ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − − − − − − − −
NGUYỄN THỊ THU HUYỀN
MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RỘNG
VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2012
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
Phản biện 1: GS.TSKH. Lê Hùng Sơn
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Phản biện 2: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam
Phản biện 3: TS. Cung Thế Anh
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án
tiến sĩ họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
2
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
• d là một số nguyên dương cho trước.
• x, y ∈ R
d
: x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
d
),
−x = (−x
1
, −x
2
, . . . , −x
d
), x + y = (x
1
+ y
1

d
|f(x)|
2
dx < +∞}, tích phân lấy theo
độ đo Lebesgue.
• Với f(x) ∈ L
1
(R
d
), f =
1
(2π)
d
2

R
d
|f(x)|dx.
•
ˇ
f(x) := f(−x).
• xy := x, y = x
1
y
1
+x
2
y
2
+···+x

• S = {f ∈ C
∞
(R
d
) : sup
|α|≤N
sup
x∈R
d
(1 + |x|
2
)
N
|(D
α
f)(x)| < ∞, ∀ N =
0, 1, 2, . . . } là không gian Schwartz (không gian các hàm giảm nhanh
tại vô cùng).
•
Φ
α
(x) := (−1)
|α|
e
1
2
|x|
2
D
α

• C
0
(R
d
) là không gian các hàm liên tục trên R
d
, triệt tiêu tại vô cùng
lấy giá trị trong C với chuẩn ||f||
∞
= sup
x∈R
d
|f(x)|.
6
• Cho Φ
α
là một hàm Hermite. Đặt N
α
:=
1
(2π)
d
2

R
d
|Φ
α
(x)|dx. Rõ
ràng, N

|f(x)|dx. (1)
• γ(x) = Φ
0
(x) = e
−
1
2
|x|
2
(hàm dạng Gauss).
7
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lý do lựa chọn đề tài
Lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân đã được nghiên cứu
trong một thời gian dài, và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của toán
học, vật lý, y học, sinh học. Cho đến nửa đầu của thế kỷ 20, các tích chập
được tìm thấy là những tích chập không có hàm trọng cho một biến đổi
tích phân, và đối với nhiều biến đổi tích phân quen biết vẫn chưa tìm được
tích chập cho nó.
Sang nửa sau của thế kỷ 20, rất nhiều tích chập suy rộng đối với các
biến đổi tích phân và ứng dụng của chúng đã được nghiên cứu thành công
bởi nhiều tác giả. Đặc biệt, I. N. Sneddon (xem [24]) là người đầu tiên
xây dựng thành công tích chập suy rộng cho phép biến đổi tích phân và
xem xét các ứng dụng của chúng. Đó là tích chập suy rộng của hai hàm f
và g xác định trên (0, +∞) đối với các biến đổi tích phân Fourier-sine và
Fourier-cosine
(f ∗
1
g)(x) =
1

+∞
0
f(y) sin(xy)dy,
(F
c
f)(x) =

2
π

+∞
0
f(y) cos(xy)dy, x > 0.
Ý tưởng xây dựng tích chập sau đó được Y. Ya. Vilenkin phát triển vào
năm 1958, lần đầu tiên xây dựng được tích chập với hàm trọng đối với
biến đổi tích phân Mehler Fox (xem [55]).
8
Gần 10 năm sau, năm 1967 V. A. Kakichev đã đề xuất phương pháp
kiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọng
δ(x) dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
K(f
δ
∗ g)(x) = δ(x)(Kf)(x).(Kg)(x).
Năm 1998, V. A. Kakichev và N. X. Thảo đưa ra một kỹ thuật xây
dựng tích chập suy rộng đối với ba biến đổi tích phân K
1
, K
2
, K
3

(R
d
). Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho kết luận đó.
Ví dụ: Cho hàm số
f(x) =









1
√
|x|
, nếu x = 0, |x| ≤ 1
0, nếu x = 0
1
x
2
, nếu |x| > 1.
Dễ dàng kiểm tra được f ∈ L
1
(R), nhưng f
2
∈ L
1
(R).

1
(R
d
) lần lượt được định nghĩa như sau (xem
[8, 26, 35, 52])
ˆ
f(x) = (F f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
−ixy
dy,
(F
−1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
ˆ
f(y)e
ixy


R
d
cas(xy)f(y)dy.
Dễ dàng kiểm tra được
(F
ˇ
f)(x) = (F
−1
f)(x) và (F f)(x) = (F
−1
ˇ
f)(x).
Ngoài ra, ta thấy các biến đổi Fourier, Hartley là tổng đại số của hai biến
đổi độc lập Fourier-sine và Fourier-cosine. Mối liên hệ giữa các biến đổi đó
được thể hiện qua công thức Euler sau
T
c
=
F + F
−1
2
,
T
s
=
iF − iF
−1
2
,

hàm trọng là các hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15]).
Từ khi lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân ra đời, ngoài
các công trình ta liệt kê ở trên, một lượng lớn các bài báo, sách trình bày
về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập và các ứng dụng của chúng đã
được xuất bản bởi nhiều tác giả như R. N. Bracewell, L. E. Britvina, R.
V. Churchill, H. J. Glaeske, S. Saitoh, S. B. Yakubovich, V. K. Tuấn, N.
X. Thảo, N. M. Tuấn, B. T. Giang, (xem [6, 7, 18, 20, 25, 27, 29, 35, 36,
39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 54, 56]). Qua các công trình đó ta
thấy nổi bật lên là các nhóm nghiên cứu:
1. L. E. Britvina, Jorge J. Betancor và các cộng sự với một số công trình
liên quan đến các biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31]).
2. S. B. Yakubovich, Y. Luchko với các công trình liên quan đến biến
đổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41]).
3. V. A. Kakichev, V. K. Tuấn, N. X. Thảo, N. M. Khoa, Trịnh Tuân,
N. Thanh. Hồng với các công trình về tích chập suy rộng liên quan
đến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kon-
torovich Lebedev, Stieltjes và biến đổi I trên nửa không gian (xem
[21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]). Quan tâm đến các biến
đổi này ở Việt Nam còn có Phan Tăng Đa (xem [6]).
4. S. Saitoh cùng các cộng sự với một số công trình liên quan đến các
biến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54]).
11
5. R. N. Bracewell với một số công trình liên quan đến biến đổi Hartley
trong không gian một chiều (xem [35, 36]).
6. N. M. Tuấn, N. V. Mậu, B. T. Giang, P. D. Tuấn với một số công
trình liên quan đến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine
và Hartley trong không gian R
d
(xem [12, 13, 14, 15, 16, 46]).
Như vậy, chúng ta có thể thấy được những ứng dụng rộng rãi của các

Fourier-cosine và Hartley vào việc giải các phương trình tích phân với nhân
Hermite (bằng cách đưa các phương trình được xét về các phương trình,
hệ phương trình đại số). Ngoài ra, luận án còn sử dụng các kĩ thuật của
giải tích hàm để thu được đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích
phân.
4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
12
Nội dung của luận án, ngoài phần mở đầu, phần kết luận gồm có ba
chương:
Chương 1. Trình bày một số tính chất cơ bản của các biến đổi Fourier,
Fourier-sine, Fourier-cosine và Hartley cùng tích chập đối với chúng. Trong
chương này, luận án có đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các tính chất
và các tích chập đã biết.
Chương 2. Xây dựng các tích chập suy rộng mới của một số biến đổi
tích phân dạng Fourier với hàm trọng là các hàm Hermite. Cụ thể là: xây
dựng các tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier, Fourier ngược;
các tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và Hartley; các
tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine.
Chương 3. Sử dụng các tích chập mới nhận được ở Chương 2 vào việc
xây dựng L
1
(R
d
) thành các vành định chuẩn và giải một lớp phương trình
tích phân với nhân là hàm Hermite (trong trường hợp đặc biệt thì nhân
là các hàm dạng Gauss). Khi so sánh việc giải một số phương trình tích
phân dạng chập với các tác giả (xem [19, 22, 23, 43, 50]), các tác giả đó đã
sử dụng định lý Wiener-Lèvy và thu được nghiệm ẩn. Ở đây, đối với mỗi
phương trình được xét với một vài hạn chế áp lên vế phải, luận án đã chỉ
ra điều kiện cần và đủ cho tính giải được cũng như nghiệm tường minh

inar Giải tích của bộ môn Giải tích khoa Toán - Cơ - Tin học trường
ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội; Seminar của khoa Toán Tin ĐHBK Hà Nội.
14
Chương 1
BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE,
FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY
Các biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley
cùng tích chập đối với chúng được nghiên cứu và phát triển đã lâu và có
nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Trong chương này, luận án
trình bày các tính chất cơ bản và tích chập đối với những biến đổi này.
1.1. Biến đổi tích phân Fourier
Trước hết, ta nhắc lại một số không gian hàm và các chuẩn trong nó.
Cho d là một số nguyên dương. Ký hiệu
L
1
(R
d
) := {f : R
d
→ C :

R
d
|f(x)|dx < +∞},
(tích phân lấy theo độ đo Lebesgue).
Với f ∈ L
1
(R
d
),

2

R
d
f(y)e
−ixy
dy,
15
(F
−1
f)(x) : =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
ixy
dy.
Với mỗi x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
), ta ký hiệu −x = (−x
1
, −x

Ví dụ 1.1. Trong không gian R
d
, xét hàm số
f(x) = e
−|x|
2
.
Theo (xem [52]), ta có
1
(2π)
d
2

R
d
e
−
|x|
2
2
dx = 1. (1.1)
Vì vậy,
1
π
d
2

R
d
e

d
2
,
ta thu được
(F f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
e
−ixy−|y|
2
dy
=
1
(2π)
d
2

+∞
−∞

+∞
−∞
···

+∞

d
=
e
−
x
2
1
+x
2
2
+···+x
2
d
4
(2π)
d
2

+∞
−∞
e
−(y
1
+
ix
1
2
)
2
dy

2
dy
d
=
e
−
x
2
1
+x
2
2
+···+x
2
d
4
(2π)
d
2

+∞
−∞
e
−t
2
1
dt
1

+∞

(2π)
d
2

R
d
e
−|t|
2
dt
=
1
2
d
2
e
−|x|
2
4
.
Dễ thấy, trong ví dụ này Ff ∈ L
1
(R
d
).
Ví dụ 1.2. Xét hàm số
f(x) =




e
−ixy
dy
=
1
√
2π(1 + ix)
.
Suy ra
|(F f)(x)| =
1
√
2π
|
1
1 + ix
| =
1
√
2π
1
√
1 + x
2
.
Do đó,
ˆ
f ∈ L
1
(R).

√
2π

R
Π(y)e
−ixy
dy =
1
√
2π

1
2
−
1
2
e
−ixy
dy,
18
hay
(F Π)(x) =



2
√
2π
sin
x

(R
d
) và ||F f||
∞
≤ ||f||.
Nhận xét. Ở Ví dụ 1.1, hiển nhiên ta có
ˆ
f ∈ C
0
(R
d
). Trong các Ví
dụ 1.2, 1.3 ở trên, ta đã biết các hàm ảnh
ˆ
f,
ˆ
Π ∈ L
1
(R). Tuy nhiên, ta có
ˆ
f,
ˆ
Π ∈ C
0
(R), và
||F f||
∞
= ||f|| =
1
√

D
α
x
=
∂
|α|
∂x
α
1
1
···∂x
α
d
d
là toán tử vi phân. Dễ dàng kiểm tra được
Φ
α
(−x) = (−1)
|α|
Φ
α
(x). (1.3)
Kết quả sau sẽ được sử dụng thường xuyên trong luận án.
Định lý 1.2 ([8, 52]). Biến đổi Fourier của hàm Hermite Φ
α
(x) là hàm
(−i)
|α|
Φ
α

∈ R
d
sao cho f(x
0
) = g(x
0
). Đặt
|f(x
0
) −g(x
0
)| = 2ε > 0.
Từ tính liên tục của f và g, dẫn đến ∃ δ > 0 thỏa mãn:
∀x ∈ R
d
và |x
0
− x| < δ
thì
|f(x) −g(x)| > ε.
Khi đó,
f −g =
1
(2π)
d
2

R
d
|f(x) −g(x)|dx

)). Vì vậy, điều giả sử trên là sai và ta suy ra f(x) = g(x) ∀ x ∈ R
d
.
Mệnh đề được chứng minh.
Định lý 1.3 dưới đây cho ta thấy biến đổi Fourier là một song ánh liên
tục và là một toán tử đại số từ S vào S.
Định lý 1.3 ([8, 52]). (a) Nếu f ∈ S thì
f(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
(F f)(y)e
ixy
dy, ∀x ∈ R
d
. (1.4)
(b) Biến đổi Fourier là một song ánh tuyến tính liên tục từ S vào S và
F
4
= I trên S.
Định lý 1.4 ([8, 52], định lý ngược). Nếu f ∈ L
1
(R
d
), F f ∈ L
1

d
), thì
f = 0 trong L
1
(R
d
).
Ký hiệu I là toán tử đồng nhất trong L
2
(R
d
). Ta nhắc lại định lý
Plancherel cho biến đổi Fourier. Định lý này giúp ta chỉ ra tập phổ của
toán tử mở rộng của toán tử F trong L
2
(R
d
).
Định lý 1.5 ([8, 52], định lý Plancherel). Tồn tại duy nhất đẳng cự tuyến
tính
F : L
2
(R
d
) → L
2
(R
d
)
thỏa mãn

(2π)
d
2

|y|≤R
e
ixy
(F f)(y)dy,
với x ∈ R
d
hầu khắp nơi.
Định nghĩa 1.1 ([52]). Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên
trường số phức C,
A : X → X
là toán tử tuyến tính liên tục.
(i) λ ∈ C là giá trị chính quy của A nếu toán tử
A
λ
:= λI + A
khả nghịch và liên tục trên X. Tập tất cả các giá trị chính quy của A ký
hiệu là ρ(A).
21
(ii) Phổ của toán tử A được ký hiệu là σ(A) và σ(A) = C\ρ(A).
Ký hiệu
r(A) := sup
λ∈σ(A)
|λ|
là bán kính phổ của toán tử A.
Định lý 1.6. σ(F ) = {−1, 1, −i, i}.
Chứng minh. Giả sử λ ∈ {−1, 1, −i, i}. Dựa vào đẳng thức F

Cho U
1
, U
2
, U
3
là các không gian tuyến tính trên trường số K và V là
một đại số giao hoán trên K. Giả sử K
1
∈ L(U
1
, V ), K
2
∈ L(U
2
, V ),
K
3
∈ L(U
3
, V ) là các toán tử tuyến tính từ U
1
, U
2
, U
3
vào V tương ứng.
Gọi δ là một phần tử của đại số V .
Định nghĩa 1.2 ([14, 28]). Ánh xạ song tuyến tính
∗ : U

2
(g)
là đẳng thức nhân tử hóa của tích chập.
22
Ảnh ∗(f, g) được ký hiệu là f
δ
∗
K
3
,K
1
,K
2
g. Khi δ là đơn vị của đại số V
và K
1
= K
2
= K
3
= K thì tích chập suy rộng đó được gọi ngắn gọn là
tích chập đối với biến đổi K, và ký hiệu là f ∗
K
g.
Trong suốt luận án này, ta xét U
1
= U
2
= U
3

(i) Tính giao hoán
f ∗
F
g = g ∗
F
f.
(ii) Tính kết hợp
f ∗
F
(g ∗
F
h) = (f ∗
F
g) ∗
F
h.
(iii) Tính phân phối đối với phép cộng
f ∗
F
(g + h) = f ∗
F
g + f ∗
F
h.
Ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.4. Xét hai hàm số
Π(x) =




√
2π

+∞
−∞
Π(x −y) ∧(y)dy. (1.6)
Vế phải của (1.6) chỉ có thể khác 0 khi |y| < 1 và |x −y| <
1
2
. Vì vậy,
Hình 1.3: Π(x), ∧(x)
(Π ∗
F
∧)(x) =















1

√
2π

1
x−
1
2
(1 −|y|)dy, nếu
1
2
≤ x ≤
3
2
0, nếu |x| >
3
2
.
Tính các tích phân trên, ta nhận được
(Π ∗
F
∧)(x) =










2
1
8
√
2π
(4x
2
− 12x + 9), nếu
1
2
≤ x ≤
3
2
0, nếu |x| >
3
2
.
24
Hình 1.4: (Π ∗
F
∧)(x)
Dễ dàng kiểm tra được Π ∗
F
∧ ∈ L
1
(R).
Ví dụ 1.5. Xét hai hàm số
f(x) =



π
2
. Vì vậy,
(f ∗
F
g)(x) =







1
√
2π

x+
π
2
0
sin(x −y) cos ydy, nếu −
π
2
≤ x <
π
2
1
√
2π





1
2
√
2π
[(x +
π
2
) sin x − cos x], nếu −
π
2
≤ x <
π
2
1
2
√
2π
[(−x +
3π
2
) sin x + cos x], nếu
π
2
≤ x <
3π
2