Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6
1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6
1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6
1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7
1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7
1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9
2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9
2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
1
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12
2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12
2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13

3
LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại
học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý
thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn
Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực
hiện bài luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời
cảm ơn đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Trần
Thị Thanh Thúy. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để
em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài
đến nội dung, hình thức. Và em cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời
gian qua.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù
bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn
nhiều thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý
báu từ các quý Thầy cô và các bạn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi
người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn
thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
Sinh viên thực
hiện.
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực
phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn.
Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân
như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số
đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay

Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái
niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung
vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 3 chương như sau:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và
phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau.
Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp
Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn.
Chương 3: Các bài toán
Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được
trình bày trong chương 2.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
5
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA
1.1 Định nghĩa 1
Chuỗi lũy thừa theo x − x
0
(hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x
0
) là chuỗi hàm có dạng:

( ) ( ) ( )
+−+−+=−
∑


luôn hội tụ tại
0
xx =
.

Tập hợp tất cả các điểm
x

tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại
0
xx
=
. Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa
0
0
( )
n
n
n
a x x
∞
=
−
∑
, chỉ có một trong 3 khả năng sau:
(i) Chuỗi hội tụ chỉ tại
0
.x x

Số
R
trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong
trường hợp (i) ta nói
0
=
R
, trường hợp (ii) ta nói
.R
= +∞
* Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau:
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
a
a
R
,
(1.3)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
6
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
.
1
lim

Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó.
Tính chất 1. Giả sử
0
( )
n
n
n
f x a x
∞
=
=
∑
và
0
( )
n
n
n
g x b x
∞
=
=
∑
. Khi đó
f(x) + g(x) =
0
( )
n
n n
n

∑
với −R < x < R thì
f '(x) =
1
1
n
n
n
na x
∞
−
=
∑
= a
1
+ 2a
2
x + . . . với −R < x < R.
Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được:
f
(k)
(x) =
( )( ) ( )
.121
∑
∞
=
−
+−−−
kn

. Khi đó,
( )
xf
được gọi là khai triển
được thành chuỗi lũy thừa.
Hàm số
( )
xf
và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ?
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
7
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Định lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này.
∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi

( ) ( ) ( ) ( )
+−+−+=−=
∑
∞
=
2
020100
0
xxaxxaaxxaxf
n
n
n
(1.5)

hội tụ về

thì chuỗi

( )
( )( )
∑
∞
=
−
0
00
!
n
n
n
n
xxxf
(1.6)
được gọi là chuỗi Taylor của
f
theo các lũy thừa của
( )
.
0
xx
−
∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor)
Giả sử
( )
xf
khả vi vô hạn lần và tồn tại

= − ∈ − +
∑
□ Định nghĩa hàm giải tích
Một hàm số
( )
xf
là giải tích tại
0
xx
=

nếu
( )
xf
là tổng của chuỗi lũy thừa theo
các lũy thừa của
( )
0
xx −
và chuỗi này có bán kính hội tụ
0
>
R
.
Nếu
f
là giải tích tại mọi điểm trong khoảng mở
I
thì
f

xch
xx
+++=
−
=
−
!5!3
1
2
53
xxee
xsh
xx
( )
( )
....,
!2
1...
!4!2
1cos
242
Rx
n
xxx
x
n
n
∈∀+−+++−=
( )
( )

( )
( ) ( ) ( )
( )
.1,1...,
!
1...1
...
!2
1
11
2
−∈∀+
+−−
++
−
++=+ xx
n
n
xxx
n
ααααα
α
α

2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân
□ Định nghĩa 2
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và
các đạo hàm của nó.
Phương trình vi phân có dạng:

′
yyxF
(1.8)
hay
( )
yxfy ,
=
′
(1.9)
∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
9
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Cho phương trình
( )
yxfy ,=
′

Giả sử các hàm
( )
,, yxf
( )
yxf ,
′
liên tục trên hình chữ nhật
( )
dycbxaD
≤≤≤≤
,


=
thay vào thỏa (1.9).
Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm
( )
Cxy ,
ϕ
=
thỏa (1.9) với mọi hằng số
C
.
Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất
( )
0
,Cxy
ϕ
=
thỏa điều kiện ban đầu
( )
00
xyy =
. Nghiệm riêng có thể thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho
0
CC
=
.
Bài toán tìm nghiệm riêng được gọi là Bài toán Cauchy.
2.3 Phương trình vi phân cấp hai
□ Định nghĩa 5
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng


(1.11)
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10).
Nếu
( )
0
≠
xf
thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không
thuần nhất.
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
• Tìm một nghiệm riêng
( )
xy
1
.
• Tìm một nghiệm riêng
( )
xy
2

độc lập tuyến tính với
( )
xy
1
bằng công thức sau:
( )
.
2
1
12

yxqyxpy

trên khoảng mở
I
mà trong đó các hàm
( )
xp
và
( )
xq
là các hàm số liên tục.
Giả sử ta đã biết nghiệm
( )
xy
1
của phương trình này.
Ta sẽ tìm nghiệm
( )
xy
2
, sao cho
( )
xy
2
và
( )
xy
1
tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến
tính.

′
+
′
=
′
và
1112
2 yvyvyvy
′′
+
′′
+
′′
=
′′
.
Ta được:
[ ] [ ]
1 1 1 1 1
2 ( ) ( ) 0vy v y v y p x vy v y q x vy
′′ ′ ′ ′′ ′ ′
+ + + + + =
.
Do
1
y
là nghiệm phương trình đã cho nên:
1 1 1
2 ( ) 0v y v y p x v y
′′ ′ ′ ′

Kdx
y
e
Cv
y
y
dxxp
+
∫
==
∫
−
2
11
2
.
Chọn
0,1 == KC
ta có:

2
y
chính là nghiệm độc lập tuyến tính với nghiệm y
1
(x).
∆ Định lý 5 Nếu
( ) ( )
xyxy
21
,

−
′
′′′
−
′′′
=
.
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
• Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.11)
.
2211
yCyCy
+=
• Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.10) có dạng:
( ) ( )
xByxAyY
21
+=
với
BA,
thỏa mãn hệ phương trình:
1 2
1 2
0
( )
A y B y
A y B y f x
′ ′
+ =


−
2
1
12
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
*Cách giải:
Giải phương trình đặc trưng:

0
2
=++
qpkk
(1.13)
* Nếu (1.13) có hai nghiệm thực phân biệt
21
,kk
thì nghiệm tổng quát của (1.12)
là:
xkxk
eCeCy
21
21
+=
(
21
,CC
là hằng số tùy ý)
* Nếu (1.13) có nghiệm kép
21
kk

′′
(1.14)
trong đó, p, q là hằng số.
* Cách giải:
- Tìm nghiệm tổng quát
y
của phương trình thuần nhất tương ứng.
- Tìm một nghiệm riêng
Y
của (1.14)
a/ Trường hợp:
( ) ( )
xPexf
n
x
⋅=
α

trong đó,
( )
xP
n
là một đa thức bậc
n
và
α
là hằng số.
(i) Nếu
α
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm

n
x
⋅=
α
với
( )
xQ
n
được xác định như trên.
(iii) Nếu
α
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.13) thì nghiệm riêng:
( )
xQexY
n
x
⋅=
α
2

( )
(
n
Q x
là một đa thức cùng bậc với
( )
xP
n
có các hệ số được xác định bằng
phương pháp hệ số bất định).

cos sin
x
r r
Y e A x x B x x
α
 
= ⋅ β + β
 
.
(ii) Nếu
βα
i
±
là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm
riêng:
( ) ( )
cos sin
x
r r
Y xe A x x B x x
α
 
= ⋅ β + β
 
trong đó
( ) ( )
,
r r
A x B x
là các đa thức bậc

t
ex
, (1.16)
Suy ra:
xt ln
=
(1.17)
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
14
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

dt
dy
dx
dy
x =
(1.18)
và
dt
dy
dt
yd
dx
yd
x
−=
2
2
2
2

Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CHUỖI
1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA
Một số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản nhưng rất khó tìm nghiệm ở dạng
tổ hợp của các hàm số sơ cấp. Ví dụ như phương trình
02
=+
′
−
′′
yyxy
.
Phương trình này liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử và
một số phương trình vi phân khác nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý nên việc
giải các phương trình như dạng trên là rất quan trọng.
Vì vậy, cần thiết phải xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương
trình nói trên. Trong đó, phương pháp ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm dưới dạng
chuỗi lũy thừa là phương pháp thông dụng nhất.
* Phương pháp chuỗi lũy thừa:
Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình vi
phân tuyến tính với hệ số là hàm số. Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho việc giải
phương trình vi phân là đơn giản và tự nhiên.
Phương pháp này cho nghiệm của phương trình vi phân ở dạng lũy thừa:

( )
++++===
∑
∞
=

n
n
n
xnncxynxcxy
, . . . vào phương trình vi phân và từ đó xác định
giá trị của các hằng số

10
,cc
.
1.1 Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau.
▪ Ví dụ 1 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
16
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
( )
,1
2
xyxyxy =+
′
+−
′′
với
( ) ( )
10,10 =
′
= yy
.
Một nghiệm theo các lũy thừa của

++++=
′′
xcxcxccxy
cũng hội tụ với mọi
x
.
Thế
yyy
′′′
,,
vào phương trình đã cho, ta được:
+++
2
432
1262 xcxcc

( )
( )
+++++−
3
4
2
321
4321 xcxcxccx

( )
.
4
4
3

,0126
12
3123
cc
cccc

⋅
−+
==+−−
12
23
,02312
023
40234
ccc
ccccc
Ta có:
( ) ( )
.0,0
10
cycy =
′
=
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được:
.1,1
10
== cc
Suy ra:
⋅===
8

n
n
n
c x
∞
=
∑
.
Lấy vi phân từng số hạng chuỗi này, ta được:
y' = c
1
+ 2c
2
x + 3c
3
x
2
+ . . . =
1
1
n
n
n
nc x
∞
−
=
∑
,
y'' = 2c

432
=+++++++++++
 xcxcxcxccxcxcxcxcc
Sắp xếp vế những số hạng trên theo số mũ tăng dần của x, ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.030201262
4
46
3
35
2
241302
=++++++++++
xccxccxccxcccc
Vì phương trình này thỏa với mọi x nên:
,030,020,012,06,02
4635241302
=+=+=+=+=+
cccccccccc
Từ đó:
.
30
1
,
20
1
,
12
1
,

0
c
. Do đó:
.
24
1
2
1
12
1
12
00
2
4
cc
c
c =






−−=−=
Tương tự:
.
720
1
,
120

1
6
1
720
1
24
1
2
1
1
53
1
642
0






++−+






+−+−=  xxxcxxxcxy
◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm.
* Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát

n
n
n
xcnny
Theo lý thuyết chuỗi lũy thừa, hai chuỗi
( )( )
∑
∞
=
′
′
+
′
+
′
+
′
0
2
12
n
n
n
xcnn
và
( )( )
∑
∞
=
+

2
=+++
∑
∞
=
+
n
n
nn
xccnn
.
Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó
bằng không. Do đó, các hệ số của
n
x
phải bằng 0:
( )( )
,2,1,0,012
2
==+⋅++
+
nccnn
nn
Suy ra:

( )( )
21
2
++
−=

.
!44.3.2.14.3
,2
00
2
4
cc
c
cn ==−==
Với
.
!55.4.3.2.15.4
,3
11
3
5
cc
c
cn ==−==
Với
.
!66.5!.46.5
,4
00
4
6
cc
c
cn −=−=−==
Với

.
!12
1
1
12
+
−=
+
m
c
c
m
m
Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là:
y = c
0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ c
3
x
3
+ . . .
= c
0
( 1 −

n
+
+ − + + − +
+
)
= c
0
( )
( )
∑
∞
=
−
0
!2
1
n
n
n
n
x
+ c
1
( )
( )
∑
∞
=
+
+

02
=+
′
−
′′
yyxy
.
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng:

.
0
∑
∞
=
=
n
n
n
xcy
Khi đó:
.
1
1
∑
∞
=
−
=
′
n

yyy
′′′
,,
vào phương trình và rút gọn, ta được:

2
0
[( 2)( 1) (2 1) ]
n
n n
n
n n c n c x
∞
+
−
+ + − −
∑
= 0 .
Do đó: (n+2)(n+1)c
n+2
− (2n−1)c
n
= 0.
Vậy: c
n+2
=
2 1
( 1)( 2)
n
n

,2
00
2
4
cc
c
cn −=−===
Với
.
!5
5.1
5.4.3.2.1
5
5.4
5
,3
11
3
5
cc
c
cn ====
Với
.
!6
7.3
6.5!.4
7.3
6.5
7

c c
n
+
−
=
+
Do đó, nghiệm của phương trình là:
( )
( )
+








−
−−=
∑
∞
=
2
22
0
!2
54....7.3
!2
1

n
n
x
n
n
xc
► Nhận xét
Trong ví dụ này, hai chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm không thể được biểu
diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết.
□ Định nghĩa 1 Hệ thức truy hồi giữa
,,,
210
ccc
là một phương trình có dạng
( )
11
,,,
−+++
=
mnnnmn
cccfc 
nghĩa là c
m+n
được xác định bởi m

số hạng trước nó.
* Số nguyên dương m là bậc của hệ thức truy hồi.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
21
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

11
−
−
−=−
n
n
n
n
cc
, nên
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 0
1 1 1 .
n n n
n n n
c c c c c
− −
− −
− = − = − = = − =

Do đó,
( )
0
1 .
n
n
c c
= −
* Hệ thức truy hồi

.
* Hệ thức truy hồi
( )( )
nn
ccnn
−=++
+
2
12
có thể được giải như sau:
Nếu
n
là số chẵn,
mn 2
=
, hệ thức truy hồi trên có thể được viết là :
( ) ( ) ( ) ( )
m
m
m
m
cmcm
222
1
!21!221
−=+−
+
+
, nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!121!321
++
+
+−=+−
m
m
m
m
cmcm
, nên
( ) ( ) ( ) ( )
.!121!321
112#2
1
ccmcm
m
m
m
m
==+−=+−
++
+

Do đó,
( ) ( )
!.12/1
112
+−=
+
mcc

trong đó, hàm số
f
và các đạo hàm riêng của nó liên tục trong miền mở
D

chứa điểm
( )
000
,, yyx
′
.
Vấn đề trước tiên là tìm
( )
( )
2,1,0,
0
=
nxy
n
với
( )
0
xy
,
( )
0
xy
′
đã biết.
Để tìm

′′′
, ta đạo hàm (2.1)

( )
+
′
∂
∂
=
′′′
yyx
x
f
y ,,
( )
+
′′
∂
∂
yyyx
y
f
,,
( )
, ,
'
f
x y y y
y
∂

∂
∂
=
′′′
0000
,, yyx
x
f
xy
( )
+
′′
∂
∂
0000
,, yyyx
y
f
( )
.,,
0000
yyyx
y
f
′′′
∂
∂
Tiếp tục quá trình đó ta lần lượt tìm được
( )
( )

−−
nynxyy
nnn
Từ đấy, ta được
( )
( )
( ) ( )



=−−
+=
=
.2,13212
12,0
0
mnmm
mn
y
n

Vậy ta có chuỗi lũy thừa quanh
0
0
=
x
là:
( )
( )
( ) ( )( )

k
kk
x
n
y
xz

Ta có:
( )
( )
( )
( )
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
−
∞
=
−
==
−
==
′
om
m
m
k

′
+−
′′
2
1
,
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
23
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
với
( ) ( )
10,10 =
′
= yy
.
Bài toán này đã được giải bằng phương pháp hệ số bất định.
Ta có:
( ) ( ) ( )
xxQxxfxxf =−−== ,1,
1
2
0
. Vì các hàm này đều là các đa thức, nên
nghiệm chuỗi nhận được sẽ hội tụ với mọi
x
.
Điều kiện ban đầu cho ta giá trị của nghiệm và đạo hàm tại
0
=
x

Thế
1,1,0 =
′
== yyx
vào phương trình đã cho, ta được:
( )
,010 =−
′′
y
hay
( )
10 =
′′
y
.
Để tìm
( )
0y
′′′
,
( )
( )
0
4
y
ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta được:
( )
121
2
=+

, ta suy ra:
( )
30 =
′′′
y
,
( )
( )
30
4
=y
.
Từ đó, ta được:
( )
,,
822
1
432
∞<<∞−+++++= x
xxx
xxy 
là nghiệm chuỗi với năm số hạng đầu tiên thỏa yêu cầu bài toán.
◙ Chú ý
( ) ( ) ( )
xQxfxf ,,
10
trong ví dụ trên được trình bày trong định lý sau đây.
1.3 Điều kiện tồn tại nghệm dạng chuỗi
□ Định nghĩa điểm chính qui
Điểm

.
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
24
Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
∆ Định lý 1 Cho phương trình vi phân tuyến tính có dạng:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
xQyxfyxfyxfy
n
n
n
=+
′
+++
−
− 01
1
1

Nếu mỗi hàm
( ) ( ) ( ) ( )
xQxfxfxf
n
,,,,
110 −

trong phương trình trên đều giải tích tại
0

.
1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính
Để dễ hình dung, phần sau đây nêu cách tìm nghiệm dạng chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính cấp hai.
* Để tìm nghiệm chuỗi lũy thừa của phương trình

( ) ( ) ( )
0
012
=+
′
+
′′
yxayxayxa
(2.5)
quanh
0
0
=
x
, trong đó
( ) ( )
,,
12
xaxa
( )
xa
0
là các đa thức của
x

0
, nghĩa là ta sẽ dùng chuỗi
( )
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
xxcy
. Trong trường hợp này có hai cách
để làm:
Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi
25