ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Văn Huyến

LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
TRUNG TÂM CHO MARTINGALE TÓM TẮT LUẬN VĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012
Lời nói đầu
Có lẽ một trong những thành tựu to lớn nhất của xác suất hiện đại
là lý thuyết thống nhất về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
(BNNĐL). Thực tế là, thống kê toán học thường được xem là bắt nguồn
từ rất sớm với các luật giới hạn của Bernoulli và Moivre. Lý thuyết toán
về luật số lớn và luật giới hạn trung tâm cho martingale có thể được xem

i
|F
i−1
),
phương sai điều kiện đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết giới hạn
martingale hiện đại . Các kết quả ban đầu của Levy đòi hỏi các giả thiết
phải mạnh như với mỗi n, V
2
n
là hằng số hầu chắc chắn, và những giả thiết
này cũng được đưa ra ngay cả trong các tác phẩm đương đại,
Doob đã đưa ra hàm đặc trưng để chứng minh các kết quả của Levy.
Billlingsley, và độc lập với Ibragimov, đã thiết lập định lý giới hạn trung
tâm cho các martingale với các hiệu được giả thiết dừng và thỏa mãn giả
thiết ergodic. Các martingale như vậy có phương sai tiệm cận hằng số.
Các kết quả mở rộng hơn nữa đã được phát triển và chứng minh bởi
Rosén, Dvoretzky, Loynes và Bergstr¨om và sau đó là Mcleish , G¨anssler
at al. . Scott.
Trong luận văn này, tác giả đã trình bày một cách chi tiết và có hệ
thống các kết quả quan trọng của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm
martingale như là một trường hợp mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên
i
Lời nói đầu
độc lập, và làm sáng tỏ một số kết quả trong chứng minh một số định lý
giới hạn martingale. Với những mục đích và ý tưởng như vậy, tác giả đã
trình bày nội dung của đề tài khóa luận làm ba chương.
Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong phần đầu
của chương này, tác giả nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về
martingale, các dạng hội tụ, và một số định lý hội tụ quan trọng của mar-
tingale chẳng hạn định lý hội tụ Doob, hàm đặc trưng và mối quan hệ của

Học viên
ii
Lời nói đầu
Trần Văn Huyến
iii
Bảng ký hiệu
CLT Định lý giới hạn trung tâm.
hcc Hầu chắc chắn.
bnn Biến ngẫu nhiên.
L
0
Không gian các hàm thực đo được.
L
1
≡ L
1
Không gian các bnn có moment cấp 1.
L
p
≡ L
p
Không gian các bnn có moment cấp p.
||.||
p
Chuẩn trong L
p
.
d
−→ Hội tụ theo phân phối.
P

1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Một số ví dụ về martingale . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . . 4
1.1.4 Hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Martingale bình phương khả tích . . . . . . . . . . 5
1.2 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Các định lý về sự hội tụ martingale . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối 9
2 Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn 11
2.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Sự hội tụ trong L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm 43
3.1 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Kết Quả dạng Raikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Phát hiện kết quả trong trường hợp độc lập . . . . 56
3.2.2 Kết quả Raikov trong martingale . . . . . . . . . . 56
v
MỤC LỤC
Tài liệu tham khảo 64

, A
n
, n ∈ N} là một dãy tương thích.
(ii) E|X
n
| < ∞, ∀n ∈ N.
(iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N , E(X
n
|A
m
) ≤ X
m
, P- hầu chắc
chắn.
• martingale dưới (đối với A
n
, n ∈ N), nếu các điều kiện (i), (ii) được
thực hiện, và
(iii’) với m ≤ n, m, n ∈ N , E(X
n
|A
m
) ≥ X
m
, P- hầu chắc
chắn.
• martingale (đối với A
n
, n ∈ N), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực
hiện, và

dP ≥

A
X
m
dP, ∀A ∈ A
m
, m ≤ n.
Điều kiện (iii”) tương đương với

A
X
n
dP =

A
X
m
dP, ∀A ∈ A
m
, m ≤ n.
2. Định nghĩa về martingale dưới, martingale trên, martingale tương
đương với: Giả sử N = 0, 1, 2, . . . , N, (Ω, A, P ) là không gian xác suất,
A
0
⊂ A
1
⊂ ··· ⊂ A
n
⊂ A

n−1
, P − hầu chắc chắn.
• martingale, nếu các điều kiện (i), (ii) thỏa mãn, và (iii”) với
n = 1, 2, . . .
E(X
n
|A
n−1
) = X
n−1
, P − hầu chắc chắn.
Những nhận xét trên chứng minh được dễ dàng dựa vào các tính
chất của kỳ vọng có điều kiện.
2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.2 Một số ví dụ về martingale
Ví dụ 1.1.2. Giả sử (ξ
n
, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
Eξ
n
= 0, n ∈ N. Khi đó dãy các tổng riêng
S
n
= ξ
0
+ ξ
1
+ ··· + ξ
n

= S
n−1
.
Ví dụ 1.1.3. Giả sử (ξ
n
, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
Eξ
n
= 1, n ∈ N. Khi đó dãy các tích riêng
X
n
=
n

k=0
ξ
n
là dãy martingale đối với A
n
= σ(ξ
0
, ··· , ξ
n
). Thật vậy, do X
n−1
∈ A
n−1
và tính độc lập của ξ
n
đối với A

, n ∈ N. Thật vậy, vì A
n−1
⊂ A
n
ta có
X
n−1
= E(X|A
n−1
) = E(E(X|A
n
)|A
n−1
) = E(X
n
|A
n−1
).
Ví dụ 1.1.5. Giả sử Y
0
, Y
1
, ··· là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối sao cho E(Y
n
) = 0 và EY
2
n
< ∞. Thì dãy
Z

n
với A
n−1
. Ta có:
E(Z
n
|A
n−1
) = E






n−1

j=1
Y
j

2
− σ
2
n + 2
n−1

j=1
Y
j

) + 2
n−1

j=1
Y
j
E(Y
n
|A
n−1
)
=

n−1

j=1
Y
j

2
− σ
2
(n − 1)
= Z
n−1
Ví dụ 1.1.6. Giả sử rằng X
0
, X
1
, ··· là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

).
Thật vậy cũng lý luận như ví dụ trên, ta có:
E(Z
n
|A
n−1
) = Z
n−1

q
p

−1
E


q
p

2X
n



A
n−1

= Z
n−1


Định nghĩa 1.1.7. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên (có thể
lấy giá trị ∞). Ta nói rằng τ là thời điểm Markov đối với {A
n
, n ∈ N},
nếu
{ω : τ(ω) = n} ∈ A
n
, ∀n ∈ N.
Nếu giả thiết thêm rằng P(τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng.
4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.4 Hiệu martingale
Định nghĩa 1.1.8. Dãy tương thích {X
n
, A
n
, n ∈ N} được gọi là hiệu
martingale, nếu E|X
n
| < ∞ đối với mọi n ∈ N và
E(X
n+1
|A
n
) = 0, P − hầu chắc chắn.
Rõ ràng, nếu S = {S
n
, A
n
, n ∈ N} là martingale thì {X

0
= X
0
, S
n
= X
0
+ ··· + X
n
.
Chẳng hạn, mỗi dãy {X
n
, n ∈ N} các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng
0 là hiệu martingale đối với σ− trường σ
X
≤n
. Trong đó;
σ
X
≤n
= σ
≤n
= σ({X
m
, m ≤ n}), m, n ∈ N, gọi là σ− trường tự nhiên, là
σ− trường sinh ra từ X = {X
n
, n ∈ N} .
1.1.5 Martingale bình phương khả tích
Định nghĩa 1.1.9. Dãy M = {M

n
hcc
−→ Z) nếu
P {ω : lim Z
n
(ω) = Z(ω)} = 1.
5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Sự hội tụ hầu chắc chắn (nếu tồn tại) là duy nhất theo nghĩa: nếu
Z
n
hcc
−→ Z và Z
n
hcc
−→ Z

thì P (Z = Z

) = 1.
1.2.2 Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa 1.2.2. Ta nói rằng, dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Z
n
} hội
tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên Z (và viết Z
n
P
−→ Z) nếu:
lim
n→∞


| ≥

2

Ta đưa ra một định lý sau đây thể hiện mối quan hệ giữa hội tụ theo
xác suất và hội tụ hầu chắc chắn.
Định lý 1.2.3. a) Nếu Z
n
hcc
−→ Z, thì Z
n
P
−→ Z.
b) Nếu Z
n
P
−→ Z, thì tồn tại dãy con {Z
nk
} sao cho Z
nk
hcc
−→ Z.
1.2.3 Hội tụ theo trung bình
Định nghĩa 1.2.4 (Tính khả tích đều). Giả sử {Z
i
, i ∈ I} là họ các
đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, tức là {Z
i
, i ∈ I} ⊂ L

E|Z
n
− Z|
p
= 0.
Từ các bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Liapounov:
P {|Z
n
− Z| ≥ } ≤
E|Z
n
− Z|
p

p
, ∀ > 0.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(E|Z
n
− Z|
r
)
1
r
≤ (E|Z
n
− Z|
p
)

n
dP −

A
ZdP




= 0.
Ba định lý sau nói về mối quan hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo
xác suất.
Định lý 1.2.7. Giả sử {Z
n
} ⊂ L
1
và Z ∈ L
0
. Khi đó hai điều kiện sau là
tương đương nhau:
1) {Z
n
} khả tích đều và Z
n
P
−→ Z.
2) Z ∈ L
1
và Z
n

−→ Z, p ∈ (0, +∞) thì Z
n
P
−→ Z.
2) Nếu Z
n
P
−→ Z và {Z
n
} bị chặn đều với xác suất 1, tức là
sup
n
|Z
n
| ≤ C < +∞ hcc
thì Z
n
L
p
−→ Z ∀p ∈ (0, +∞).
1.2.4 Hội tụ theo phân phối
Định nghĩa 1.2.10. Ta nói rằng dãy các đại lượng ngẫu nhiên Z
n
hội tụ
theo phân phối đến dãy các đại lượng ngẫu nhiên Z ∈ L
0
, nếu F
n
(x) −→
F (x) với mọi điểm liên tục của hàm F , ký hiệu Z

− bị chặn, tức là:
sup
n
E|X
n
| < ∞,
thì {X
n
} hội tụ hcc tới biến ngẫu nhiên X
∞
nào đó, với E|X
∞
| < ∞.
Hệ quả 1.3.2. Giả sử {X
n
} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và đặt
{S
n
} là dãy các tổng riêng của nó, tức là:
S
0
= X
0
, S
n
= X
0
+ X
1
+ ··· + X

n
hội tụ trong L
p
, đồng thời hội tụ hcc tới biến ngẫu nhiên X
∞
với E|X
∞
|
p
< ∞
Định lý 1.3.4 (Hội tụ trong L
1
). Nếu {X
n
, A
n
, n ∈ N} là martingale
và dãy {X
n
} khả tích đều thì dãy {X
n
} hội tụ trong L
1
, đồng thời hội tụ
hcc tới biến ngẫu nhiên X
∞
với E|X
∞
| < ∞.
Như chúng ta đã thấy ở ví dụ (1.1.4). Đặt p ≥ 1, X ∈ L

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.4 Hàm đặc trưng
1.4.1 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.4.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X hoặc của hàm
phân phối F
X
là một hàm giá trị phức được xác định như sau:
ϕ
X
(t) = E

e
itX

=

e
itx
dF = E [cos(tX) + isin(tX)]
Ta sẽ liệt kê một số tính chất của hàm đặc trưng sau đây mà không
chứng minh.
1. ϕ tồn tại với bất kỳ hàm phân phối của X.
2. ϕ(0) = 1.
3. |ϕ(t)| ≤ 1, ∀t ∈ R.
4. ϕ là liên tục đều: nghĩa là, ∀ > 0, tồn tại σ > 0 sao cho, |ϕ(t)−ϕ(s)| ≤
, với bất cứ |t −s| ≤ σ.
5. Hàm đặc trưng của a + bX là e
iat
ϕ(bt).
6. Hàm đặc trưng của −X là hàm phức liên hợp ϕ(t).

T →∞
1
2π

T
−T
e
−ita
− e
−itb
it
ϕ
X
(t)dt
Hệ quả 1.4.3. Nếu Hàm đặc trưng của hai biến ngẫu nhiên X và Y trùng
nhau thì chúng có cùng hàm phân phối.
Định lý 1.4.4 (Định lý liên tục). Nếu X
n
có hàm đặc trưng ϕ
n
(t) thì X
n
hội tụ yếu nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ϕ(t) liên tục tại t = 0 sao cho
ϕ
n
(t) −→ ϕ(t), ∀t. (Trong trường hợp này ϕ là hàm đặc trưng của biến
ngẫu nhiên giới hạn X.)
10
Chương 2
Các Bất Đẳng Thức Và

E =

max
i≤n
S
i
> λ

=
n

i=1

S
i
> λ; max
1≤j<i
S
j
≤ λ

=
n

i=1
E
i
,
các biến cố E
i

)]
=

i
E[S
n
I(E
i
)]
11
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
= E[S
n
I(E)].
Hệ quả 2.1.2. Nếu {S
i
, F
i
, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale, thì với p ≥ 1
và λ > 0,
λ
p
P

max
i≤n
|S
i
| > λ


Định lý 2.1.3 (Bất đẳng thức Doob). Nếu {S
i
, F
i
, 1 ≤ i ≤ n} là một
martingale thì với p > 1,
||S
n
||
p
≤




max
i≤n
|S
i
|




p
≤ q||S
n
||
p
,


dx
≤ p

∞
0
x
p−2
E

|S
n
|I

max
i≤n
|S
i
| > x

dx
= pE

|S
n
|

max
i≤n
|S

max
i≤n
|S
i
|
p

1
q
,
từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.
12
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương
Bất đẳng thức hàm bình phương đóng vai trò quan trọng trong nghiên
cứu các martingale, chúng nói nên mối quan hệ giữa việc xử lý một mar-
tingale và các bình phương của hiệu.
Đặt X
1
= S
1
và X
i
= S
i
− S
i−1
, 2 ≤ i ≤ n, biểu diễn hiệu của dãy
{S
i


p
2
≤ E|S
n
|
p
≤ C
2
E





n

i=1
X
2
i





p
2
. (2.1)
Trong đó C


≤ C


E

n

i=1
E(X
2
i
|F
i−1
)

p/2
+ E

max
i≤n
|X
i
|
p



.
Định lý 2.2.3 (Bất đẳng thức Rosenthal). Nếu {S

i=1
E|X
i
|
p

≤ E|S
n
|
p
≤ C
2

E

n

i=1
E(X
2
i
|F
i−1
)

p
2
+
n


E

τ−1

i=1
X
2
i

+ E(S
2
τ−1
) ≤ 2λE|S
n
|.
Chứng minh. Với bất kỳ m ≤ n + 1,
m−1

i=1
X
2
i
+ S
2
m−1
= 2S
2
m−1
− 2


n+1
= S
n
và X
n+1
= 0. Trong trường hợp cụ thể,
τ−1

i=1
X
2
i
+ S
2
τ−1
= 2S
τ
S
τ−1
− 2
τ

i=2
S
i−1
X
i
.
Bây giờ ta có
E

+ E(S
2
τ−1
) ≤ 2E(S
τ
S
τ−1
) ≤ 2λE|S
τ
| ≤ 2λE|S
n
|
hai bất đẳng thức cuối suy ra từ chú ý rằng |S
τ−1
| ≤ λ và {|S
τ
|, |S
n
|} là
martingale dưới đối với σ− trường {F
τ
, F
n
}.
Bổ đề 2.2.5. Giả sử {S
i
, F
i
, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới không âm và
đặt








n

i=1
X
2
i

1
2






p
≤ 9
√
pqS
n

p
, (2.3)

S
i
≤ λ


. (2.4)
Sử dụng định lý (2.1.1) chúng ta thấy số hạng đầu bị chặn bởi
E

S
n
I

max
i≤n
S
i
> λ

≤ E[S
n
I(Y > λ)]. (2.5)
Đặt T
m
= S
m
I(θ


m





F
m−1


= E(S
m
|F
m−1
)I


θ




m−1

i=1
X
2
i
> λ


≥ T

2
i
> βλ, max
i≤n
S
i
≤ λ



⊆







n

i=1
Y
2
i
> λ, max
i≤n
T
i
≤ λ


i=1
Y
2
i
I

max
i≤n
T
i
≤ λ

λ
15
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
≤ 2E(T
n
)
≤ 2E[S
n
I(Y > λ)],
sử dụng bổ đề 2.2.4 ta đạt được bất đẳng thức thứ hai, kết hợp với (2.5)
ta suy ra được (2.2). Bất đẳng thức (2.3) suy ra được từ (2.2):
E(Y
p
) =

∞
0
x

dy

= 3pβ
P
E[S
n
Y
p−1
]
≤ 3qβ
p
(ES
p
n
)
1
p
(EY
p
)
1
q
Do đó
θ







= (1 + 2/p)
p/2
< e < 3, và (2.3) được suy ra từ đó
Phần còn lại ta chứng minh (2.6). Xét dãy thời điểm dừng:
v =





min

i ≤ n



θ


i
j=1
X
2
j
> λ

nếu tập này khác rỗng
n nếu ngược lại.
Trên tập vế trái của (2.6), max
i≤n

n

i=v+1
X
2
i
< λ
2
+ θ
2
λ
2
+ θ
2
n

i=1
Y
2
i
.
(Ở đây ta có |X
v
| ≤ max(S
v−1
, S
v
) ≤ λ, và X
i
= Y

E(Y
p
)
σ
p
(1 − β
p
)
. (2.8)
Chứng minh. Từ (2.7) ,
P (X > βλ) = P (X > βλ, Y ≤ σλ) + P (X > βλ, Y > σλ)
≤ P (X > λ) + P (Y > σλ).
Do đó
E(X
p
) = pβ
p

∞
0
x
p−1
P (X > βx)dx
≤ pβ
p

∞
0
x
p−1

i
) và U
i
= E(S
−
n
|F
i
), 1 ≤
i ≤ n. Dãy T
i
, F
i
và U
i
, F
i
là các martingale không âm; đặt T
0
= U
0
=
0, Y
i
= T
i
− T
i−1
, và Z
i

Y
2
i
+




n

i=1
Z
2
i
,
theo bổ đề (2.2.4), ta có










n

i=1
X



p
+










n

i=1
Z
2
i






p
≤ 9
√
pq (T

p−1
p
.
Dãy R
i
= E(R
n
|F
i
), 1 ≤ i ≤ n, là một martingale với hiệu W
1
= R
1
và
W
i
= R
i
− R
i−1
, i ≥ 1. Bây giờ ta có,
S
n

p
= E(R
n
S
n
) = E

1
2


≤







n

i=1
W
2
i

1
2






q







n

i=1
W
2
i






q
q
≤ (18
√
qp)
q
E(|R
n
|
q
) = (18
√
qp)
q

i
|



và  = σ
2
/(β −σ −1)
2
(β > 1, 0 < σ < β −1). Đặt I
k
là chỉ số của biến cố

λ < max
i≤k−1
|S
i
| ≤ βλ; max
i≤k−1
|X
i
| ≤ σλ;
k

i=1
E(X
2
i
|F
i−1