Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm
1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất
Định nghĩa 1.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu
X
là hàm
X
: R
C xác định bởi
X
(t) = , t R, i là đơn vị ảo.
 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = x
k
) = p
k
với
thì hàm đặc trưng của X là

X
(t)

 Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc
trưng X là
(t) =

Ví dụ 1.2. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n, p. Xác định
hàm đặc trưng của X.
Giải. Ta có

Từ đó,
X
(t) =

 Nếu dãy biến ngẫu nhiên X
1
, , X
n
độc lập thì hàm đặc trưng của tổng
bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến, nghĩa là Ví dụ 1.7. Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn N(a; ). Xác định hàm
đặc trưng của Y.
Giải. Đặt thì X có phân phối chuẩn tắc N(); 1). Do Y = X + a nên
Y
(t) = e
ita
X
( t) =
Định lí 1.8. Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có mômen tuyệt đối cấp n, thì hàm đặc
trưng của X khả vi n lần và với k n ta có .
Ta có thể sử dụng định lí này vào việc tính kì vọng và phương sai của X.
Ví dụ 1.9. Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn
N(a; ).
Giải. Theo Ví dụ 1.7 thì
X
(t) = . Ta có
’
X
(t) =
’’
X
(t) =

= -t ta nhận được

Từ đó

Tóm lại, hàm mật độ tìm được là .