Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI:

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT
VÀ BÀI TẬP

GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101
Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán
Nhóm 1:
1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071)

phối đều là:  Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối
đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất
của phân phối đều. của phân phối đều.

 Các đặc trưng số của phân phối đều:
Kỳ vọng:
( ) ( ) ( )
2
b
a
x a b
E X xf x dx dx Med X
b a



   

 Phương sai: D(X) = E(X
2
) – E

E X xf x dx dx
b a



  

 
(Tính ở trên)
Suy ra phương sai: D(X) = E(X
2
) – E
2
(X)
=
2 2
1
( )
3
b ab a
  - (
2
a b

)
2
=
2
( )
12
 Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là:
F(X)=
2
2
( )
2
1
2
t
x
e dt


 





 Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta
không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp.
 Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối
chuẩn như sau:

Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác
phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn.

 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối
Với: E(X
2
) =
2
2
( )
2
2
1
.
2
x
x e dx


 





= µ
2
+ σ
2
E
2
(X) =

P[a≤ X ≤b] =
2
2
( )
2
1
2
x
b
a
e dx


 



=
( ) ( )
b a
 
 
 
 

 Quy tắc 3

: Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng

và phương sai σ

  
 

Với
3
 

ta có:
[ 3 ]=2 (3) - 1 = 0,9973
P X
  
 

 Như vậy nếu X ~ N((

;σ
2
) thì
[ ] 1
P X
 
  
khi
3
 

. Điều này có
nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai
σ
2

( )
x

đơn
điệu giảm.
(0) 0,3989


,
(1) 0,2420


,
(2) 0,0540


,
(3) 0,0044


,
(4) 0,0001


và nếu x≥4 thì
( )
x

0


(3) 0,0044


,
(3,9) 0,0001


và
nếu x≥4 thì
( ) 1
x


và nếu x < -4 thì
( ) 0
x

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Hình 5 : Đồ thị hàm
( )
x

Hình 6 : Đồ thị hàm
( )



và
2
1
ar
n
i
i
V X





Nếu EX
i
, VarX
i
hữu hạn và
3
3
1
EX
lim 0
n
i i
n
i
E X

n
n
N
p q
c c
c
c



 với (q=1–p)
 Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ?
Giải:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.
 X={0,1,2, ,9,10}
Ta có: X ~ H(1000, 600, 10)

B(10; 0,6)
Suy ra: P[X=K] =
10
10
600 400
10
10
1000
.
.(0,6) .(0,4)
K K


 Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức
xấp xỉ quy luật phân phối poisson.
B(n, p)


P
(

)
Ta có: P(X=K) =
.
. .
!
K
K
K n K
n
e
p q
K
c




 với

=np và K=
0;

A
2
là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay
Ta có A
0
, A
1
,

A
2
lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(B) = P(A
0
).P(B/ A
0
) + P(A
1
).P(B/A
1
) + P(A
2
).P(B/A
2
)
Với P(A
0
) = P(X=0) =
1 0


P(B/A
1
) = 0,8
P(A
2
) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 -
2
e

P(B/A
2
) = 1
Suy ra: P(B) = P(A
0
).P(B/ A
0
) + P(A
1
).P(B/A
1
) + P(A
2
).P(B/A
2
)
=
1
e
.0 +

u




Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

o P[K
1
<X<K
2
] =
2 1
( ) ( )
K K
 
 
 
 


 Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu
của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu?
Giải:
Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu
 X = {0,1,2, 100}
X ~ B(100; 0,8)

N

  

Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375

PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT
II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH

Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi
(không hoàn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen?
Giải:
Xác suất cả hai đều là bi trắng:
Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng
B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng
C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng
1 1
8 7
1 1
14 13
8*7 4
( ) ( * ) ( )* ( / ) *
14*13 13
C C
P C P A B P A P B A
C C
    

Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là :
4
13


rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép,
tính xác suất hạt này là của bao thứ 2.
Giải:
Xác suất hạt bốc ra là hạt lép
Gọi A
1
: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất”
A
2
: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai”
A
3
: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba”
B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép”
Ta có P(B) = P(A
1
).P(B/A
1
) + P(A
2
).P(B/A
2
) + P(A
3
).P(B/A
3
)
Với P(A
1
) =

P(B/A
3
) = 0,03

P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3%
Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3%
Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai:
Gọi
B
: “Biến cố hạt lấy ra không lép”

P(
B
) = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977
Suy ra :
2
( / )
P A B
=
2 2
( ). ( / )
( )
P A P B A
P B
=
0,3.0,98
0,3009
0,977
 = 30,09%
Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09%

A
)P(
A
)=
7
4
.
7
3
.
1
9
1
6
1
9
1
7
C
C
C
C
 =
7
5

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

7

12
1
4
1
12
1
5

C
C
C
C

Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là:
28
11II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC

Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ
kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần)
a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được.
c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu.
Giải:

a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được


28
C C
X P P X
C
C C
X P P X
C
C C
X P P X
C
      
      
     

Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt)
X 0 1 2


P X

3
28

15
28

10
28
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

0 nếu
0
x
( )
F X


3
28
nếu 0<x

1

18
28
nếu 1<x

2
1 nếu x>2

b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được.
Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn:



C
      

Khi
 
2 0
3 5
2
2
8
3
2 2
28
C C
X P P X
C
     

Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu)
X 0 1 2

( )
P X

10
28

15
28






2 ( ) 0 1 2 1
x F X P X P X P X
        

Hàm phân phối xác suất sản phẩm xấu chọn được là:

0 nếu
0
x
10
28
nếu
0 1
x
 

F(X) =
25
28
nếu
1 2
x
 

Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

 
2 2 2 2
2
10 15 3 27
0 . 1 2 .
28 28 28 28
E X    

Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là:
 
 
 
2 2
1 1 1
45
[ ]
112
D X E X E X  

Và phương sai của số sản phẩm xấu là:
 
 
 
2
2 2
2 2 2
27 21 45
[ ]

Giải:
a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
* Tìm hàm phân phối F(x):
Khi x

0 0)()()( 


x
dttfxXPxF
Khi 0<x
3

279
0)()()()(
3
0
2
0
0
x
dt
t
dttftfxXPxF
xx




Khi x >3

x 00)(
9
2
)(
,,
 xxf
x
xf
Bảng xét dấu f(x): x 0 3

f

’(x) +








1
27
0

3
2
3
2
1
27
 a
a

Vậy med(x)=
2
2
3

* EX:
E(x)=
4
3
9
)()()()()(
3
0
3
3
03
3
0



















dx
x
dxxxfdxxfxb) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4)

Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là :
P(1<x<4)=
27
26
0

(1 ) 3. 1 0,103
27 27 6516
p p
C
   
    
   
   

Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là
P(A) = 0,103

II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT
II.4.1. Phân phối Poisson

Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong
một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một
phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút.
Giải:
Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút.
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh


là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút:
300
5
60

 



( ) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1)
P B P X P X P X P X
         5 5
5
.5
1 [ ] 1 6 0,9595
1 1
e e
e
 

     
Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842
Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595

Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Giải:
Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách.

là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách:

=
100
0,1

Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Suy ra:
( ) ( 3) 1 [ ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)]
P B P X P X P X P X P X
          0,1 0 0,1 1 0,1 2 0,1 3
.0,1 .0,1 .0,1 .0,1
1 ( ) 0,0000038
0! 1! 2! 3!
e e e e
   
     
Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015
Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038

II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức

Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra
ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu
cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để
xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì
A
là biến cố không
nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít
nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91%
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến


P(A) = 1- (0,997)
n

Theo đề P(A)

0,91

1- (0,997)
n


0,91
ln(0,09)
801,4
ln(0,997)
n  
Vì n

Z nên chọn n = 802
Vậy phải chọn tối thiểu 802 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm
không nhỏ hơn 91%

Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9%. Kiểm tra ngẫu
nhiên lần lượt từng học sinh của trường này. Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm
tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một học sinh bị cận thị trong tối thiểu n học sinh
chọn ra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Suy ra



P(A) = 1 - (0,991)
n

Theo đề P(A)

0,95

1 - (0,991)
n


0,95
.ln(0,991) ln(0,05)
n
 

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh ln(0,05)
331,36
ln(0,991)
n   (*)
Dễ thấy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) là n = 332
Vậy phải chọn tối thiểu 332 học sinh để kiểm tra thỏa mãn xác suất chọn được ít nhất
một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%


1

Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở
mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P
1
= 0.6, P
2
=0.7,P
3
= 0.8
P
(B1)
= P
(X=1)
= 288.04.0.6.0.
21
1
3

C

P
(B2)
= P
(X=1)
= 189.03.0.7.0.
21
1
3


). P(B
2
). +P(A
3
). P(B
3
). = 0.191

P(A3/A)=
P(A)
P(A/A3) P(A3).
=
191
32
191
.
0
096.0.
3
1


Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là
191
32II.4.3. Phân phối chuẩn

Câu 73: Cho X

 
)= dxdxxf
x
x
x
x
x
e



2
1
2
2
2
1
2
)(
2
1
)(




Đặt
dudx
dx
du


22
1
2
0
0
1
2
)()(
2
1
x
x
x
x
u
duufduufdu
e













   
   

30233.049379.019146.0
2
32
2
32
)22()4(
2
















 XPXP
7 3 1 3
( 3 4) ( 4 3 4) ( 1 7) 2.0,47725 0,9545
2 2

được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc
trưng:

Đặc điểm
Nhà máy
Đường kính

trung bình
Độ lệch
tiêu chuẩn

Giá bán
X(Nhà máy I) 1,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái
Y(Nhà máy II) 1,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái

Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?
Giải:
Gọi X là số trục máy đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy luật phân phối
chuẩn với 2,1


và 01.0


suy ra:
P(X)=
9545,0
01,0
2,118,1
01,0

với 12,0


và 015,0


suy ra:
81648,0
015,0
2,18,1
015,0
2,122,1
)( 















YP


!
K
e
K


a) Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
 P(A)=P(X=2)=
0,5 2
.0,5
0,0758
2!
e


b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
 P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (
0,5 0
.0,5
0!
e

+
0,5 1
.0,5
1!
e


0
!9000
9000
!8999
8999
!8998
8998
!8997
9
!8996
9
!8995
9
!8994
9.
!8993
9
!8992
9
!8991
9
!8990
9
)8990P(X=) AP(
99989979
89969899598994989939899298991989909






)
Với P(X=K) =
2,466
.2,466
!
K
e
K


Gọi m là số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01
Suy ra:
2,466
0
.2,466
1 0,01
!
K
m
K
e
K


 


2,466
0

380
0,95, 1 2 ( )
400
n n
n n
f f
f P p f t t
n
 
  
 

       
 
 
 

1 0,95 2 ( ) ( ) 0,475 1,96
t t t
  
  
      

1
(1 ) 0,95(1 0,95)
0,95 1,96 0,9286
400
f f
p f t
n

sản phẩm nhà máy B
Tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất trong 100 sản phẩm là:
F
B
=
91
0,91
100

Độ tin cậy: 1 -

=0,92 
1
( ) 0,46
2
t




 
 t
α
= 1,76
Độ chính xác:
(1 )
B B
f f
t
n

Trong đó: N
1
=
10111
10532
0,96

N
2
=
10111
11757
0,86

Vậy trong kho có khoảng (10532; 11757) sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra với độ
tin cậy 92%

Câu 30: Một nông dân gieo thử nghiệm 1000 hạt của một giống lúa mới thì có 640
hạt nảy mầm.
a) Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này.
b) Muốn có độ tin cậy 97% và sai số ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là 2% thì
người nông dân cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt?
Giải:
a) Tỉ lệ hạt giống nảy mầm là: f
n
=
640
0,64
1000


-

; f
n
+

) = (0,61; 0,67)
b) Với độ tin cậy: 1 -

=0,97 
1
( ) 0,485
2
t




 
 t
α
= 2,17
Độ chính xác:
0,02



Gọi n là số hạt cần gieo thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

Chú thích:


x
gọi là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

Câu 40: Độ dày của một bản kim loại (đơn vị: mm) là đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 bản loại này thu được kết quả như sau:
4,1 3,9 4,7 4,4 4,0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0
a) Ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại này với độ tin cậy 90%
b) Ước lượng độ phân tán của độ dày bản kim loại với độ tin cậy 95%
Giải:
a) Tính ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại với độ tin cậy 90%
Độ dày trung bình của bản kim loại là:

1 4,1 3,9 4,7 3.4,4 4,0 3,8 4,2 5,0
4,29
10
i
x x
n
      
  


Trung bình bình phương của bản kim loại là:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 4,1 3,9 4,7 3.4,4 4,0 3,8 4,2 5,0
18,527

2
S
=
10
10 1

.
0,1229
= 0,37
Độ tin cậy: 1 -

= 0,9 

= 0,1
Vì n = 10 <30 nên
1 9
0,1
1,833
n
t t


  (Tra bảng C)
Do đó độ chính xác:

=
1
n
t





Gọi

là độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại.
Ta có:
2 2
1; 9;0,025
2
2,7
n

 

  và
2 2
1;1 9;0,975
2
19,023
n

 
 
 
Suy ra:
2
1
2
1;

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

Vậy độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại từ (
0,0648
; 0,4563) với độ tin
cậy là 95%

III.2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT

Câu 41: Tỉ lệ phế phẩm do công ty A sản xuất là 5%. Nhằm giảm tỉ lệ phế phẩm,
công ty A đã cải tiến kỹ thuật. Sau cải tiến người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản
phẩm thấy có 18 phế phẩm.Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về hiệu quả
của việc cải tiến kỹ thuật của công ty A?
Giải:
Gọi tỷ lệ phế phẩm của công ty A sau khi cải tiến kỹ thuật là p.
Đặt giả thiết H
0
: p= p
0
= 0,05
Với mức ý nghĩa
0,05 1,96
t


  

Từ mẫu đã cho ta có
18

1
( ) 0,485
2
t




   t
α
= 2,17
* Tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học: f
KT
=
8
0,08
100


Độ chính xác:
(1 )
0,08(1 0,08)
2,17. 0,05887
100
KT KT
KT
f f
t
n


CK
f f
t
n




  
Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học là:
P
CK
(f
CK
-

; f
CK
+

) = (0,1 - 0,05943; 0,1 + 0,05943) = (0,04057; 0,15943)
Dựa vào ước lượng tỉ lệ sinh viên nghỉ học của sinh viên hai khoa ta thấy sinh viên
khoa Kinh tế chuyên cần hơn sinh viên khoa Cơ khí.

Câu 55: Để kiểm tra thời gian sản xuất ra 1 sản phẩm của hai máy (đơn vị: giây),
người ta theo dõi ngẫu nhiên cả hai máy và ghi lại kết quả:
Máy
1
58 58 56 38 70 38 42 75 68 67
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến

58 2 116 6728
67 1 67 4489
68 1 68 4624
70 1 70 4900
75 1 75 5625


10 570 34154

Ta có :
570
57
10
x
 
,
2
34154
3415.4
10
x  
Và
 
2 2
10
3415.4 57 166.4
9
X
s   
 MÁY 2

520
52
10
y
 
,
2
28922
2892.2
10
y  
Và


2 2
2892.2 52 188.2
Y
s   

Máy
2
57 55 63 24 67 43 33 68 56 54
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Với mức ý nghĩa
0.05,2 ( ) 1 0.95
t



III.3. BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 56: Thu nhập (triệu đồng/năm) của 80 hộ dân trong bản A là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên về thu nhập của 40 hộ dân trong
bản A, có bảng số liệu:
Thu
nhập
4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0
Số hộ
dân
1 3 4 6 8 7 6 3 2
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số hộ dân của bản A có thu nhập dưới
5tr/năm
b) Nếu biết trước đây 2 năm, thu nhập bình quân của các hộ dân ban A là
5,5tr/năm, với mức ý nghĩa 3% có nhận xét gì về mức sống của dân trong bản A?
Giải:
a) Ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm với độ tin cậy 95%
Tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm: f
n
=
4
0,1
40

Độ tin cậy: 1 -

=0,95 
1
( ) 0,475

n
+

) = (0,1 – 0,093; 0,1 + 0,093) = (0,007; 0,193)
Vậy ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là:
M=(0,007.80; 0,193.80) = (0,56; 15,44)
b) Nhận xét về mức sống của dân trong bản A:
Thu nhập trung bình của 40 hộ dân là:
1 1.4,0 3.4,5 4.5,0 6.5,5 8.6,0 7.6,5 6.7,0 3.7,5 2.8,0
6,1125
40
i i
x x n
n
       
  


Thu nhập trung bình bình phương của 40 hộ dân là:
2 2
1
i i
x x n
n
 

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1.4,0 3.4,5 4.5,0 6.5,5 8.6,0 7.6,5 6.7,0 3.7,5
2.8,0
40

S
=
40
40 1

.
0,956
= 0,99
Mức ý nghĩa:

= 0,03 
1
( ) 0,485
2
t




 
 t
α
= 2,17
Kiểm định:
0
6,1125 5,5
3,9129
0,99
40
x

11-11,5

11,5-12

Số
người
12 35 66 47 24 20 6 3
a) Ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin cậy 97%.
b) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin
cậy 99% và độ chính xác 0,3 triệu đồng / tháng thì cần khảo sát thêm bao nhiêu
nhân viên nữa.
c) Những nhân viên có thu nhập trên 10,5 triệu đồng / tháng là có thu nhập cao.
Với độ tin cậy 98%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu
nhập cao.
d) Có người nói tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao ở công ty A là 13%, với mức ý
nghĩa 1% có nhận xét gì về lời nói trên.
Giải:
Ta lập bảng tính : x
i

n
i

x
i
n
i


2
2
213
92,102 9,567 0,577
212
s   
2
0,577 0,76
s s   
a)
2

của mức thu nhập chưa biết
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

1 0.97 2 ( ) ( ) 0,485
2,17
t t
t
 

  
    
 

Với n =213 > 30 và
2



 

Độ chính xác
0,3


. Từ công thức
( )
s
t
n



2 2
.
2,58.0,76
( ) ( ) 43
0,3
t s
n


   

Vậy cần khảo sát thêm 43 nhân viên nữa với độ tin cậy 99%
c) Ta lập bảng tính cho nhân viên có thu nhập cao

x

120,17 10,96 0,05 0,05 0,224
28
s s      

Với độ tin cậy
1 0,98 2 ( ) 0,98 ( ) 0,49
t t
 
  
     

2,33
t

  ta có:
1
1
0,224
10,96 2,33. 10,86
29
0,224
10,96 2,33. 11,06
29


  
  

Vậy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu nhập cao là khoảng
(10,86triệu ; 11,06triệu)


  