BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

LÊ XUÂN HUY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

16

1.1

Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace . . . . . . . . . . . 16

1.2

Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm
trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3

Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích
chập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4

Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace
với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1

Định lý kiểu Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.2

Định lý kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Chương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY
46


3.2

59

Giải phương trình và hệ phương trình tích phân . . . . . . . . 59
3.1.1

Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.2

Giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . 69

Giải phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.1

Giải phương trình vi-tích phân cấp hai . . . . . . . . . 75

3.2.2

Giải phương trình vi-tích phân

. . . . . . . . . . . . . 77

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

người đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên
cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành
viên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS.
Nguyễn Thanh Hồng và TS. Nguyễn Minh Khoa. Những người luôn gần gũi,
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS. TSKH. Vũ
Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên, và cho tác
giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả
đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ
môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác
giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban
Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô
và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên
và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình bố
mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi
người là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó
khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả
4


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
a. Một số phép biến đổi tích phân và tích chập
• L là phép biến đổi tích phân Laplace
∞


• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace.
2

γ

• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) =
1

e−µy (µ > 0).
γ

• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng
2

γ(y) = e−µy (µ > 0).
γ

• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm
3

trọng γ(y) = − sin y.
5


γ

• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm
4

trọng γ(y) = sin y.


|f (x)| dx

=

1
p

.

0

• Lp (R+ , ρ), ρ > 0, 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định
trên R+ sao cho
∞

|f (x)|p ρ(x)dx < ∞,
0

trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi
∞

f

Lp (R+ ρ)

p

|f (x)| ρ(x)dx


Ac

= Fc f

L1 (R+ ) .

• C0 (R+ ) là không gian các hàm số liên tục trên R+ và triệt tiêu ở ∞.
• H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) .

7


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ
rất sớm. Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích
toán học. Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biến
đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép
biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến
đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]), ...
Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân là
nghiên cứu các tích chập. Đó là một phép nhân đặc biệt được định nghĩa
thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên
cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn
tại. Giả sử U (X) là không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số, ta xét phép biến
đổi tích phân T : U (X) → V (Y ) xác định như sau
K(t, τ )ϕ(τ )dτ ∈ V (Y ).

ϕ(t) = T ϕ (t) =



Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mà nhiều tích chập có
hàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối
với phép biến đổi Fourier sine (xem [15])
∞

1
f ∗ k (x) = √
Fs
2 2π
γ

f (y)[sign(x + y − 1)k(|x + y − 1|)
0

−k(x + y + 1) + sign(x − y + 1)k(|x − y + 1|)
− sign(x − y − 1)k(|x − y − 1|)]dy, x > 0,

(0.4)

nếu f, k ∈ L1 (R+ ) thì tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ

Fs f ∗ k (y) = sin y Fs f (y) Fs k (y), ∀y > 0.
Fs

(0.5)

Năm 1951, lần đầu tiên Sneddon I.N. đã xây dựng được một tích chập
mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân khác

γ

T1 f ∗ k (y) = γ(y) T2 f (y) T3 k (y),

(0.8)

và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụ
thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [17]). Kết quả
này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biến
đổi tích phân. Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộng
đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin,
Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng
dụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]). Mặc dù, có một số tích chập
suy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998.
Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích
phân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép
biến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [17]). Tuy nhiên,
đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy
rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố.
Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k (x),
bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích
chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không
gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên
quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
f → g = f ∗ k . Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được
Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập

10



dx
2π

(0.10)

∞

f (y) k(x + y) + k(|x − y|) dy, x > 0.
0

Với kỹ thuật đó, các tác giả này tiếp tục xây dựng và nghiên cứu phép biến
đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine (xem [2]).
Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan
đến biến đổi Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên
cứu (xem [14, 19, 20, 53, 55]). Nhưng tất cả các công trình này đều chỉ dừng
lại nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy
rộng không có hàm trọng. Với các tích chập và tích chập suy rộng có hàm
trọng, việc xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng
thường là vấn đề phức tạp hơn (xem [40, 41, 42]). Cho đến nay các phép biến
đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm
trọng vẫn chưa được nghiên cứu.
Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩa
quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhờ đó, các phép
toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành
các phép tính đại số. Vì vậy, nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương
trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những
phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong lý thuyết
11



là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier
(F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )
F

ρ1 ∗ ρ2
F

1
p −1

Lp (R)

≤ F1

Lp (R,|ρ1 |)

F2

Lp (R,|ρ2 |) .

(0.12)

Cũng trong năm đó, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. đã thiết lập được
bất đẳng thức ngược kiểu Saitoh cho tích chập Fourier (xem [27]). Khác với
bất đẳng thức Young, bất đẳng thức Saitoh (0.12) còn đúng trong cả trường
hợp p = 2. Do có nhiều ứng dụng thú vị, đặc biệt là trong việc đánh giá
nghiệm của các phương trình toán-lý, bất đẳng thức Saitoh sau khi xuất hiện
đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Về sau, bất đẳng
thức này đã được các tác giả Đ.T. Đức và N.D.V. Nhân mở rộng cho không
gian hàm trọng nhiều chiều Lp (Rn , |ρj |) (xem [7]).

bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong
các không gian hàm cụ thể. Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụng
nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình,
hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.
13


4. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm ba chương:
Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace.
Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu
Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp (R+ ) và
Lα,β
p (R+ ). Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một
số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong các không gian Lp (R+ ) và
Lp (R+ , ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy
rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.
Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích
chập suy rộng Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các
phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện
cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2 (R+ ),
hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biến
đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân
tương ứng cũng được chứng minh.
Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân
và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng FourierLaplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace.
Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương
trình trên đều được cho dưới dạng dóng.
5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Chương 1
TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE
Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy
rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu các tính chất
toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác
nhau. Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh
đối với các tích chập tương ứng.

1.1

Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biến
đổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng.
Định nghĩa 1.1.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép
biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau
∞ ∞

f ∗ k (x) =
1

1
π

θ1 (x, u, v)f (u)k(v)dudv,
0

(1.1)

0

≤ f

Ac

k

Ac .

16


Các định lý sau đây cho ta sự tồn tại của các tích chập (1.1) và đẳng thức
nhân tử hóa của tích chập này trong các không gian hàm tương ứng.
Định lý 1.1.1. Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2 (R+ ). Khi
đó ta có f ∗ k (x) ∈ Ac , và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval
1

f ∗ k (x) = Fc Fc f (y) Lk (y) (x), ∀x > 0.
1

(1.3)

Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc f ∗ k (y) = Fc f (y) Lk (y), ∀y > 0.
1

(1.4)

Chứng minh. Từ giả thiết f (x), k(x) ∈ L2 (R+ ), ta có Fc f (y), Lk (y) ∈
L2 (R+ ), suy ra Fc f (y) Lk (y) ∈ L1 (R+ ) và Fc Fc f (y) Lk (y) (x) ∈ Ac .

Từ (1.5), áp dụng Định lý Fubini ta có
∞

2
π

Fc Fc f (y) Lk (y) (x) =

Fc f (y) Lk (y)cos xydy
0

∞

=

∞

2
π

k (v)e−vy dv cos xydy

f (u) cos yudu
0
0
∞ ∞

=

∞

(1.6)

0

Từ (1.6), sử dụng công thức (2.13.5) trong [6]
∞

v
, v > 0,
v2 + y2

e−vt cos ytdt =

(1.7)

0

ta có
Fc Fc f (y) Lk (y) (x)
∞ ∞

v
v
+
f (u)k (v)dudv
v 2 + (x − u)2 v 2 + (x + u)2

1
=
π

Fc f
π

Vậy, nếu cho

L2 (R+ )

Lk

L∞ (R+ )

L2 (R+ )

2
π

≤
≤

√

2 f

Fc f (y) Lk (y)
L2 (R+ )

k

L1 (R+ )


∈ L2 (R+ ). Trong trường hợp này, ta có đánh giá sau

Fc Fc f (y) Lk (y) (x)

L∞ (R+ )

2
π

≤

2
Fc f L2 (R+ ) Lk L2 (R+ ) =
π
√
≤ 2 f L2 (R+ ) k L2 (R+ ) .

2
f
π

≤

Fc f (y) Lk (y)
L2 (R+ )

Lk

L1 (R+ )


Khi đó, sử dụng Định lý Fubini ta có
∞

∞

Fc Lk

(x) dx =

0

=

∞

2
π
0

e−vy k (y) dy dv dx

0

0

∞

∞

e−vy cos xv dv dy dx =

dy dx
x2 + y 2


∞

≤

2
π

∞

y |k (y)|
0

∞

π
2

1
dx dy =
x2 + y 2
0

Suy ra Fc Lk

|k (y)| dy.
0

1

thuộc không gian L1 (R+ ) và trong không gian tương ứng các đẳng thức kiểu
Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng. Ta có định lý
sau.
Định lý 1.1.2. Giả sử rằng f (x), k(x) ∈ L1 (R+ ). Khi đó đối với tích chập
f ∗ k (x), các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4)
1

vẫn còn đúng, hơn nữa f ∗ k (x) ∈ L1 (R+ ).
1

Chứng minh. Việc chứng minh đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức
nhân tử hóa (1.4) là tương tự như trong phần chứng minh Định lý 1.1.1,
vì vậy ở đây ta không chứng minh nữa. Nếu k(x) ∈ L1 (R+ ), thì từ Bổ đề
1.1.1 ta có Lk (y) ∈ Ac . Từ điều kiện f (x) ∈ L1 (R+ ) ta cũng nhận được
Fc f (y) ∈ Ac . Vì Ac là một đại số Banach, suy ra Fc f (y) Lk (y) cũng
thuộc Ac . Từ đẳng thức (1.3) ta cũng suy ra f ∗ k (x) ∈ L1 (R+ ). Định lý
1

đã được chứng minh.

✷

Nhận xét 1.1.2. Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace
. ∗ . , nếu thay thế nhân θ1 (x, u, v) bởi nhân
1

θ2 (x, u, v) =



(1.13)

2

Tích chập suy rộng . ∗ . có các tính chất gần tương tự tích chập . ∗ . .
2

1

Định lý sau đây nói lên mối liên hệ giữa các tích chập . ∗ . và . ∗ .
1

2

trong L2 (R+ ).
Định lý 1.1.3. Giả sử rằng f (x), f (x) ∈ L2 (R+ ) và k(x) ∈ L2 (R+ ). Khi
đó, ta có các đẳng thức sau
d
f ∗ k (x) = f ∗ k (x),
2
dx 1
d
f ∗ k (x) = f ∗ k (x) +
1
dx 2

(1.14)
∞




= −Fs y Fc f (y) Lk (y) (x)
= Fs Fs f (y) Lk (y) (x) = f ∗ k (x).
2

Việc chứng minh đẳng thức (1.15) là tương tự. Thật vậy,
d
d
f ∗ k (x) =
Fs Fs f (y) Lk (y) (x)
dx 2
dx
= Fc y Fs f (y) Lk (y) (x)
= Fc

Lk (y) (x)

Fc f (y) + f (0)

= Fc Fc f (y) Lk (y) (x) + f (0)Fc Lk (y) (x)
∞

= f ∗ k (x) +
1

2
f (0)
π


của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và
Laplace được định nghĩa như sau
∞ ∞
γ

f ∗ k (x) =
1

1
π

θ1 (x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv,
0

(1.16)

0

trong đó θ1 (x, u, v) được xác định bởi (1.2).
γ

Định lý sau cho ta sự tồn tại của tích chập f ∗ k (x) trong không gian hàm
1

L1 (R+ ) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chập.
22


Định lý 1.1.4. Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1 (R+ ).
γ

1

γ

Ngoài ra, tích chập suy rộng f ∗ k (x) cũng thuộc C0 (R+ ).
1

Chứng minh. Trước hết, ta có đánh giá sau
∞

∞

v+µ
v+µ
+
dx
2
2
(v + µ) + (x − u)
(v + µ)2 + (x + u)2

θ1 (x, u, v + µ) dx =
0

0
∞

∞

v+µ

f ∗ k (x) dx =
1
π
γ

0

∞

|f (u)k(v)| dudv

0 0
∞

≤

0
∞

|f (u)|du
0

θ1 (x, u, v + µ) dx

|k(v)|dv = f

L1 (R+ )

k