ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

ĐÀO THỊ THANH

GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến . . .

37
45
52
65
66

1


MỞ ĐẦU
Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các
bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học, · · · . Hai
loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào
đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân
Volterra. Trong luận văn này ta chỉ xét phương trình tích phân Fredholm. Ta sẽ
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và
chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp.
Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp cơ sở lý thuyết cho
hai chương sau, bao gồm định nghĩa về phương trình tích phân và phân loại các
dạng phương trình tích phân. Sau đó là một số tính chất và kí hiệu liên quan
đến phương trình tích phân Fredholm loại hai. Thứ ba là định lý Fredholm trong
trường hợp nhân có dạng tách biến.
Chương 2. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân
tổng quát. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân
Fredholm loại hai, đưa ra một số phương pháp giải là phương pháp thế liên tiếp,
phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một số ví dụ minh họa. Sau đó ta sẽ kết hợp cả
hai phương pháp này để chứng minh định lý Fredholm trong trường hợp nhân
tổng quát và đi xây dựng toán tử giải của nó.
Chương 3. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Khái niệm phương trình tích phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà hàm cần tìm
xuất hiện dưới dấu tích phân.
Xét phương trình tích phân tuyến tính có dạng
b

λϕ(x) −

K(x, t)ϕ(t)dt = f (x),

(1.1)

a

trong đó
• f (x) là hàm cho trước, có giá trị phức và liên tục trên đoạn [a, b];
• K(x, t) là hàm cho trước, liên tục trên [a, b] × [a, b], có giá trị phức và được

gọi là nhân;
• λ là hằng số phức cho trước;
• ϕ(x) là hàm cần tìm, luôn được giả thiết là khả tích theo nghĩa Riemann.

Ta có thể phân loại như sau:
1. Nếu hệ số λ = 0 thì ta được phương trình

và gọi là phương trình tích phân Volterra loại một.
Trong luận văn này, chúng ta chỉ xét với phương trình Fredholm loại hai.
Bằng phép biến đổi, ta có thể viết phương trình tích phân Fredholm loại hai
dưới dạng
b

ϕ(x) = f (x) + λ

(1.2)

K(x, t)ϕ(t)dt.
a

1.2

Một số kiến thức chuẩn bị

Kí hiệu:
Q[a, b] = [a, b] × [a, b],
C[a, b] = f : [a, b] → C : f liên tục trên [a, b] ,
C (Q[a, b]) = f : Q[a, b] → C : f liên tục trên Q[a, b] ,
R[a, b] là tập hợp các hàm giá trị phức và khả tích trên [a, b],
R2 [a, b] là tập hợp các hàm bình phương khả tích trên [a, b].

Với mỗi f ∈ C[a, b], ta kí hiệu
b

f

1


1/2

b

|K(x, t)|2 dxdt

=
a

a

5

.


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Cho f và g là hai hàm thuộc C[a, b] thì ta định nghĩa tích vô hướng
b

f, g =

f (x)g(x)dx.
a

Nếu f, g = 0 thì ta nói f và g trực giao.
Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
b

Đặt Φm = {ϕ1 , . . . , ϕm } là tập con hữu hạn của Φ. Nếu f ∈ span{Φm } thì ta
có chuỗi Fourier hội tụ
f (x) = f, ϕ1 ϕ1 (x) + · · · + f, ϕm ϕm (x),

trong đó f, ϕn , n = 1, . . . , m được gọi là là hệ số Fourier thứ n của f (x).
Định nghĩa 1.4 (Sự hội tụ đều). Cho {fn (x)} là dãy các hàm xác định trên
[a, b]. Ta nói dãy {fn (x)} hội tụ đều tới hàm f (x) trên [a, b] nếu với mọi ε > 0,
tồn tại số nguyên N = N (ε) sao cho với mọi n ≥ N thì |fn (x) − f (x)| < ε với mọi
x ∈ [a, b].
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy vô hạn {fn (x)} các hàm xác định trên
[a, b] hội tụ đều nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên N (ε) sao cho
với mọi n, m ≥ N (ε), |fn (x) − fm (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b].
Định lý 1.2. Nếu {fn (x)}∞
n=1 là dãy các hàm khả tích hội tụ đều tới hàm f (x)
trên [a, b], thì f (x) cũng khả tích trên [a,b] và
b

b

f (x)dx = lim
a

n→∞

6

fn (x)dx.
a




lim fn − f

2

n→∞

2

|f (x) − fn (x)| dx

= lim

n→∞

= 0.

a

Định nghĩa 1.6 (Toán tử Fredholm). Cho K(x, t) là hàm xác định trên Q[a, b]
và khả tích theo từng biến trên [a, b]. Kí hiệu toán tử
K :R2 [a, b] → R2 [a, b]
b

ϕ(t) →

K(x, t)ϕ(t)dt
a

và gọi là toán tử Fredholm tương ứng với hạt nhân K(x, t). Đặt

Kϕ

2

≤ C ϕ 2,

∀ϕ ∈ R2 [a, b].

Nếu K bị chặn thì ta đặt
K = sup

Kϕ
ϕ

2

: ϕ ∈ R2 [a, b], ϕ = 0

2

và gọi nó là chuẩn của toán tử K.

7


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mệnh đề 1.1. Nếu nhân K(x, t) có K(x, t)
Kϕ


|K(x, s)|2 ds

≤

|ϕ(s)|2 ds

a

.

a

Do vậy
b

Kϕ

2
2

|Kϕ(x)|2 dx

=
a

b

b

≤

được gọi là toán tử liên hợp của toán tử K.
Từ định nghĩa ta suy ra:
(i) Với mọi ϕ, ψ thuộc R2 [a, b] thì Kϕ, ψ = ϕ, K∗ ψ .
(ii) Với mọi m ≥ 1 thì (Km )∗ = (K∗ )m .
Định nghĩa 1.9 (Miền). Tập Ω ⊂ C mở, khác rỗng và liên thông được gọi là
một miền trong C.
Định nghĩa 1.10. Cho miền Ω và hàm f : Ω → C.
(i) Hàm f được gọi là hàm giải tích trên Ω nếu f khả vi tại mọi điểm z ∈ Ω .
(ii) Hàm f được gọi là hàm phân hình trên Ω nếu tồn tại tập P ⊂ Ω sao cho:
- P không có điểm giới hạn trong Ω;
- f (z) là hàm giải tích trong miền Ω\P ;
- Mọi điểm của P đều là cực điểm của f (z).
Định nghĩa 1.11. Hàm f : C → C được gọi là hàm nguyên nếu f là hàm giải
tích trên toàn mặt phẳng phức C .
8


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách
biến

Trong mục này, ta xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng
b

ϕ(x) = f (x) + λ

(1.3)

i=1

Khi đó phương trình trên trở thành
n

ϕ(x) = f (x) + λ

ci ai (x),

(1.5)

i=1
b

bi (t)ϕ(t)dt, i = 1, . . . , n. Từ phương trình trên suy ra nghiệm

trong đó ci =
a

ϕ(x) của phương trình (1.3) được xác định nếu như xác định được hệ số ci .

Nhân cả hai vế của phương trình (1.5) với bi (t) rồi lấy tích phân theo biến t trên
[a, b] ta thu được hệ phương trình
n

ci = f i + λ

aij cj ,

i = 1, . . . , n,

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Kí hiệu D(λ) = det(I − λA). Việc giải hệ tuyến tính (1.6) phụ thuộc vào giá
trị của D(λ). Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: D(λ) = 0. Trong trường hợp này λ được gọi là giá trị chính
quy của nhân. Khi đó hệ tuyến tính trên có nghiệm duy nhất
c = (I − λA)−1 f,
hay
c=

1
adj(I − λA)f,
D(λ)

trong đó adj(I − λA) = (Dji (λ)) là ma trận phụ hợp của ma trận (I − λA). Do
đó mỗi hệ số ci có biểu diễn
1
ci =
D(λ)

n

Dji (λ)fj .
j=1

Thay biểu diễn của ci và fi vào phương trình (1.5) ta được
b

ϕ(x) = f (x) + λ
a

(1.7)

R(x, t; λ)f (t)dt.
a

Đặt
0
a1 (x)
a2 (x)
···
 b1 (t) 1 − λa11 −λa12 · · ·

D(x, t; λ) =  b2 (t) −λa12 1 − λa11 · · ·



 .
 ..

bn (t)

..
.

..
.

−λan1

−λan2


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trường hợp 2: D(λ) = 0. Trong trường hợp này λ được gọi là giá trị riêng
của nhân. Giả sử λk là một giá trị riêng, nghĩa là D(λk ) = 0.
Xét trường hợp f = 0. Khi đó hệ phương trình (1.5) trở thành
(I − λk A)c = 0.

Vì D(λk ) = 0 nên phương trình trên có pk nghiệm độc lập tuyến tính được biểu
diễn bởi


(j)


c(j) (λk ) = 

c1 (λk )

..
.

(j)
cn (λk )




j = 1, . . . , pk .


a

Chỉ số trên (e) để kí hiệu rằng nghiệm ϕ(e)
j (x; λ) là hàm riêng của nhân tương
ứng với giá trị riêng λk . Mỗi nghiệm của phương trình thuần nhất sẽ có dạng
pk
(h)

ϕ

(e)

(x; λk ) =

αj ϕj (x; λk ),
j=1

trong đó αj là hằng số tùy ý, chỉ số trên (h) là để kí hiệu rằng ϕ(h) (x; λk ) là
nghiệm tổng quát của phương trình tích phân thuần nhất trên.
Xét trường hợp f = 0. Ta sẽ sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Cho B = (bij )n×n và B∗ = (bji )n×n . Khi đó nếu det(B) = 0 thì hệ
không thuần nhất Bx = f có nghiệm nếu và chỉ nếu f trực giao với tất cả các
nghiệm của phương trình liên hợp thuần nhất B∗ y = 0.
Từ bổ đề này, ta thấy hệ tuyến tính (I − λk A)c = f có nghiệm nếu và chỉ nếu
f trực giao với tất cả các nghiệm của phương trình
(I − λk A)∗ d = 0.
11

(1.9)



Mặt khác, xét phương trình tích phân thuần nhất liên hợp với phương trình
(1.3)
b

ψ(x) = λ

K(t, x)ψ(t)dt.

(1.11)

a
n

Vì K(t, x) =

ai (t)bi (x) nên tương tự như trên, phương trình (1.11) có thể được
i=1

viết dưới dạng

n

dm − λ

aim di = 0,

m = 1, . . . , n

(1.12)

b

ϕ(x) = f (x) + λ

R(x, t; λ)f (t)dt,
a

trong đó R(x, t; λ) được xác định bởi công thức (1.8).
12


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(ii) Nếu λ là giá trị riêng của nhân thì phương trình thuần nhất
b

ϕ(x) = λ

K(x, t)ϕ(t)dt
a

có nghiệm không tầm thường. Hơn nữa, phương trình không thuần nhất có
nghiệm khi và chỉ khi hàm f (x) trực giao với tất cả các hàm riêng của
phương trình thuần nhất liên kết
b

ψ(x) = λ

K(t, x)ψ(t)dt.
a

trong đó λ là một tham số phức, f (x) ∈ C[a, b] và K(x, t) là một nhân thuộc
C(Q[a, b]). Nếu |λ|(b − a) sup |K(x, t)| < 1 thì phương trình có nghiệm duy
(x,t)∈Q[a,b]

nhất được xác định bởi công thức
b

ϕ(x) = f (x) + λ

R(x, t; λ)f (t)dt,
a

trong đó R(x, t, λ) là toán tử giải được xác định bởi
∞

λm−1 Km (x, t).

R(x, t; λ) =
m=1

Chứng minh. Đặt M =

sup

|K(x, t)|. Giả sử ϕ(x) là một nghiệm của

(x,t)∈Q[a,b]

phương trình (2.1). Khi đó thay biểu thức của ϕ(x) vào ϕ(t) trong vế phải ta
14


a

K(x, t)K(t, s)ϕ(s)dsdt.
a

a

Sau khi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân cuối và thay thế biến s
với t, ta thu được
b

b
2

ϕ(x) = f (x) + λ

K(x, t)f (t)dt + λ
a

K2 (x, t)ϕ(t)dt.
a

Tiếp tục quá trình này n lần, ta sẽ thu được dạng tổng quát
n

b

λm



a

m=1
b

ρn (x) = λn+1

Kn+1 (x, t)ϕ(t)dt.
a

Khi đó phương trình (2.2) có thể viết gọn lại là
ϕ(x) = f (x) + λσn (x) + ρn (x).

Ta sẽ chứng minh rằng nếu |λ|M (b − a) < 1 thì dãy σn (x) hội tụ đều đến hàm
liên tục σ(x) trên đoạn [a, b] và dãy ρn (x) hội tụ đều đến 0 trên đoạn [a, b]. Thật
vậy, vì |K(x, t)| ≤ M nên |Km (x, t)| ≤ M m (b − a)m−1 . Do đó
b

Km (x, t)f (t)dt ≤ (|λ|M (b − a))m−1 M f

λm−1

1.

a

Vì |λ|M (b − a) < 1 nên khi n đủ lớn thì ∀m > n, ∀ε > 0, ta có
m



.

a

m=1

Hơn nữa, lấy tích phân từng số hạng ta được
∞

b

b

λm−1 Km (x, t)

σ(x) =
a

f (t)dt =

R(x, t; λ)f (t)dt.
a

m−1

Mặt khác, ta có |ρn (x)| ≤ |λ| M ϕ
trên [a, b] khi n → +∞.
Vậy ϕ(x) = f (x) + λσ(x) hay


λ= ,
2

a = 0,

b=

π
.
2

1 π
π
λ(b − a) sup |K(x, t)| = ( − 0)1 = < 1.
2 2
4

Vì thế ta có thể áp dụng phương pháp thay thế liên tiếp để giải phương trình
này. Thay
1
ϕ(t) = cos t +
2

π/2

sin t ϕ(t1 )dt1
0

vào biểu thức dưới dấu tích phân, ta được
1

1
4

π/2

sin x
0

π/2

sin x sin t ϕ(t1 )dt1 dt
0
π/2

0

sin t ϕ(t1 )dt1 dt.
0

16

π/2


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT

π/2

1

π/2

1
1
1
sin x + sin x + sin x
2
4
8

ϕ(t2 )dt2 .
0

Cứ tiếp tục phương pháp này ta sẽ thu được nghiệm
1 1 1
+ + + ···
2 4 8

ϕ(x) = cos x + sin x
= cos x + sin x.

2.2

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một phương pháp khác để giải quyết phương
trình tích phân Fredholm loại hai. Điểm thuận lợi của phương pháp này là ta sẽ
sử dụng cách chứng minh sự hội tụ khác và thu được một kết quả tốt hơn trong
trường hợp chuỗi toán tử giải có bán kính hội tụ lớn.
Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai

a

Cứ tiếp tục phương pháp này, ta sẽ thu được xấp xỉ bậc n + 1 của nghiệm ϕ(x)
theo công thức truy hồi sau
b

ϕn+1 (x) = f (x) + λ

K(x, t)ϕn (t)dt
a

17

với n ≥ 0.


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT

Thay thế mỗi xấp xỉ ϕj (x) vào trong biểu thức của xấp xỉ tiếp theo ϕj+1 (x) với
j = 0, . . . , n, ta thu được
n

b
m

ϕn+1 (x) =f (x) +
+λ

λ

m=1
b

ωn+1 (x) = λn+1

Kn+1 (x, t)ϕ0 (t)dt.
a

Từ đó dẫn đến định lý sau:
Định lý 2.2 (Định lý xấp xỉ liên tiếp). Xét phương trình tích phân Fredholm
loại hai
b

ϕ(x) = f (x) + λ

K(x, t)ϕ(t)dt,

(2.5)

a

trong đó λ là một tham số phức, f (x) ∈ C[a, b] và cho K(x, t) là một nhân thuộc
C(Q[a, b]). Nếu |λ| K 2 < 1 thì phương trình trên có nghiệm duy nhất và nghiệm
đó được cho bởi công thức
b

R(x, t; λ)f (t)dt,

ϕ(x) = f (x) + λ
a

|K(s, t)|2 ds

a

.

a

Lấy tích phân trên cả hai vế của bất đẳng thức này theo biến t, ta được
b

b

|Km (x, t)|2 dt ≤
a

b

b

|Km−1 (x, s)|2 ds

|K(s, t)|2 dsdt

a

a

.



b

b
2

≤

|f (t)|2 dt

|Km (x, t)| dt

a

a

a

≤ κm (x) f
≤ κ1 (x) f

2
2
2
2

K

2m−2
.


19


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT

Như vậy từ hai điều trên ta suy ra rằng
ϕ(x) = f (x) + λσ(x).

Chứng minh tính duy nhất nghiệm: Giả sử phương trình (2.5) có hai nghiệm
phân biệt ϕ(x) và ϕ(x). Đặt δ(x) = ϕ(x) − ϕ(x). Khi đó δ(x) thỏa mãn phương
trình tích phân thuần nhất
b

δ(x) = λ

K(x, t)δ(t)dt.
a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
b
2

2

b
2

|δ(x)| ≤ |λ|

|δ(x)|2 dx = 0, suy ra δ(x) = 0 hay ϕ(x) ≡ ϕ(x).

< 1 cho nên
a

Chứng tỏ phương trình (2.5) có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2.2. Giải phương trình tích phân sau
1

x10 t10 ϕ(t)dt.

ϕ(x) = 1 + 3
0

Lời giải. Trước hết ta thấy rằng
sup |K(x, t)| = 1,

λ = 3,

a = 0,

b = 1.

[0;1]

Suy ra
|λ|(b − a) sup |K(x, t)| = 3.1.1 > 1.

Do vậy ta không thể áp dụng phương pháp thế liên tiếp để giải phương trình
này được. Tuy nhiên ta kiểm tra thấy rằng

0
1

x10 t10 dt

=1+3
0

3
= 1 + x10 .
11

Xấp xỉ bậc hai là
1

x10 t10 ϕ1 (t)dt

ϕ2 (x) = 1 + 3
0
1

x10 t10 (1 +

=1+3
0

= 1 + x10

3 10
t )dt


dt

3
3
9
1+
+ 2 .
11
21 21

Cứ tiếp tục phương pháp này ta thu được
ϕ(x) = 1 + x10

3
3
9
27
1+
+ 2 + 3 + ··· .
11
21 21
21

Do đó, nghiệm của phương trình tích phân trên là
3
ϕ(x) = 1 + x
lim
11 n→∞


(2.6)


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT

với nhân tách biến. Ở 2.2, ta đã chỉ ra phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải
1
phương trình này nếu như K(x, t) là nhân tổng quát và với |λ|

Chọn ρ = . Khi đó nếu |λ| ≤ ρ thì |λ|

λm−1 Kεm (x, t)

Rε (x, t; λ) =

(2.9)

m=1
b

và Kεm là nhân lặp của Kε (x, t). Thay F (x; λ) = f (x) + λ

Ksep (x, t)ϕ(t)dt vào
a

vế phải ta được
b

ϕ(x) = fε (x; λ) + λ

Gε (x, t; λ)ϕ(t)dt,

(2.10)

Rε (x, t; λ)f (t)dt,

(2.11)

a

trong đó


Rε (x, u; λ)
a

i=1

n

b

=

Rε (x, u; λ)ai (u)du

bi (t)

a

i=1
n

=

du

Aεi (x; λ)bi (t),
i=1

trong đó
b


a

m=1

Do vậy, Gε (x, t; λ) có thể được biểu diễn thành dạng tách biến như sau
n

Gε (x, t; λ) =

[ai (x) + λAεi (x; λ)] bi (t).
i=1

23

(2.13)


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT

Như vậy, phương trình (2.10) trở thành phương trình tích phân Fredholm loại
hai với nhân tách biến. Ta có thể giải được phương trình này bằng phương pháp
đã được mô tả ở Chương 1. Tuy nhiên, ở đây có một sự khác biệt đó là nhân
vẫn còn phụ thuộc vào tham số λ. Ta sẽ giải quyết phương trình (2.10) này như
sau:
Thay biểu diễn của Gε (x, t; λ) trong (2.13) vào phương trình (2.10) ta được
n

ci (λ) [ai (x) + λAεi (x; λ)] ,


fε (x; λ)bi (t)dt + λ
a

b

[aj (t) + λAεj (t; λ)]bi (t)dt.

cj (λ)
a

j=1

Đặt
b

fi (λ) =

fε (x; λ)bi (t)dt,
a
b

aij (λ) =

[aj (t) + λAεj (t; λ)]bi (t)dt.
a

Khi đó ta được hệ phương trình
n