MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm. Đến
nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích toán học. Một trong những nội
dung được quan tâm của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập. Đó là một
phép nhân đạc biệt được định nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được
đưa vào nghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không
tồn tại. Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace, tích chập Fourier.
Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được Sneddon I.N. đề cập và nghiên là tích chập
suy rộng Fourier sine và Fourier cosine. Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài
tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu
bởi Yakubovich S.B. Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số. Đến năm
1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng Y
của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng
thức nhân tử hóa Ti (f * k) (y) = Y(y) (T2f) (y) (T3k) (y) và cho điều kiện cần để xác định tích
chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng.
Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có một số tích chập suy rộng liên quan đến các
phép biến đổi tích phân khác được xây dựng. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả
nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace
được công bố.
Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập (f * k) (x), bằng cách cho
một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm
k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được
phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập f ^ g = Ự * k). Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson
xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập Mellin. Tổng quát hơn,
người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f ^ g = D(f * k) mà D là một toán
tử nào đó. Trong trường hợp D = (1 — d"2) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích
phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K. Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên
cứu. Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan đến biến

chương:
Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier- Laplace. Nhận
được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch và một
số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và La,ổ(R+). Tìm được mối liên hệ


giữa các tích chập suy rộng mới với một số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong
các không gian Lp(R+) và Lp(R+,p), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích
chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.
Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận
được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là
unita trong không gian L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại
các phép biến đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân
tương ứng cũng được chứng minh.
Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân và phương
trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-Laplace và phép biến đổi
tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier- Laplace. Hơn nữa, bằng phương pháp giải này
nghiệm nhận được từ các các phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng.
5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng
tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án. Các kết quả này có ý
nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích
chập cũng như bất đẳng thức đối với tích chập. Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các
phương pháp giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. Một số ý tưởng và
phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng nghiên cứu các tích chập suy rộng
khác.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt kê ở "Danh
mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công trình trên các tạp chí toán học Quốc

_
ới(x,u,v)f
(1.1)
n
J0J0
trong đó
c(x,u,v) =

2

, /-----------72 + 2 , /V ,------------72 > x> °.

(1.2)

Ta gọi Ac là không gian ảnh của L* (R+) thông qua phép biến đổi Fourier cosine Fc .
Với chuẩn Ilf ||A := ||Fcf ||Ll(R+) thì Ac là đại số Banach, nghĩa là nếu f (x), k(x) E Ac ,
thì f (x)k(x) E Ac và thỏa mãn ||fk||A < If |A |k|A .
Định lý 1.1.1 Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2(R+). Khi đó ta có (f * k) (x) E Ac ,
và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval
(fị k)(x) = Fc[(Fcf)(y)(Lk)(y)](x), Vx> °.

(1.3)

Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc (f * k) (y) = (Fc f) (y) (Ch) (y), Vy > °.
BỔ đề 1.1.1 Nếu k(x) E L*(R+), thì (Ck)(y) E Ac .

(1.4)



ea x ) (a > 0). Nếu (f ĩ k) (x) = 0, Vx > 0 thì hoặc f (x) = 0, Vx > 0 hoặc k(x) = 0, Vx > 0.
Đinh lý 1.1.6 Giả sử p > 1,r > 1, 0 < ß G 1, các hàm f (x) G Lp(R+) và k(x) G L^R+). Khi đó tích
chạp suy rộng (f ĩ k)(x) tồn tại, liên tục và thuộc La , ß (R+). Hơn nữa, ta có đánh giá sau
II (f 11 k) l La,ß(R ) G CIf |Lp(R+)|k|Li(R+),

(1.13)

trong đó C = (—)1/ p ß-^ r1/r (a + 1) với r là hàm Gamma. Ngoài ra, nếu f (x) G L1(R+) n Lp(R+) thì
tích chạp suy rộng (f ĩ k) (x) thuộc C0(R+), và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12).


Đinh lý 1.1.7 Giả sử a > —1, 0 < ß G 1,p > 1,q > 1,r > 1 thỏa mãn 1 + 1 = 1. Khi đó, nếu f (x) G
Lp (R+) và k(x) G Lq (R+, (1 + x2)q —1), thì tích chạp (f ĩ k) (x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong L° r , ß (R+)
và có
1 (f 1 k l La,ß (R ) G C l f |Lp(R+)|k|Lq (R+,(1+X2)9-1 ),

(1.14)

trong đó C = p-Pn-qß—^r1/r(a + 1). Hơn nữa, nếu giả thiết thêm f (x) G L1(R+) n Lp(R+) và k(x) G
L1(R+) n Lq(R+, (1 + x2)q-1) thì tích chạp f ĩ k)(x) thuộc C0(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
(1.12).
Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng (. * .), nếu thay thế nhân 9ị(x,u,v + ụ) bởi 92(x,u,v
+ ụ) được xác định như (1.5), thì ta nhận được tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace (.
* .) với hàm trọng Y (y) = e—My (ụ > 0) được định nghĩa bởi
(f * k)(x) = 1 [ Ị 92(x,u,v + ụ)f (u)k(v)dudv,
2
n J 0 Jo

(1.15)


(1 18)

.

và đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc (f * k)(y) = — siny(Fs f)(y)(Lk)(y), Vy> 0.

(1 19)

.

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng Y(y) = —e--y siny (ụ > 0) của hai hàm f và
k đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được định
nghĩa như sau
-|
(f ỉ k)(x) =2~J J

[ớ2(x — 1,u,v + ụ)
— 02(x + 1, u, v + ụ)] f (u)k(v)dudv,

(1.20)

với 02(x,u,v) được xác định bởi (1.5).
Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian Li(R+). Khi đó, tích chập suy rộng f ỉ
k) (x) thuộc không gian L1(R+), và ta có bất đẳng thức chuẩn
11 f 5 k ^Li(R+) - llfllLi(R+>llkl Li(R+).
Hơn nữa, tích chập suy rộng f ỉ k) (x) cũng thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng
5
thức nhân tử hóa
Fcf 5 k)(y) = —e--y sin y(Fsf )(y)(Lk)(y), Vy > 0^


(L24)

trong đó C = ( ) 1 / q .ß—^To1/r(a + 1).
Ngoài ra, nếu f (x) G L1(R+)nLp(R+) và k(x) G L1(R+)nLq(R+,e(q—1)x) thì tích chạp f ỉ k)
(x) cũng thuộc C0(R+) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval
(1.22).

1.3

Mối liên hệ giữa tích chạp suy rộng Fourier- Laplace và các tích chạp khác

Mệnh đề 1.3.1 Cho f (x), k(x) và h(x) là các hàm trong L1(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức
sau
a) f ỉ (k ỉ h) = (f ỉ k) ỉ h. b) f ỉ (k ỉ h) = (f ỉ k) ỉ h. c) f ỉ (k ỉ h) = (f ỉ k) ỉ h. d) f ỉ (k ỉ h)
= (f ỉ k) ỉ h.
Mệnh đề 1.3.2 Cho f (x) và k(x) là hai hàm trong không gian L1(R+).
Khi đó, ta có các đẳng thức sau
a)

(f

ỉ k) (x) = y2 Jo“ k(v) ự(u) Fc (v +yy+ u2 ) (x)dv-

b) (f 2 k) (x) = Jĩ I k(v) (f (u) FỈFC (v +++ u2 ) (x)dv.


1.4
1.4.1


CHƯƠNG
PHÉP BIÊN ĐÔI TÍCH PHÂN KIÊU TÍCH CHẬP
SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE
Mục đích của chương này là thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân
dựa trên các tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace và tích chập suy rộng Fourier
cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng đã được nghiên cứu trong Chương 1.

2.1

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace

Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace (1.1):
x> 0,

(2.1)

trong đó k là nhân của phép biến đổi.

2.1.1

Định lý kiểu Watson

Định lý 2.1.1 Giả sử rằng k(x) E L2(R+), hoặc k(x) E H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ
như tích phân lặp. Khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.1) unita trong
L2(R+) là
1(1+ y2)(Lk) (y)\(2.2
= 1, y> 0.
Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định bởi
(2.3)
trong đó k là hàm liên hợp phức của k.

trong đó kl, k2 là nhân của phép biến đổi.


2.2.1

Định lý kiểu Watson

Định lý 2.2.1 Giả sử ki(x) G H(R+) và k2(x) G L2(R+ ), khi đó điều kiện cần và đủ để phép
biến đoi tích phân (2.8) unita trong L2(R+) là
1 - sin

y(Lki)(y) + (Fsk2 )(y)l = Y+ ~ 2 .

Hơn nữa, phép biến đoi ngược có dạng
z
d2 \c
f (x)
= 0 - d^){ - (g ỉ k1)(x) + (k2 *F s)(x0},

(2 9)

.

(2'10)

trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2.

2.2.2

Định lý kiểu Plancherel

với ||gHi2(M+) = II/I|L2(R+).
2) Đặt gN = g.ỵ(0,N), thì
cũng thuộc L2(R+), và nếu N — TO thì /N hội tụ theo chuẩn đến /.
N(x)
Kết luận Chương 2
f

jei(X,U,v)gN (u)kl{v)dudv
00
00
N

J g (u)
u) + sign(u
— chập
x)K(|x
0 rộng Fourier
— u|)|
Xây dựng hai+ phép biến
đổi[K(x
tích +phân
kiểu tích
suy
cosine-Laplace Tk
và Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tkl k2 với hàm trọng. Nhận được các kết quả chính:
• Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi Tk và Tkl k2 là unita
trong L2(R+).
• Xác định được điều kiện đủ để toán tử Tk bị chạn và có biến đổi ngược.
• Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại các dãy toán tử hội tụ theo chuẩn về toán tử tích
phân Tkl k2 và toán tử ngược của nó.


01 (x,u,v )k(v)dv,

với ỡ1(x,u,v) được xác định bởi (1.2).
Định lý 3.1.2 Cho g(x), k(x) E L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để
phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) là (Fcg)^ £ Ac. Hơn nữa,
{Lk)

(3.2)


CHƯƠNG

nghiệm được cho dưới dạng
c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng
poo
(Fcg) (y)
f (x) =
0 = g(x),
f(x) + ị K2(x,t)fJ(t)dt
x > 0, cos
0 xydy.
Lk ( )
( )y
ở đó
b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng

poo
K2(x,t) =—1 ỡ1(x,u,v f+(x)
p.)+[^(|u


ở đó q(x) G L1(R+) được xác định bởi
q(x) = Fc

(Lk) (y)
1 + (Lk)(y)

(x)

(3.7)

(3.8)


Định lý 3.1.4 Giả sử rằng y(x), 'ệ(x) E Li(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình
(3.8) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e-My(Fc'ệ)(y)(Ly)
(y) = 0, Vy > 0. Hơn nữa, nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau
ỉ(x) = g(x) — (g (3.9)
* q)(x),

F

c

ở đó, hàm q E L1(R+) được xác định bởi
e ^(Fcệ)(y)(Ly)(y)

ựcq) (y)

(3.10)

c
trong đó q là hàm thuộc L ^ R ^ sao cho
(F w )= —e—t iys i n y(Fh)(y)(L^)(y) cq y
y(Fc 0.
5
Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm q(x) E L1(R+) sao cho
— ^/n2'e My sin
y.-


= g(x) + (g 1 q)(x)

F

c

~d

(3.13


3.1.2

Giải hệ phương trình tích phân
a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng
f (x) + / K6(x,t)g(t)dt = p(x),
J0
g(x) +

0

K7(x,t)f (t)dt = q(x),x> 0.

(3.15)

Trong đó
—1 ỠKo(x,t)
1 (x,u,v + y)[k(lu — t|) + k(u + t)]p(v)dudv, n v 2 n JR +
—1 Ỡ1 ( x , u , v + y)[l(lu — t|) + l(u + t)]ị(v)dudv, n v 2n ,/R+
(3.16)


e—2fẤy (Fck)(y)(Fcl)(y)(Lp)(y)(Lị )(y)
1 — e—2»y(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lp)(y)(Lị)(y).

( )

.


b) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng
f (x) +

J0

g(x) +

0

K10(x,u)g(u)du = p(x),
K11(x,u)f (u)du = q(x), x> 0.

(3.20)

Trong đó
Kio(x,u) =^

1
2n J0

ỳ(v) [Ỡ2 (x - 1 ,u,v + ụ) - Ỡ2 (x + 1 ,u,v + ụ)] dv,

Trong đó £(x) E L1(R+) là hàm thỏa mãn
—e—tiy siny(Fcý)(y)(Lỳ)(y)
{Fc£) (y)
1—
e-M sin y(Fc'ệ)(y)(Lỳ)(y) ’
3.2 Giải phương trình vi-tích phân

3.2.1

Giải phương trình vi-tích phân cấp hai
Xét phương trình vi-tích phân có dạng
f (x) - f (x)

" + (Tkf)(x) = g(x), x > °,

f( 0) = f (0) = 0.

(3 21)

.


Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f (x) là hàm cần
tìm.
Định lý 3.2.1 Nếu 1 + (Lk) (y) = 0, Vy > 0, thì phương trình (3.21) có nghiệm duy nhất trong
L1(R+). Hơn nữa, nghiệm có thể viết dưới dạng
f(x)

3.2.2

0,
f'(0) = f (0) = 0.

(x)

.

(3.23)

Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f (x) là hàm cần
tìm.



Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn
Khi đó phương trình (3.25) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới
1
+ (y + y3)(siny(Kp)(y) - (Fs^)(y))
dạng
(3.26
< oo, Vy > 0.
f

(x) = g(x) - (q _*_ g) (x)
F F
sc

ở đó q(x) E L2(R+) là hàm được xác định bởi
(
F

)( ) =

(

y + y3)[siny ( L ^ ) ( y ) - (Fsĩịj)(y)]
° 1 + (y + y1[siny(L^)(y) - (Fsệ)(y)] ]
qy

Kết luận chương 3
Ung dụng từ các kết quả Chương 1 và Chương 2, ta nhận được:
• Điều kiện cần và đủ giải được một lớp các phương trình tích phân.