Tài liệu ôn thi ĐH&CĐ 2009

1
MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ
CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Mở đầu
Hầu hết trong các đề thi ĐH & CĐ đều có các bài toán giải và biện luận phương trình (pt)
và hệ pt, tìm các giá trị tham số m
∈
R để phương trình (hệ pt) có nghiệm trong miền D nào
đó…. Một trong những công cụ chủ đạo để giải đó là dùng khảo sát hàm số trong chương
trình 12 và đa số thông qua biến phụ t để đưa phương trình đầu tiên về các dạng quen thuộc
hay có thể đặt được dưới dạng một hàm số mà có thể khảo sát được. Một điều cần lưu ý
nữa, đó là trong ch
ương trình THPT đã giảm tải phần so sánh nghiệm của pt bậc hai với số
α
hay
β
cho trước, do đó việc dùng các tính chất đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hàm số là điều tất yếu để giải quyết vấn đề. Bài viết này xin điểm qua các bài toán
về dạng này trong các đề thi gần đây, qua đó sẽ phân tích, nhận xét mối tương quan giữa
các số hạng, các yếu tố, tính chất của các biến… trong bài toán để hình thành phương pháp
gi
ải quyết và đưa ra một số lỗi kĩ thuật mà thí sinh hay mắc phải do thói quen hay nhầm lẫn
trong quá trình trình bày lời giải. Để giúp cho tất cả mọi học sinh (đủ trình độ) hiểu rõ hơn
trong khi đọc, chúng tôi trình bày từng bước một, nên bài giải hơi dài, các bạn có thể lướt

2
3
log 1 1x +≥

Thêm bớt 1 vào (1)
Đặt t và bình phương t.
(1)
⇔

22
33
log 1 log 1 2 2 0xxm+ ++−−=
(2)
Đặt
2
3
log 1 1 tx= +≥
⇒

2
3
log 1 1 tx= +≥
(*)
Thay t vào (1)
(1)
⇔
t

2
Tìm x
 t = 2
⇔

2
3
log 1 4x + = ⇔
2
3
log 3x =⇔

3
log 3
x = ±
⇔
3
3x
±
=
.
Kết luận
Vậy khi m = 2, nghiệm của phương trình (1):
3
3x
±
=

⇔
t
2
+ t – 2m – 2 = 0 , 1
≤
t
≤
2

⇔
t
2
+ t – 2 = 2m , 1
≤
t
≤
2 (5) Lập bảng biến thiên của hàm:
y = t
2
+ t – 2
+ y’=2t + 1.
+ y’ = 0
⇔
t = – ½

 Đặt
2

⇔
0
≤
2m
≤
4
⇔
0
≤
m
≤
2.
Nhận xét:
∗ Đối với pt có chứa tham số m và có câu hỏi giải pt với giá trị của m cụ thể (ví dụ 1), chúng ta
không nên thay m liền để giải, mà nên biến đổi đến mức tối thiểu (pt 3) có thể được, rồi sau đó mới
thay giá trị m để giải câu a. Làm như vậy để tránh lập lại bước biến đổi đầu tiên từ pt (1)
→
pt(3)
trong cả 2 câu a) và b).
∗
Học sinh dễ mắc bẩy ở đây: Hể cứ đặt
()tfx=
thì chúng ta liền viết t
≥
0, điều này thường dẫn
đến dư nghiệm, nếu như bài toán có chứa tham số m. Như ví dụ 1) ở trên: do
22
33
log log 1 1
xx

Giải:

Nhận xét:
22 4
1.1 1x xx+ −=−Tìm miền giá trị của t

Khảo sát t = f(x) / [–1; +1]
 Điều kiện: –1
≤
x
≤
1
 Đăt
22
() 1 1
tfx x x
= =+−−
, với x
∈
[–1; +1].
Cách 1
Ta có:
22 22
11
'( )
11 11
xx


Như vậy:
0 2t≤≤Nhận xét: 1+ x
2

≥
1 – x
2
≥
0.Bình phương t:
Cách 2
Với x
∈
[–1; +1].Ta có:

22
11x x+ ≥−
⇒
22
110tx x= +−−≥⇒
222


⇔

2
2
2
tt
m
t
− ++
=
+
;
0 2t≤≤

Chia đa thức

⇔
4
3
2
mt
t
=− + +−
+
;
0 2t≤≤
(2)
Bài toán trở thành: Tìm m để
phương trình (2) có nghiệm t

Dùng phương pháp đồ thị để tìm
m.
Lập bảng biến thiên.. Cách 1 Kết luận: Căn cứ vào bảng biến
thiên ta có kết quả.
 Vậy pt (1) có nghiệm
⇔
pt (2) có nghiệm / [0;
2
]

⇔
21 1m− ≤≤
.

Chú ý: Phải nói m = g(t) là hàm
xác định và liên tục trên đoạn
đang xét
⇒
Hàm đạt giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất trên đoạn đó.
Kết luận

min ( ) m ax ( )f tm ft
⎡⎤
⎡⎤
⎣⎦
⎣⎦
≤≤⇔

21 1m− ≤≤

Tài liệu ôn thi ĐH&CĐ 2009

4
Nhận xét
∗

Ta có:
.ab ab=
vì ( a
≥
0 & b
≥
0)
⇒
a.b
≥
0. Tuy nhiên điều ngược lại:
..ab a b=

Tìm m để phương trình
2
4
31 12 1.xmx x−+ += −
(1)
có nghiệm thực.

Giải:
Tìm điều kiện để pt có nghĩa:  Điều kiện
1 x≤
(*)
Chú ý: với mọi x
≥
1 ta có:
∗
()
2
4
11x x−=−
,
( )
2
4
11x x+=+
∗
2
4
44
1. 1 1xx x−+=−


Đặt t =
4
1
1
x
x
−
+
; x
≥
1 (*)
Tìm miền giá trị của t với x
≥
1
Ta có:
12
011
11
x
xx
−
≤ =− <
+ +
⇒
0
≤
t =
4
1
1

0
≤
t < 1)

Đồ thị của f(t) là một parabol (***):
+ Tọa độ đỉnh
0
0
1
3
2
1
()
3
b
t
a
S
yft
⎧
=− =
⎪
⎨
⎪
==
⎩
.
+ a = –3 <0 có bề lõm quay về phía
y < 0. Ta được bảng biến thiên.



Sau khi đặt
4
1
, x 1
1
x
t
x
−
=≥
+
. Cũng như ví dụ trên, chúng ta phải tìm miền giá trị của t [(**)]
hay cách làm quen thuộc là lập bảng biến thiên của
4
1
()
1
x
tfx
x
−
==
+
,
trên tập
[1;+
∞
)
như sau:


Căn cứ vào bảng biến thiên ta có: 0 ≤ t <1.
Làm theo cách này nói chung là khó so với một học sinh trung bình khá vì phải tính đạo hàm phức
tạp và
tìm giới hạn
(***) ở hai đầu mút của tập xác định. Tuy nhiên có vẽ tự nhiên hơn là cách
(**) ở trên, đòi hỏi học sinh phải khá thành thạo kĩ thuật thêm bớt và cách tìm các cận (chận) trên,
dưới của một hàm. Nói chung chúng tôi đưa các cách khác nhau, cách nào thuận tiện và quen
thuộc với mình thì thực hiện.

Chúng ta có thể khảo sát hàm bậc 2 (***) bằng đạo hàm nếu không nhớ bảng biến thiên của
hàm bậc hai ở chương trình lớp10.
Ví dụ 4. (ĐH & CĐ 2007–D)
Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
33
33
11
5
(I)
11
15 10.
xy
xy
xy m
xy
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨

= >
=>
11
||xx
x x
+ =+
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số
1
||, x
x
ta có
11 1
|| 2||. 2xx x
xx x
+ =+≥ =
.
Do đó |u|;|v|
≥
2. (*)

Chú ý:
()
3
33
3( )ab a b abab+=++ +

Ta có:
3
33

Viết
33
uv
+
theo

, .uvuv+

Hệ pt (I) trở thành:

33
5 (a)
3( ) 15 10 (b)
uv
uv uv m
+=
⎧
⎨
+− += −
⎩
.|u|, |v|
≥
2
⇔
3
5 (a)
( ) 3 ( ) 3( ) 15 10(b)
uv
uv uvuv uv m
+=