Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên
1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên
Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y).
Giả sử U =
1
(X,Y) và V =
2
(X,Y) với
1
,
2
là các hàm đơn trị sao cho
(X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X =
1
(U,V) và Y =
2
(U,V). Giả thiết
1
,
2
tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó
hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi
g
UV
(u,v) = f(
1
(u,v),
2
(u,v)) với J =
Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X
1

2
là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương
ứng là f
1
(x) và f
2
(x). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y.
Giải. Xét phép biến đổi và
Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V là
g
UV
(u,v) = f
X,Y
(v; u - v).1 = f
X,Y
(x, u - x)
Vì X
1
, X
2
độc lập nên hàm mật độ của U là
g
U
(u) =
và hàm phân phối của U là

Định nghĩa 2.2. Hàm phân phối F
U
(u) xác định như trên được gọi là tích chập của
hai hàm phân phối F

* F
3
)
 F
1
* (F
2
+ F
3
) = F
1
* F
2
+F
1
* F
3

Bằng cách tương tự, có thể mở rộng tích chập ra trường hợp n phân phối của các
biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
,…,X
n
là F
1
* F
2
*…* F

 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời
f(x,y) thì

Trường hợp đặc biệt của mệnh đề trên là khi X, Y có kỳ vọng hữu hạn thì
E(X + Y) = E(X) +E(Y)
Tổng quát, nếu X
i
, i = 1,2, , n là các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng hữu hạn
thì
E(X
1
+ X
2
+ + X
n
) = E(X
1
) + E(X
2
) + + E(X
n
)

Ví dụ 3.2. Một tai nạn có thể xảy ra tại điểm ngẫu nhiên X có phân phối đều trên
đoạn đường có độ dài L. Vào thời điểm đó, một xe cấp cứu đang ở vị trí Y ngẫu
nhiên trên đường, độc lập với X . Xác định khoảng cách trung bình giữa vị trí của
xe cấp cứu và địa điểm xảy ra tai nạn.
Giải. Hàm mật độ đồng thời của X và Y là