Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện
1. Phân phối điều kiện
Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất
đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y
= y được xác định bởi

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .
Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng
xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định ; p(x,y) và p
Y
(y).
Giải. Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; . Vậy

Từ đó
p(x,y) =P(X = x, Y = y) = .p
X
(x) =
và phân phối của Y là

Ví dụ 1.3. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số
lần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n.
Giải. Ta có Theo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số
. Từ đó, hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và
.
Định nghĩa 1.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f


với mọi giá trị y sao cho f
Y
(y) >0.
Ví dụ 2.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thức
tham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n.
Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta có Vậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội. Từ đó
.
Ví dụ 2.3. Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) là

Xác định E(X ) và E(Y
Giải. Ta có hàm mật độ của X là
=
và hàm mật độ của Y là
=
Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là
= =
và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là
= =
Vậy
E(Y và E(X
Tính chất 2.4.
 Cho g là hàm Borel thì

 nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.
 . Đặc biệt, nếu C là hằng số.
 với a, b là hằng số