Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

201
MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG
TÂM CHO DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC
Phạm Thị Thu Hường và Phạm Thị Thu Hoa
1

ABSTRACT
Central limit theorem plays an important role in probability theory and applied statistic.
However, the findings of this theorem mainly focus on the sequences of independent
random variables. Its results haven’t been found so much in the case of the sequences of
dependent radom variables. Although, the independence of the sequences of random
variables is not easy to meet and satisfy. So we need to find conditions to limit the range
of the sequences of dependent radom variables to get the results of the central limit
theorem. In this paper, we find out a range of conditions for the sequences of dependent
radom variables and prove that these conditions stronger than the results were outlined
in the paper of Dvoretzky but this still satisfies the central limit theorem.
Keywords: probability theory, applied statistic, Central limit theorem, the sequences of
independent random variables, the sequences of dependent radom variables
Title: A case of central limit theorem for the sequences of dependent random variables
TÓM TẮT
Định lý giới hạn trung tâm giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê
ứng dụng. Tuy nhiên, những kết quả nghiên cứu về định lý này chủ yếu tập trung vào dãy
những biến ngẫu nhiên độc lập, còn trong trường hợp những biến ngẫu nhiên phụ thuộc
kết quả nghiên cứu vẫn chưa được nhiều. Tuy nhiên, điều kiện độc lập của dãy các biến
ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng th
ỏa mãn và dễ thỏa mãn. Nên ta cần phải tìm điều
kiện để hạn chế dãy những biến ngẫu nhiên phụ thuộc để có được kết quả của định lý giới
hạn trung tâm. Trong bài báo này, chúng tôi nêu ra một điều kiện cho dãy biến ngẫu
nhiên phụ thuộc và chứng minh điều kiện đưa ra chặt hơn kết quả đã nêu ra trong bài

, và 1
Trường Đại học An Giang
Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

202
0,( 1, , )
kn
E
Xkn . Đặt
2
1
,(),
n
nknknkn
k
SX DXkn




, khi đó nếu với
2
s
 nào đó ,
2
1
(| | ,| | ) 0

X
==
,
,,1,
( , , )
nk n nk
XX
,1 , ,
( , , )
n
nk m nk nk
XX

 .
Ta định nghĩa :
,,1
1
() ( , )
n
nnknkm
kk m
msup




 

n
k
nk
k
X
=
=
å
. Sao cho
,
0, 1,2, 1, 2, ,
nk n
E
Xnkk  . Một dãy tổng riêng của
,
()
nk
X là
,
( ), 1,2, 1,2, ,
ni n
Yn i r với 0(0)(1) ()
nn nnn
j
jjrk

  sao cho:

()
,,

lim EY



(2)
Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

203

2
,,
1
0, 0
n
r
ni ni
n
i
lim E Y I Y







(3)
và
()0
nn n

( ), 1,2, , 1,2, ,
nk n
Xn k k

 thỏa mãn
,
0, 1,2, 1,2, ,
nk n
E
Xnkk  , và một dãy tổng riêng của
,
()
nk
X là
,
( ), 1,2, 1,2, ,
ni n
Yn i r

 với 0(0)(1) ()
nn nnn
j
jjrk

  sao cho:

()
,,
(1)1
n




(2’)

2
,,
1
0, 0
n
r
ni ni
n
i
lim E Y I Y







(3’) và với t

thỏa điều kiện sau:
2
,,
1(0,)
v,()0
n

với điều kiện (4), cụ thể là:
Tạp chí Khoa học 2011:17b 201-206 Trường Đại học Cần Thơ

204
2
,,
1(0,)
v,()2.()
n
k
r
nj nk n n n
kjk
Co exp it Y exp itY r m






  





Hay ta có:
2
,,
(0, )






  




=
,,
,
(0, )
(0, )
,
2
2
nj nk
nj
jk
jk
nk
k
k
it Y Y
it Y
itY
Ee Ee Ee























với
2
(0, )
k
j
k


,,






với
2
(0, )
k
j
k


=
,,
,
(0, )
(0, )
,
2
2
,,
()
nj nk
nj
jk
jk
nk
k
k



,
(0, )
,,
2
,
nj
jk
nk nk
k
it Y
itY itY
nj
Ee E Ee Ee


 
với
2
(0, )
k
j
k


,,
1.2 ( , )
nj nk


1
() ( , )
n
nnknkm
kk m
msup




 

 .
(theo bổ đề 5.3 của Dvoretzky).
Tp chớ Khoa hc 2011:17b 201-206 Trng i hc Cn Th

205
Vy,
2
,,
1(0,)
v,()2.()
n
k
r
nj nk n n n
kjk
Co exp it Y exp itY r m



r
n
nj nk
kjk
Co exp it Y exp itY












(4)
õy ,
2k
I
tp hp nhng s nguyờn chn (l) trong tp I, nu k l s chn hay
l. Nờn ta cú:
,2 2
0
p
nk
k
Y
+

ca mi
,nk
Y
*
trựng vi
,nk
Y vi mi n v mi ()
n
krÊẻl .
Kt hp vi cỏc iu kin (2) v (3) ta cú
,
()
(0,1)
D
nk
k
YN
*
ắắắ
ồ
leỷ
.
Mc khỏc:
,,
,
((0,) ((0,)
((0,)
,2 , ,
*
2

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ồồ
ồ
-= -
ồ

leỷ
leỷ
ẻ) ẻ)
)
)

,
((0,)
,2 , ,
2
((0,)
nj
n
jl k
nk nk nk
n
it Y
r
itY itY itY

,
((0,) ((0,)
v,()
n
nj
nk
kr jk
Co exp it Y exp itY
ẻẻ
ỡỹ
ùù
ổử
ùù
ữ
ỗ
ùữù
ỗ
ùù
ữ
ỗ
ớý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ùù
ữ
ỗ

ổử
ùù
ữ
ỗ
ùữù
ỗ
ùù
ữ
ỗ
ắ
ắắ
ớý
ữ
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ùù
ỗ
ữ
ốứ
ùù
ùù
ợỵ
Ê-
ồồ
( do 4)
Nờn
,

n
XEX
Xkn
B


,
*2
1
1
()
,()
n
kk
n
k
nnk
k
n
XEX
SBDX
B






,
***


*
,1
1
|cov ( ), ( ) | 0
n
n
nk kn
k
exp itS exp itX




c tha món thỡ
*
(0,1)
D
n
SN .
TI LIU THAM KHO
A. Dvoretzky, Asymptotic normality for sums of dependent random variables, Proc.Sixth
Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. Univ of California Press, 1972, 513-535.
o Quang Tuyn, Central limit theorems for Mixing Arrays, Vietnam journal of
Mathematics 32 (2004), 277-292.
Nguyn Duy Tin - V Vit Yờn, Lý thuyt xỏc sut thng kờ, nh xut bn giỏo dc, 2003.
Y.S. Chow and H. Teicher, Probability theory, Springer, Newyork, Heidelberg, Berlin, 1978.