ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Hoàng Thị Hồng Minh
PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG
MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG
VÀO TOÁN TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊNH
Hà Nội - 2012
Mục lục
Lời nói đầu 1
Lời cảm ơn 2
1 Cơ sở lý thuyết 4
1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô" . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo . . . . 5
1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Biến điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Mẫu phân tầng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Mẫu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu nhiên . 25
1.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

tài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính.
Tên gọi "phương pháp Monte Carlo" xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm
1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máy
tính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưng
thực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977.
Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượng
xác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng để
tính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất.
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành công
nghiệp tài chính và bảo hiểm. Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toán
tài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp. Do đó, tác giả đã
chọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cách
cải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫu
nhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính.
Bố cục luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định
lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi
1
MỤC LỤC
chung là phương pháp giảm phương sai. Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản
về quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển động
Brown. Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên
bằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama.
Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chính
Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá
cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes. Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thị
trường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ : độ biến động giá
của cổ phiếu).
Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua,

từ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số. Nói cách khác, phương pháp Monte
Carlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệm
lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên.
Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bình
cộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùng
phân phối.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyết
xác suất, đó là Luật mạnh số lớn.
1.1.1 Luật mạnh số lớn
Định lí 1.1.1. Giả sử (X
n
)
n∈N
là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng
phân phối và được xác định trên một không gian xác suất (Ω,,P).
Đặt :
µ = E(X
1
)
Khi đó, với mọi ω ∈Ω:
1
n
n
∑
i=1
X
i
(ω)
n→∞
−−−→ µ,P −h.c.c

n
n
∑
i=1
X
i
,n ∈ N
là một ước lượng không chệch với µ = E(X), hay một cách tương đương ta có:
E(X
n
) = µ
(Xem chứng minh trong [13])
Định lí 1.1.4. (Định lí giới hạn trung tâm)
Giả sử (X
n
)
n∈N
là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với
X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω,,P).
Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ
2
= Var(X).
Khi đó:
∑
n
i=1
X
i
−n.µ
√

Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên [0,1]
2
. Khi đó ta có:
P(P
i
∈ C ) =
π
4
Suy ra , xác suất của C bằng diện tích của phần giao đó.
Do hàm chỉ tiêu 1
P
i
thỏa mãn :
E(1
P
i
) = P(P
i
∈ C ) =
π
4
Vì vậy chúng ta có thể ước lượng π bằng cách tính trung bình cộng của các P
i
tương ứng để
thu được ước lượng Monte Carlo:
ˆ
π(ω) =
4
n
.

π
up
3.203 3.1598 3.15183
Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π)
Ví dụ 2. (Ước lượng xác suất của một biến cố)
Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng của
phương pháp Monte Carlo.
Giả sử A là một biến cố nào đó. Ước lượng P(A)?
Xét :
1
A
(ω) =





1 nếu ω ∈ A
0 nếu ω /∈ A
6
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Suy ra E(1
A
) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối của
số lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập. Một cách hình thức, giả sử A
i
là số
lần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A)
như sau:
r

(A) −
1.96
√
n
.
ˆ
σ
n
,r
f
n
(A) +
1.96
√
n
.
ˆ
σ
n
]
Ví dụ 3. (Tích phân Monte Carlo)
Một ứng dụng rất đơn giản nhưng hiệu quả của Monte Carlo là tính gần đúng các giá
trị của các tích phân tất định có dạng:

[0,1]
d
g(x)dx
(g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.)
Hàm mật độ f (x) của phân bố đều d chiều trên [0,1]
d

.
n
∑
i=1
g(X
i
(ω))
Cụ thể, ta áp dụng mô phỏng Monte Carlo để tính tích phân I =
1

0
cos(x
2
).sin(x
4
)dx.
Tích phân này không tính được theo một công thức thông thường.
Trước hết, ta có nhận xét:
• Với một biến ngẫu nhiên X, với một hàm mật độ f (x) và ϕ là một hàm Borel thì biến
ngẫu nhiên Y = ϕ(X) có kỳ vọng là:
E(Y ) =
∞

−∞
f (x).ϕ(x) dx.
7
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
• Mặt khác, với một biến ngẫu nhiên V phân phối đều trên [0,1], ta biết rằng hàm mật độ
của nó là:
f

cos(x
2
).sin(x
4
)dx = E[cos(V
2
).sin(V
4
)], ta có thuật toán để tính I
như sau:
(1). Chọn một số nguyên dương n khá lớn;
(2). Mô phỏng V,U ∼U[0,1];V,U độc lập;
(3). Đặt T
i
= cos(V
2
i
).sin(U
4
i
), với i = 1,2,3, ,n;
(4). Ước lượng I bởi
ˆ
θ
n
=
1
n
.
∑

√
n
10
3
0.145294 0.130071 0.160518
10
4
0.138850 0.134105 0.143595
10
5
0.139484 0.137974 0.140993
1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo
Nhược điểm chính của phương pháp mô phỏng Monte Carlo là tốc độ hội tụ của nó.
Trong xác suất, điều này chỉ được khắc phục khi độ lệch chuẩn giảm thì số lần mô phỏng sẽ
giảm. Do đó, nếu có thể thay đổi tốc độ hội tụ của phương sai thì có thể tăng tốc độ tính toán
điện tử, theo nghĩa rằng đạt được độ chính xác, đòi hỏi số ít lần chạy mô phỏng. Mọi sự cải
tiến của phương pháp Monte Carlo "thô" được gọi là phương pháp giảm phương sai . Trong
mục này tôi xin giới thiệu một số phương pháp giảm phương sai phổ biến.
8
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc
Phương pháp sử dụng các biến ngẫu nhiên xung khắc là phương pháp giảm phương sai
dễ dàng nhất. Nguyên lý cơ bản là giảm phương sai bằng cách lấy đối xứng. Giả sử chúng
ta muốn tính E( f (X)) với X là một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0, 1]. Khi đó ước
lượng Monte Carlo "thô" sẽ là:
f (X ) =
1
n
.
n

∑
i=1
f (1 −X
i
)) (1.1)
Chú ý rằng khi cả X và 1 −X có cùng phân bố, thì cả hai tổng ở vế phải của đẳng thức
(1.1) đều là ước lượng không chệch của E( f (X)). Do đó ước lượng xung khắc cũng là không
chệch. Đặt σ
2
= Var( f (X)). Khi đó phương sai của ước lượng xung khắc được cho bởi:
Var(f
anti
(X)) =
σ
2
2n
+
1
2n
Cov( f (X), f (1 −X))
Mệnh đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Chebyschev.)
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. Giả sử f ,g là các hàm không giảm với
Cov( f (X),g(X)) hữu hạn. Khi đó ta có:
E( f (X)g(X)) ≥ E( f (X))E(g(X))
Bằng việc chọn g(x) = −f (1 −x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đề
trên:
Mệnh đề 1.2.2. (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều).
Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên [0,1] với
Cov( f (X), f (1 −X)) hữu hạn. Khi đó ta có:
Cov( f (X), f (1 −X)) ≤ 0

,Y
i
là các thành phần độc lập của X,Y . Từ biểu thức liên hệ:
Var(X
Y
) =
1
n
.Var(X −Y ) =
1
n
(Var(X) + Var(Y ) −2Cov(X,Y ))
ta thu được sự giảm phương sai của trong ước lượng biến kiểm soát Monte Carlo so với ước
lượng Monte Carlo "thô" như sau:
Do
Var(X) ≥Var(X −Y )
nên độ chênh lệch về phương sai của hai phương pháp ước lượng là:
2Cov(X,Y ) −Var(Y )
Những ứng dụng mở rộng của phương pháp biến điều khiển.
1. Tối ưu hóa biến điều khiển:
Nếu ta tìm thấy biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn yêu cầu thì aY cũng được sử dụng như một
biến điều khiển với a > 0. Do tính chất tuyến tính của kỳ vọng, ước lượng biến điều khiển
mới cũng không chệch. Vì vậy việc sử dụng biến điểu khiển Y đạt được thông qua số nhân
a
∗
nhỏ nhất:
g(a) = Var(X −aY) = Var(X) + a
2
.Var(Y)−2aCov(X,Y )
= σ

2
Y
10
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
kết hợp với:
σ
XY
= ρ
X,Y
.σ
X
.σ
Y
Ta có sự giảm phương sai tối đa như sau:
2a
∗
Cov(X,Y ) −(a
∗
)
2
.Var(Y)
Var(X)
= ρ
2
X,Y
2. Điều khiển bội
Theo cách xây dựng ước lượng biến điều khiển, ta có thể lấy thêm một biến điều khiển
khác, gọi là Z, như sau:
X
Y,Z

Không dễ dàng để tìm được một biến điều khiển tốt. Giả sử có ước lượng :
µ = E( f (X))
và có khai triển xấp xỉ Taylor đến bậc k như sau:
f
k
(x) =
n
∑
i=1
f
( j)
(x
0
)
j!
(x −x
0
)
j
Vấn đề đặt ra là, liệu có thể xác định được giá trị x
0
như trên để có thể giảm phương sai
một cách nhiều nhất khi sử dụng f
k
(X) như là hàm biến thiên đồng thời. Tất nhiên điều này
phụ thuộc nhiều vào việc tính toán tất cả các giá trị của X cho đến bậc k và đặc biệt là tính
tất cả các phương sai: Cov(X
j
, f (X)) .
11

0
=
1
2
.
(Xem hình 1.1)
Hình 1.1:
4. Biến điều khiển trung bình không điều kiện
Phương pháp sử dụng biến ngẫu nhiên điều khiển không điều kiện là xấp xỉ kỳ vọng của
các hàm nhiều chiều:
E(g(X)) = E(g(X
(1)
, ,X
(d)
))
với d đơn biến điều khiển.
Y
UM
j
(X) = g(µ
1
, ,µ
i−1
,X
(i)
, µ
i+1
, ,µ
d
), j = 1, ,d

j=1
E(Y
UM
j
(X))
12
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Ví dụ 5.
Ta xem xét một ví dụ đơn giản như sau:
Giả sử có biến ngẫu nhiên X = (X
(1)
,X
(2)
,X
(3)
) có phân bố chuẩn nhiều chiều
X ∼N










1
1
1

(3)
)
Suy ra, biến điều khiển đơn giản là các thành phần X
(i)
. Khi đó ước lượng của biến ngẫu
nhiên trung bình không điều kiện được cho như sau:
X
UMC
n
=
1
n
n
∑
i=1
(X
(1)
i
.X
(2)
i
.X
(3)
i
−X
(1)
i
−X
(2)
i

∑
i=1
E(X|Y = y
i
).P(Y = y
i
)
Nếu tất cả các xác suất p
i
= P(Y = y
i
) đều đã biết thì ta chỉ cần mô phỏng d kỳ vọng khác
nhau với phương pháp Monte Carlo "thô" phù hợp. Để chứng minh rằng điều này dẫn đến sự
13
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
giảm phương sai, với i = 1, ,d ta định nghĩa:
X
i,n
i
=
1
n
i
n
i
∑
j=1
X
(i)
j

+ + n
d
.
Nhận xét thấy rằng ước lượng Monte Carlo phân tầng là ước lượng không chệch của µ. Thậm
chí, ta có thể thấy rằng ước lượng phân tầng có phương sai nhỏ hơn so với ước lượng Monte
Carlo "thô", thật vậy :(chú ý rằng các X
i,n
i
,i = 1, ,d độc lập (có điều kiện))
Var

X
strart,n

= Var

d
∑
i=1
p
i
.X
i,n
i

=
d
∑
i=1
p

) =
d
∑
i=1
p
i
σ
2
i
,
σ
2
= Var(X) = E(Var(X|Y )) + Var(E(X|Y )) ≥ E(Var(X|Y ))
Nếu E(X|Y ) khác hằng số h.c.c, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.4. (Giảm phương sai với các trọng số được lựa chọn tốt)
(a) Với các kí hiệu n
1
, ,n
d
tồn tại ở trên thì phương sai của ước lượng Monte Carlo phân
tầng nhỏ hơn so với ước lượng Monte Carlo "thô" của µ.
(b) Giả sử rằng tất cả các giá trị của n
p
i
đều là số nguyên. Khi đó, với sự lựa chọn tỉ lệ
phân tầng n
i
= n
p
i

có điều kiện được tính như sau:
• Lấy mẫu Y n lần để được các giá trị Y
1
, ,Y
n
,
• Tính E(X|Y
i
)
• Đặt:
X
cond,n
=
1
n
n
∑
i=1
E(X|Y
i
)
Nhận xét thấy rằng X
cond,n
là ước lượng không chệch. Ta có:
σ
2
= Var(X) = E(Var(X|Y )) + Var(E(X|Y )) ≥
≥ Var(E(X|Y )) =: σ
2
cond

có phân phối đều trên U[0,1]
d
để có ước lượng Monte Carlo thô:
I
N
(ω) =
1
N
N
∑
i=1
g(X
i
(ω))
15
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Cụ thể ta xét trường hợp: d = 1,g(x) = x.(1 −x) là một hàm không âm, đối xứng trên
đoạn [0, 1], g(1) = g(0) = 0, max
[0,1]
g(x) = g(
1
2
) =
1
4
. Bây giờ thay vì dùng phân phối đều trên
đoạn [0,1], thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X, tức là nó có mật độ xác
suất :
˜
f (x) =

x.(1 −x)dx =
1

0
x.(1 −x)
˜
f (x)
˜
f (x) dx
Điều này có nghĩa rằng khi chúng ta sử dụng phân phối mới, chúng ta có mẫu
X(1−X)

f (X)
để có
được ước lượng Monte Carlo mới:
I
imp
=
1
N
N
∑
i=1
X
i
(1 −X
i
)
˜
f (X

1
6
Nhận xét thấy rằng, việc sử dụng phương pháp lấy mẫu chính cho ta kết quả chính xác
hơn. Mặt khác, với phương pháp mới này, phương sai cũng nhỏ hơn so với phương pháp cũ
(Var(I
crude
) ≥ Var(I
imp
)). Như vậy, phương sai của ước lượng Monte Carlo bằng việc sử
dụng phương pháp lấy mẫu chính đã được giảm ít hơn 1/6 so với phương sai của ước lượng
Monte Carlo thô.
Bây giờ ta sẽ áp dụng phương pháp lấy mẫu chính để tính kỳ vọng trong trường hợp tổng
quát:
E(g(X)) =

g(x) f (x) dx
Trong đó, biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R
d
có hàm mật độ là f (x), và giả sử rằng kỳ
vọng của hàm g : R
d
→ R tồn tại.
Mọi hàm mật độ
˜
f (x) trên R
d
thỏa mãn:
˜
f (x) > 0, (∀x : f (x) > 0) (1.5)
17

˜
P.
Hàm có trọng số
f (X)
˜
f (X)
được gọi là hàm tỷ số hợp lý của sự thay đổi từ độ đo xác suất P sang
˜
P.
Ước lượng mẫu chính của µ = E(g(X)) được định nghĩa như sau:
I
imp,
˜
f ,N
(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
˜g(X
i
) =
1
N
N
∑
i=1
g(X
i

˜
Var(˜g(X)) =
1
N

˜
E

˜g(X)
2

−µ
2

=
1
N



g(x)
2
f (x)
˜
f (x)
f (x) dx −µ
2


(1.7)

imp,
˜
f ,N
là độ lệch tiêu chuẩn mẫu của ước lượng mẫu chính.
Nếu g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R
d
, ta chọn:
˜
f (x) = c. f (x ).g(x ) =
f (x).g(x )

f (y).g(y) dy
thì
˜
f là hàm mật độ trên R
d
và ta có ˜g(X) =
1
c
, tức là:
˜
Var

I
imp,
˜
f ,N
(g(X))

= 0

là ước lượng Monte Carlo của E(g(X)). Hơn nữa, mọi hàm
˜
f thỏa mãn tính chất
(1.5) ta có:
Var

I(g(X))
N

−
˜
Var

I
imp,
˜
f ,N
(g(X))

=
=
1
N



g(x)
2

1 −

(x)
=
1
2
d/2
|det(
∑
)|
.exp

−
1
2
(x −ν)

∑
−1
(x −ν)

Nhận xét rằng f (x) đạt giá trị lớn nhất tại ν, do đó ta chọn:
c = ν
∗
−ν
với:
ν
∗
= arg max
x
{g(x) f (x)}
Ví dụ 6. (Tính toán chi phí cho các sự kiện tiêu cực có phân phối chuẩn)


Do đó, ta lấy:
˜
f (x) = ϕ
0,1
(x −10) =
1
√
2π
exp

−
(x −10)
2
2

khi đó có được ước lượng mẫu chính:
I
imp,
˜
f ,N
(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
C.X
i
.1

Ý tưởng là thay thế f (x) bởi
˜
f (x) =
1
c
f

x
c

với c > 0 ta có:
˜g(x) = c
f (x)
f

x
c

g(x)
(Nhận xét rằng, nếu chọn một giá trị lớn của c 1 thì phương sai của phân phối ứng với hàm
mật độ
˜
f bằng phương sai tương ứng với hàm mật độ f ban đầu nhân với c
2
).
Ví dụ 7. (Với các giả thiết như trong ví dụ 6)
Chọn tham số c sao cho xác suất có nghĩa trong khoảng [10,∞) khi mô phỏng các số
ngẫu nhiên theo hàm mật độ chuyển đổi
˜
f . Đối với biến ngẫu nhiên X

f (x) > 0, ∀x thỏa mãn g(x) f (x) = 0 (1.8)
Khi đó xét trên một khoảng [a,b] (ở đây có thể a = −∞, b = +∞), ta có:
f
{X|X∈[a,b]}
(x) =
f (x)
P(X ∈[a,b])
Nếu ta chọn mật độ có điều kiện là mật độ của mẫu chính thì sẽ có một hàm tỷ số hợp lý:
f (x)
˜
f (x)
= P(X ∈ [a,b])
Điều này cũng giúp ta tính ước lượng của mẫu chính dễ dàng hơn, ta cũng có:
I
imp,
˜
f ,N
(g(X)) =
1
N
N
∑
i=1
˜g(X
i
) =
1
N
P(X ∈[a,b])
N

f (X
i
)
˜
f
cond
(X
i
)
với
˜
f
cond
(x) là mật độ thu được bằng cách dịch chuyển có điều kiện mật độ
˜
f (x).
21
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Ví dụ 8.
Với các giả thiết cho trong ví dụ 6, một điều kiện thuần để dẫn đến ước lượng của mẫu
chính:
I
imp,
˜
f ,N
(g(X)) =
1
N
P (X ∈[10,∞))
N

)
trong đó X
i
là mẫu được lấy từ phân bố có điều kiện.
Kết quả của việc thực hiện kết hợp các phương pháp là kết quả chính xác nhất được minh
họa trong bảng so sánh dưới đây, trong đó giá trị đúng là 7695.10
−14
:
Phương pháp Ước lượng Cận dưới Cận trên
Monte Carlo thô 0 0 0
Dịch chuyển trung bình 7528.10
−14
7029.10
−14
8030.10
−14
Định tỷ lệ 8259.10
−14
5956.10
−14
1056.10
−13
Kết hợp điều kiện 7621.10
−14
7380.10
−14
8611.10
−13
Bảng 1.4 (Các phương pháp mẫu chính khác nhau với khoảng tin cậy 95% )
Hình 1.4: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ dịch chuyển mẫu chính