ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − −  − − −
PHAN ĐỨC TUẤN
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − −  − − −
PHAN ĐỨC TUẤN
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội-2012
MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Danh mục các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 1. Phép biến đổi Hartley 13
1.1. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. Phép biến đổi Fourier trên R
d

: tập hợp Z \ {0}.
α : đa chỉ số xác định bởi
α = (α
1
, . . . , α
d
) ∈ N
d
, và
|α| = α
1
+ ···+ α
d
, D
α
x
:=
∂
|α|
∂x
α
1
1
. . . ∂x
α
d
d
.
xy : tích vô hướng của x và y, xác định bởi
xy = x

thỏa mãn
sup
|α|≤m
sup
x∈R
d
(1 + |x|
2
)
m
|(D
α
x
f)(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, . . . ).
L
1
(E) : không gian các hàm f khả tích Lebesgue trên E,
với chuẩn f
1
=

E
|f(x)|dx.
L
2
(E) : không gian các hàm f bình phương khả tích Lebesgue trên E,
với chuẩn f
2
2
=

|a
n
|
2
< +∞ với chuẩn a =

n∈Z
|a
n
|
2
.
c
0
(Z) : không gian các dãy số bị chặn a = {a
n
}
n∈Z
thỏa mãn
lim
|n|→∞
a
n
= 0 với chuẩn a = sup
n∈Z
|a
n
|.
5
H

x
e
−|x|
2
.
cas(x) : hàm Hartley xác định bởi
cas x = cos x + sin x
[x] : hàm phần nguyên của x.
6
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải một
phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương
trình tích phân. Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệch đứng của một
dầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình vi phân thường sau (xem [15])
EI
d
4
u
dx
4
+ k
du
dx
= W (x), −∞ < x < ∞. (0.1)
Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo
ra do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường, dẫn đến giải phương
trình truyền sóng sau (xem [10, 15, 47])
∂
2

7
thế kỉ trước, không có nhiều chập liên kết với các biến đổi tích phân
được xây dựng. Cho đến khi những kết quả của Kakichev V.A. (1967)
và Kakichev V.A., Thao N. X. (1998) công bố (xem [31, 33]) về phương
pháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng thì một loạt các chập suy rộng
mới liên kết với các biến đổi tích phân khác nhau ra đời. Những năm
gần đây, có khá nhiều bài báo và sách về các ứng dụng của các biến đổi
tích phân, chập liên kết với các biến đổi tích phân được công bố (xem
[9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42,
44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]).
Đáng chú ý là biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân vì những lý do sau (xem
[15]): trước tiên, các phương trình đó được thay thế bởi các phương trình
đại số đơn giản, cho phép chúng ta tìm nghiệm là các biến đổi Fourier
của hàm. Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu được thông qua biến
đổi Fourier ngược. Thứ hai, biến đổi Fourier là nguồn gốc ban đầu để xác
định nghiệm cơ bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau này.
Thứ ba, biến đổi Fourier của nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấp
một cách biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán biên ban đầu.
Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trên R
d
, Fourier, Fourier
ngược và các biến đổi Hartley lần lượt được định nghĩa trong không
gian L
1
(R
d
) như sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]):
(T
c

dy,
(F
−1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
ixy
dy, (0.4)
(H
1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) cas(xy)dy,
(H
2
f)(x) :=
1
(2π)

2
= T
c
− T
s
.
Điều này đã đưa đến cho chúng tôi ý tưởng xét các biến đổi tích phân
T
a,b
= aT
c
+ bT
s
, a, b ∈ C,
gọi là các biến đổi tích phân dạng Fourier. Trong số này, các biến đổi
Hartley có một số ưu điểm nhất định như: Chúng đóng vai trò quan trọng
trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]).
Khi tính toán số với hàm nhận giá trị thực thì các biến đổi Hartley nhanh
hơn biến đổi Fourier vì biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực
là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fourier của một hàm
nhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị phức. Theo Ví dụ 1.2,
thì với hàm nhận giá trị thực
f(x) =



√
2π e
−x
nếu x > 0,

lý thuyết hấp dẫn về đề tài này".
9
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích
phân dạng Fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích
phân".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là đi nghiên cứu những tính chất toán tử, xây
dựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọng
Hermite và không có hàm trọng. Sử dụng chúng để giải một số phương
trình vi phân và tích phân trên miền vô hạn. Song song với các phương
trình xác định trên miền vô hạn là các phương trình xác định trên miền
hữu hạn. Do đó, luận án đưa ra hai biến đổi Hartley hữu hạn và xây dựng
chập liên kết với các biến đổi này để giải các phương trình trên miền hữu
hạn. Ngoài ra, luận án còn xét một biến đổi tích phân dạng Fourier mới
(T f)(x) =
1
√
2π

R
f(y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy,
nghiên cứu các đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi này
và nguyên lý bất định Heisenberg.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân. Từ đó,
tìm ra biến đổi ngược và đi ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng
chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân. Đối với mỗi biến
đổi tích phân chúng tôi xây dựng bộ bốn chập mà nhân của chúng có
dạng
[f(x + y) + f(x −y) + f(−x + y) −f(−x − y)]g(y),

+ T không thỏa mãn đẳng thức Parseval.
+ T thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg.
+ T biến một hàm nhận giá trị thực thành một hàm nhận giá trị thực.
+ T là toán tử khả nghịch với toán tử ngược
(T
−1
g)(y) =
1
√
2π

R
g(ξ)[
1
2
cos(yξ) + sin(yξ)]dξ.
Xây dựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley, T cùng với hàm
trọng Hermite và không có hàm trọng.
Chương 3 sử dụng các kết quả thu được ở Chương 1 và Chương 2 vào giải
một số phương trình vi phân và tích phân như: phương trình xác định độ
lệch đứng của dầm, phương trình xác định độ võng tĩnh của dầm, phương
trình truyền sóng, phương trình khuếch tán, phương trình Schr¨odinger,
phương trình tích phân dạng chập với nhân Toeplitz - Hankel, nhân chứa
các hàm Hermite. Bên cạnh đó, chúng tôi còn sử dụng phần mềm Maple
để giải nghiệm tường minh cho một số phương trình đã xét. Đặc biệt, với
công cụ là chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn mà
một lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [48])
λϕ(x) +
1
π

+ Seminar bộ môn Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
12
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY
1.1. Phép biến đổi Fourier
Trong mục này, luận án trình bày lại một số kết quả liên quan của
biến đổi Fourier. Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong các
tài liệu trích dẫn. Bởi vậy, luận án chỉ nêu kết quả mà không trình bày
chứng minh.
1.1.1. Phép biến đổi Fourier trên R
d
Định nghĩa 1.1 ([41, 47]). Biến đổi Fourier của hàm f được ký hiệu
(F f) và được xác định như sau:
(F f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
−ixy
dy, (1.1)
trong đó, f là hàm thực hoặc phức xác định trên R
d
.
Điều kiện đủ để tích phân (1.1) tồn tại là hàm f thuộc L
1

f(x) =



1 nếu |x| ≤ 1,
0 nếu |x| > 1,
13
rõ ràng f thuộc L
1
(R), nhưng ảnh Fourier của hàm f
(F f)(x) =
1
√
2π

R
f(x)e
−ixy
dy
=
1
√
2π

1
−1
e
−ixy
dy =


4
= I và ánh xạ ngược của nó cũng liên tục.
Trong không gian L
1
(R
d
), không phải biến đổi Fourier của hàm f nào
cũng tồn tại biến đổi ngược. Định lý 1.3 dưới đây sẽ đưa ra điều kiện tồn
tại biến đổi ngược đối với biến đổi Fourier của một hàm trong L
1
(R
d
).
Định lý 1.3 ([41, 47]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
), (F f) ∈ L
1
(R
d
) và
f
0
(x) =
1
(2π)
d
2


) thì biến đổi tích phân (1.2)
xác định chập liên kết với biến đổi Fourier và thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa (1.3)
(f ∗ g)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(x −u)g(u)du, (1.2)
F (f ∗ g)(x) = (F f)(x)(F g)(x). (1.3)
14
Nhận xét 1.1. Ta biết tập các hàm Hermite {Φ
α
} là cơ sở trực giao của
L
2
(R
d
), và S trù mật trong L
2
(R
d
). Những điều này và Định lý 1.2 gợi ý
cho việc mở rộng biến đổi Fourier lên L
2
(R
d

2

|y|≤k
f(y)e
−ixy
dy.
Khi đó, khi k → +∞, F (x, k) hội tụ theo chuẩn tới hàm (F f)(x) của
L
2
(R
d
) và tương ứng ta cũng có
f(x, k) =
1
(2π)
d
2

|y|≤k
(F f)(y)e
ixy
dy,
hội tụ theo chuẩn tới f(x).
Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier.
Tính chất 1.1 ([41, 47]). Biến đổi Fourier của các hàm Hermite Φ
α
(x)
là (−i)
|α|
Φ

(F g)(x) = G(x) thì

R
d
f(t)g(t)dt =

R
d
F (x)G(x)dx.
Nhận xét 1.2. Từ đẳng thức Parseval suy ra F là toán tử unita. F có
trị riêng ảo (theo Tính chất 1.1) nên F là toán tử không đối xứng trong
không gian Hilbert L
2
(R
d
).
15
1.1.2. Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn
Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan của biến
đổi Fourier trên đoạn hữu hạn. Đây là một công cụ để tìm nghiệm của
các bài toán biên ban đầu xác định trên miền hữu hạn. Biến đổi Fourier
sine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1935). Sau đó, một số tác giả
đã quan tâm và trình bày một cách tổng quát hơn như Kneitz (1938),
Koschmieder (1941), Brown (1944) và Roettinger (1947) (xem [15]).
Định nghĩa 1.2 (biến đổi Fourier hữu hạn, [3, 15, 43]). Biến đổi Fourier
hữu hạn của hàm f(x) được ký hiệu F{f(x)} và xác định bởi
F{f(x)}(n) =
1
2π


−π
f(x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
b
n
=
1
π

π
−π
f(x) sin(nx)dx, n = 1, 2, 3, . . . ,
theo công thức Euler thì chuỗi Fourier của hàm f được viết lại dưới dạng
(F
f
)(x) =
a
0
2
+
∞

n=1
[a
n
cos(nx) + b
n
sin(nx)].
Điều kiện đủ để tích phân (1.4) tồn tại là f ∈ L
1
[−π, π]. Theo bổ

1
[−π, π] thì không phải lúc nào chuỗi Fourier của hàm f cũng hội
tụ và khi hội tụ cũng chưa hẳn hội tụ về hàm f.
Định lý 1.7 ([3, trang 88]). Cho f ∈ L
1
[−π, π] và σ
n
(f) là tổng Cesàro
của chuỗi Fourier của hàm f. Khi đó
lim
n→∞
f − σ
n
(f)
1
= 0,
trong đó
σ
n
(f) =
1
n
n−1

k=0
S
k
(f) với S
n
(f) =

g)(x) =
1
2π

π
−π
f(x −u)g(u)du, (1.5)
f ∗
F
g
1
≤ f
1
g
1
; F{(f ∗
F
g)(x)}(n) =
ˆ
f(n)ˆg(n).
17
Khi f là hàm chẵn thì
ˆ
f(n) =
1
2π

π
−π
f(x)[cos(nx) −i sin(nx)]dx =

1
π

π
0
f(x) sin(nx)dx.
Hai trường hợp trên của hàm f đã gợi ý cho việc đưa ra hai biến đổi
Fourier cosine và sine hữu hạn như sau:
Định nghĩa 1.3 ([15, trang 408]). Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên
[0, π]. Khi đó
(i) Biến đổi Fourier cosine hữu hạn của hàm f được ký hiệu F
c
{f(x)}
và xác định bởi
F
c
{f(x)}(n) =
2
π

π
0
f(x) cos(nx)dx :=
ˆ
f
c
(n), n = 0, 1, 2, . . .
(ii) Tổng vô hạn
1
2

(n), n = 1, 2, 3 . . .
18
(ii) Tổng vô hạn
∞

n=1
ˆ
f
s
(n) sin(nx),
gọi là chuỗi Fourier sine của hàm f trên [0, π].
Mệnh đề 1.1 ([15, trang 410]). Cho hàm f có đạo hàm đến cấp hai khả
tích Lebesgue trên đoạn [0, π]. Khi đó
F
s
{f

(x)}(n) = −n
ˆ
f
c
(n),
F
s
{f

(x)}(n) = −n
2
ˆ
f

(n) +
2
π
[(−1)
n
f(π) − f(0)].
Chập trong Định lý 1.9 xác định với f, g là hai hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2π. Do đó, ta đưa ra hai mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2π cho một
hàm xác định trên 0 < x < π như sau:
Định nghĩa 1.5 ([15, trang 411]). Hàm f
1
(x) gọi là mở rộng tuần hoàn
lẻ của hàm f(x) với chu kỳ 2π nếu
f
1
(x) = f(x), 0 < x < π; f
1
(−x) = −f
1
(x),
và
f
1
(x + 2π) = f
1
(x), với mọi x ∈ R.
Tương tự, hàm mở rộng tuần hoàn chẵn f
2
(x) của hàm f(x) xác định bởi
f

)(x)}(n) = −
1
2
ˆ
f
s
(n)ˆg
s
(n),
F
c
{f
2
∗
F
g
2
)(x)}(n) =
1
2
ˆ
f
c
(n)ˆg
c
(n),
19
F
s
{f

(n).
Nhận xét 1.3. Hệ số Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là
dãy số phức trong khi hệ số Fourier cosine, Fourier sine của một hàm
nhận giá trị thực là một dãy số thực. Do đó, khi cần tính toán số thì ta
sử dụng chuỗi Fourier cosine, Fourier sine sẽ thuận lợi hơn. Tuy nhiên,
khi sử dụng chập hữu hạn thì các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine
phải dựa trên các hàm mở rộng tuần hoàn. Nên việc sử dụng biến đổi
Fourier hữu hạn hoặc các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine hữu hạn là
tùy vào từng bài toán.
1.2. Phép biến đổi Hartley
1.2.1. Phép biến đổi Hartley trên R
d
Định nghĩa 1.6 ([6, 28]). Các biến đổi Hartley của hàm f được ký hiệu
(H
1
f), (H
2
f) và được xác định tương ứng bởi
(H
1
f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) cas(xy)dy, (1.6)
(H

−x
nếu x > 0,
0 nếu x < 0.
Ta có
(F f)(x) =
1
1 + ix
; (H
1
f)(x) =
x + 1
x
2
+ 1
; (H
2
f)(x) =
x −1
x
2
+ 1
.
20
x
54321
2.5
0
2
1.5
-1

(R
d
) và ta có kết quả tương tự với Định lý 1.1
như sau:
Định lý 1.11. Nếu f ∈ L
1
(R
d
) thì (H
i
f) ∈ C
0
(R
d
), (i = 1, 2) và
(H
i
f)
∞
≤ f
1
.
Chứng minh. Từ |cas(xy)| ≤
√
2, suy ra với mọi f ∈ L
1
(R
d
)
|(H

(H
i
f
n
) hội tụ đều đến (H
i
f) trên R
d
. Định lý đã được chứng minh.
Trong không gian S các biến đổi Hartley cũng nhận kết quả tương tự
trong Định lý 1.2 của biến đổi Fourier.
Định lý 1.12 (định lý ngược). Các biến đổi Hartley là ánh xạ tuyến tính,
liên tục, 1 − 1 từ S lên S và biến đổi ngược của nó là chính nó, nghĩa là
H
2
1
= I, H
2
2
= I.
21
Chứng minh. Khi các biến đổi F, F
−1
, H
1
và H
2
cùng xét trên không gian
S, ta có
H

1 −1 từ S vào S. Cuối cùng, ta đi chứng minh
H
2
1
= I, H
2
2
= I. (1.11)
Sử dụng F
4
= I, F
−1
= F
3
và (1.10), ta thu được (1.11).
Định lý 1.13 (định lý ngược, [7, 49]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
), (H
i
f) ∈ L
1
(R
d
),
(i = 1, 2) và
f
1
(x) :=

f) ∈ L
1
(R
d
) nên áp dụng
định lý Fubini cho tích phân sau

R
d

R
d
f(x)g(y) cas(xy)dxdy,
ta nhận được đẳng thức

R
d
f(x)(H
1
g)(x)dx =

R
d
g(y)(H
1
f)(y)dy. (1.12)
Do g ∈ S nên áp dụng Định lý 1.12 vào vế phải (1.12) và sử dụng định lý
Fubini, ta có

R


R
d
(H
1
f)(y) cas(xy)dy
=

R
d
f
1
(x)(H
1
g)(x)dx.
22
Từ Định lý 1.12, ta có

R
d
(f
1
(x) −f(x))Ψ(x)dx = 0, với mọi Ψ ∈ S.
Mà S trù mật trong L
1
(R
d
) nên f
1
(x) = f(x) hầu khắp nơi trên R

(f ∗
H
1
g)(x) =
1
2(2π)
d
2

R
d

f(x + y) + f(x −y)
+ f(−x + y) −f(−x −y)

g(y)dy, (1.13)
H
1
(f ∗
H
1
g)(x) = (H
1
f)(x)(H
1
g)(x).
(f ∗
H
1
,H

(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(x) =
1
2(2π)
d
2

R
d

− f(x + y) + f(x − y)
+ f(−x + y) + f(−x −y)

g(y)dy, (1.15)
H
1
(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(x) = (H

1
,H
2
g)(x) = (H
1
f)(x)(H
2
g)(x).
23
Chứng minh. Trước tiên, ta đi chứng minh chập (1.13). Ta chỉ ra
(f ∗
H
1
g)(x) ∈ L
1
(R
d
).
Thật vậy

R
d
|(f ∗
H
1
g)(x)|dx
=
1
2(2π)
d

R
d
|f(x −y)|dx +

R
d
|f(x + y)|dx
+

R
d
|f(−x + y)|dx +

R
d
|f(−x −y)|dx

≤
2
(2π)
d
2

R
d
|g(y)|dy

R
d
|f(x)|dx < +∞.


f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d
cas(xt)

f(t + v) + f(t −v)
+ f(−t + v) −f(−t −v)

g(v)dvdt
=
1
(2π)
d
2

R
d
cas(xt)(f ∗
H
1
g)(t)dt

d

R
d

R
d

− cas x(u + v) + cas x(u −v)
+ cas x(−u + v) + cas x(−u −v)

f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d
cas(xt)

f(t + v) − f(t −v)
+ f(−t + v) + f(−t −v)

g(v)dvdt
=
1

=
1
(2π)
d

R
d

R
d
cas(−xu) cas(xv)f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d

cas x(u + v) −cas x(u −v)
+ cas x(−u + v) + cas x(−u −v)

f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(x).
Chứng minh chập (1.16). Ta có
(H
1
f)(x)(H
2
g)(x)
=
1
(2π)
d

R
d

R
d
cas(xu) cas(−xv)f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d


d
2

R
d
cas(xt)(f ∗
H
1
,H
1
,H
2
g)(t)dt
=H
1
(f ∗
H
1
,H
1
,H
2
g)(x).
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1.3. Xét các hàm
f(x) =



e

− 2e
x
) nếu x ≤ 0,
(f ∗
H
1
,H
2
,H
2
g)(x) =



1
3
(4e
−2x
− 2e
−x
) nếu x > 0,
1
3
(4e
x
− 2e
−2x
) nếu x ≤ 0.
0-2-4
x

2
g)(x)
Hệ quả 1.4. Nếu f, g ∈ L
1
(R
d
) thì mỗi biến đổi tích phân (1.17), (1.18),
(1.19), (1.20) là chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley và
26