Định nghĩa xác suất và các tính chất
1.1. Không gian mẫu và không gian biến cố
1.1.1 Không gian mẫu
Tiến hành thực hiện một phép thử (thí nghiệm). Giả sử ta không biết trước được
kết quả của phép thử nhưng ta sẽ biết tập tất cả các kết quả có thể của phép thử. Ta
có một phép thử ngẫu nhiên.
Tập tất cả các kết quả có thể của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép
thử, ký hiệu . Với một phép thử, ta có thể xác định không gian mẫu theo nhiều
cách.
Ví dụ 1.1.1. Gieo 2 đồng xu. Ký hiệu S là kết quả “mặt sấp xuất hiện” và N là kết
quả “mặt ngửa xuất hiện” thì ta có thể xác định
i
1
) = {SS, SN, NS, NN} để chỉ thứ tự dãy các kết quả xuất hiện hoặc
i
2
) = {0, 1, 2} để chỉ số lần mặt ngửa xuất hiện.
Nếu chứa hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử thì được gọi
là không gian mẫu rời rạc.
Ví dụ 1.1.2.
i
1
) Gieo một con xúc xắc: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
i
1
) Gieo một đồng xu cho đến khi mặt sấp xuất hiện: = {N, NS, NNS,
NNNS, …}
Trong các trường hợp khác, là một tập không đếm được thì được gọi
là không gian mẫu liên tục.
Ví dụ 1.1.3. Thời gian hoạt động của một bóng đèn: = .
1.1.2 Không gian biến cố

thuộc là hợp của một số hữu hạn những khoảng không giao nhau dạng [a; b).
Khi đó lớp là một đại số các tập con của .
Định nghĩa 1.1.8. Lớp các tập hợp con của được gọi là -đại số các tập con
của hay không gian biến cố nếu:
i
1
/
i
2
/ Nếu A thì .
i
3
/ Nếu A
1
, A
2
,…,A
n
,… thì .
Mọi -đại số đều là đại số. Nếu có hữu hạn phần tử thì mọi đại số trên cũng
là -đại số. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, khẳng định này không còn
đúng.
Định lí 1.1.9. Với mỗi lớp K các tập hợp con của , tồn tại một -đại số nhỏ
nhất trên chứa K được gọi là -đại số sinh bởi K, ký hiệu (K).
 -đại số Borel
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử = R = (- ; + ) và K là lớp các khoảng dạng [a;b).
Khi đó, (K) được gọi là -đại số Borel của R, ký hiệu B(R). Mỗi phần tử của
B(R) được gọi là một tập Borel.
Từ định nghĩa trên ta suy ra: {a}, [a;b], (a,b) đều là tập Borel.
 Các phép toán với biến cố

i
2
/ A
i
A
j
= với mọi (xung khắc từng đôi).
Cần lưu ý một số tính chất sau:
* A B = B A; A B = B A
* A (B C) = (A B) C = A B C;
A (B C) = (A B) C = A B C
* A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A
C)
* A = W ; A = .
*

1.2. Không gian xác suất
1.2.1 Không gian xác suất tổng quát
Định nghĩa 1.2.1. Hàm P xác định trên được gọi là độ đo xác xuất nếu
i
1
/
i
2
/
i
3
/ Nếu A
1
,A

Trong trường hợp = {
1
,
2
,…,
n
}là không gian mẫu chứa các biến cố sơ
cấp
1
,
2
,…,
n
đồng khả năng, nghĩa là
,
Khi đó, với biến cố A = { }, {
1
,
2
,…,
n
}, 0 m
n và độ đo xác suất rời rạc xác định như trên thì