_________________________________________________________________________

MỤC LỤC
MỤC LỤC ..............................................................................................................1
LỜI MỞ ĐẦU .........................................................................................................3
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NGÔN NGỮ MATLAB ...........................5
1.1 Giới thiệu về Matlab ................................................................................................ 5
1.2 Hệ thống Matlab ...................................................................................................... 6
1.3 Vòng lặp For............................................................................................................ 6
1.4 Siêu tệp M_File, nguyên bản và hàm ....................................................................... 9
1.5 Giao diện đồ họa.................................................................................................... 13
1.6 Đồ họa trong không gian ba chiều.......................................................................... 16
1.6.1 Đồ thị đường thẳng ......................................................................................... 16
1.6.2 Đồ thị bề mặt và lưới....................................................................................... 16
1.6.3 Thao tác với đồ thị .......................................................................................... 17
1.6.4 Các đặc điểm khác của đồ thị trong không gian ba chiều ................................. 18
1.6.5 Bảng màu........................................................................................................ 19
1.6.6 Sử dụng bảng màu .......................................................................................... 20
1.6.7 Sử dụng màu để thêm thông tin....................................................................... 20
1.6.8 Hiển thị bảng màu........................................................................................... 20
1.6.9 Thiết lập và thay đổi bảng màu........................................................................ 21
CHƯƠNG 2 : TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN...........................22
2.1 Bài toán có trị ban đầu ........................................................................................... 22
2.1.1 Phát biểu bài toán............................................................................................ 22
2.1.2 Lưới sai phân .................................................................................................. 22
2.1.3 Hàm lưới......................................................................................................... 23
2.1.4 Đạo hàm lưới .................................................................................................. 23
2.1.5 Quy ước viết vô cùng bé ................................................................................. 23
2.1.6 Công thức Taylor ............................................................................................ 23
2.1.7 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới .................................................................. 24
2.1.8 Phương pháp Euler hiện .................................................................................. 25

3.4.2 Bài toán sai phân đối với sai số ....................................................................... 47
3.4.3 Sự xấp xỉ......................................................................................................... 48
3.4.4 Sự ổn định....................................................................................................... 48
3.4.5 Sự hội tụ ......................................................................................................... 49
3.4.6 Thí dụ ............................................................................................................. 50
3.5 Phương pháp sai phân ẩn ....................................................................................... 50
3.5.1 Xây dựng phương pháp ................................................................................... 50
3.5.2 Bài toán sai phân đối với sai số ....................................................................... 52
3.5.3 Sự xấp xỉ......................................................................................................... 52
3.5.4 Sự ổn định....................................................................................................... 53
3.5.5 Sự hội tụ ......................................................................................................... 53
3.5.6 Thí dụ ............................................................................................................. 54
3.6 Một số kết quả thử nghiệm..................................................................................... 55
3.6.1 Phương pháp sai phân hiện.............................................................................. 55
3.6.2 Phương pháp sai phân ẩn................................................................................. 56
CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT

DỪNG HAI CHIỀU .............................................................................................. 57
4.2 Lưới sai phân và hàm lưới ..................................................................................... 59
4.2.1 Lưới sai phân .................................................................................................. 59
4.2.2 Hàm lưới......................................................................................................... 59
4.3 Bài toán sai phân ................................................................................................... 59
4.3.1 Xây dựng bài toán sai phân ............................................................................. 59
4.3.2 Sự xấp xỉ......................................................................................................... 61
4.3.3 Nguyên lý cực đại ........................................................................................... 61
4.3.4. Một số hệ quả ................................................................................................ 62
4.3.5 Sự ổn định....................................................................................................... 65
4.3.6 Bài toán sai phân đối với sai số ....................................................................... 66
4.3.7 Sự hội tụ và sai số ........................................................................................... 67
4.3.8 Về sai số tính toán........................................................................................... 67

Ngày nay cùng với sự phát triển không ngừng của khoa học và công nghệ thì
máy tính đóng vai trò không thể thiếu được trong cuộc sống xã hội loài người.
Trong thực tiễn có rất nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài
toán biên của phương trình vật lý toán. Việc giải các bài toán đó đến đáp số bằng số
là một yêu cầu quan trọng.
Một số trường hợp, công việc đó thật đơn giản nhờ vào nghiệm tường minh
của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm.
Nhưng đại đa số các trường hợp khác, đặc biêt là đối với các bài toán có hệ số biến
thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì việc tìm nghiệm
tường minh là rất phức tạp, có thể không có. Trong những trường hợp đó việc tính
nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng như: Phương pháp sai phân
hoặc phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải
hệ thức, hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau,
như hàm số của đối số nguyên.
Với thành tựu của máy tính hiện nay, thì thời gian giải các bài toán vi phân
có thể tính bằng giây, hay “có thể so sánh với thời gian viết vế phải”. Người ta cũng
dùng phương pháp sai phân để xét và chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài
toán vi phân.
Với những lý do trên, em đã chọn đề tài: “Phương pháp sai phân và ứng
dụng giải một số bài toán biên đối với phương trình truyền nhiệt” nhằm tìm
hiểu về phương pháp sai phân, ứng dụng phương pháp đó để cài đặt chương trình
giải một số bài toán biên đối với phương trình truyền nhiệt.
Bố cục đồ án gồm năm chương:
Chương 1: Giới thiệu chung về ngôn ngữ Matlab
Chương 2: Tổng quan về phương pháp sai phân.

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

MatLab là một phần mềm chuyên dụng chạy trong môi trường Windows do
hãng MathWork sản xuất và cung cấp. Có thể coi MatLab là một ngôn ngữ tính
toán, kỹ thuật. Nó tích hợp các công cụ rất mạnh phục vụ tính toán, lập trình, thiết
kế, mô phỏng,… trong một môi trường rất dễ sử dụng trong đó các bài toán và các
lời giải được biểu diễn theo các ký hiệu toán học quen thuộc.
Các ứng dụng điển hình:
-

Toán học tính toán

-

Phát triển thuật toán

-

Tạo mô hình, mô phỏng

-

Khảo sát, phân tích số liệu

-

Đồ hoạ khoa học kỹ thuật

-

Phát triển ứng dụng, gồm cả xây dựng giao diện người dùng đồ hoạ GUI


ta sử dụng hoặc lập trình. Nó bao gồm các phương tiện cho việc quản lý các biến
trong không gian làm việc Workspace cũng như xuất nhập dữ liệu, gỡ rối,…
- Xử lý đồ họa: Đây là hệ thống đồ hoạ của Matlab. Nó bao gồm các lệnh cao
cấp cho trực quan hoá dữ liệu hai chiều và ba chiều, xử lý ảnh, ảnh động,… Nó
cung cấp các lệnh cấp thấp cho phép ta tuỳ biến giao diện đồ họa cũng như xây
dựng một giao diện đồ hoạ mạnh và hoàn chỉnh các ứng dụng của Matab.
- Thư viện toán học Matlab: Đây là tập hợp khổng lồ các thuật toán tính toán
từ các hàm cơ bản như sin, cos,… tới các hàm cơ bản như nghịch đảo ma trận, tìm
trị riêng ma trận,…
- Giao diện chương trình ứng dụng Matlab API (Application program
Interface): Đây là thư viện cho phép viết các chương trình C và Fortran tương thích
với Matlab, Simulink, một chương trình đi kèm với Matlab, là một hệ thống tương
tác với việc mô phỏng các hệ động học phi tuyến. Nó là một chương trình đồ hoạ sử
dụng chuột để thao tác cho phép mô hình hoá một hệ thống bằng cách vẽ một sơ đồ
khối trên màn hình. Nó có thể làm việc với các hệ thống tuyến tính, hệ thống phi
tuyến, hệ thống liên tục theo thời gian, hệ gián đoạn theo thời gian,…
1.3 Vòng lặp For
MATLAB có phiên bản riêng của nó về vòng lặp “DO” hoặc “FOR” tìm
thấy trong các ngôn ngữ máy tính. Nó cho phép một câu lệnh, một nhóm lệnh, được
lặp lại một số lần cố định trước.
Ví dụ:
For i=1:n, x(i) = 0, end

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
6


_________________________________________________________________________



_________________________________________________________________________

A=
1

-1

1

-1

1

0

0

0

0

1

1

1

1


end
Nhưng vòng lặp đơn với các phép toán trên vectơ có ý nghĩa hơn và cũng minh họa
cho vấn đề vòng lặp for có thể chạy được.
A(:,n) = ones(n,1);
For j = n-1 : -1 : 1
A(:,j) = t .* A(:,j+1);
End
Dạng tổng quát của vòng lặp for là:
For v = expression
Statements
End
expression đúng là một ma trận, vì trong MATLAB, các cột của ma trận được gán
từng cột vào biến v và rồi các lệnh statements được thực hiện. Một cách rõ ràng
hơn của việc hoàn thành cùng công việc này là:
______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
8


_________________________________________________________________________

E = expression;
[ m,n ] = size (E);
For j = 1 : n
v = E (:,j);
Statements
End
Thông thường expression là loại như m:n, hoặc m:i:n, đó là ma trận chỉ có một
dòng, bởi vậy các cột của nó đơn giản là các đại lượng vô hướng. Trong trường hợp
đặc biệt này, vòng lặp for giống như các vòng lặp “FOR” hay “DO” của các ngôn

phân tích, giải toán, hoặc thực hiện các công việc đòi hỏi quá nhiều lệnh mà trở nên
cồng kềnh trong chế độ tương tác.
Ví dụ: Giả sử các lệnh của MATLAB
% Một M-file để tính các số Fibonnaci
f = [1 1]; i = 1;
While f(i) + f(i+1) < 1000
f (i+2) = f(i) + f(i+1);
i = i + 1;
end
plot (f)
Được chứa trong một tệp tên là Fibonnaci.m. Vào lệnh Fibonnaci làm cho
MATLAB thực hiện các lệnh, tính 16 số Fibonnaci đầu tiên và tạo ra hình vẽ. Sau
khi thực hiện tệp xong, các biến và còn lại trong vùng làm việc.
Các chương trình mẫu của MATLAB là các ví dụ tốt cho cách sử dụng các
M-file để thực hiện nhiều nhiệm vụ phức tạp hơn. Tên nguyên bản statup.m được
tự động thi hành khi MATLAB được gọi. Các hằng vật lý, các thừa số chuyển đổi
kỹ thuật, hoặc các thứ khác muốn định nghĩa trước trong vùng làm việc có thể đặt
trong các tệp này. Trên hệ thống mạng hoặc nhiều người dùng, thì có một nguyên
bản tên matlab.m được dành riêng để dùng cho quản lý hệ thống. Nó có thể dùng
để cài đặt các định nghĩa và các thông điệp rộng rãi.
 Tệp hàm
Nếu dòng thứ nhất của một M-file chứa từ “function”, thì tệp là một tệp
hàm. Một hàm khác với một nguyên bản là có thể truyền các đối số, các biến định
nghĩa, thực hiện bên trong tệp là cục bộ của hàm và không thao tác toàn cục trong
______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
10


_________________________________________________________________________



_________________________________________________________________________

 Các biến m, n và y là cục bộ của mean và sẽ không còn trong vùng làm việc
khi mean thực hiện xong. (Hoặc nếu trước đó đã có thì không bị thay đổi)
 Không cần phải đặt các số nguyên từ 1 đến 99 vào biến x. Thực ra, dùng
mean với biến tên là Z. Vectơ Z chứa các số nguyên từ 1 đến 99 được truyền
hoặc sao chép vào mean, ở đây nó trở thành một biến cục bộ tên là x.
Một phiên bản phức tạp hơn của mean gọi là stat tính độ lệch chuẩn:
function [mean, stdev] = stat(x)
[m, n] = size (x);
if m = = 1
m = n;

%xử lý vectơ dòng

end
mean = sum (x)/m;
stdev = sqrt(sum(x.^2)/m – mean.^);
stat minh họa cho khả năng trả về nhiều đối số xuất
Một hàm tính hạng ma trận dùng nhiều đối số nhập:
function r = rank(y, tol)
% hạng của một ma trận
s = svd(x);
if (nargin ==1)
tol = max(size(x)) * s(1) * eps;
end
r = sum(s > tol);
Ví dụ này minh họa cho cách dùng biến thường xuyên nargin để tìm số đối

có thể tạo theo phương thức thủ công, hoặc tận dụng các công cụ đồ hoạ do Matlab
cung cấp.
Phương pháp tạo GUI bằng đồ hoạ
Khi vào lệnh guide ta sẽ gọi trình đồ hoạ GUIDE để soạn thảo, thấy một Layout
rỗng. Việc đầu tiên phải làm là mở Menue Tools/Application Options để xác định:
 Liệu ta chỉ muốn tạo GUI dưới dạng file có định dạng .fig

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
13


_________________________________________________________________________

 Hay đồng thời tạo cả script (m-file). Nếu chọn option này, sau khi đã hoàn
thiện, để sử dụng GUIDE ta chỉ việc nhập tên của m-file đó ở cửa sổ
command Windows, hoặc kích hoạt ở Mennue Tools / Activate Figure.
Tiếp theo ta lần lượt sử dụng chuột để gắp các phần tử GUI từ thư viện nằm
phía bên trái của Layout rỗng và nhả vào các vị trí ta muốn.Có thể sử dụng chuột để
co dãn, thay đổi kích thước của Layout và các phần tử thuộc Layout. Các kích thước
đã xuất hiện trên Layout cũng là kích thước trên GUI sau này.
Các phần tử của Layout được quản lý theo một cấu trúc phân cấp, trong đó
đồ hoạ của GUI đứng ở cấp cao nhất. Có thể kiểm tra cấu trúc đó bằng cách mở cửa
sổ Tools / Object Browser.
Mỗi phần tử của cửa sổ Layout đều cần phải có những đặc điểm (tham số)
nhất định. Để soạn thảo các tham số ấy, ta sử dụng Property Inspecter, gọi bằng
một trong các cách: Nháy chuột kép vào phần tử, dùng lệnh inspect, hay qua Menue
Tools / Property Inspector.
Các tham số xác định đặc điểm của GUI
Parent


‘checkbox’

Vùng của hộp hỏi đáp

‘radiobutton’

Vùng của nút chọn

‘popupmenue’

Danh mục chọn

‘text’

Vùng của ký tự (text)

‘edit’

Vùng nhập ký tự

‘slider’

Thanh trượt

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
14




Tích cực = 1, phần tử được chọn
từ danh mục

Tag

string

Nhãn để nhận dạng phần tử

Callback

‘string’

Gọi hàm

Mọi phần tử đều có thể nhận nội dung hay giá trị cho sẵn trước, và trong quá
trình sử dụng, do gọi hàm (Call back) nội dung hay giá trị đó có thể bị thay đổi. Vậy
là chúng đã có sẵn chức năng xuất dữ liệu. Với ‘edit’ có cả hai chức năng: nhập và
hiển thị ký tự.
Từng phần tử, tuỳ theo thứ tự gắp thả chúng, có thể bị xếp chồng lên nhau.
Đặc biệt các phần tử frame cần được tạo đầu tiên để tránh chúng che lấp các phần tử
khác. Sau này ta có thể thay trình tự đó bằng cách đổi thứ tự của các chuỗi lệnh
tương ứng trong m-file Ngoài ra để thu được một Layout đẹp mắt có thể sử dụng
công cụ menue Layout / Align Objects để gióng thẳng hàng các phần tử của GUI.
Tham số value chứa giá trị hiện tại của phần tử:
 Phần tử ‘pushbutton’. Giá trị đó cho biết, liệu diện tích của nút nhấn có được
chọn (=1) hay (=0). Hoặc đối tượng nào trong danh mục đánh số thứ tự (1, 2,
3…) được chọn.
 Phần tử ‘edit’ (nhập ký tự) cho biết giá trị của số được nhập. Nếu dữ liệu

Lệnh plot từ trong không gian hai chiều có thể mở rộng cho không gian ba
chiều bằng lệnh plot3. Khuôn dạng của plot3 như sau:
plot3(X1,Y1,Z1,S1,X2,Y2,Z2,S2,...)
Trong đó Xn, Yn, Zn là các vector hoặc ma trận, Sn là xâu ký tự tuỳ chọn
dùng cho việc khai báo màu, tạo biểu tượng hoặc kiểu đường.
Đối với đồ thị trong không gian ba chiều khi muốn đặt một xâu ký tự vào
một vị trí bất kỳ ta có thể dùng hàm text, hàm text cũng có khuôn mẫu như sau:
text(x,y,z,string)
1.6.2 Đồ thị bề mặt và lưới
Matlab định nghĩa bề mặt lưới bằng các điểm theo hướng trục z ở trên đường
kẻ ô hình vuông trên mặt phẳng x-y. Nó tạo nên mẫu một đồ thị bằng cách ghép các
điểm gần kề với các đường thẳng. Kết quả là nó trông như một mạng lưới đánh cá

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
16


_________________________________________________________________________

với các mắt lưới là các điểm dữ liệu. Đồ thị lưới này thường được sử dụng để quan
sát những ma trận lớn hoặc vẽ những hàm có hai biến.
Hàm meshgrid và hàm mesh
Bước đầu tiên là đưa ra đồ thị lưới của hàm hai biến z=f(X,Y), tương ứng với
ma trận X và Y chứa các hàng và các cột lặp đi lặp lại, Matlab cung cấp hàm
meshgrid cho mục đích này.
[X,Y]=meshgrid(x,y), tạo một ma trận X, mà các hàng của nó là bản sao của
vector x, và ma trận Y có các cột của nó là bản sao của vector y. Cặp ma trận này
sau đó được sử dụng để ước lượng hàm hai biến sử dụng đặc tính toán học về mảng
của Matlab.

view(0,90), và view(3) thiết lập mặc định trong không gian ba chiều.
Lệnh view có một dạng khác mà rất tiện ích khi sử dụng là view([X Y Z])
cho phép quan sát trên một vector chứa hệ trục toạ độ decac trong không gian ba
chiều. Khoảng cách từ vị trí quan sát đến gốc toạ độ không bị ảnh hưởng.
Có thể lấy lại các thông số azimuth và elevation mà ta quan tâm bằng lệnh
[az,el]=view.
Lệnh rotate3d
Một công cụ hữu ích khác là quan sát đồ thị không gian ba chiều bởi hàm
rotate3d. Các thông số azimuth và elevation có thể được tác động bởi chuột.
rotate3d on cho phép chuột can thiệp. rotate3d off không cho phép.
Lệnh hidden
Lệnh dấu các nét khuất. Khi vẽ đồ thị, thì một số phần của nó bị che khuất
bởi các phần khác, khi đó nếu dùng lệnh này thì các nét khuất sẽ bị dấu đi, ta chỉ có
thể nhìn thấy phần nào nằm trong tầm nhìn. Nếu chuyển đến hidden off ta có thể
nhìn thấy phần khuất đó qua mạng lưới.
1.6.4 Các đặc điểm khác của đồ thị trong không gian ba chiều
* Hàm ribbon(x,y) tương tự như plot(x,y) ngoại trừ cột của y được vẽ như là
một dải riêng biệt trong không gian ba chiều.
* Hàm clabel tăng thêm độ cao cho đồ thị đường viền, có ba mẫu clabel(cs),
clabel(cs,V) và clabel(cs,’manual’). clabel(cs), trong đó cs là cấu trúc đường viền
được trả về từ lệnh contour, cs=contuor(z) lấy nhãn tất cả các đồ thị đường viền
với độ cao của nó. Vị trí của nhãn được lấy ngẫu nhiên. clabel(c,’manual’) định vị
nhãn đường viền ở vị trí kích chuột tương tự như lệnh ginput đã nói ở trên. Nhấn
phím return kết thúc việc tạo nhãn này.
* Hàm contourf sẽ vẽ một đồ thị đường viền kín, không gian giữa đường
viền được lấp đầy bằng màu.
* Hai mẫu trạng thái của lệnh mesh dùng với đồ thị lưới là: meshc vẽ đồ thị
lưới và thêm đường viền bên dưới, meshz vẽ đồ thị lưới và đồ thị có dạng màn che.
* Hàm waterfall được xem như mesh ngoại trừ một điều là hàm mesh chỉ
xuất hiện ở hướng x.


0

0

Đen

1

1

1

Trắng

1

0

0

Đỏ

0

1

0

Xanh lá cây


Lam xám

-5

-5

-5

Xám trung bình

-5

0

0

Đỏ tối

1

-62

-40

Đỏ hồng

-49

1


Xám có pha nhẹ với màu xanh

copper

sắc thái của màu đồng

pink

Màu hồng nhạt nhẹ

white

Trắng hoàn toàn

flag

Xen kẽ đỏ, trắng, xanh da trời, và đen

jet

Sự thay đổi màu bão hoà

prism

Có màu sắc lăng kính

cool

Màu xanh tím

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
20


_________________________________________________________________________

Ta có thể hiển thị bảng màu theo một số cách sau. Một trong những cách đó
là xem tất cả các phần tử trong một ma trận bảng màu một cách trực tiếp.
Ví dụ:

>> hot(4)
ans =
0.3333

0

0

0.6667

0

0

1.0000

0

0

_________________________________________________________________________
21


_________________________________________________________________________

tuyến tính và đồng đều. Lệnh rgbplot với một số colormap khác như jet, hsv, và
prism.
Giá trị hiện tại của cmin và cmax được trả lại bằng caxis không có đối số. Chúng
thường là những giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của dữ liệu, caxis([cmin cmax]) sử dụng
colormap nguyên bản cho dữ liệu trong dải giữa cmin và cmax, những điểm dữ liệu lớn
hơn cmax sẽ bị chia ra thành các màu kết hợp với cmax. Những điểm dữ liệu có giá trị nhỏ
hơn cmin sẽ bị chia ra thành các màu kết hợp với cmin. Nếu cmin nhỏ hơn min(data)
hoặc cmax lớn hơn max(data) thì các màu kết hợp với cmin hoặc cmax sẽ không bao giờ
được sử dụng; chỉ một phần nhỏ của colormap được sử dụng. caxis(‘auto’) sẽ hồi phục
giá trị mặc định của cmin và cmax.

CHƯƠNG 2
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
2.1 Bài toán có trị ban đầu
2.1.1 Phát biểu bài toán
Cho khoảng x 0 , X . Tìm hàm u  u  x  xác định tại x 0 , X  và thỏa mãn:
u '  f  x, u 

x0  x  X

u x 0   

(2.1)
(2.2)


vi 1  vi
h

Đạo hàm lưới lùi cấp một của v , ký hiệu là v x , có giá trị tại nút x i là:

v

xi



vi  vi 1
h

Ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường.
2.1.5 Quy ước viết vô cùng bé
Khái niệm xấp xỉ liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng
bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây:
Giả sử đại lượng  h  là một vô cùng bé khi h  0 . Nếu tồn tại số   0 và
hằng số M  0 sao cho:

 h   Mh 
thì ta viết:

 h   O h  
Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì  h  là một đại lượng nhỏ và khi
h  0 thì  h  tiến đến số 0 không chậm hơn Mh 

2.1.6 Công thức Taylor


x   x  F m1 c 
m  1!

(2.3)

Trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x  x ; để diễn tả điều đó
ta có thể viết c  x   . x với 0    1 .
Ta giả thiết thêm:

x   ,  

F m 1 x   M  const,

Khi đó số hạng cuối cùng ở (2.3) là một vô cùng bé khi x  0 và công thức
Taylor (2.3) viết gọn hơn:
2
x '

x  ''
F x  x   F  x  
F x 
F x   ...
1!
2!
m

x   m 
m 1


_________________________________________________________________________
24


_________________________________________________________________________

u xi 

u  xi   u  xi 1 
 u '  xi   Oh 
h

(2.6)

Ngoài ra với qui ước:

h
xi1 2  xi  ,
2

u i1 2  u xi1 2 

Ta còn có:
2

h
h
1 h

u  xi 1   u  xi 1 2    u xi1 2   u ' xi 1 2     u '' xi 1 2   O h 3 

u xi1   u xi 
 u xi 1 2   Oh 2 
h

(2.8)

2.1.8 Phương pháp Euler hiện
Bây giờ thay trong (1.1) u '  xi  bởi u xi thì (1.5) cho:

u xi 

u xi1   u xi 
 u '  xi   Oh   f xi , u xi   O h 
h

Ta suy ra:
u  xi 1   u xi   h f  xi , u  xi   O h 2 

(2.9)

Bỏ qua vô cùng O h 2  bé, thay u xi  bởi vi , là gần đúng của u  xi  , ta được:
v i1  vi  h f  xi , v i 

(2.10)

______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
25