BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH - 2006
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH KHẢI


Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên và phòng sau
Đại học đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử
nhân Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích.
Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, đã động viên
và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên trong luận văn có thể có
những thiếu sót. Kính mong quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp giúp đỡ.
Nguyễn Minh Khải

1
Chương Mở đầu
Chương MỞ ĐẦU
Vào năm 1919, Gronwall [6] đã phát biểu và chứng minh kết quả sau:
Nếu
:[ , ]uhR
α
α
+→ liên tục, thỏa

0()[ ()], [, ],
α
αα
≤≤+ ∀∈ +
∫
t

,và

0 () ()() , ,
α
α
≤≤+ ∀≥
∫
t
xt a ksusds t

thì

() exp () , .
α
α
⎛⎞
≤∀≥
⎜⎟
⎝⎠
∫
t
xt a ksds t
Dễ thấy rằng kết quả của Bellman tổng quát hơn kết quả của Gronwall. Vì lí
do nầy mà tại sao các bất đẳng thức thuộc loại nầy được gọi là “bất đẳng thức
Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall”. Các bất đẳng thức thuộc loại
Gronwall cung cấp một công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương trình
vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân các loại (xem Gronwall [6]).
Một số ứng dụng của kết quả nầy để nghiên cứu tính ổn đònh nghiệm của các
2
Chương Mở đầu

3
Chương Mở đầu
Trong chương 4 chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tích phân khác đối
với hàm cho hàm theo hai biến độc lập. Sau cùng, chúng tôi xét một số ví dụ áp
dụng các bất đẳng thức tích phân ở trên để đánh giá tính bò chận và chứng minh
sự duy nhất nghiệm của một bài toán biên.

4
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ đề sẽ được
áp dụng trong các chương sau.
Bổ đề 1.1 (Gronwall)
Nếu
:[ , ]uhR
α
α
+→
liên tục, thỏa

0()[ ()], [, ],
α
αα
≤≤+ ∀∈ +
∫
t
ut a bus ds t h

thì


()
() () () .
−− −
′
′
=−≤
bt bt bt
vte e v t bvt ae
Tích phân trên
[,]
α
t , ta được

()
()
α
α
−− −−
≤=−
∫
t
bt bs b bt
a
vte a e ds e e
b()
()
() () 1, [ , ].

bh bh
b h e bhe
Vậy bổ đề 1.1 được chứng minh.
5
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Bổ đề 1.2 ( Bellman)
Nếu
,:[, ) [0, )uk
α
+∞ → +∞
liên tục, thỏa

() ()() , , 0,
α
α
≤+ ∀≥ ≥
∫
t
ut a ksusds t a

thì

()
() e , .
α
α
∫
≤∀≥
t
ksds

αα
−−
′
⎛⎞
∫∫
⎜⎟
′
=−≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
tt
ksds ksds
evte vtktvt
Tích phân hai vế trên
[,]
α
t , ta được

()
() ( ) 0,
α
α
α
−
∫
−≤∀≥
t
ksds
evtv t

là hàm liên tục,
()
f
t
là hàm khả tích,
()vt
là hàm khả vi

trên
[, )
α
∞

thỏa

0
() ()() (), ,
() .
α
α
′
≤+ ∀≥
⎧
⎨
≤
⎩
vt btvt ft t
vv

Khi đó

bd
, ta được

()exp ( ) ()()exp () ()exp () ,
ααα
τ
τττττ
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
′
−− −≤ −
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
ttt
vt bd btvt bd ft bd

hay

()exp ( ) ()exp () .
αα
τ
τττ
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−≤−
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠

∫∫ ∫ ∫
tt s t
vt v b d f s b d b d ds() ( )exp () ()exp () ()
α
αα α
αττ ττττ
⎛⎞ ⎛ ⎞
≤++
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
∫∫∫∫
tt t
s
vt v b d f s b d b d ds

0
() exp () ()exp () , .
αα
τ
τττα
⎛⎞ ⎛⎞
≤+ ∀≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
ttt
s


0
(, ) (, ) (,)(,) , , ,
∞
+
≤+ ∀∈
∫∫
x
y
u x y a x y b s t u s t dtds x y R

thì

0
(, ) (, )exp (,) , , .
∞
+
⎛⎞
≤∀∈
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
uxy axy bstdtds xy R

(ii) Giả sử
(, )axy
là hàm không tăng với mọi

Chứng minh
i. Đặt (, ) (, ) 0, 0.
ε
ε
ε
=+>>axy axy
Ta có

0
(, ) (, ) (,)(,) , , .
ε
∞
+
≤+ ∈
∫∫
x
y
u x y a x y b s t u s t dtds x y R

Chia hai vế cho
(, )
ε
axy
ta được,

0
(, ) 1
1(,) (,)
(, ) (, )
εε

ε
∞
=+
∫∫
x
y
vxy bst ustdtds
ast

Khi đó

(, )
(0, ) 1, ( , ).
(, )
ε
=≤
uxy
vy vxy
axy1
(, ) (,) (,)
(,)
ε
∞
=
∫
x
y

vxy

Lấy tích phân hai vế từ
0 đến ,
x
ta được

00
(, )
(,) .
(, )
∞
≤
∫∫∫
xx
x
y
vsy
ds b s t dtds
vsy

Do đó

0
(, )
ln ( , ) .
(0, )
∞
≤
∫∫

⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
uxy a xy bstdtds
Cho
0
ε
→ , ta có
9
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò

0
(, ) (, )exp (,) .
∞
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
uxy axy bstdtds
Vậy (i) được chứng minh.
ii. Đặt
(, ) (, ) 0, 0axy axy
ε
ε


1
1(,) (,).
(,)
ε
∞∞
≤+
∫∫
xy
b s t u s t dtds
ast

Đặt
1
(, ) 1 (,) (,) .
(,)
ε
∞∞
=+
∫∫
xy
vxy bst ustdtds
ast

Khi đó
(, )
(,)1, (,),
(, )
ε
∞= ≤


Do đó

(, )
(,) .
(, )
∞
−≤
∫
x
y
vxy
bxtdt
vxy

Lấy tích phân hai vế từ
x
đến
∞
và chú ý rằng ln ( , ) 0,
∞
=vy ta được

(, )
(,) .
(, )
∞∞∞
−≤
∫∫∫
x

∫∫
xy
v x y v y b s t dtds

Khi đó
(, ) (, )exp (,) .
ε
∞∞
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xy
uxy a xy bstdtds

Cho
0,
ε
→ ta có

()() ()
,,exp,.
xy
uxy axy bstdtds
∞∞
⎛⎞
≤
⎜⎟

≤+ ∀∈
∫
t
ut at bt ksusds t

thì

() () () () ()exp () () , [ , ].
α
αβ
⎛⎞
≤+ ∀∈
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
tt
s
ut at bt asks brkrdr ds t

(ii) Nếu

() () () () () , [ , ],
β
α
β
≤+ ∀∈
∫
t
ut at bt ksusds t


β
≤+ ∀∈ut at btvt t
Hay

(
)
() () () () () ()()
′
=≤ +v t ktut kt at btvt

() () () ()().≤+ktat ktbtvt

12
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Áp dụng bổ đề 1.3, chọn
0
() 0,
α
=
=vv
ta được

() ()()exp ()() , .
α
α
⎛⎞
≤∀≥
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

≤+ ∀∈ut at btvt t
Hay

(
)
() () () () () ()() ,
′
=≤ +vt ktut kt at btvt

() () () ()().≤+ktat ktbtvt
Áp dụng bổ đề 1.3, chọn
0
() 0,
β
=
=vv ta được

() () ()exp () () , .
β
β
⎛⎞
≤∀≤
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
s
tt
vt ksas brkrdr ds t

() () () () ()exp () () , .

là hàm thực dương, liên tục, tăng và thỏa điều kiện

()()(),
(.) () (), , .
+
+≤ +
⎧
⎨
≤∀∈
⎩
Wx y Wx Wy
Wxy WxWy xy R

13
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Giả sử
(,), (, )axy f xy
là hàm không giảm theo biến
x
, trên
0,≥
x
cho trước
0
α
≥ ,
nếu
(,)uxy
thỏa


⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC()
)
}
0
(,) (,) (,) , , 0,
∞
⎤
+∀≥
⎦
∫∫
x
y
d s t W p s t f s t dtds x y (2.2)
trong đó

(,) 1 (,) (,)exp (,)(,) ,
α
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xx
s

, với mọi
0, 0,≥≥
x
y()
0
( ) (,) (,) (,)
∞
+
∫∫
x
y
G C d s t W p s t f s t dtds
thuộc miền xác đònh của
1
.
−
G
Chú thích

Hàm
G
xác đònh bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, )+∞ , do đó
tồn tại hàm ngược
1
G
−
xác đònh trên một khoảng tương ứng.

z
xy
là hàm liên tục không âm theo biến
0≥
x
. Cố đònh 0≥
y
trong
(2.7) áp dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.7), ta được

(,) (,) (,) (,)(,)exp (,)(,) .
α
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xx
s
uxy zxy bxy zsycsy brycrydrds
Hơn nữa
(, )
z
xy là hàm không giảm theo 0≥
x
, ta được

(,) (,)(,),uxy zxypxy≤ (2.8)
trong đó
()

∫∫
x
y
vxy dstW pst ast f stH vst dtds

Từ tính chất của
W , ta có

()
0
(, ) (,) (,)(,)
∞
≤
∫∫
x
y
vxy dstW pstast dtds

()()
()
0
(,) (,) (,) (,)
∞
+
∫∫
x
y
dstW pstfst W Hvst dtds
∫∫

Từ (2.10) và
(,)rxy là hàm không tăng theo 0, ( , ) ( , )≥≤yvxyrxy và

()()
()
(, ) (,) (,) (,) (,)
∞
=
∫
x
y
r xy d xtW pxt f xt W H vxt dt( )()
()
(,) (,) (,) (,)
∞
≤
∫
y
dxtW pxtfxt WHrxt dt()
()
()
(, ) (,) (,) (,) .

() ( )
(,) (,) (,) (,) .
x
y
Grxy dxtWpxtfxtdt
∞
≤
∫
(2.13)
Đặt
x
s= trong (2.13), sau đó lấy tích phân theo s từ 0 đến
x
, ta được

()() ( )
0
(,) (0,) (,) (,) (,) .
x
y
Grxy Gr y dstW pstfst dtds
∞
≤+
∫∫

Do
1−
G là hàm tăng nên

()


())
}
0
(,) (,) (,) , 0, 0.
α
∞
+⎤∀≥≥∀≥
⎦
∫∫
x
y
d s t W p s t f s t dtds x y
Đònh lý 2.1 được chứng minh.
Đònh lý 2.2 Cho
(,), (, ), (,), (, ), (,), (,)uxy axy bxy cxy dxy f xy
là hàm thực liên tục
không âm trên
0, 0≥≥
x
y
. Cho
()Hx
là hàm thực dương, liên tục, không giảm
trên
0≥
x

β
≤+
∫
x
uxy axy bxy csyusyds

()
(, ) (,) (,) , [0, ], 0.
β
∞∞
⎛⎞
+∀∈∀≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xy
fxyH dstWustdtds x y
(2.15)
Khi đó

(
{
1
(,) (,) (,) (,) ()
−
⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC

00
,,,,CdstWpstastdtds
∞∞
=
∫∫
(2.18)
17
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

()
()
0
,0,
()
=>
∫
r
ds
Gr r
WHs
(2.19)

1
G
−
là hàm ngược của
G
và với mọi
,0,≥
x

()
(,) (, ) (, ) (,) (,)
xy
z
xy axy f xyH dstW ust dtds
∞∞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.20)
Từ (2.15), ta được

(,) (,) (,) (,)(,) .
x
uxy zxy bxy csyusyds
β
≤+
∫
(2.21)
Ta có
(,)
z
xy
là hàm liên tục không âm theo biến
0≥
x
. Cố đònh

xy
được xác đònh bởi (2.17), từ (2.21), (2.22), ta được

(
)
(,) (,) (,) (,) (,) ,uxy pxy axy f xyHvxy≤⎡+ ⎤
⎣⎦
(2.23)
và
()
(,) (,) (,) .
xy
vxy dstW ust dtds
∞∞
=
∫∫

18
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Chú ý rằng
W
là hàm tăng, từ (2.23) ta được

()
()
(, ) (,) (,) (,) (,) (,) .
∞∞
≤⎡+⎤
⎣⎦
∫∫
()()
()
(,) (,) (,) (,) .
xy
dstWpstfst WHvst dtds
∞∞
+
∫∫
(2.24)
Đặt
(,)rxy
là vế phải của (2.24), khi đó

()
00
( , ) (, ) (,) (,)(,) .
∞∞
∞= ∞= =
∫∫
r y rx dstW pstast dtds C
Từ (2.24) và
(,)rxy
là hàm không tăng theo
,(,) (,)
+
∈
≤yRvxy rxy
và

Chia 2 vế của (2.25) cho
(
)
(
)
(,)WHrxy , ta được

()
()
()()
(,)
,(,)(,).
(,)
∞
−≤
∫
x
y
rxy
dxtWpxtfxt dt
WHrxy
(2.26)
Tích phân (2.26) và từ (2.19), ta được
19
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

()
(,) (,) (,) (,) .
∞
−≤

≤+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
xy
r x y G G C d s t W p s t f s t dtds
(2.28)
Từ (2.23), (2.28) và
(,) (,)vxy rxy
≤
, ta được

(
{
1
(,) (,) (,) (,) ()
−
⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC())
}
(,) (,) (,) , [0, ], 0.
β
∞∞
+⎤∀∈≥

,,
M
xyv
là hàm thực liên tục không âm trên
,, 0.≥
x
yv

Hàm
: RR
φ
++
→
liên tục và tăng ngặt,
(
)
00,
φ
=
hàm ngược
1
φ
−
của
φ
thỏa
điều kiện
() ()
(
)


(, ) (, ) (, ) (, )(, )
x
uxy axy bxy csyusyds
α
≤+
∫()
0
(, ) ,,(,) , , 0,
φα
∞
⎛⎞
+∀≥≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
fxy Lstustdtds x y (2.30)
Khi đó

(,) (,)≤uxy pxy

(,) (,)((,)
φ
+

,1 , ,exp , , ,
xx
s
p
xy bxy csy brycrydrds
α
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.32)

()
0
(,) ,, (,)(,) .
x
y
e x y L s t p s t a s t dtds
∞
=
∫∫
(2.33)
Chứng minh
Đặt

()
0
(,) (, ) (, ) ,,(,)
x

∈yR trong
(2.35) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.35), ta được

(,) (,) (,) (,)(,)exp (,)(,) .
xx
s
uxy zxy bxy zsycsy brycrydrds
α
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Hơn nữa
(, )
z
xy là hàm không giảm theo
+
∈
x
R , ta được
21
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(,) (,)(,)uxy zxypxy≤
, (2.36)
với
()
,

(,) ,, (,) (,) , (,)
x
y
vxy L stpst ast f st vst
φ
∞
≤⎡+⎤
⎣
⎦
∫∫()
(
)
}
,, (,)(,) ,, (,)(,)−+L st pstast Lst pstast dtds

()
0
,, (,)(,)
x
y
Lstpstast dtds
∞
≤
∫∫() ()

là hàm liên tục không âm, không giảm theo
+
∈
x
R
và không
tăng theo
+
∈yR
, như trong (2.33).
Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (2.38), ta được

()()
1
0
(, ) (, )exp ,, (,)(,) (,) (,)
φ
∞
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
vxy exy M stpstast pst f st dtds (2.39)
Sử dụng (2.37) vào (2.39), ta được


Đònh lý 2.3 được chứng minh.
Đònh lý 2.4

Cho
(,), (,), (, ), (,), (,)uxy axy bxy cxy fxy
là các hàm thực liên tục không
âm xác đònh cho mỗi
,.
+
∈
x
yR

Hàm
3
:LR R
++
→
là hàm liên tục thỏa điều kiện

1
0 (,,) (,,) (,,) ( ), , 0, 0.
φ
−
≤−≤ −∀≥≥≥Lxyu Lxyv Mxyv u v xy u v

trong đó
(,,)
M
xyv

+
∈
.
Giả sử
(,),axy (,)
f
xy
là không tăng theo
+
∈
x
R
, cho
0
β
≥
cố đònh, nếu
hàm
(,)uxy
thỏa
(,) (,) (,) (,)(,)
x
uxy axy bxy csyusyds
β
≤+
∫()
(,) ,,(,) , ,, , ,

xx
p
xy bxy csy brycrydr ds
β
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.42)

()
(,) ,, (,)(,) .
xy
exy Lst pstast dtds
∞∞
=
∫∫
(2.43)
Chứng minh