ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Hồng Thái
KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ MỘT VÀI LỚP BIẾN
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Hồng Thái
KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ MỘT VÀI LỚP BIẾN
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Phan Viết Thư
Hà Nội - 2012
Mục lục
Lời nói đầu 2
1 Những kết quả thường dùng 4
2 Kỳ vọng và xác suất có điều kiện 8
2.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Các định lý hội tụ tiêu chuẩn đối với kỳ vọng có điều kiện 11
2.1.2 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên khả tích đều có điều kiện 20
2.1.3 Kỳ vọng có điều kiện trên các không gian L
p
. . . . . . . 23
2.2 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Xác suất có điều kiện chính quy . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Phân phối có điều kiện chính quy . . . . . . . . . . . . . . 32

những kết quả quan trọng trong lý thuyết xác suất mà có sử dụng trong luận
văn. Chương 2 là những khái niệm, những kết quả sâu hơn về kỳ vọng có điều
kiện và xác suất có điều kiện. Các chương 3, 4, 5 là mục đích chính của luận văn
đó là sử dụng những khái niệm, kết quả đã được phát triển ở chương 2 để giới
thiệu về hai lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc là quá trình Markov và Martingale.
2
Dù đã cố gắng, nhưng vì kiến thức và khả năng còn nhiều hạn chế nên chắc
chắn luận văn còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến phê
bình, đóng góp và chỉ bảo của các thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè.
Luận văn này được hoàn thành là nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS.
TS Phan Viết Thư. Với thầy em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành. Em xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin đã truyền đạt
cho em những kiến thức quý báu và tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn
này. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp ở trường Sỹ quan lục quân I,
các thành viên trong lớp cao học toán 2009-2011, bạn bè và người thân đã luôn
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 22 tháng 04 năm 2012
Học viên
Nguyễn Hồng Thái
3
Chương 1
Những kết quả thường dùng
Định nghĩa 1.1. Tập Ω = ∅; C là họ những tập con của Ω. Khi đó C được gọi
là
i, một lớp đơn điệu nếu {A
n
, n ≥ 1} ⊂ C, A
n
đơn điệu ⇒ lim
n

chúng. Nếu f : Ω → R là hàm đo được, µ-khả tích. Khi đó

Ω
1
f(w
1
, ·)µ
1
(dw
1
) là µ
2
-đo được,

Ω
2
f(·, w
2
)µ
2
(dw
2
) là µ
1
-đo được.
Hơn nữa

Ω
f(w
1


Ω
1
f(w
1
, w
2
)µ
1
(dw
1
)µ
2
(dw
2
).
(1.1)
(ii) (Torelli)
Nếu trong trường hợp trên µ
1
, µ
2
là σ-hữu hạn và f : Ω → R
+
là đo được
hoặc µ
i
là những độ đo tùy ý nhưng tồn tại một dãy hàm bậc thang µ-khả tích
f
n

Định lý 1.5. (Vitali)
Cho X
1
, X
2
, là một dãy các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất
5
(Ω, Σ, P ) sao cho X
n
→ X h.c.c. Nếu {X
n
, n ≥ 1} là khả tích đều. Khi đó, ta
có
lim
n→∞

Ω
X
n
dP =

Ω
XdP.
Định lý 1.6. Cho {X
t
, t ∈ T } là một tập những biến ngẫu nhiên khả tích trên
không gian xác suất. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
i, {X
t
, t ∈ T } là khả tích đều;

)−→E(X) (khi n → ∞) ⇔ {X
n
, n ≥ 1} khả tích đều.
Định nghĩa 1.8. Cho A
i
1
, , A
i
n
là n biến cố khác nhau, n ≥ 2. Khi đó chúng
được gọi là độc lập tương hỗ nếu
P

m

k=1
A
i
k

=
m

k=1
P (A
i
k
), 2 ≤ m ≤ n. (1.2)
Định nghĩa tương tự về tính độc lập tương hỗ cho lớp các biến cố {A
i

i
, i ∈ I) và A là độc lập với nhau.
(b) Trong Định nghĩa 1.9, với S = R, {i
1
, , i
n
} ⊂ I; X
i
1
, , X
i
n
là những
biến cố. Khi đó {[X
i
1
< x
1
, , X
i
n
< x
n
], x
i
∈ R, i = 1, n, n ≥ 1} là một lớp độc
lập.
Định nghĩa 1.11. Các biến ngẫu nhiên (X
1
, X

(A)
(tức là g
−1
(B) ⊂ f
−1
(A)) khi và chỉ khi tồn tại hàm đo được h : S → R sao
cho g = h ◦f.
7
Chương 2
Kỳ vọng và xác suất có điều
kiện
2.1 Kỳ vọng có điều kiện
Cho (Ω, Σ, P ) là một bộ ba xác suất mô tả một thực nghiệm hoặc hiện tượng
vật lý được toán học hóa.
Nếu một biến cố A đã được quan sát thì xác suất cho các biến cố khác thuộc
Ω được tính như thế nào sau khi kết hợp với đã biết về sự xuất hiện của A? Ta
xét tất cả các biến cố của Ω có quan hệ với A, do đó Σ(A) = {A ∩ B : B ∈ Σ}
là một lớp mới, trên đó ta định nghĩa: P
A
: Σ(A) → R
+
như một xác suất.
Giả sử P (A) > 0, yêu cầu P
A
(A) = 1, ta có
P
A
(C) =
P (C)
P (A)

(X) =

Ω
X(ω)P
A
(dω) =
1
P (A)

A
X(ω)P (dω),
ở đây P là độ đo xác suất trên (Ω, Σ, P ).
Nếu P (A
c
) > 0 thì E
A
c
(X) được định nghĩa tương tự. Do đó, kỳ vọng có
điều kiện cơ sở của X với A, A
c
nói chung xác định một hàm hai giá trị.
Mở rộng suy luận trên với tập hợp đếm được P = {A
n
: n ≥ 1} của các biến
cố sao cho P(A
n
) > 0, n ≥ 1, ∪
n≥1
A
n

đối với phân hoạch đếm được.
Nhận xét 2.1. Công thức (2.1) là không đủ nếu bộ phận của thí nghiệm mà
ta đã biết không thể biểu diễn được dưới dạng một tập đếm được của các điều
kiện. Đồng thới nếu P (A) = 0 thì định nghĩa ở trên không đúng. Điều này gặp
khi nếu Y là một biến ngẫu nhiên liên tục thì P(Y = a) = 0 ∀a ∈ R. Đặt
A
a
= [Y = a] và ta cần định nghĩa E
A
a
(X).
Ta mở rộng (2.1) một cách tự nhiên. Nếu B = σ(P) là σ-đại số cảm sinh bởi
P thì E
P
(X) trong (2.1) là B-đo được. Tích phân (2.1) trên tập A ∈ P ⊂ B,
A = ∪
k∈J
A
k
, J ⊂ N:

A
E
P
(X)dP =
∞

n=1
1
P (A

B
).
P
B
là hạn chế của P trên B ⊂ Σ. Từ đó, (2.2) trở thành
ν
X
(A) =

A
E
B
(X)dP
B
, A ∈ B. (2.3)
Định nghĩa 2.2. Cho (Ω, Σ, P ) là một không gian xác suất, X : Ω → R là một
biến ngẫu nhiên khả tích (hoặc chỉ X
+
hoặc X
−
khả tích), B ⊂ Σ là một σ-đại
số. Khi đó, một hàm E
B
(X) B-đo được thỏa mãn họ phương trình (với mỗi B
cố định ∈ B ta có một phương trình)

B
E
B
(X)dP

: A −→

A
XdP , A ∈ Σ định nghĩa độ đo có dấu và ν
X
<< P
B
.
Vậy tồn tại
dν
X
dP
B
= E
B
(X) h.c.c [P
B
]
và P
B
duy nhất cũng do định lý này.
Chú ý 2.3. Nếu X không khả tích (tức là E(X
+
) = ∞ nhưng E(X
−
) < ∞
hoặc ngược lại) thì
dν
X
dP

B
(1) = 1.
ii, E
B
(aX + bY ) = aE
B
(X) + bE
B
(Y ).
iii, E
B
(XE
B
(Y )) = E
B
(X) ·E
B
(Y ).
iv, |E
B
(X)| ≤ E
B
|X|, do đó ||E
B
(X)||
1
≤ ||X||
1
.
v, Nếu B

với mọi σ-đại số B
1
⊂ Ω ta có
E(E
B
1
(X)) = E(X), với mọi X ∈ L
1
(P ).
vii, Nếu X độc lập với B thì E
B
(X) = EX h.c.c.
viii, Nếu Y là B-đo được, E|Y | < ∞; E|XY | < ∞ thì E
B
(XY ) = Y E
B
(X)
h.c.c.
Nhận xét 2.5. Vì

Ω
E
B
(|X|)dP
B
=

Ω
|X|dP nên E
B

) ≤ lim inf
n
E
B
(X
n
) h.c.c.
iii, Hội tụ làm trội: |X
n
| ≤ Y , E(Y ) < ∞, X
n
→ X h.c.c. Khi đó
E
B
(X
n
) → E
B
(X) h.c.c
và hội tụ trong L
1
(P ). Nếu X
n
P
→ X thì E
B
(X
n
) → E
B

(X). (Sự hội tụ này không nhất thiết là h.c.c cho nên
định lý hội tụ Vitali đầy đủ không đúng cho dãy kỳ vọng có điều kiện).
Chứng minh. i, Ta có E
B
(X
n
) ≤ E
B
(X
n+1
) và tồn tại lim E
B
(X
n
) là B-đo
được. Do vậy với mọi A ∈ B:

A
lim
n
E
B
(X
n
)dP
B
= lim
n

A

.
Vậy lim
n
E
B
(X
n
) = E
B
(X) h.c.c.
ii, Cho Y
n
= inf{Y
k
: k ≥ n} ⇒ 0 ≤ Y
n
↑ Y = lim inf
n
X
n
. Vậy do (i) ta có,
vì Y
n
≤ X
n
E
B
(lim
n
inf X

n
) ≥ lim sup
n
E
B
(X
n
) h.c.c.
iii, Vì −Y ≤ X
n
≤ Y h.c.c, n ≥ 1 áp dụng ii, với X
n
+ Y ≥ 0 và X
n
≤ Y :
lim
n
inf(X
n
+ Y ) = lim
n
inf X
n
+ Y = X + Y = lim
n
sup(X
n
+ Y ).
Ta có
E

B
(X
n
+ Y )
≤ E
B
(lim
n
sup(X
n
+ Y )) (vì X
n
+ Y ≤ 2Y h.c.c)
= E
B
(X + Y ) = E
B
(X) + E
B
(Y ) h.c.c.
Bỏ qua biến ngẫu nhiên hữu hạn E
B
(Y ), ta có lim
n
E
B
(X
n
) = E
B

Theo định lý Vitali cổ điển cho X
n
khả tích đều độ đo hữu hạn suy ra điều
phải chứng minh.
Nếu B ⊂ Σ được cho bởi B = σ(Y ), Y là một biến ngẫu nhiên Ω → R thì
với X ∈ L
1
(P ) ta viết E
σ(Y )
(X) là E(X|Y ).
Mệnh đề 2.7. Cho X là một biến ngẫu nhiên khả tích trên (Ω, Σ, P). Nếu
B ⊂ Σ là một σ-đại số độc lập với X thì E
B
(X) = E(X) h.c.c. Nếu Y là một
13
biến ngẫu nhiên bất kỳ trên Ω thì ta có một ánh xạ Borel g : R → R sao cho
E(X|Y ) = g(Y ) h.c.c, tức là kỳ vọng điều kiện của X đối với Y tương đương
một hàm Borel của Y .
Chứng minh. Nếu X và B độc lập thì với mọi B ∈ B ta có X và χ
B
độc lập.
Vậy

B
E(X)dP
B
= E(X)P (B) = E(X)E(χ
B
) = E(Xχ
B


n
: n ≥ 1} mà trên nó có cùng phân phối hữu hạn chiều
như trên dãy {X, X
n
: n ≥ 1}, nghĩa là
P [X
i
1
< x
1
, , X
i
k
< x
k
] = P [X

i
1
< x
1
, , X

i
k
< x
k
], (2.7)
x

(X

)

= 0. (2.8)
Chứng minh. Vì X
n
→ X h.c.c dẫn đến φ(X
n
) → φ(X) h.c.c với φ là một hàm
thực liên tục trên R. Lấy φ(x) = max(x, 0) = x
+
, ta có X
±
n
→ X
±
h.c.c. Vậy
không mất tổng quát, ta giả sử X
n
≥ 0, nghĩa là giả sử dãy đã cho không âm,
ta chứng minh qua bốn bước:
14
Bước 1. Ta xét với X = 0 h.c.c. Đặt Y
n
= (X
n
−X)
+
và Z

− X) = sup
n≥1
X
n
− X = U −X,
vậy E(sup
n≥1
Y
n
) ≥ E(U − X) = E(U) − E(X) = +∞. Nói cách khác, do định
nghĩa
|Z
n
| = (X
n
− X)
−
=

X − X
n
nếu X
n
< X,
0 nếu X
n
≥ X.
Do đó sup
n≥1
|Z

) + lim
n→∞
E
B
(Z
n
) = 0

= P

lim
n→∞
E
B
(Y
n
) = 0

.
(2.9)
Từ đó nếu (Ω, Σ, P) đủ giàu thì tồn tại một σ-đại số B ⊂ Σ sao cho vế phải
(2.9):
P

lim
n→∞
E
B
(Y
n


n
= a
n
] = p
n
= 1 − P[Y

n
= 0], 0 < p
n
< 1, a
n
> 0,
∞

n=1
p
n
= 1 và
với mỗi ω ∈ Ω: Y

n
(ω) · Y

m
(ω) = 0 nếu m = n, với U

= sup
n≥1

15
Lấy A
k
là biến cố sao cho Y
k
≥ U − 1 lần đầu tiên với Y
k
, U của bước cuối
cùng. Nghĩa là
A
1
= [Y
1
≥ U −1]
và
A
k
= [Y
k
≥ U −1, Y
i
< U −1, 1 ≤ i ≤ k − 1] với k > 1.
Khi đó, A
k
∩ A
l
= ∅ nếu k = l và ∪
k≥1
A
k

≤ Y
k
χ
A
k
. Ta có
E(h
k
) ≥

A
k
Y
k
dP −
1
2
k
, k ≥ 1, (2.10)
ở đây h
k
=
m

i=1
b
i
χ
B
i

=
∞

k=1
h
k

=
∞
sup
k=1
E(h
k
) (do tính hội tụ đơn điệu)
≥
∞

k=1

A
k
Y
k
dP −1 (do (2.10))
≥
∞

k=1

A

P

lim
k
E
B
(h
k
) = 0

≥ P

lim
k
Y
k
= 0

≥ 0
và nó là đủ để chỉ ra rằng P

lim
k
E
B
(h
k
) = 0

= 0 khi h

2
, ,
thỏa mãn những điều kiện đã cho ở bước đầu tiên. Vậy nó là đủ để chứng minh
định lý này trong trường hợp với một σ-đại số đo được B
0
⊂ Σ.
Bước 3. Bây giờ, ta xây dựng yêu cầu {Y

k
, k ≥ 1} và B
0
. Vì 0 < p
1
< 1,
chọn một số nguyên k ≥ 1 sao cho
2
−k
< p
1
≤ 2
−k+1
.
Cho a
i
> 0 là những số thỏa mãn
∞

i=1
a
i

−(n+k)
, r =

n≥1
r
n
. (2.12)
Cho T (= T
n
) = ∪
n
N
n
= {i ≥ 2 : a
i
≥ 2
k+1
}. Đặt
r =

i∈T
p
i
≤ 1 − p
1
< 1 − 2
−k
,
t =


P [Z
0
= i] =







p
i
1 −t
nếu i ≥ 2, i /∈ T,
0 trong các trường hợp khác.
(2.13)
17
và với n ≥ 1
P [Z
n
= 1] = (t
n
2
n+k
)
−1
P [Z
n
= i] =


∞

n=0
P [Z
n
= 1, W = n]
=
∞

n=0
P [Z
n
= 1] ·P [W = n] (do tính độc lập)
= P [Z
0
= 1] ·P [W = 0] +
∞

n=1
(t
n
2
n+k
)
−1
· t
n
= p
1
− 2


n
có hai giá trị 0, a
n
> 0 và [V = n] là những biến cố không giao nhau, với mỗi
18
n chỉ một Y

n
(w) là khác không. Hơn nữa, Y

n
→ 0 h.c.c và
P [Y

n
= a
n
] = P [V = n] = p
n
(2.16)
như yêu cầu trong bước 2. Vậy {Y

n
, n ≥ 0} và B
0
là dãy và σ-đại số đã được
chỉ ra thỏa mãn điều kiện trong bước 2.
Bước 4. E
B

n
) ≥ 1, i.o] = P[P
B
0
[V = n] ≥ 1/a
n
, i.o] = 1.
Điều này sẽ được thiết lập bởi trung bình của Bổ đề Borel-Cantelli.
Vì σ(Z
n
) ⊂ B
0
, do Mệnh đề 2.4 và Mệnh đề 2.7, ta có với i ∈ N
n
E
σ(Z
n
)
(P
B
0
[V = i])(k) = P [V = i|Z
n
= k] =
P [V = i, Z
n
= k]
P [Z
n
= k]

≥ 1. Kết quả là nếu
A
n
= [Z
n
= 1] và B
n
= [a
n
P [V = i|Z
n
= i] ≥ 1, i ∈ N
n
]
thì A
n
⊂ B
n
với n ≥ 1. Tuy nhiên B
n
không cần thiết phải độc lập. A
n
là độc lập
tương hỗ vì Z
n
, n ≥ 1 là độc lập tương hỗ. Vậy [A
n
, n thường xảy ra hữu hạn] ⊂
[B
n

n≥1
r
n
t
n
= ∞. Từ (2.12), ta có r
n
= t
n
− 2
−(n+k)
.
• Nếu r
n
≥ 2
−(n+k)
với n hữu hạn (nhiều) thì
r
n
t
n
≥
1
2
với mọi n suy ra

n≥1
r
n
t

n+k+1
p
i
≥
1
4

i∈N
n
a
i
p
i
. (2.17)
Kết quả là

n≥1
r
n
t
n
≥
1
4

n≥n
0

i∈N
n

i
≤ 2
n
0
+k
·

n≥1
p
i
≤ 2
n
0
+k
do ta chọn

i≥1
p
i
a
i
= +∞, từ đó suy ra

i∈T
0
p
i
a
i
= +∞. Vậy trong tất cả các

|) = +∞.
2.1.2 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên khả tích đều có
điều kiện
Định nghĩa 2.9. Một dãy biến ngẫu nhiên {X
n
, n ≥ 1} được gọi là khả tích
đều có điều kiện với σ-đại số B ⊂ Ω nếu
lim
k→+∞
E
B

|X
n
|χ
[|X
n
|≥k]

= 0 h.c.c (đều theo n).
20
Mệnh đề 2.10. Cho {X, X
n
, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên khả tích
trên (Ω, Σ, P ) và B ⊂ Σ là một σ-đại số. Nếu dãy này là khả tích đều có điều
kiện với B và X
n
→ X h.c.c thì E
B
(X

m
= sup
n≥1
E
B

X
−
n
χ
[X
−
n
>m]

→ 0,
V
m
= sup
n≥1
E
B

X
+
n
χ
[X
+
n

(X
n
χ
[X
−
n
≤m]
) −U
m
= −E
B
(X
−
n
χ
[X
−
n
≤m]
) −U
m
(vì X
+
n
· X
−
n
= 0). (2.20)
Vì lim inf
n

≥ −E
B
(lim
n
sup X
−
n
χ
[X
−
n
≤m]
) −U
m
(do Định lý 2.6, vì X
−
n
χ
[X
−
n
≤m]
là bị chặn)
= E
B
(lim
n
inf(−X
−
n

n
inf X
n
) −U
m
h.c.c. (2.21)
Vì m > 0 tùy ý và U
m
→ 0 (m → ∞), (2.21) suy ra
lim
n
inf E
B
(X
n
) ≥ E
B
(lim
n
inf X
n
) h.c.c. (2.22)
21
Xét X
+
n
và −X
n
như trên, ta nhận được
lim

X
n
= lim inf
n
X
n
= X h.c.c, vậy từ (2.22), (2.23),
ta có
E
B
(X) ≤ lim
n
inf E
B
(X
n
) ≤ lim
n
sup E
B
(X
n
) ≤ E
B
(X) h.c.c. (2.24)
Từ đó
lim
n
E
B

n
) → E
B
(X) h.c.c, với mọi σ-đại số B ⊂ Σ.
(iii) {X
n
, n ≥ 1} là khả tích đều có điều kiện với mọi σ-đại số B ⊂ Σ.
Nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn thì dãy sẽ hội tụ trong L
1
(P ).
Bổ đề 2.13. Cho φ : R
+
→ R
+
là một hàm tăng sao cho
φ(x)
x
↑ ∞ khi x ↑ ∞.
Nếu {X
n
, n ≥ 1} là một tập các biến ngẫu nhiên trên (Ω, Σ, P ) sao cho X
n
→ X
22
h.c.c và E(φ(|X
n
|)) < ∞, giả sử với mỗi σ-đại số B ⊂ Σ có một hằng số C
B
sao cho E
B

| ·χ
A
m
) ≤
E
B
(φ(|X
n
|χ
A
m
))
ξ(m)
≤
C
B
ξ(m)
→ 0 (m → +∞) (đều theo n).
Vậy {X
n
, n ≥ 1} là khả tích đều có điều kiện với B. Nếu C
B
≤ C < ∞ với
mọi B tính khả tích đều có điều kiện đúng với mọi B. Theo Định lý 2.12 suy ra
điều phải chứng minh.
2.1.3 Kỳ vọng có điều kiện trên các không gian L
p
Định lý sau là trường hợp có điều kiện cho các bất đẳng thức cổ điển H¨older,
Minkowski và Jensen.
Định lý 2.14. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên trên (Ω, Σ, P ), B ⊂ Σ là một

E
B
(|X + Y |
p
) ≤

(E
B
|X|
p
)
1/p
+ (E
B
(|Y |
p
))
1/p

p
h.c.c. (2.26)
(iii) Nếu φ : R → R là một hàm lồi sao cho E(φ(X)) tồn tại và Y = E
B
(X)
h.c.c hoặc Y ≤ E
B
(X) h.c.c và φ tăng. Khi đó
φ(Y ) ≤ E
B
(φ(X)) h.c.c. (2.27)