1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHÙNG THỊ HOÀNG NGHĨA

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2012

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC


5

1.2
Hàm số mũ ………………………………………………………….
6

1.3
Hàm số logarit ……………………………………………………
7

1.4
Định lý Lagrange …………………………………………………
8
2
Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit
10

2.1
Tính giá trị biểu thức ……………………………………………….
10

2.2
Chứng minh đẳng thức ……………………………………………
14

2.3
Chứng minh bất đẳng thức …………………………………………
17
3
Phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và logarit

Phương pháp so sánh ………………………………….…….
74 3.1.6
Phương pháp sử dụng đạo hàm ……………………………
75

3.2
Bài tập áp dụng ……………………………………………………
86 3.2.1
Giải phương trình, bất phương trình ………………………
86

4 3.2.2
Giải và biện luận phương trình, bất phương trình …………
94 3.2.3
Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện cho trước ….
99

Kết luận

 Chương 1. Một số kiến thức cơ bản
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, hàm ngược, hàm số mũ và
hàm số logarit và định lý Lagrange, định lý Rolle
 Chương 2 . Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit
Chương này tác giả trình bày một số bài tập liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức
mũ và logarit : rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
 Chương 3. Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Trong chương này, tác giả nêu được một số phương pháp cơ bản giải phương trình,
bất phương trình mũ và logarit như : phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp đặt
ẩn phụ, phương pháp đưa về phương trình, bất phương trình tích, phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số, phương pháp so sánh và phương pháp sử dụng đạo hàm kèm
theo một số bài tập minh họa. Cuối chương là bài tập áp dụng các phương pháp đã nêu. 6
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn
Thành Văn. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong suốt thời gian xây
dựng đề tài cho đến khi hoàn thành luận văn.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Cơ – Tin học, Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên –
Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập tại
trường.

Tác giả xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên
và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên bản
luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được các thầy cô
giáo và các bạn góp ý xây dựng.

, kí hiệu là
( )
fx
.
Phần tử
xDÎ
bất kỳ gọi là biến số độc lập (hay biến số, hay đối số).
Số thực
y
tương ứng với biến số
x
gọi là giá trị của hàm số
f
tại
x
.
D
gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số
f
.
Tập
( ) ( )
{ }
|:f D y x D y f x= Î $ Î =¡
gọi là tập giá trị của hàm số
f
.
Kí hiệu
K
là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số

K
được gọi là hàm số đơn điệu trên
K
.
Định nghĩa 1.3. Cho hàm số
:fD® ¡
với tập giá trị
( ) ( )
{ }
| : :f D y x D y f x Y= Î $ Î = =¡
.
Nếu với mọi giá trị
yYÎ
, có một và chỉ một
xDÎ
sao cho
( )
f x y=
, tức là phương
trình
( )
f x y=
với ẩn
x
có nghiệm duy nhất
xDÎ
thì bằng cách đặt tương ứng với
mỗi
yYÎ
phần tử duy nhất

Hàm số mũ có tập xác định là
¡
, tập giá trị là
( )
0; +¥
.
Tính chất của hàm số mũ
 Với
1a >
, hàm số
x
ya=
là hàm đồng biến và
lim , lim 0
xx
xx
aa
® + ¥ ® - ¥
= + ¥ =
.
 Với
1a <
, hàm số
x
ya=
là hàm nghịch biến và
lim 0, lim
xx
xx
aa

.
x
xx
ab a b=9

x
x
x
aa
b
b
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø

( )
2
1 1 2
.


và được ký hiệu là
log
a
yx=
.
Hàm số logarit
log
a
yx=
có tập xác định là
( )
0; +¥
, tập giá trị là
¡
.
Tính chất của hàm số logarit
 Với
1a >
, hàm số
log
a
yx=
là hàm đồng biến và
0
lim log , lim log
aa
x
x
xx

a =
.

log
,0
a
x
a x x= " >
và
log ,
x
a
a x x= " Î ¡
.

log log log , ,
a a a
xy x y x y= + "
thỏa mãn
0xy >
.

log log log , ,
a a a
x
x y x y
y
= - "
thỏa mãn
0xy >

a
a
a
= " ¹ " >
.
Đặc biệt : Nếu
1a =-
thì ta có
1
1
log log log
aa
a
xx
x
= - =
.
Các hàm số logarit với cơ số đặc biệt
 Nếu
10a =
thì quy ước không cần viết cơ số :
10
log logxx=
hoặc
lgx
.
 Nếu
ae=
thì hàm logarit được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe và được kí
hiệu

log
a
yx=
có đạo hàm tại mọi
x
*
+
Î ¡
và
( )
1
log '
ln
a
x
xa
=
.
Đối với hàm hợp
( )
log
a
y u x=
, ta có
( )
( )
( )
( )
'
log '

'
f b f a
fc
ba
-
=
-
.
Đặc biệt khi
( ) ( )
f a f b=
thì ta có định lý sau
11
Định lý Rolle
Nếu hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
;ab
éù
êú
ëû
, có đạo hàm trên khoảng
( )
;ab
và
( ) ( )

các bài toán sau là có nghĩa.
Bài toán 2.1. Rút gọn các biểu thức sau
a.
2
4
1
1
2
1
1
3 log 2
2 log
81
x
x
Ax
+
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
ç
÷

==
,
2
2
12
2log
log 2 log 2
x
x
x==
.
Suy ra
( )
( )
2
1
1
log 2 2log
2
2
2
. 2 1 2 1 1
x
x
A x x x x x= + + = + + = +
(do
0x >
).

13

1 1 1
1 log 1 log 1 log 1 log
2 2 2
a b a b a b a b
B a b a b a b a b
+ - + -
ộ ự ộ ự ộ ựộ ự
= + - + + + - + - + +
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳờ ỳ
ở ỷ ở ỷ ở ỷở ỷ

( ) ( ) ( ) ( )
11
1 log log 2 log log
22
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ - + -
ộ ự ộ ự
= + - + + - + - + +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ0=
.
c. Ta cú
( )
2
4 4 2 2

x
fx
-
-
=+
. Tớnh
50
2
1
sin
100
k
k
Sf
p
=
ổử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ồ
.
Gii

+
++
+ = + = =
+ + + + +
.
Ta cú
( ) ( )
50 50
sin cos
100 100 2 100 100
kk
kk
pp
p p p

+ = ị =
.

14
Suy ra
( )
2 2 2 2
50
sin sin sin cos 1
100 100 100 100
k
k k k
p
p p p
-

ç
÷
ç
÷
èø
÷
ç
èø
.
Do đó
50
2 2 2
1
25 50
sin 24 sin sin
100 100 100
k
k
S f f f
p p p
=
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= = + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷

1ab+=
.
2. Hàm số có dạng
( )
( )
1
12
1
x
f x C
-
-
=+
với
C
là hằng số,
01C<¹
đều thỏa mãn
( ) ( )
1f a f b+=
với
1ab+=
.
Bài toán 2.3. Cho
6 12
log 10 ,log 45ab==
. Hãy tính
30
log 54
theo

+

( )
3
2
30 2.3.5
22
1 3log 3
log 54 log 2.3
1 log 3 log 5
+
==
++15
Bước 2. Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn, ta thu được hệ
phương trình để tính các ẩn đó.
Đặt
22
log 5, log 3xy==
. Khi đó
( )
1
1
1
2
22
2
x

ï
+
ï
î

( )
21
2 2 1
2
ba
a b y b a y
ab
-+
Þ + - = - + Û =
+-
.
Suy ra
2 1 2 2
1 . 1
22
b a a ab b
x ay a a a
a b a b
- + + + -
= + - = + - =
+ - + -
.
Do đó
30
21

2
.ln
2
n
n
k
k
kk
S
+
=
=
å

( )
,2nnγ¥
.
Giải
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức :
ln 1, 0t t t£ - " >
(1)
Xét hàm số
( )
ln 1, 0f t t t t= - + >
ta có
( )
11
'1
t
ft


+ 0 -
( )
ft

0

16
Suy ra
( ) ( )
1 0, 0f t f t£ = " >
hay
ln 1, 0t t t£ - " >
.
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được
( )
2
21
22
1
22
nn
k
nn
kk
kk
kk
C
ST
++

åå
.
Suy ra
22
2 2 1
11
1
1 1 1 1
22
11
2
44
2 2 2 2
nn
kk
n n k
n n n
n k n k
kk
CC
C C C
T T T

+
+ + + +
==
-
= - = - + = - +
åå
.

kk
k
n
k k k
k k k
CC
C
U
- - -
++
++
= = =
Þ = = = +
å å å

11
1 1 1
22
1
1 1 1
1 1 1
22
1 1 1 3 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2
nn
kk
n n n
n
n k n k n n

Kết luận :
0, , 2
n
S n n
éù
= " Î ³
êú
ëû
¥
.

2.2. Chứng minh đẳng thức

Khi chứng minh đẳng thức có chứa mũ và logarit ta cần chú ý định nghĩa và áp dụng
các tính chất của hàm số mũ và logarit một cách thích hợp. Trước hết ta xét bài toán
đơn giản mà kết quả của nó cũng thường được sử dụng trong các bài giải phương trình,
bất phương trình.
Bài toán 2.5. Cho
,0ac>
và
01b<¹
. Chứng minh rằng
log log
bb
ca
ac=
(1)
Giải
Cách 1. Nếu
1a =

Giải
Ta có
22
12
22
log 18 1 2log 3
log 18
log 12 2 log 3
a
+
= = =
+

2
21
log 3
2
a
a
-
Þ=
-
(1)

22
24
22
log 54 1 3log 3
log 54
log 24 3 log 3


= Û + - =

.
Bài toán 2.7. Cho
11
1 log 1 log
10 , 10
ab
bg

==
. Chứng minh rằng
1
1 log
10
g
a
-
=
.
Giải
Ta có
1
1 log
1
10 log
1 log
a
bb

-
-
= = = - Þ = Û =

-
-
. 18

Bi toỏn 2.8. Chng minh rng
log log log log log log log log log log
a b b c c a a b c A
A A A A A A A A A abc+ + =
.
Gii
Ta cú
( )
log log log log log log log
a b b c b a c
A A A A A A A+ = +
11
log
log log
b
AA
A
ac
ổử

A A A A A A A A A ac A A+ + = +

( ) ( )
log log log log 1 log log log log
a c b A a c b b
A A A ac A A ac b
ộ ự ộ ự
= + = +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ

( ) ( )
log log log log log log log
a c b a b c A
A A abc A A A abc==
.
Bi toỏn 2.9. Cho ba s dng
,,a b c
ụi mt khỏc nhau.
a. So sỏnh
2
log
a
b
c
v
2
log
a
c

b. p dng cõu a, ta cú
22
log log
aa
bb
cb
bc
=
,
22
log log
bb
cc
ac
ca
=
,
22
log log
cc
aa
ba
ab
=
.

19
Mà
2
2 2 2 2 2 2

log log log
x y z x y z x y z x y z
x y z
+ - + - + -
==
.
Chứng minh rằng
y x y z z x
x y z y x z==
(1)
Giải
Ta có
(1) log log log log log logy x x y y z z y z x x zÛ + = + = +
(2)
Đặt
( ) ( ) ( )
1
log log log
x y z x y z x y z x y z
t x y z
+ - + - + -
= = =
.
Khi đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1
log log log log
x y z x y z x y xy y z x yx z x y
t x y y x x y
+ - + - + - + -

111
222
log sin 70 log sin 50 log sin10 1° ° ° <
.
Giải
Ta có
11
sin 70 sin 50 sin10 sin 30
48
° ° ° = ° =
.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương khác nhau ta được
111
222
3
111
222
log sin 70 log sin 50 log sin10
log sin 70 log sin 50 log sin10
3
° + ° + °
° ° ° <( )
1
2
log sin 70 sin 50 sin10
1
3

2 . 2.3
5 4 5 4
x x x
x
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ ³ =
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
.
Tương tự
15 20
2.5
43
xx
x
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
+³
çç
÷÷
çç

ççç
÷ ÷ ÷
+ + ³ + + " Î
ççç
÷ ÷ ÷
ççç
÷ ÷ ÷
ççç
è ø è ø è ø
¡
.

21
ng thc xy ra khi v ch khi
12 15 20
0
5 4 3
x x x
x
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗỗỗ
ữ ữ ữ
= = =
ỗỗỗ
ữ ữ ữ
ỗỗỗ
ữ ữ ữ
ỗỗỗ
ố ứ ố ứ ố ứ

l nhng s thc dng. Chng minh rng
( ) ( )
11
log 1 log 1 4
ab
a b ab a b ab
++
+ + + + + + +
.
Gii
Ta cú
( ) ( )( ) ( )
1 1 1
log 1 log 1 1 1 log 1
a a a
a b ab a b b
+ + +
ộự
+ + + = + + = + +
ờỳ
ởỷ( ) ( )( ) ( )
1 1 1
log 1 log 1 1 1 log 1
b b b
a b ab a b a
+ + +
ộự

= + + + +

ng thc xy ra khi v ch khi
ab=
.

Ngoi vic s dng cỏc bt ng thc quen thuc ó bit, khi chng minh bt ng
thc m v logarit ta cng cn chỳ ý s dng tớnh cht n iu ca hm s m v
logarit.
22
Bài toán 2.15.
a. Chứng minh với
,1ab>
thì với mọi
0c ³
ta có
log log
a a c
bb
+
³
và dấu đẳng thức
xảy ra khi
0c =
.
b. Chứng minh với
1ba³>

log
log
b
b
a
ac
£
+
hay
log log
a a c
bb
+
³
.
b. Ta có
( )
log log ( ) log 1 log 1
a a c a a c
b b c b b c
++
³ + Û - ³ + -log log
a a c
b b c
a a c
+
+

hoặc
ab=
.

Áp dụng kết quả của bài toán 2.15 ta giải được các bài toán sau :
Bài toán 2.16. Cho
1a >
. Chứng minh rằng
( ) ( )
1
log 1 log 2
aa
aa
+
+ > +
.
Giải
Cách 1. Áp dụng bài toán với
1a >
và
1 , 1 0b a a c= + > = >
với chú ý rằng ở đây
đẳng thức không xảy ra ta có ngay điều phải chứng minh.
Ngoài ra bài toán này ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM

23
Cách 2.
Do
1a >
nên

êú
= + £
êú
+
êú
ëû( )
( )
2
2
2
1
1
log 2
log 1
1
22
a
a
aa
a
+
+
éù
éù
éù
+
+

f x x=+
với
1x >
ta có
( )
( )
( )
( )
2
11
ln ln 1
ln 1
1
' 0, 1
ln
ln
xx
x
xx
f x f x x
x
x
-+
+
+
= Þ = < " >

( )
fxÞ
nghịch biến trên

98
log 29 log 28Û<
.
Áp dụng bài toán 2.15.b với
8, 28, 1a b c= = =
ta có điều phải chứng minh.

24
b. Áp dụng bài toán 2.15.b ta có

6 7 8 6
log 7 log 8 log 9 3log 7+ + <
(1)
Mặt khác ta có
11 5 5 5 5 5 5 3 2 5 10
6 6.36 6.35 6.5 .7 18000.7 350.50.7 7 .7 .7 7= > = > > > =6
log 7 1,1Þ<
(2)
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bài toán 2.18. Cho
, , 1a b c >
thỏa mãn
( )( )( ) ( )
3
2
a b b c c a a b c+ + + = + +
.

+
Þ < =
+ + +
+( )
1
log
log
a b c
ac
a b c
ac
a b c
a b c
++
+
++
+
<=
++
++

( )
log 1 log 1
a b a b c
a a c
+ + +
Þ - < + -
( )( )( )
log
a b c
a b b c c a
++
éù
= + + +
êú
ëû( )
3
2
3
log
2
a b c
a b c
++
éù
êú
= + + =
êú
êú
ëû
.


log log
b c a b c
b a b
+ + +
<+
,
( )
log log
c a a b c
c b c
+ + +
<+
.
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
( ) ( ) ( )
log log log log log log
a b b c c a a b c a b c a b c
a b c a c a b b c
+ + + + + + + + +
+ + < + + + + +

( )( )( )
log
a b c
a b b c c a
++
éù
= + + +
êú
ëû

³
(1)
Giải
Nhận xét rằng hàm số
lgyx=
đồng biến trên
( )
0; +¥
nên ta lấy logarit với cơ số 10
hai vế của bất đẳng thức (1) ta được bất đẳng thức tương đương
( )( )
1
lg lg lg lg lg lg
3
a a b b c c a b c a b c+ + ³ + + + +

( ) ( )( )
3 lg lg lg lg lg lga a b b c c a b c a b cÛ + + ³ + + + +
(2)
Ta có
( )( )
lg lg 0 lg lg lg lga b a b a a b b a b b a- - ³ Û + ³ +( )( )
lg lg 0 lg lg lg lgb c b c b b c c b c c b- - ³ Û + ³ +( )( )
lg lg 0 lg lg lg lgc a c a c c a a a c c a- - ³ Û + ³ +