ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
HOÀNG MẠNH TUẤN
LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
HOÀNG MẠNH TUẤN
LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. Đặng Quang Á
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới GS. TS Đặng Quang Á, người đã dành nhiều thời gian, công
sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo,
các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa Toán
- Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em
trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các anh chị và các bạn trong chuyên
nghành Toán ứng dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quí báu

ba điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.2 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường . . . . . . 60
2.3 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái
chuẩn hóa mẫu số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2
2.3.1 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình
vi phân 72
3.1 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho
hệ động lực học nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.1 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Thử nghiệm số trong trường hợp hai chiều . . . . . . . 75
3.1.3 Thử nghiệm số trong trường hợp ba chiều . . . . . . . 82
3.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai . . 90
3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai . 90
3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho
hệ Lotka - Voltera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.3 Các thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Tài liệu tham khảo 116
3
Mở đầu
Việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân là
một trong những vấn đề quan trọng của Toán học nói chung và Toán học
tính toán nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết
toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều những phương pháp giải gần
đúng phương trình vi phân.
Một trong những kỹ thuật truyền thống được sử dụng rộng rãi trong việc
giải gần đúng phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình vi phân đạo

pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thì chúng ta thấy rằng: Phương
pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp
Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào. Chỉ có phương pháp
hình thang bảo toàn tính chất bất biến của bài toán. Đây là một ví dụ đơn
giản cho hiện tượng bất ổn định số. Các phân tích cũng cho thấy rằng, hiện
tượng không ổn định số cũng xảy ra khi ta sử dụng các kỹ thuật tinh vi hơn
để xây dựng các lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương
pháp Taylor hoặc phương pháp Runge - Kutta.
Nhìn chung, các lược đồ sai phân bình thường chỉ bảo toàn được các tính
chất nghiệm của phương trình vi phân khi ta sử dụng bước lưới h nhỏ. Tức
là, hiện tượng không ổn định số sẽ xảy ra khi bước lưới h được chọn lớn hơn
giá trị h
∗
nào đó. Thông thường giá trị h
∗
rất nhỏ. Vì thế, việc sử dụng các
lược đồ sai phân bình thường không có lợi thế khi giải các phương trình vi
phân trên đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn như đối với các hệ động lực học,
thời gian có thể tiến ra ∞.
Các phân tích cũng chỉ ra rằng, hiện tượng không ổn định số xảy ra khi
phương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn được các tính chất ổn định
tuyến tính cho các điểm bất động hay còn gọi là nghiệm hằng hoặc điểm cân
bằng của phương trình vi phân (liên tục). Chẳng hạn, phương trình sai phân
và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động. Các phương
pháp Runge - Kutta hoặc phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm
bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới). Trong trường hợp phương trình sai
phân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động thì xảy ra
trường hợp có thể y(t) ≡ ¯y là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi
phân nhưng y
k

có thể lâu hơn vì đạo hàm và hàm vế phải được rời rạc hóa phức tạp hơn.
Vì thế, việc sử dụng các lược đồ khác thường có lợi thế khi chúng ta giải các
bài toán trên đoạn tìm nghiệm lớn và cần bảo toàn chính xác các tính chất
nghiệm của bài toán.
Hiện nay, các lược đồ sai phân khác thường được các nhà toán học xây
dựng và sử dụng rộng rãi cho cả phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng
như phương trình đạo hàm thường và các bài toán biên. Tuy nhiên, trong
khuôn khổ của luận văn, chúng ta chủ yếu tập trung vào việc xây dựng các
lược đồ sai phân khác thường cho bài toán giá trị ban đầu đối với phương
trình vi phân thường. Nội dung chính của luận văn hệ thống lại các kết quả
6
tiêu biểu của các tác giả nước ngoài trong vòng 20 năm trở lại đây. Cấu trúc
của luận văn bao gồm ba chương.
 Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường.
Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương
trình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân. Trên cơ sở
kết hợp việc phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng
các lược đồ sai phân bình thường và việc xây dựng các lược đồ sai phân
chính xác (exact scheme) chúng ta đưa ra các quy tắc tổng quát để xây
dựng các lược đồ sai phân khác thường.
 Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi
phân.
Chương này đề cập việc xây dựng các lược đồ sai phân giải một số
phương trình vi phân trong trường hợp một chiều. Các lược đồ được
xây dựng dựa trên cả hai cách rời rạc hóa không địa phương và lựa chọn
cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp.
 Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình
vi phân.
Chương cuối này, dành cho việc xây dựng các lược đồ sai phân khác
thường bảo toàn các tính chất của hệ động lực học. Các mô hình được

, y, f ∈ R
n
,
(1.1)
trong đó hàm y(t) : [t
0
, T ] → R
n
là hàm số cần xác định, giá trị ban đầu
y
0
∈ R
n
và hàm vế phải f : [t
0
, T ] × R
n
→ R
n
cho trước. Ta giả thiết rằng
thời gian ban đầu t
0
là hữu hạn, nhưng thời gian T có thể tiến đến vô cùng
đối với hệ động lực học. Để đơn giản, ta giả sử rằng t
0
= 0.
Trong trường hợp f = f(y) thì phương trình được gọi là dừng (au-
tonomous). Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình
là dừng. Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ
y

được gọi là điểm bất động (fixed point) hay
điểm cân bằng (equilibrium point) hoặc nghiệm hằng (constant solution) của
phương trình (1.2) nếu f(¯y) = 0.
Định nghĩa 1.2. Giả sử ¯y là một điểm bất động (1.2). Ta nói ¯y là
1. Điểm (vị trí) ổn định (stable) nếu với mọi  > 0, tồn tại δ = δ() > 0
sao cho nếu y
0
∈ B(¯y, δ) thì nghiệm y(t, y
0
) ∈ B(¯y, ) với mọi t ≥ 0.
2. Điểm ổn định tiệm cận (asymptotically stable) nếu y là ổn định và
||y(t, y
0
) − y|| → 0 khi t → ∞ với mọi ||y
0
− y|| đủ nhỏ.
3. Điểm không ổn định nếu điều kiện 1 của định nghĩa không được thỏa
mãn.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Nếu ¯y là ổn định thì các lời giải với giá
trị ban đầu đủ gần ¯y cũng sẽ không nằm ngoài hình cầu tâm ¯y với bán kính
. Còn nếu ¯y là ổn định tiệm cận thì nó sẽ hút các lời giải với giá trị ban
đầu gần nó. Tức là các lời giải với giá trị ban đầu gần ¯y sẽ hội tụ về ¯y. Hiển
nhiên, nếu ¯y là ổn định tiệm cận thì nó là ổn định, trong trường hợp ¯y là ổn
định nhưng không ổn định tiệm cận thì ta nói ¯y là ổn định yếu (marginally
stable).
Định nghĩa 1.3. Giả sử rằng f : R
n
→ R
n
là hàm thuộc lớp hàm C

Định lý 1.1. Giả sử f là hàm số khả vi liên tục và ¯y là một điểm bất động
hyperbolic. Khi đó ¯y là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với các trạng thái
ban đầu 
0
= y
0
− y mà ||
0
|| đủ nhỏ thì nghiệm (t) = 
0
e
tJ
của (1.3) thỏa
mãn
lim
t→∞
(t) = 0.
Điều này tương đương với
Re(λ) < 0, ∀λ ∈ σ(J),
trong đó σ(J) là tập hợp các giá trị riêng của ma trận J.
Ngược lại, điểm bất động y là không ổn định khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ σ(J)
sao cho Re(λ) > 0 hoặc lim
t→∞
(t) = ∞.
Chứng minh. Xem [30].
Định lý không áp dụng được trong trường hợp ¯y không phải điểm bất
động hyperbolic. Trong trường hợp Re(λ) < 0, ∀λ ∈ σ(J), ta còn gọi điểm ¯y
là điểm ổn định tuyến tính (linearly stable). Điều này tương đương sự kiện
phương trình tuyến tính 


trưởng không bị chặn trong thời gian hữu hạn. Tức là, các nghiệm bùng nổ
(blow - up solution). Thời gian bùng nổ là
T (y
0
; λ) = −
1
λ
ln
y
0
y
0
− 1
= ln(
y
0
− 1
y
0
)
1
λ
> 0. (1.6)
Nếu λ > 0, tất cả các nghiệm với y
0
> 0 đều hội tụ đơn điệu về ˆy = 1. Tất
cả các nghiệm với y
0
< 0 dẫn đến các quỹ đạo tiến về −∞ trong khoảng thời
gian hữu hạn T, trong đó

= f(t, y), 0 ≤ t ≤ T,
y(0) = y
0
, y, f ∈ R
n
,
với giả thiết hàm f đủ trơn có các đạo hàm riêng bị chặn sao cho lời giải của
bài toán là tồn tại duy nhất và lời giải có đạo hàm bị chặn tới cấp cần thiết.
Ta lấy một phân hoạch không nhất thiết đều của đoạn [0, T] (rời rạc hóa
trục thời gian)
π = {0 = t
0
< t
1
< t
2
< . . . < t
N
= T },
h
n
= t
n
− t
n−1
được gọi là bước lưới hay cỡ bước (stepsize).
Ta cần tìm các xấp xỉ y
n
≈ y(t
n

200
400
600
800
1000
1200
1400T(u
0
, λ)
Hình 1.2: λ < 0, y(0) > 1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2Hình 1.3: λ > 0, y(0) > 1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
−200

h
là phần
rời rạc hóa hàm vế phải. Tương tự như đối với phương trình vi phân, ta có
kết quả phát biểu cho phương trình sai phân (1.8).
Định lý 1.2. Giả sử ¯y là một điểm bất động của lược đồ (1.8). Ký hiệu J
h
là Jacobian của hàm F tại ¯y. Khi đó, nhiễu 
k
= y
k
−¯y xung quanh điểm bất
động y được xấp xỉ bằng nghiệm phương trình tuyến tính hóa (sử dụng khai
triển Taylor)
D
h

k
= J
h

k
. (1.9)
Điểm bất động y được gọi là ổn định tuyến tính khi và chỉ khi nghiệm {
k
}
(với ||
0
|| đủ nhỏ) của (1.9) thỏa mãn ||
k
|| → 0 khi k → ∞. Điều này tương

n
− y
n−1
h
, y

(t
n
) ≈
y
n+1
− y
n−1
2h
.
Tương ứng ta nhận được: Công thức Euler hiển
y
n+1
= y
n
+ hf(t
n
, y
n
). (1.10)
Công thức Euler ẩn
y
n+1
= y
n

n+1
= y
n
+
h
n
2

θf(t
n
, y
n
) + (1 −θ)f(t
n+1
, y
n+1
)

.
Đây là trường hợp riêng của phương pháp Runge - Kutta tổng quát. Phương
pháp Runge - Kutta và phương pháp Taylor là các phương pháp tiêu biểu
cho các phương pháp sai phân bình thường giải phương trình vi phân.
Chúng ta đã biết rằng các phương pháp trên đều là tương thích, hội tụ
(xem [3, 9, 10]). Điều đó có nghĩa là khi bước lưới h dần về 0 thì sai số toàn
cục |y(t
n
) −y
n
| cũng hội tụ về 0. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ quan tâm đến
sự tương thích, tính hội tụ của phương pháp thôi thì chưa đủ. Trong nhiều

= x, y(0) = 0,
14
ta sử dụng các phương pháp giải gần đúng bài toán trên lưới π = {0 = ϕ
1
<
ϕ
2
< . . . < ϕ
N
= 2π}. Khi đó dãy {x
k
, y
k
}
k=N
k=1
là tọa độ gần đúng của các
điểm trên đường tròn. Ta chia bước lưới đủ mịn để thu được lời giải có độ
chính xác cần thiết. Ta lần lượt sử dụng các phương pháp Euler hiển, Euler
ẩn và hình thang ẩn để giải bài toán. Ta thấy rằng
1. Nghiệm số thu được từ phương pháp Euler hiển có dạng hình xoắn ốc ra.
2. Nghiệm số thu được từ phương pháp Euler ẩn có dạng hình xoắn ốc vào.
3. Nghiệm số thu được từ phương pháp hình thang có dạng hình tròn.
a) Phương pháp Euler hiển
Áp dụng phương pháp Euler hiển giải bài toán, ta thu được



x
n+1

2
n
+ y
2
n
) = r
n
√
1 + h
2
> r
n
, ∀h > 0, n ≥ 0,
như vậy lời giải số của phương pháp Euler hiển có dạng hình xoắn ốc ra.
b) Phương pháp Euler ẩn
Áp dụng phương pháp Euler ẩn giải bài toán, ta thu được nghiệm số



x
n+1
= x
n
− hy
n+1
,
y
n+1
= y
n

2
,
y
n+1
=
hx
n
+ y
n
1 + h
2
.
15
Đặt r
k
=

x
2
k
+ y
2
k
, k ≥ 0, ta có
r
n+1
=

1
1 + h

= x
n
−
h(y
n
+ y
n+1
)
2
,
y
n+1
= y
n
+
h(x
n
+ x
n+1
)
2
,
hay ta có dạng hiển tương ứng








=

x
2
k
+ y
2
k
, k ≥ 0, ta có
r
n+1
=

(x
2
n
+ y
2
n
) = r
n
, ∀h > 0, n ≥ 0.
Như vậy, lời giải thu được từ phương pháp hình thang ẩn có dạng hình tròn.
Các phương pháp ta đã xét đều hội tụ. Tức là có sai số toàn cục e
n
(h) =
O(h
p
n
) với p = 1, 2. Ta có thể thu được sai số nhỏ tùy ý bằng cách chia bước

là điều kiện ban đầu cho trước. Với
mọi giá trị ban đầu y
0
cho trước, phương trình có nghiệm duy nhất
y(t) = y
0
e
−λt
, t ≥ 0.
Mọi nghiệm của phương trình (1.13) (ứng với các điều kiện ban đầu khác
nhau) đều đơn điệu giảm về 0. Khi λ có giá trị càng lớn thì nghiệm tương
ứng giảm dần về 0 càng nhanh. Trong trường hợp λ có giá trị lớn thì bài toán
được gọi là bài toán cương (stiff problem). Hình vẽ 1.5 biểu diễn nghiệm của
phương trình (1.13) trong một vài trường hợp cụ thể.
Sử dụng công thức Euler hiển rời rạc hóa (1.13), ta thu được phương trình
sai phân
y
k+1
− y
k
h
= −λy
k
, (1.14)
trong đó h = ∆t, t
k
= hk và y
k
là xấp xỉ cho y(t
k

, h
λ
= λh. (1.15)
Phương trình (1.15) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ
số hằng số. Ta dễ dàng tìm được nghiệm của (1.15)
y
k+1
= y
0
(1 − h
λ
)
k
. (1.16)
Từ (1.16), ta có các kết luận sau đây (Hình (1.6) - (1.9)).
1. Nếu 0 < h
λ
< 1 thì nghiệm y
k
đơn điệu dần về 0.
2. Nếu h
λ
= 1 thì y
k
= 0 với mọi k ≥ 1.
3. Nếu 1 < h
λ
< 2 thì y
k
dao động (xung quanh nghiệm chính xác) với

= 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1y
k
y(t
k
)
Hình 1.7: λ = 20, h
λ
= 1.67
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0

)
Hình 1.9: λ = 20, h
λ
= 3.34
19
Như vậy, chỉ có duy nhất trường hợp 1 cho ta nghiệm gần đúng có tính
chất tương tự như nghiệm chính xác. Tất cả các trường hợp còn lại với h
λ
≥ 1
gây ra hiện tượng không ổn định số.
Chúng ta có thể giải thích hiện tượng này như sau: Nhận thấy (1.13) có
duy nhất một điểm bất động là ¯y(t) = 0. Do λ > 0 nên đây cũng là điểm
ổn định tuyến tính. Phương trình rời rạc (1.17) cũng có duy nhất điểm bất
động là ¯y
n
= 0. Tuy nhiên điểm bất động này là ổn định tuyến tính khi và
chỉ khi 0 < h
λ
< 1. Trong các trường hợp khác nó không phải điểm bất động
ổn định tuyến tính nên dáng điệu của nghiệm rời rạc khác với dáng điệu của
nghiệm chính xác.
Như vậy, trong trường hợp này, hiện tượng bất ổn định số xảy ra do lược
đồ sai phân không bảo toàn được tính chất ổn định cho điểm bất động của
phương trình vi phân. Nhìn chung, đây cũng là nhược điểm chung của các
lược đồ sai phân bình thường. Việc không bảo toàn tính chất điểm bất động
của phương trình vi phân thường xảy ra trong hai khả năng sau.
1. Phương trình sai phân (tương ứng với lược đồ sai phân) và phương trình
vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động (phương pháp Runge -
Kutta và phương pháp Taylor thường sinh ra thêm các điểm bất động
giả (phụ thuộc vào bước lưới).

k
+
h
2
2
d
2
y
dt
2



t=t
k
+ O(h
3
). (1.18)
20
Để có (1.18) ta cần giả thiết rằng nghiệm chính xác y(t) có đạo hàm cấp 3
tồn tại và bị chặn. Từ (1.18) ta thu được
y
k+1
= y
k
+ hf(y
k
, t
k
) +

(x, y) =
∂f
∂y
. (1.20)
Bây giờ ta lấy hàm f cụ thể là f = y
2
(1 − y). Từ (1.19) ta thu được
y
k+1
= y
k
+ hy
k
2
(1 − y
k
) +
h
2
2
y
k
3
(1 − y
k
)(2 − y
k
). (1.21)
Như vậy khi ta rời rạc hóa phương trình
dy

= 1. Trường hợp giá trị ban đầu y
0
< 0 thì mọi nghiệm đều đơn
điệu tăng đến điểm bất động ¯y
(1)
= ¯y
(2)
= 0. Nghiệm của phương trình sai
phân tương ứng lại không có tính chất này. Cụ thể, Hình vẽ 1.11 biểu diễn
nghiệm số thu được từ phương pháp Taylor. Khi ta lấy bước h không quá
nhỏ thì lời giải số không bảo toàn được tính chất của lời giải chính xác.
Trong trường hợp này, ngoài ba điểm bất động ¯y
(1)
= ¯y
(2)
= 0, ¯y
(3)
= 1
phương trình sai phân thu được từ phương pháp Taylor (1.21) còn có thêm
hai điểm bất động (giả) là
¯y
(4,5)
=
1
3

1 ±

1 +
6

0.5
1
1.5
2
Hình 1.12: Pp Euler hiển, h ≈ 1.33
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Hình 1.13: Pp hình thang, h ≈ 1.4
1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học
Chúng ta xét phương trình Logistic
y

= λy(1 −y), y(0) = y
0
. (1.23)
Phương trình (1.23) có hai điểm bất động là y
1
= 0, y
2
= 1. Trong đó, y
1
= 0
không ổn định tuyến tính còn y
2

|y
0
|
mọi nghiệm đều giảm tới −∞, sau đó từ khoảng thời gian
23