Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
TIỂU LUẬN
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ĐỀ TÀI:
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT
VÀ BÀI TẬP
GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101
Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán
Nhóm 1:
1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071)
2. Bùi Văn Tiệp (08267261)
3. Phạm Văn Toàn (08096701)
4. Nguyễn Như Tuân (08251411)
Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
TIỂU LUẬN
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ĐỀ TÀI:
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT
VÀ BÀI TẬP
GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101
Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán
Nhóm 1:
1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071)
2. Bùi Văn Tiệp (08267261)
3. Phạm Văn Toàn (08096701)

+∞
−∞
+
= = = =
−
∫ ∫
Phương sai: D(X) = E(X
2
) – E
2
(X)
Với: E(X
2
) =
2
2 2 2
1
( ) ( )
3
b
a
x
x f x dx dx b ab a
b a
+∞
−∞
= = + +
−
∫ ∫
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

)
2
=
2
( )
12
b a−
3.1.2. Phân phối chuẩn:
• Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với hai tham số µ và σ
2
nếu có hàm mật độ là:

f(x)=
2
2
( )
2
1
2
x
e
µ
σ
σ π
−
−

Kí hiệu: X ~ N(µ;σ
2

•
Các đặc trưng số của phân phối chuẩn:
Kỳ vọng: E(X) =
2
2
( )
2
1
.
2
x
x e dx
µ
σ
σ π
−
+∞
−
−∞
∫
=
µ
Phương sai: D(X) = E(X
2
) – E
2
(X)
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Với: E(X

2
) – E
2
(X) = µ
2
+ σ
2
–
µ
2
= σ
2
Vậy phương sai : D(X) = σ
2
 Ta thấy hai tham số
µ
và σ
2
chính là kì vọng và phương sai của phân phối
chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi
biết kì vọng và phương sai của nó.
•
Tính xác suất: Giả sử X ~ N(
µ
;σ
2
)
P[a≤ X ≤b] =
2
2

X
P X P
µ ε ε
µ ε φ
σ σ σ
 
−
− < = < = −
 
 
Với
ε σ
=
ta có:
[ ]=2 (1) - 1 = 0,6826P X
µ σ φ
− <
Với
2
ε σ
=
ta có:
[ 2 ]=2 (2) - 1 = 0,9544P X
µ σ φ
− <
Với
3
ε σ
=
ta có:

chuẩn tắc được kí hiệu là
( )x
ϕ
còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí
hiệu là
( )x
φ
còn gọi là hàm Laplace.
- Hàm
( )x
ϕ
là hàm chẵn,
( ) ( )x x
ϕ ϕ
− =
, trong khoảng (0, +∞) thì hàm
( )x
ϕ
đơn
điệu giảm.
(0) 0,3989
ϕ
=
,
(1) 0,2420
ϕ
=
,
(2) 0,0540
ϕ

=
,
(1) 0,2420
φ
=
,
(2) 0,0540
φ
=
,
(3) 0,0044
φ
=
,
(3,9) 0,0001
φ
=
và
nếu x≥4 thì
( ) 1x
φ
≈
và nếu x < -4 thì
( ) 0x
φ
≈
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Hình 5 : Đồ thị hàm
( )x

=
∑
và
2
1
ar
n
i
i
V X
σ
=
=
∑
Nếu EX
i
, VarX
i
hữu hạn và
3
3
1
EX
lim 0
n
i i
n
i
E X
σ

c c
c
c
−
−
−
≈
với (q=1–p)
•
Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ?
Giải:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.
 X={0,1,2, ,9,10}
Ta có: X ~ H(1000, 600, 10)
≈
B(10; 0,6)
Suy ra: P[X=K] =
10
10
600 400
10
10
1000
.
.(0,6) .(0,4)
K K
K
K Kc c

P
(
λ
)
Ta có: P(X=K) =
.
. .
!
K
K
K n K
n
e
p q
K
c
λ
λ
−
−
≈
với
λ
=np và K=
0;∞

•
Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường.
Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn
trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì

Ta có A
0
, A
1
,

A
2
lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(B) = P(A
0
).P(B/ A
0
) + P(A
1
).P(B/A
1
) + P(A
2
).P(B/A
2
)
Với P(A
0
) = P(X=0) =
1 0
0
0 1000
1000

2
) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 -
2
e
P(B/A
2
) = 1
Suy ra: P(B) = P(A
0
).P(B/ A
0
) + P(A
1
).P(B/A
1
) + P(A
2
).P(B/A
2
)
=
1
e
.0 +
1
e
.0,8 + (1 -
2
e
).1 = 0,5585

1
<X<K
2
] =
2 1
( ) ( )
K K
µ µ
ϕ ϕ
σ σ
− −
−

•
Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu
của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu?
Giải:
Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu
 X = {0,1,2, 100}
X ~ B(100; 0,8)
≈
N
2
( ; )
µ σ
Với
µ
=100. 0,8 = 80 và
2
σ

Xác suất cả hai đều là bi trắng:
Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng
B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng
C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng
1 1
8 7
1 1
14 13
8*7 4
( ) ( * ) ( )* ( / ) *
14*13 13
C C
P C P A B P A P B A
C C
= = = = =
Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là :
4
13
Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen
Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng
B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen
C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen
1 1 1 1
8 6 6 8
1 1 1 1
14 13 14 13
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( / )
48 48 48
182 182 91

) + P(A
2
).P(B/A
2
) + P(A
3
).P(B/A
3
)
Với P(A
1
) =
20
0,2
20 30 50
=
+ +
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
P(A
2
) =
30
0,3
20 30 50
=
+ +
P(A
3
) =

( ). ( / )
( )
P A P B A
P B
=
0,3.0,98
0,3009
0,977
=
= 30,09%
Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09%
Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ;
hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang
hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó
lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh.
Giải:
Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì
A
là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1
Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì
B
là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2
Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3
P(A) =
7
3
1
7
1
3

C
C
+
=
7
5
7
2
7
5
1)(1)( =−=−=⇒ BPBP
Áp dụng công thức đầy đủ
P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/
B
).P(
B
) =
28
11
7
2
.
12
4
7
5
.
12
5
7

a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được
{ }
0,1,2X =
[ ]
[ ]
[ ]
0 2
5 3
0
2
8
1 1
5 3
1
2
8
2 0
5 3
2
2
8
1.3 3
0 0
28 28
5.3 15
1 1
28 28
10
2 2

x F X P X x P X< ≤ ⇒ = < = = =
Khi
[ ] [ ] [ ]
3 15 18
1 2 ( ) 0 1
28 28 28
x F X P X x P X P X< ≤ ⇒ = < = = + = = + =
Khi
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 ( ) 0 1 2
3 15 10
1
18 18 28
x F X P X x P X P X P X> ⇒ = < = = + = + =
= + + =
Vậy hàm phân phối xác suất là:
0 nếu
0x ≤
( )F X =
3
28
nếu 0<x
≤
1

18
28
nếu 1<x
≤
2

1 1
28 28
C C
X P P X
C
= ⇒ = = = = =
Khi
[ ]
2 0
3 5
2
2
8
3
2 2
28
C C
X P P X
C
= ⇒ = = = =
Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu)
X 0 1 2
( )P X
10
28
15
28
3
28
Khi

nếu
1 2x≤ <
1 nếu x>2
c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu.
Kỳ vọng sản phẩm tốt:
( )
1
3 15 10 35
0. 1. 2.
28 28 28 28
E X = + + =
Kỳ vọng sản phẩm xấu là:
( )
2
10 15 3 21
0. 1. 2.
28 28 28 28
E X = + + =
Ta có:
2
2 2 2 2 2
1
0
3 15 10 55
( ) 0 . 1 . 2 .
28 28 28 28
i i
E X x p= = + + =
∑
( )

 
Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
2
, [0;3]
( )
9
0, [0;3]
x
x
f x
x

∈

=


∉

a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng
(1;4)
Giải:
a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
* Tìm hàm phân phối F(x):
Khi x
≤
0

∫∫∫∫
+∞
∞−∞−
dttftfdttfdttfxXPxF
x
Vậy hàm phân phối xác suất của x là:
nếu x
0≤
nếu 0<x
3≤
nếu x>3
* ModX:
Ta có f(x)=
9
2
x
nếu
30
≤≤
x
00)(
9
2
)(
,,
=⇔=⇒=⇒ xxf
x
xf
Bảng xét dấu f(x):
x 0 3

2
2
3
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh







=
1
27
0
)(
3
x
xF
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
* EX:
E(x)=
4
3
9
)()()()()(
3
0
3
3





−+=








−
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
dx
x
dxxxfdxxfx
b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4)
Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là :
P(1<x<4)=
27
26
0
9
)()()(

   
− = − = =
 ÷  ÷
   
Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là
P(A) = 0,103
II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT
II.4.1. Phân phối Poisson
Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong
một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một
phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút.
Giải:
Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút.
λ
là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút:
300
5
60
λ
= =
Suy ra: X~
( )P
λ
Ta có:
( )
5
.5
( ) , 0,
!
K

Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842
Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595
Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Giải:
Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách.
λ
là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách:
λ
=
100
0,1
1000
=
Suy ra: X~
( )P
λ
Ta có:
( )
0,1
.0,1
( ) , 0,
!
K
e
P X K K n
K
−

xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì
A
là biến cố không
nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít
nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91%
Hai biến cố A và
A
là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố
A thì xác suất của biến cố
A
là P(
A
) = 1- P(A)
Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy
ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân
theo lược đồ bernoulli
Gọi X là số phế phẩm lấy được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli
Với p =0,003 và q = 0,997
⇒
P(
A
) = P(X=0)=
C
n
0
.(0,003)
0
.
(0,997)
n

chọn ra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Suy ra
A
là biến cố không chọn được học sinh nào bị cận thị trong tối thiểu n học sinh
chọn ra để xác xuất nhận được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Hai biến cố A và
A
là hai biến cố đối lập nhau nên với P(A) là xác suất của biến cố A
thì xác suất của biến cố
A
là P(
A
) = 1- P(A)
Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy
ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị
cận thị nên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli
Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli
Với p= 0,009 và q = 0,991
⇒
P(
A
) = P(X=0)=
C
n
0
.(0,009)
0
.
(0,991)
n

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Gọi A
i
(i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i
Gọi B
ilà
biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P
(Bi)
= P
(A/Ai)
A
1,
A
2
, A
3
là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung
khắc từng đôi.
Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A
1
) = P(A
2
) = P(A
3
)=
3
1
Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở
mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P
1

(X=1)
=
096.02.0.8.0.
21
1
3
=
C
P(A)= P(A
1
). P(A/A1)+P(A
2
). P(A/A
2
)+P(A
3
). P(A/A
3
)
= P(A
1
). P(B
1
). +P(A
2
). P(B
2
). +P(A
3
). P(B

2
==
σµ
Giả sử ta cần tính P(
1 2
X X X≤ ≤
)
Ta có P(
1 2
X X X≤ ≤
)=
dxdxxf
x
x
x
x
x
e
∫∫
−−
=
2
1
2
2
2
1
2
)(
2

µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
πσ
22
1
2
0
0
1
2
)()(
2
1
x
x
x
x
u
duufduufdu
e






2 3 3
( 2) ( 2) 0.19146 0.5 0.30854
2 2
P X P X
− −∞ −
   
⇒ < = −∞ < < = Φ −Φ = − + =
 ÷  ÷
   
30233.049379.019146.0
2
32
2
32
)22()4(
2
=+−=






−−
Φ−






2
33
1)31(1)31()12( XPXXPXP
= 0,65866
Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến
1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy
được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc
trưng:
Đặc điểm
Nhà máy
Đường kính
trung bình
Độ lệch
tiêu chuẩn
Giá bán
X(Nhà máy I) 1,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái
Y(Nhà máy II) 1,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái
Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?
Giải:
Gọi X là số trục máy đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy luật phân phối
chuẩn với
2,1=
µ
và
01.0=
σ
suy ra:
P(X)=
9545,0
01,0

và
015,0=
σ
suy ra:
81648,0
015,0
2,18,1
015,0
2,122,1
)( =






−
Φ−






−
Φ=YP
Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu
Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là
03307,0
648,81

e
K
−
a) Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
 P(A)=P(X=2)=
0,5 2
.0,5
0,0758
2!
e
−
=
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
 P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (
0,5 0
.0,5
0!
e
−
+
0,5 1
.0,5
1!
e
−
) = 0,0902
Câu 85: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng. Tính xác
suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng.

!8995
9
!8994
9.
!8993
9
!8992
9
!8991
9
!8990
9
)8990P(X=) AP(
99989979
89969899598994989939899298991989909
=++++
++++++=≥
−−−−
−−−−−−−
eeee
eeeeeee
( ) 1 ( ) 1 0 1P A P A⇒ = − = − =
Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng là 1
Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi
học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học
sinh phân phối đều các ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao
nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01.
Giải:
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến

1 0,01
!
K
m
K
e
K
−
=
− ≤
∑
⇔
2,466
0
.2,466
1 0,01 0,99
!
K
m
K
e
K
−
=
≥ − =
∑
 m=7
Vậy số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 là 7
giường.
PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG KÊ

α ϕ ϕ
− = = ⇒ = ⇒ =
1
(1 ) 0,95(1 0,95)
0,95 1,96 0,9286
400
f f
p f t
n
α
− −
= − = − =
2
(1 ) 0,95(1 0,95)
0,95 1,96 0,9714
400
f f
p f t
n
α
− −
= + = + =
Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này là (0,9256 ; 0,9714)
Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản
phẩm do nhà máy B sản xuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9
sản phẩm do nhà máy A sản xuất. Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho
này có khoảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất?
Giải:
Nếu dự đoán thô:
100 sản phẩm có: 9 sản phẩm nhà máy A và 91 sản phẩm nhà máy B

= 1,76
Độ chính xác:
(1 )
B B
f f
t
n
α
ε
−
=
= 1,76.
0,91(1 0,91)
100
−
= 0,05
Suy ra ước lượng tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra:
P
B
=(f
B
-
ε
; f
B
+
ε
)

= (0,91-0,05; 0,91+0,05) = (0,86; 0,96)

n
=
640
0,64
1000
=
Độ tin cậy: 1 -
α
=0,95 
1
( ) 0,475
2
t
α
α
ϕ
−
= =
 t
α
= 1,96
Độ chính xác:
(1 )
0,64(1 0,64)
1,96. 0,02975
1000
n n
f f
t
n

0,02
ε
=
Gọi n là số hạt cần gieo thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra: n=
2
2
2 2
. (1 )
2,17 .0,64.(1 0,64)
1 1
0,02
f f
t
α
ε
 
−
 
−
 
+ = +
 
 
 
 
=
[ ]
2712,3264
+1= 2712+1=2713

i
x x
n
+ + + + + + +
= = =
∑
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
$
2
S =
2
x
-
2
( )x
= 18,527 – 4,29
2
= 0,1229
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
S =
1
n
n −
.
$
2
S
=
10
10 1−

10
= 0,214 (mm)
Vậy ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại là:
( ; )x x
µ ε ε
− +
= (4,29-0,214; 4,29+0,214) = (4,076; 4,504)
b) Độ tin cậy: 1 -
α
= 0,95 
0,025
2
1 0,975
2
α
α

=




− =


Gọi
γ
là độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại.
Ta có:
2 2

γ
λ
−
− −
= = =
2
2
2
1;1
2
( 1). (10 1).0,1369
0,0648
19,023
n
n S
α
γ
λ
− −
− −
= = =
Vậy độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại từ (
0,0648
; 0,4563) với độ tin
cậy là 95%
III.2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT
Câu 41: Tỉ lệ phế phẩm do công ty A sản xuất là 5%. Nhằm giảm tỉ lệ phế phẩm,
công ty A đã cải tiến kỹ thuật. Sau cải tiến người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản
phẩm thấy có 18 phế phẩm.Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về hiệu quả
của việc cải tiến kỹ thuật của công ty A?

Vì
t t
α
<
nên ta chấp nhận giả thiết.
Kết luận: Sau khi cải tiến kỹ thuật chưa làm giảm được tỉ lệ phế phẩm.
Câu 42: Điểm danh ngẫu nhiên 100 sinh viên khoa Kinh tế thấy có 8 người vắng,
điểm danh 120 sinh viên Cơ khí thấy có 12 người vắng. Với mức ý nghĩa 3% hãy
cho biết mức độ chuyên cần của sinh viên hai khoa?
Giải:
Mức ý nghĩa:
α
= 0,03 
1
( ) 0,485
2
t
α
α
ϕ
−
= =
 t
α
= 2,17
* Tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học: f
KT
=
8
0,08

CK
=
12
0,1
120
=
Độ chính xác:
(1 )
0,1(1 0,1)
2,17. 0,05943
120
CK CK
CK
f f
t
n
α
ε
−
−
= = =
Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học là:
P
CK
(f
CK
-
ε
; f
CK

58 58 56 38 70 38 42 75 68 67
Máy
2
57 55 63 24 67 43 33 68 56 54
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
42 1 42 1764
56 1 56 3136
58 2 116 6728
67 1 67 4489
68 1 68 4624
70 1 70 4900
75 1 75 5625
∑
10 570 34154
Ta có :
570
57
10
x = =
,
2
34154
3415.4
10
x = =
Và
( )
2 2
10
3415.4 57 166.4

y = =
,
2
28922
2892.2
10
y = =
Và
( )
2 2
2892.2 52 188.2
Y
s = − =
Với mức ý nghĩa
0.05,2 ( ) 1 0.95t
α
α ϕ α
= = − =
1.96t
α
⇒ =
Ta tính được
2 2
57 52
0.84
166.4 188.2
10 10
X Y
x y
t

Tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm: f
n
=
4
0,1
40
=
Độ tin cậy: 1 -
α
=0,95 
1
( ) 0,475
2
t
α
α
ϕ
−
= =
 t
α
= 1,96
Độ chính xác:
(1 )
0,1(1 0,1)
1,96. 0,093
40
n n
f f
t

2 2
1
i i
x x n
n
= =
∑
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1.4,0 3.4,5 4.5,0 6.5,5 8.6,0 7.6,5 6.7,0 3.7,5 2.8,0
40
+ + + + + + + +
= 38,31875
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh:
$
2
S =
2
x
-
2
( )x
= 38,31875 –
6,1125
2
= 0,956
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
S =
1
n
n −

40
x
t
S
n
µ
−
−
= = =
Vì t = 3,9129 > t
α
= 2,17 nên bác bỏ giả thiết.
Vậy mức sống của người dân trong bản A cao hơn 5,5tr/năm so với mức ý nghĩa 3%
Câu 57: Thu nhập (triệu đồng / tháng) của nhân viên trong 1 công ty nước ngoài
A là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Khảo sát ngẫu nhiên một số nhân
viên ở công ty A, có kết quả:
Thu
nhập
8,0-
8,5
8,5-
9,0
9,0-
9,5
9,5-10 10-10,5 10,5-11 11-11,5 11,5-12
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến
Số
người
12 35 66 47 24 20 6 3

11,25 6 67,5 759,375
11,75 3 35,25 414,1875
∑
n = 213 2037,75 19617,81
2037.75
9,567
213
x = =

2
19617.81
92,102
213
x = =
[ ]
( )
2
2
213
92,102 9,567 0,577
212
s = − =
2
0,577 0,76s s⇒ = = =
a)
2
σ
của mức thu nhập chưa biết
1 0.97 2 ( ) ( ) 0,485
2,17

(9,45triệu đồng ; 9,68triệu đồng).
b) Với độ tin cậy
1 0,99 2 ( ) 0,99 ( ) 0,495t t
α α
α ϕ ϕ
− = ⇒ = ⇒ =
2,58t
α
→ =
Độ chính xác
0,3
ε
=
. Từ công thức
( )
s
t
n
α
ε
=
Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh