ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Nam Giang
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN CỦA HÀM HERMITE
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Nam Giang
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN CỦA HÀM HERMITE
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60.46.30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội - 2012
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ
tục hành chính để tôi hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn
đến gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn này.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy
cô và bạn bè đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2012

(x): Hàm Hermite.
[x]: Hàm phần nguyên [x] = max {n ∈ Z|n ≤ x}.
Mf, M(f), M[f], M{f}: Biến đổi Mellin của hàm f.
Ff Biến đổi Fourier của hàm f.
L
B
f Biến đổi Laplace của hàm f.
Γ(x): Hàm Gamma Γ(x) =

∞
0
t
x−1
e
−t
dt, với Re x > 0.
B(x, y): Hàm Beta B(x, y) =

1
0
t
x−1
t
y−1
dt, với Re x > 0, Re y > 0.
cosh(x): Hàm Cos hypebolic cosh(x) =
e
x
+e
−x

L
1
(R
+
) :=

f : R
+
→ C, f =
∞

0
|f(x)|dx < +∞

.
iii
MỤC LỤC
L
1
(R) =

f : R
+
→ C, f =
∞

−∞
|f(x)|dx < +∞

.

n
(x)|dx > 0, c ∈ R.
f
c
:= K
n,c
+∞

0
|x
c−1
f(x)|dx, với x
c−1
f(x) ∈ L
1
(R
+
).
f
1,c
:= M
n,c
+∞

0
|x
c−1
f(x)|dx, với x
c−1
f(x) ∈ L

(x), ta có dãy các hàm số trực giao, đó là dãy hàm Hermite φ
n
(x) = e
−
x
2
2
H
n
(x).
Dãy hàm Hermite là tập hàm giá trị riêng của biến đổi Fourier được đề cập trong
[1]. Với mục đích tìm hiểu về phép biến đổi Mellin, hàm ảnh của hàm Hermite
qua phép biến đổi Mellin, cũng như ứng dụng của phép biến đổi này, chúng tôi
đã lựa chọn đề tài luận văn là "Phép biến đổi Mellin của hàm Hermite và ứng
dụng". Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ bản về phép biến đổi Mellin bao gồm
v
Lời mở đầu
định nghĩa, tính chất, phép biến đổi ngược, mối liên hệ với phép biến đổi Fourier,
Laplace.
Chương 2. Chương này gồm các kết quả nghiên cứu chính của luận văn: hàm
ảnh của hàm Hermite, và hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin, xây dựng
một vài tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin với hàm trọng là các hàm
ảnh vừa tìm được, và giải một lớp phương trình tích phân dựa trên những tích
chập vừa xây dựng được.
Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình thực hiện nhưng do trình độ và
điều kiện thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong
được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, năm 2012
Học viên

1
√
2π
+∞

0
x
s−c−1
g(ln x)dx. (1.1.2)
Bằng cách đặt
1
√
2π
x
−c
g(ln x) ≡ f (x), G(ip −ic) ≡ F (s),
1
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
ta thu được
F (s) =
+∞

0
x
s−1
f(x)dx.
Từ đây có được định nghĩa về phép biến đổi Mellin như sau.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên (0, +∞), sao cho
f(x)x
s−1

+
−→ C, f(x)x
c−1
∈ L
1
(R
+
)}
với chuẩn
f
X
c
:= f(x)x
c−1

L
1
(R
+
)
=

∞
0
|f(x)x
c−1
|dx.
Và với a, b ∈ R, a < b, không gian X
(a,b)
và X

, trong đó I = [a, b] hoặc I = (a, b), là không gian chứa tất cả
các hàm f mà Mf tồn tại với mọi t ∈ R và với mọi c ∈ I. Với I = [a, b], do
+∞

0
|f(x)x
c−1
|dx =
1

0
|f(x)x
c−1
|dx +
+∞

1
|f(x)x
c−1
|dx,
2
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
nên f
X
c
≤ f 
X
a
+ f
X

(L
B
f(t))(s) = M[f(−ln x)](s).
Như vậy, phép biến đổi Laplace có thể biễu diễn như phép biến đổi Mellin.
Ngược lại, bằng phép đổi biến tương tự như trên trong tích phân (1.1.3), ta được
M[f(x)](s) = L
B
[f(e
−t
)](s).
Để thuận tiện, kí hiệu St(a, b) := (a, b) ×iR, St[a, b] := [a, b] ×iR. Trước khi
nghiên cứu về tính liên tục cũng như tính giải tích của phép biến đổi Mellin trên
các không gian đã định nghĩa ở trên, ta chứng minh bổ đề.
Bổ đề 1.1.5. ([2]) Cho f ∈ X
(a,b)
, α, β ∈ R, ε > 0, với a < α − ε < α ≤ β <
β + ε < b. Khi đó, với k ∈ N
0
, tồn tại hằng số K(k, ε) > 0 sao cho
+∞

0
|f(u)(ln u)
k
u
s−1
|du ≤ K(k, ε){f
X
α−ε
+ f


0
|f(u)(ln u)
k
u
α−1
|du +
+∞

1
|f(u)(ln u)
k
u
β−1
|du
≤ K(k, ε)



1

0
|f(u)u
α−ε−1
|du +
+∞

1
|f(u)u
β+ε−1

c
và (Mf)(s) liên tục trên St(a, b) với f ∈ X
(a,b)
.
Chứng minh. Cho f ∈ X
c
và t ∈ R, khi đó |f (u)u
c+i(t+h)−1
| = |f (u)u
c−1
| ∈ X
c
với
mọi h ∈ R. Do đó
lim
h→0
(Mf)(c + i(t + h)) = lim
h→0
+∞

0
f(u)u
c+i(t+h)−1
du
=
+∞

0
lim
h→0


0
|f(u)(ln u)u
s−1
|du ≤ |h|K(α, β).
Vì vậy, (Mf )(s) liên tục trên St(a, b) vì s ∈ St(a, b) tùy ý.
Ngoài tính chất liên tục, phép biến đổi Mellin còn thỏa mãn tính chất giới
hạn được trình bày trong định lý dưới đây.
Định lý 1.1.7. ([2]) Nếu f ∈ X
c
, c ∈ R, thì
lim
|t|→+∞
(Mf)(c + it) = 0 (1.1.7)
và nếu f ∈ X
(a,b)
, thì (1.1.7) hội tụ đều trên mọi [α, β] ⊂ (a, b), c ∈ [α, β].
Chứng minh. Đặt h := e
−
π
t
. Với s = c + it, t ∈ R \{0}, ta có
−(Mf)(s) = e
iπ
(Mf)(s) = h
−it
(Mf)(s) = h
−it
+∞


= 1 với mọi c, nên ta được lim
|t|→+∞
(Mf)(c + it) = 0.
Với f ∈ X
(a,b)
và c ∈ [α, β] ⊂ (a, b), và theo Bổ đề 1.1.5, ta có
h
c
f(hx) −f (x)
X
c
≤ |h
c
− 1|f
X
c
+ h
c
f(hx) −f (x)
X
c
≤ |h
c
− 1|

f
X
α
+ f
X

(Mf)(s) = (M[f(u)(ln u)
r
])(s), s ∈ St(a, b). (1.1.8)
Chứng minh. Cho  ⊂ St(a, b) là tam giác với biểu diễn tham số
ϕ(y) : [0, 1] → ,
ϕ là hàm khả vi liên tục từng khúc. Khi đó, hàm số (u, y) → f (u)u
ϕ(y)−1
ϕ

(y), u ∈
R
+
, y ∈ [0, 1], là hàm đo được đối với độ đo Lebesgue hai chiều và theo Bổ đề
1.1.5, ta có
1

0



+∞

0
|f(u)u
ϕ(y)−1
ϕ

(y)|du



u
ϕ(y)−1
ϕ

(y)dy



du =
+∞

0
f(u)



u
s−1
ds

du.
Vì u
s−1
là hàm giải tích trên St(a, b) với mọi u > 0, nên theo định lý tích phân
Cauchy, ta có


u
s−1
ds = 0.

2πi

K
ε
(s)
u
z−1
(z − s)
r+1
dz
=
r!
2πi

2π
0
u
ψ(y)−1
(ψ(y) −s)
r+1
ψ

(y)dy.
Mặt khác, hàm f(u)u
ψ(y)−1
(ψ(y) −s)
−r−1
ψ

(y) là hàm đo được và

2π

0




ψ

(y)
(ψ(y) −s)
r+1




dy
≤ K(α, β)2πε
−r
< +∞.
Do đó, theo định lí Fubini, ta được

+∞
0
f(u)(ln u)
r
u
s−1
du =
r!

(z − s)
r+1



+∞

0
f(u)u
z−1
du



dz =

d
ds

r
(Mf)(s).
Định lí được chứng minh.
Sau đây ta khảo sát một vài ví dụ về phép biến đổi Mellin.
Ví dụ 1.1.9. Xét hàm số
f(x) = H(x − a)x
α
, (1.1.9)
trong đó H là hàm Heaviside, a > 0, α ∈ C. Khi đó, theo (1.1.3) ta có
(Mf)(s) =
∞

e
−u
u
s−1
du = p
−s
Γ(s),
trong đó, hàm Γ(s) là hàm giải tích với Re(s) > 0, nên hàm F (s) cũng giải tích
trên nửa mặt phẳng St(0, +∞).
7
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Ví dụ 1.1.11. Xét hàm số f(x) =
1
x + 1
. Theo công thức biến đổi Mellin, ta có
(Mf)(s) =
∞

0
x
s−1
dx
x + 1
.
Thực hiện phép đổi biến
x + 1 =
1
1 −t
, t =
x

+∞

−∞
f(x)e
−itx
dx,
thì
(F
−1
g)(x) =
1
2π
+∞

−∞
g(t)e
itx
dt.
Trong khi đó, đối với biến đổi Mellin, cách lấy tích phân phải thực hiện trên
đường thẳng song song với trục ảo giống như phép biến đổi Laplace (hai phía )
ngược. Trong mục này, luận văn tập trung nghiên cứu phép biến đổi Mellin ngược
trên X
c
, cũng như trên X
(a,b)
.
8
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Định nghĩa 1.2.1. Cho F ∈ L
1

x
−c
2π
+∞

−∞
|F (c + it)|dt < ∞, x ∈ R
+
. (1.2.2)
b) Cho F ∈ L
1
(St(a, b)) ∩ H(St(a, b)) và
lim
|t|→+∞
F (c + it) = 0 (1.2.3)
hội tụ đều trên mọi [α, β] ⊂ (a, b), với c ∈ [α, β]. Khi đó, biến đổi Mellin
ngược M
−1
c
[F ] không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ (a, b), và vì vậy, với c
1
∈
(a, b) bất kì, M
−1
c
1
[F ] tồn tại và
M
−1
c

ds






=






x
−c
2π
+∞

−∞
F (c + it)x
−it
dt






≤

→+∞
c+iR
2

c−iR
1
F (s)x
−s
ds.
Để chứng minh biến đổi Mellin ngược không phụ thuộc vào việc chọn c, cho
c
1
∈ (a, b) tùy ý và chọn α, β ∈ R sao cho a < α < c, c
1
< β < b. Với
9
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
R
1
, R
2
> 0, xét hình chữ nhật K ≡ K(R
1
, R
2
) với các đỉnh c − iR
1
, c +
iR
2

ds =



c+iR
2

c−iR
1
+
c−iR
1

c
1
−iR
1
−
c+iR
2

c
1
+iR
2



F (s)x
−s






c

c
1
F (u + iR)x
−(u+iR)
du






≤






c

c
1
εx

c−i∞

c
1
−i∞
F (s)x
−s
ds = 0,
Do đó, từ (1.2.4) ta được
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (s)x
−s
ds =
1
2πi
c
1
+i∞

c
1
−i∞
F (s)x
−s
ds.
Vậy biến đổi Mellin ngược M


|M
−1
c
[F ](x)x
c−1
|dx
≤
1
2π
F (α + i·)
L
1
(R)
1

0
x
c−α−1
dx +
1
2π
F (β + i·)
L
1
(R)
+∞

1
x

Mellin ngược ta có kết luận sau
a) Nếu f ∈ X
(a,b)
, Mf ∈ L
1
(St(a, b)), thì với x ∈ R
+
f(x) = M
−1
[Mf](x) =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
(Mf)(s)x
−s
ds
không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ (a, b).
b) Nếu F ∈ H(St(a, b)) ∩ L
1
(St(a, b)) sao cho điều kiện (1.2.3) được thỏa mãn,
thì tồn tại M
−1
F ∈ X
(
a, b) và với mỗi c ∈ (a, b)
M[M
−1
F ](s) = F (s), s ∈ St(a, b).

)])(s) = α
−1
(Mf)

s
α

, s ∈ St(αa, αb). (1.3.3)
M

1
x
f

1
x

(s) = (Mf ) (1 − s) , s ∈ St(1 −b, 1 − a). (1.3.4)
e) Phép biến đổi của đạo hàm
Nếu lim
x→0
x
s−r−1
f
(r)
(x) = 0 và lim
x→+∞
x
s−r−1
f

(x)

(s) = (−1)
n
Γ(s + n)
Γ(s)
(Mf)(s), s ∈ St(a, b). (1.3.5)
g) Phép biến đổi của toán tử vi phân
Bằng cách sử dụng công thức (1.3.5) ta thu được
M


x
d
dx

2
f(x)

= M

x
2
f

(x) + xf

(x)

= (−1)

1
s
M[f] (s + 1), s ∈ St(a −1, b − 1). (1.3.8)
i) Công thức Parseval
Nếu F (s) = (Mf )(s), G(s) = (Mg)(s), thì
M[f(x)g(x)] =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)G(s −t)dt. (1.3.9)
12
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Trường hợp riêng, khi s = 1, ta thu được công thức Parseval cho biến đổi
Mellin
∞

0
f(x)g(x)dx =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)G(1 −t)dt. (1.3.10)
Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có
M[f(x)g(x)] =
∞


g(x)dx =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)G(s −t)dt.
Khi s = 1, kết quả trên trở thành kết quả (1.3.10).
1.4 Tích chập của phép biến đổi Mellin.
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử f, g là những hàm xác định trên R
+
. Khi đó, tích chập
đối với biến đổi Mellin của hai hàm f, g được định nghĩa như sau
(f ∗ g) =
∞

0
f(y)g

x
y

dy
y
. (1.4.1)
Định lý 1.4.2. (xem [6],[2]) Nếu f, g ∈ X
c
, c ∈ R, thì tích chập f ∗g cũng thuộc
không gian X
c


0




x
c−1
f(y)g

x
y





dy
y
dx
≤
+∞

0
|y
c−1
f(y)|
+∞

0

+∞

0
|t
c−1
g(t)|dt = f
X
c
g
X
c
.
13
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Vậy bất đẳng thức (1.4.2) được chứng minh. Từ đây suy ra tích chập (1.4.1) thuộc
không gian X
c
.
M[f ∗ g](s) = M


+∞

0
f(y)g

x
y

dy

x
s−1
g

x
y

dx =
+∞

0
f(y)
dy
y
+∞

0
(ty)
s−1
g(t)ydt
=
+∞

0
y
s−1
f(y)dy
+∞

0


k
g

.
d. (ln x)(f ∗g) = [(ln x)f] ∗g + f ∗[(ln x)g].
Ví dụ 1.4.3. Cho hai hàm số f(x) = H(x − 2) và g(x) = H(x − 2)x
2
.
Theo ví dụ (1.1.9), ta thấy f ∈ X
(−∞,0)
, và g ∈ X
(−∞,−2)
. Do đó, f, g ∈ X
(−∞,−2)
.
Từ (1.4.1), ta có
(f ∗ g)(x) =
∞

0
f(y)g

x
y

dy
y
(1.4.4)
Vế phải của (1.4.4) chỉ có thể khác không khi

f(x) =







x , nếu 0 ≤ x ≤ e
0 , nếu x > e.
và
g(x) =







1 , nếu 0 ≤ x ≤ 1
0 , nếu x > 1.
Ta có f, g ∈ X
(0,+∞)
và
(f ∗ g)(x) =
∞

0
f(y)g


15
Chương 2
Tích chập suy rộng của phép biến
đổi Mellin
Trong chương này, luận văn trình bày các kết quả về hàm ảnh của hàm
Hermite, hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin, tích chập suy rộng của
phép biến đổi Mellin.
2.1 Hàm ảnh của hàm Hermite, hàm dạng
Hermite qua phép biến đổi Mellin
Đa thức Hermite một biến được định nghĩa bởi công thức sau (xem [3])
H
n
(x) =
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!
r!(n − 2r)!
(2x)
n−2r
. (2.1.1)
Từ công thức đa thức Hermite một biến bậc n, ta có công thức hàm Hermite
tương ứng
φ
n

n
e
−x
2
. (2.1.3)
16
Chương 2. Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin
2.1.1 Biến đổi Mellin của hàm Hermite một biến
Định lý 2.1.1. Biến đổi Mellin của hàm Hermite φ
n
(x) là
ϕ
n
(s) := M[φ
n
](s) =
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
3n
2
−3r−1
r!(n − 2r)!
2

](s) =
+∞

0
x
s−1
e
−
1
2
x
2
dx =
+∞

0
(2t)
s
2
−1
e
−t
dt = 2
s
2
−1
Γ

s
2

s
2
+
1
2
Γ

s
2
+
1
2

.
• Với trường hợp n bất kì, sử dụng công thức (2.1.1) và (1.1.3), ta có
M[φ
n
](s) =
+∞

0
x
s−1
e
−
x
2
2
[
n

1
2
x
2
dx
=
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
n−2r
r!(n − 2r)!
+∞

0
(2t)
s+n−2r
2
−1
e
−t
dt
=
[
n

−3r−1
r!(n − 2r)!
2
s
2
Γ

s + n −2r
2

.
Do đó, M[φ
n
](s) =
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
3n
2
−3r−1
r!(n−2r)!
2
s
2