ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGÔ ĐỨC HÀ

GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
KỲ DỊ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2014


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm
khắc của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng
như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng
như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, đã có công lao
dạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà nội, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn

Ngô Đức Hà

i


ii


Mở đầu
Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bài
toán giá trị biên của toán học vật lý. Trong quá trình nghiên cứu về phương
trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đã
đặt ra những vấn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương
trình tích phân. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây
dựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI. Các kỹ thuật này gắn liền với
tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov,
Vekua, B. N. Mandal, A. Chakrabarti, ...
Luận văn “ Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng ” được chia
làm ba chương.
Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho hai
chương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trình
tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Sau đó là một số
kết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thức
Poincaré - Bertrand.
Chương 2 trình bày phương pháp Riemann - Hilbert và áp dụng phương
pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ dị như phương trình tích
phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit.
Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương
trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit. Những
phương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương
pháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2.
Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài
liệu tham khảo [5].

iii

trong đó K(x, t), f (x) là các hàm đã biết, φ(x) là hàm chưa biết. Hàm K(x, t)
được gọi là nhân của phương trình tích phân.

1.2 Phương trình tích phân kỳ dị
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân
có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân.
1


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Dựa trên tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại
phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị
mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu.
Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương trình tích phân với nhân K(x, t)
thỏa mãn điều kiện tích phân
∫b
a

K(x, t)dt tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b).

Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà
nhân K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho
∫b

K(x, t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann.

a

Ví dụ 1.2.1. a) Nhân


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) ̸= 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm t = x
là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là phương trình
tích phân kỳ dị mạnh.

1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy
Định nghĩa 1.3.1. Cho Γ là một∫đường cong hữu hạn trong C và f là hàm xác
f (t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann.
định trên Γ kỳ dị tại x0 ∈ Γ, và
Γ

Với mỗi ε > 0, kí hiệu Γε là phần của Γ nằm trong hình tròn tâm tại x0 bán
kính ε, đặt

∫
I (ε) =

f (t)dt.
Γ\Γε

Nếu giới hạn lim I (ε) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là tích phân với
ε→0

nghĩa giá trị chính Cauchy và được ký hiệu
∫
∫
v.p
f (t)dt = lim

Rõ ràng tích phân (1.3.1) không tồn tại theo nghĩa Riemann. Xét theo nghĩa
giá trị chính Cauchy, ta có
I = V.p
= lim

ε→+0

∫b

1
a x − c dx
[ ∫ c−ε 1
a

∫b

1
x − c dx + c+ε x − c dx

= ln b − c
c−a.
3

]


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức
Định nghĩa 1.4.1. Chu tuyến trong C là một đường cong đơn, đóng trong C.

Định lý 1.4.2. (Bổ đề cơ bản) Cho Γ là chu tuyến trong C và φ là hàm thỏa
mãn điều kiện H¨older trên Γ. Đặt
∫
φ(τ ) − φ(t)
Ψ(z) = 1
(1.4.2)
τ − z dτ, z ∈ C.
2πi
Γ

4


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi đó hàm Ψ(z) là một hàm liên tục trên Γ, tức là với mỗi t ∈ Γ ta có:
∫

lim Ψ(z) = 1
z→t
2πi

Γ

φ(τ ) − φ(t)
τ − t dτ

(1.4.3)

tồn tại và bằng Ψ(t).


(1.4.5)

Γ

Định lý 1.4.5. (Công thức Plemelj - Sokhotski) Cho Γ là một chu tuyến và φ
thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ. Đặt
∫
φ(τ )
Φ(z) = 1
2πi
τ − z dτ, z ∈ Γ,
Γ

với mỗi t ∈ Γ, ký hiệu
lim
Φ(z) = Φ
+(t) và zlim Φ(z) = Φ−(t).
→t+
−→t

z

5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi đó Φ+(t) và Φ−(t) tồn tại và thỏa mãn các công thức:
Φ+(t) − Φ−(t) = φ(t) t ∈ Γ,

∫∫
1 1
1 1 1−1
2πi τ − z0 dτ = τ − z0 dτ + 2 .1 = 2 .
Γ

Γ

D+

D−
Γ

Hình 1.1

Như vậy


1 nếu z ∈ D+,

∫

1
1
0 nếu z ∈ D−,
2πi
τ − z dτ = 
1
Γ



Γ

φ(τ ) − φ(t)
τ − z dτ,

φ( τ )
1
τ − z dτ − φ(t) z→t
lim+ 2πi

∫
Γ

dτ
τ−z.

Sử dụng kết quả (1.4.7), từ hệ thức trên suy ra
Ψ+(t) = Φ+(t) − φ(t), t ∈ Γ.
Lập luận tương tự ta tìm được

∫

− 21
→t
lim Ψ(z)
=→tzlim πi

z−


∫
1
φ(τ )
= − φ(t) + 1
2 2πi
τ − t dτ, t ∈ Γ.

Ψ(t) = 1
2πi

Γ

Sử dụng Định lý 1.4.2 ta thu được
Ψ+(t) = Ψ−(t) = Ψ(t).
Từ hệ thức trên kết hợp với (1.4.8) và (1.4.9), suy ra
Φ+(t) − Φ−(t) = φ(t), t ∈ Γ,
và
Φ+(t) + Φ−(t) = 2Ψ(t) + φ(t)
[
] (τ )
1 ∫
φ
= 2. − φ(t) + 1
2 2πi

Γ

∫ φ( τ )
=1
πi

Φ(z) = 1
τ − z dτ, z ∈ Γ,
2πi
Γ

thỏa mãn điều kiện H¨older với trên Γ.
Định lý 1.4.7. (Công thức Poincaré - Bertrand (PBF)) Cho Γ là một đường
cong kín và nếu φ thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ. Khi đó ta có công thức
PBF

∫

1(∫
Γ

τ−t

Γ

φ(s) )
s − τ ds dτ = −π2φ(t), t ∈ Γ.

Chứng minh. Đặt
φ1(t) = 1
2πi
φ2(t) = 1
2πi

∫
∫Γ

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Sử dụng công thức Plemelj (1.4.10) được
1
φ1(t) = Φ+(t) − φ(t), t ∈ Γ,
2
1
φ2(t) = Φ+1(t) − φ1(t),2t ∈ Γ.

(1.4.14)
(1.4.15)

Thay (1.4.14) vào (1.4.13) được
∫
∫
Φ+ ( τ )
1
φ(τ )
Φ1(t) = 1
τ − z dτ − 4πi
τ − z dτ
2πi
Γ

1
= Φ(z) − Φ(z), z ∈ D+
2
1
= Φ(z),
z ∈ D +.


Do vậy

∫

1
2πi

Γ

∫

τ − t 2πi
1{∫

Γ

∫

1{1

τ−t

Γ

Γ

∫
∫Γ
Γ

(1.5.1)

Γ

trong đó Γ là đường cong kín đơn sao cho z = 3 thuộc miền ngoài Γ và z = 0
thuộc miền trong Γ (Hình 1.2).

Γ

D+

D−

3

Hình 1.2

Giải. Đặt
Φ(z) =

∫
Γ

φ( τ )
τ − z dτ, z ∈/ Γ.

Sử dụng công thức Plemelj:
Φ+(t) − Φ−(t) = φ(t), t ∈ Γ,
∫
φ(τ )

1
1
1
2t(t−3)
2πi
2πi
t − z dt −
t − z dt, z ∈ C\Γ. (1.5.3)
t − z dt = 2πi
Γ

Γ

Đặt
I1(z) = 1
I3(z) = 1

∫
2πi

Γ

∫
2πi

Γ

Γ

(t − 3)Φ+(t)

6(z − 3)2 , z ∈ D+.

(1.5.4)

ii) z ∈ D−, sử dụng công thức tích phân Cauchy tìm được
I1 = 0, I2 = 3Φ−(z), I3 = 1

6z .

Do vậy
Φ(z) = 1
18z , z ∈ D−.
Sử dụng công thức Plemelj ta tìm được nghiệm của phương trình (1.5.1) là
φ(t) = Φ+(t) − Φ−(t) = 1

1
18t
= 9t
− t2−−3)92 .
18t(t
6(t − 3)2 −
11


Chương 2
Phương pháp Riemann - Hilbert
giải phương trình tích phân trên
đường cong mở
Xét phương trình tích phân kỳ dị loại 2 với nhân Cauchy
∫

với điều kiện c(t) ̸= −πi.
Phương trình (2.3) có dạng
Φ+(t) = G(t)Φ−(t) + g(t), t ∈ Γ,
trong đó G(t), g(t) là các hàm H¨older liên tục trên Γ.
12

(2.4)

(2.3)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Bài toán giải phương trình tích phân kỳ dị (2.1) được đưa về tìm hàm Φ(z)
giải tích trên C\Γ và thỏa mãn phương trình (2.4).

2.1 Bài toán Riemann - Hilbert
Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp tìm hàm Φ(z) giải tích
trên C\Γ (Γ là hợp hữu hạn các đường cong đơn, trơn không giao nhau, định
hướng dương), với dáng điệu cho trước tại z = ∞, thỏa mãn một trong hai
điều kiện
i) Điều kiện biên thuần nhất
Φ+(t) = G(t).Φ−(t), t ∈ Γ

(2.1.1)

hoặc
ii)Điều kiện biên không thuần nhất
Φ+(t) = G(t).Φ−(t) + g(t), t ∈ Γ.




Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Như vậy nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i) là
∫
ln G(t)
Φ0(z) = e Ψ(z) với Ψ(z) = 1
2πi t − z dt.
Γ

b) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) không thuần nhất (ii).
Giả sử Φ0(z) là nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i), khi đó
G(t) = Φ+0(t)
Φ−0 (t) , t ∈ Γ.
Thay kết quả trên vào (2.1.2) thu được
Φ+(t) = Φ+0(t)
Φ−0 (t) .Φ−(t) + g(t), t ∈ Γ.
Suy ra

Φ − ( t)
Φ + ( t)
g(t)
+
−
Φ0 (t) − Φ0 (t) = Φ+0(t) , t ∈ Γ

(2.1.5)

Hệ thức (2.1.5) có thể viết dưới dạng


(2.1.7)

trong đó E(z) là một hàm nguyên. Như vậy (2.1.7) cho ta công thức nghiệm
của bài toán RHP (ii).
Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình (2.1) trong trường hợp c(t) = ρ (ρ là hằng số
thực) và Γ là khoảng mở (0, 1):
∫1
ρφ(t) +
0

φ( τ )
τ − t dτ = f (t), t ∈ (0, 1)

(2.1.8)

với f (t) bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1 và giả thiết rằng hàm
φ(t) cũng bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1
14


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Giải. Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình trên. Đặt
Φ(z) = 1
2πi

∫1

φ( τ )

Phương trình (2.1.10) trở thành
Φ + ( t)

Φ − ( t)

+
0

Φ −

f (t)
Φ (t) = (ρ + π)Φ+0(t) , t ∈ (0, 1).
−
0

(2.1.12)

Sử dụng kết quả của bài toán RHP (ii) tìm được
Φ(z) = Φ0(z)[ 1 . 1
2πi ρ + πi

∫1
0

]
f (t)
Φ+0(t)(t − z) dt + E(z) ,

ở đó E(z) là hàm nguyên.
Chọn Φ0(z) = ( z )α

2πi ρ + πi

∫1

f (t)
Φ+0(t)(t − z) dt z ∈/ (0, 1).

0

(2.1.14)

Sử dụng công thức Plemelj cho (2.1.14) cùng với kết quả (2.1.13), ta tìm được
φ(x) = Φ+(x) − Φ−(x)
= Φ+(x) − Φ−(x)
2πi(ρ + πi)

∫1
0

f (t)
Φ+0(t)(t − x) dt + Φ
+(x)
+ Φ−+
(x)πi) f (x).
2Φ
+0(x)(ρ

Cụ thể nghiệm của phương trình (2.1.8) là
1 [
φ(x) = 2ρ + π2 ρf (x) − ( x1)α− x

1

t t − x dt,

0

0 < x < 1.

2.2 Phương trình tích phân Abel
Phương trình tích phân Abel là phương trình có dạng
∫x
a(x)
α

φ(t)
(x − t)µ dt + b(x)

∫β
x

φ(t)
(t − x)µ dt = f (x), x ∈ (α, β),
16

(2.2.1)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

trong đó 0 < µ < 1.

∫β

φ(t)
(t − x − yi)µ dt +
∫β
x

]
φ(t)
(t − x − yi)µ dt

x

φ(t)
(t − x)µ dt.

(∗)

Thu được
Φ+(x) = eiπµ.(A1φ)(x) + (A2φ)(x).

(2.2.3)

Ở đó toán tử A1, A2 được xác định
∫x
(A1φ)(x) =
α

φ(t)
(x − t)µ dt, (A2φ)(x) =

−

17

(2.3.6b)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Thay các kết quả (2.3.6a), (2.3.6b) vào (2.2.1) và biến đổi thu được
(a(x) − e−iπµb(x))Φ+(x) − (a(x) − eiπµb(x))Φ−(x) = 2i sin πµf (x), x ∈ [α, β].
Hệ thức trên được đưa về bài toán RHP
Φ+(x) + G(x)Φ−(x) = g(x), x ∈ [α, β],

(2.2.7)

trong đó
[
G(x) = − a(x)
−
e
iπµb(x)
a(x) − e−iπµb(x) = − exp − 2i tan−1 {

b(x) sin πµ
a(x) − b(x). cos πµ

}]

,


với ρ0 xác định từ đẳng thức
Suy ra

(A1ρ0)(x) = Ψ+0(x) − Ψ−0 (x)
2i sin πµ = G02i
(x)sin πµ .

1
sin πµ d
ρ0(x) = 1
2i sin πµ (A−1 1G0(x)) = 2i sin πµ · π dx
18

∫
α

x

G0(t)
(x − t)1−µ dt


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

=1d
2πi dx

∫
α

Φ±0 (x) = exp[Ψ±0 (x)],
với Ψ±0 (x) tìm được như (2.2.9).
Bằng cách sử dụng công thức (2.3.6a), (2.3.6b) chúng ta tìm được nghiệm
của bài toán RHP (2.2.10) là
Φ(z)
Φ0(z) =
trong đó
d[

λ(x) = 1 .
2πi dx

∫β
α

∫x
a

λ(t)
(t − z)µ dt,

(2.2.11)

]
g(x)
Φ+0(t)(x − t)1−µ dt .

(
Đặt p(t) = g+t)
Φ0 (t) , với giả sử đạo hàm p′(t) tồn tại với mọi t ∈ [α, β]. Khi đó,


h(x)
2i sin πµ , x ∈ [α, β],

=

ta tìm được nghiệm
φ(x) =

1
2i sin πµ (A−1 1h)(x)

= 2i1sin πµ . sin πµ d [
π . dx

∫x
α

=1.d
2πi dx

[ ∫x ]
α

]

h(t)
(x − t)1−µ dt , x ∈ [α, β]

h(t)

x

]
h′(t)
(t − x)1−µ dt , x ∈ [α, β],

Nếu đạo hàm h′(t) tồn tại với mọi t ∈ [α, β]., trong đó
h(x) = [Φ+0(x) + Φ−0 (x)](A1λ)(x) + [e−iπµΦ+0(x) − eiπµΦ−0 (x)](A2λ)(x),
20

(2.2.15)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

và
λ(x) = e−iπµ . d
2πi dx

∫β
x

g(x)
Φ+0(t)(t − x)1−µ dt.

Các công thức nghiệm (2.2.14) và (2.2.15) là tương đương.

2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân
Logarit
Nhiều vấn đề trong toán học vật lý mà để giải quyết nó đã đưa đến việc


1

t
− ∫β

(2.3.3)

]
1

dt ,

x
d
t
+
f
α

trong trường hợp β − α ̸= 4 và
φ

1

1