn.
Kết quả trên cũng được mỏ rộng cho trường hợp ma trận dẫn E
suy biến với điều kiện nhiễu ĩF không làm thay dổi cấu trúc dại
số của hệ.
1 6
Mệnh đề 7 Giả sử {E . .4} cú chỉ số 1. Kìn đó cặp {E + zF. .4}
có chỉ số và số giá trị riêng hữu hạn như của hệ tha gọn {E. .4}
VỚI mọi E đủ nhỏ nếu và chỉ nếu
F22 = 0, F2iEfl1(Fn£;1-11)iFi2 = 0. i = 0.1,2 (2.7)
Định lý 4 Giả sử AI đúng và ma trận F thóa mãn (2.7). Khỉ
đỏ cặp {E + cF.A} ổn định với mọi £ đã nhỏ. Hơn nửa,
lim r(E + sF.A:B.C) = r{E.A]B.C).
£ —+0
Như vậy. Định lý 3. Định lý 4 và Mệnh dề 2 cho thấy, đối với bài

phụ thuộc vào thời gian và đầu ra). Trong các ứng dụng thực tế.
nhiễu thường phụ thuộc vào bản thân lời giải hoặc đầu ra, ví dụ
khi ta tuyến tính hóa một hộ phi tuyến. Tính ổn định vững đối
với nhiỗu động (dynamic pcrturbation) được xct trong [17]. Bài
toán về bán kính ổn định cho hệ tuyến tính với thời gian biến
thiên được giải quyết trung [19]. Bán kính ổn định được II
1Ớ lộng
cho PTVPĐS với hệ số hàng trong [24] và [6].
Mục tiêu chính của nghiên cứu này là mở rộng kết quả của
•Jacob trong [19] cho hệ (2.8) có chỉ số 1. Việc phân tích được dựa
trên lý thuyết chỉ số (tractability index) của Griepentrog và Márz
[13]. Bán kính ổn định của (2.8) đối với (2.10) được định nghĩa và
ký hiệu bằng ry_(E.A: B.C). Khác với trường hợp phương trình
vi phân thường, chúng ta muốn bảo toàn không chỉ tính ổn định
mà cả chỉ số 1 của hệ. Chúng ta sẽ xây dựng và chứng minh một
cống thức của bán kính ổn định ry_{E. A: B.C). biểu diễn bằng
chuẩn của một toán tử input-output.
Giả sử Q là một phép chiếu liên tục tuyệt đối (khả vi hầu khắp
nơi) lẽn ker E. Dặt p = I — Q. .4 = A + EP' và G = E - AQ.
Giả sử các giả thiết sau.
Giả thiết A l. Hệ (2.8) có chi số 1 và tồn tại M > 0. a > 0
sao cho
i|$o(f.s)P(s)|| < Jĩe~a{t~ò‘. t > s > 0.
trong đó fI>y(t. s) là toán tử Cauchv của hệ PTYP thừa kế (inher-
ent ODE-s) của (2.8).
Giả thiết A2. PG~l. QG~l và Ọs := —QG~lA căn bản bị
chặn ( essentiallv bounded ) trên [O.oc).
Chúng ta định nghĩa các toán tử
(L,„u)(f) = Cự) / ,'‘I>(t. s)PG~' B(s)u(.s)ds + C(t)QG-' Bu(t).
(L ,0u)(f) = C(t)QG~lBu(t).

Giả thiết A3. Với hàm chiếu Q như trên, các ma trận Gk —
E — (A + Fk)Q khả nghịch hầu khắp và với mọi k. Hơn nữa,
PG^1, QG^1 and Qị = —QG^lẢ căn bản bị chặn trên [0. oo).
Định lý 7 Giả sử A 1-3 đúng. Hơn nữa, dãy hàm {Fk(-)}keN thỏa
mãn
i)PG-lFk{-) 6 Li(0. oo; Knxn), v/c
ú') lim ess sup Ế>0||P(G^1 — G_1)(í)|| — 0,
iii) lim ess sup f>0||Q{G^1 — G~l)(t)\\ = 0.
k — oc
Khỉ dó dãy hệ (2.11) cũng có các toán tử Cauchy ổn đĩnh mũ và
lim r:<(£\ A + Fk\ B. C) = rx(E. A: B. C).
/r—oc
Các kết quả trẽn với chứng minh chi tiết đa và đang được công
bố trong các bài báo riêng.
2.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân ẩn và
ứng dụng
Trong phần này chúng tôi nghiên cứu tính chất nghiệm của phương
trình sai phân ẩn dạng
A/iXn + l “t" B nx n — Ọ,Ị, (2.12)
trong đó A„, B„ E Rrnxm và Cịn G w . Chúng tôi luôn giả thiết
ma trận dẫn .4,, suy biến và có hạng hằng, rank An = r. (1 <
r < rn — 1).
Định nghĩa 2 Hệ sai phân (2.12) (tược gọi là có chỉ số 1 riếu
(ỉ) rank An — r Vn > 0,
(lĩ) Sn n ker ,4„_ 1 = {0} Vn > ì,trong dó Sn = G ầ>rn :
Bnị e im An}.
•20
Khái niệm chỉ số 1 của PTSP tương tự khái niệm chỉ số 1 (tractabil-
ity index) của PTVPĐS do Márz đưa ra. tuy nhiên sự khác biệt
là ở đây. cập ma trận {.4„, Bn} không nhất thiết cũng có chí số 1

Như một hệ quả, chúng ta có kết quả về tính khả qui của hệ sai
phân tuần hoàn.
Định lý 10 Phương trình sai phân (2.12) tuần hoàn, chi số 1 với
ma trận Bn không suy biến luôn có thê biến đôi về dạng chính tắc
Kronecker VỚI hệ số hằng như sau
cliag ự r ,O m-r ’ừn+1 + diag (-R . Im-r)xn = q„.
Sử dụng các kết quả trôn chúng tôi CÒ11 khảo sát được một số bài
toán phụ khác như bài toán về sự tồn tại cluy nhất nghiệm của
phương trình sai phân ấn. tuần hoàn và có trễ dạng
— \ B r ,x n + C'nx n- nri Qn . /7^0.
và bài toán về tính 011 định của nghiệm tầm thường của hệ sai
phân phi tuyến ấn dạng
fn-ị-l • II) Oi
trong đó f n : W ’ X Rm — R"' là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn
/(0,0) = 0. /n^xiy.x) = f„(y. x). in >0, -y, X e R in.
3 Kết luận
Trong đề tài nghiên cứu. chúng tôi đã đạt được những kết quả
sau
1. Nghiên cứu tính ổn định vững của hệ vi phân đại số có chứa
tham số bé trong phần tử dẫn. khảo sát dáng điệu tiệm rận của
bán kính ổn định của hệ khi tham số tiến đến 0.
2. Dưa ra công thức bán kính ổn định cho phương trình vi
phân đại số với hệ số hiến thiên, chứng minh một số kết quả về
sự phự thuộc vào (lữ liệu của hán kính ổn định.
3. Nghiên cứu tính chất nghiệm của hệ sai phân tuyến tính ẩn.
tuần hoàn và có chí số 1. Mở rộng lý thuyết Floquet cho phươnơ
trình sai phân án.
4 Tài liệu tham khảo
1. R.p. Aganvall. Difference Equations and Inequaỉities - The-
ory. Methods, and Applications. Dekker. Ne\v York. 2000.

differential algebraic equations with respect to dynamic per-
turbations. J. Diỷỷerential Equatỉons. 230(2006). 579-599.
13. E. Griepentrơg. R. Márz. Differential Algebraic Equations
and Their Numericaỉ Treatment. Teubner Texte zur Mathe-
matik 88. Teubner. Leipzig. 1986.
14. D. Hinrichsen,A.J. Pritchard. Stability for structured pertur-
bations and the algebraic Riccati equation. Systems Control
Letters. 8(1986), 105-113.
15. D. Hinrichsen. A. Ilchmann. A.J. Pritchard, Robustness of
stability of time-varving linear svstems. J. DiỊỷerential Equa-
tions. 82(1989). 219-250.
16. D. Hinrichsen. A.J. Pritchard. A note on some differences
betvveen complex and real stability raclii. Systems Control
Letters. 14(1990). 401-408.
17. D. Hinrichsen. A.J. Pritchard. Destabilization by output feed-
back. Dựferential ỉntegraỉ Equations. 5(1992). 2. 357-380.
18. A. Ilchmann. I.M.V. Mareels. Stability radli for slowly tune-
ưaryiny systems. in: Advances in mathematical svstem the-
orv, Boston. Birkháuser. ‘2001. 55-75.
19. B. Jacob. A íormula for the stability radius of time-varying
systems. -J. Differential Equations. 142(1998). 107-187.
20. G.A Kurina. Singular perturbations of control problems \vith
equation of State not solved for the derivative (A survev). J.
Computer System Sciences Int 31(1993). 17-45.
21. R. Lamour. R. Mărz. R. v\’inkler. Ho\v Floquet tlieory applies
to index-1 clifferential algebraic equations. ./. Math. Annl.
Appi. 217(1998). 371-394.
24