Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và
bậc hai
MỤC LỤC

Lời nói đầu 1
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong
tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận
theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số.
Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải
quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các
nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.
Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những
phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Để làm
được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các
phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. Phương pháp
không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V.
Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này.
Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc
nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo
các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003-2008).
Luận văn gồm ba Chương.
1
Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương
trình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số cổ
điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản.
Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những
năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính,
theo các tài liệu [9]-[11].
Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân
bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V. Berghe ([4],

= ∈
(1.1)
thỏa mãn điều kiện ban đầu
0
(0)x x=
, (1.2)
trong đó
( ) ( )
, ,f x t x t
là các hàm vectơ
n
- chiều, hàm
f
xác định trên hình hộp vô
hạn
[ ]
n
RD
×=
1,0:
.
Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.1)-(1.2)
là một hàm khả vi
( )x t
trên
[
)
0,
α
,

[ ]
( ) ( ) ( ), 0,1x t B t x g t t
′
= + ∈
. (1.3)
Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận
( )B t
, của các vectơ
( )
,f x t
,
( )g t
là đủ
trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo định lí Picard-
Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nhất nghiệm
( )x t
trên toàn đoạn
[ ]
0,1
(nghiệm có thể
kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem [8],
trang 467). Lưu ý này là quan trọng trong giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2).
4
1.2. Giải số bài toán Cauchy
Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân
(1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của bài toán
(1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm. Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm
xấp xỉ: phương pháp giải tích và phương pháp số kết quả được cho dưới dạng bảng,
như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước,...
Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta,... xuất phát từ

Giả sử ta có
s
điểm nội suy khác nhau
1 2
, ,...,
s
c c c
trong khoảng
[ ]
,a b
. Đa thức nội
suy Lagrange bậc nhỏ hơn
s
có dạng (xem [1]):
1
( ) ( ) ( )
s
j j
j
t f c L t
ϕ
=
=
∑
,
trong đó
1,
( )
( )
( )

j
ω
được tính theo công thức
( ) .
b
j j
a
L t dt
ω
=
∫
Nếu
1s =
thì đa thức nội suy
1
( ) ( )t f c
ϕ
≡
và ta có:
1
( ) ( ) ( ).
b
a
f t dt b a f c≈ −
∫

Ta nói độ chính xác (precision) của quy tắc cầu phương là
p
nếu quy tắc này chính
xác cho mọi đa thức bậc nhỏ hơn

p
h
+

Ta xét một số trường hợp đặc biệt.
• Nếu chọn
1s
=
và
1
c a=
thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ
nhật ABCD (Hình 1.1):

( ) ( ) ( ).
b
a
f t dt b a f a≈ −
∫
(1.5)
Nếu
( )x t
là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm của phương trình
tích phân (1.4)) thì:

( ) ( ) ( ( ), )
t h
t
x t h x t f x s s ds
+

, trường hợp
0h
<

có thể được xét tương tự.
Từ công thức (1.7) ta có
6
O
f
x
C
D
b
B
a
A
1 0 0 0
. ( , )x x h f x t= +
;
2 1 1 1
. ( , )x x h f x t= +
;
.....;
1
. ( , )
n n n n
x x h f x t
+
= +
.

2
a b
c
+
=
thì ta có
công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích
hình chữ nhật ABMN (Hình 1.3):
( ( ), ) . ( ( ), )
2 2
t h
t
h h
f x s s ds h f x t t
+
= + +
∫
Từ đây ta có: Hình 1.3
( ) ( ) . ( ( ), )
2 2
h h
x t h x t h f x t t+ − = + +
.
Từ công thức trên ta có
1
[ ( ( ), ]
2 2
n n n n
h h
x x h f x t t

thì
1
( )
( )
t b
L t
a b
−
=
−
và
2
( ) .
( )
t a
L t
b a
−
=
−
Suy ra
2
1 1
1 ( )
( )
( ) ( ) 2 2
b
b b
a a
a

a
b a
f t dt f a f b
−
≈ +
∫
.
Như vậy nếu xấp xỉ tích phân
( ( ), )
t h
t
f x s s ds
+
∫
bởi công thức trên (bởi diện tích hình
thang ABED, Hình 1.4)

thì ta được:
( ( ), ) [ ( ( ), ) ( ( ), )]
2
t h
t
h
f x s s ds f x t h t h f x t t
+
≈ + + +
∫
.
Từ đây ta có công thức hình thang:
1 1 1

2
( )( )
2
2
( ) ( )( ),
2
( )( )
2
a b
t t b
a b
L t t t b
a b
h
a a b
+
− −
+
= = − −
+
− −
8
E
D
b
B
a
A
O
f

L t t a t
a b
h
b a b
+
− −
+
= = − −
+
− −
Suy ra
1 1
2 2
3 2
2
2 2
3
2
2 2
( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2 2 ( ) ( )
[( ) ( )( )] [ ( ) ]
2 3 2 2
2 ( )
.
12 6
b b b
a a a
b

b b b
a a a
b
a
L t dt t a t b dt t a t a a b dt
h h
t a t a h
a b
h
ω
− −
= = − − = − − + −
− − −
= + − =
∫ ∫ ∫
Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có
3 1
6
h
ω ω
= =
.
Từ các tính toán trên ta đi đến công thức Simpson:
( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]
6 2
b
a
h a b
f t dt f a f f b
+

2
n n n n n n
h
x x f x t f x t
+ + +
= + +
,
ta thay giá trị
1n
x
+
ở vế phải bằng công thức Euler tiến:
1
ˆ
( , )
n n n n
x x hf x t
+
= +
.
Khi ấy ta được công thức:
1 1 1
ˆ
[ ( , ) ( , )]
2
n n n n n n
h
x x f x t f x t
+ + +
= + +

1 1
2
ˆ
( , )
2
n n n
n
h
x x hf x t
+
+
= + +
• Từ phương pháp Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển
10

1 1 1
[ ( , ) 4 ( ( ), ) ( , )]
6 2 2
n n n n n n n n
h h h
x x f x t f x t t f x t
+ + +
− = + + + +
,
ta có công thức Runge-Kutta hiển bậc bốn kinh điển sau:
1 1 2 3 4
( 2 2 ), 0,1,2,...
6
n n
h

= +
1.2.2.2. Phương pháp Runge-Kutta tổng quát
Nội dung cơ bản của phương pháp Runge-Kutta tổng quát như sau.
Chia đoạn
[ ]
0,1
thành một lưới đều
i
t ih=
,
0,1,2,...,i N=
,
1
h
N
=
,
và kí hiệu
i
x
là giá trị xấp xỉ
( )
i
x t
,
( )
i i
B B t=
,
( )

∑
=
s
j
iijjiii
hctXahxfX
1
,
. (1.9)
Các tham số
ij
a
,
i
c
,
i
b
xác định bậc xấp xỉ của phương pháp, còn
s
được gọi là số
nấc. Nếu
0
ij
a =
với mọi
j i≥
thì ta có phương pháp Runge-Kutta hiển. Khi ấy tính
toán khá đơn giản (
i

b
Hai phương pháp Runge-Kutta quan trọng thường hay được sử dụng là phương pháp
Runge-Kutta bậc hai và phương pháp Runge-Kutta bậc bốn.
1.2.2.3. Công thức lặp của phương pháp Runge-Kutta bậc hai
Giả thiết rằng ta đã biết giá trị của
x
tại
n
t
là
n
x
. Phương pháp Runge-Kutta hiển hai
nấc cấp hai sử dụng điểm
( , )
n n
x t

để xấp xỉ giá trị của
x
tại điểm tiếp theo bằng
công thức
1 1 1 2 2
( ),
n n
x x h b k b k
+
= + +
(1.10)
trong đó

tự do. Khi ấy các hệ số còn lại biểu diễn qua
2
0b ≠
bởi các công thức:
1 2
1b b= −
,
2
2
1
2
c
b
=
,
21
2
1
2
a
b
=
.
12
Chọn
2
1
2
b =
, thì

1
2
a =
,
1
0b =
và
2
1
2
c =
. Khi ấy ta có công thức
1 1 1 2 2
( ) . . ( ( , ), )
2 2
n n n n n n n
h h
x x h b k b k x h f x f x t t
+
= + + = + + +
.
Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy.
1.2.3. Phương pháp cổ điển đa bước
Phương pháp cổ điển
k
-bước cho bài toán (1.1) có dạng (xem, [3], [4]-[7])
1 1 1
0 0
( , )
k k

tính tương đối chính xác.
Nếu
0
0
ρ
=
và
0
0
σ
=
thì phương pháp là phương pháp hiển. Nếu
0
0
ρ
≠
và
0
0
σ
≠

thì ta có phương pháp ẩn.
1.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số
1.3.1. Mô hình thử
Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G.
Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô hình thử)
13
( )
[ ]

Tương ứng với phương trình (1.13), xét phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất
nn
xx
σ
=
+
1
,
,...2,1,0
=
n
,
trong đó
0
x
cho trước và
σ
nói chung là một số phức. Nghiệm của phương trình
này là
0
xx
n
n
σ
=
. Ta thấy rằng nghiệm này bị chặn khi và chỉ khi
1
≤
σ
.

h
e
λ
σ
. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu
0Re
≤=
hh
R
λλ
. Điều này có nghĩa là, trên mặt phẳng với trục hoành
)Re( h
λ
và trục
tung
)Im( h
λ
, miền ổn định của nghiệm chính xác phải là nửa mặt phẳng mở bên
trái.
Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu
1
≤
σ
và ổn định tương
đối nếu
h
e
λ
σ
≤

Định nghĩa 3.1
Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức
M
mà
( ) 1R z ≤
được gọi là miền ổn định
của phương pháp (1.8)-(1.9). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì
phương pháp được gọi là ổn định-A, còn nếu ngoài ra
lim ( ) 0
z
R z
→∞
=
thì phương pháp
được gọi là ổn định-L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận).
1.3.2. Sự ổn định của phương pháp Euler
Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1) có dạng
( )
nnnnnnn
xhhxxtxhfxx
λλ
+=+=+=
+
1),(
1
.
Nghiệm của phương trình sai phân tương ứng là
( )
0
1 xxhx

.
2)
λ
là thuần ảo (
ωλ
i
=
, trong đó
ω
là số thực khác 0). Khi ấy
111
22
>+=+=
hhi
ωωσ
.
Chứng tỏ phương pháp là không ổn định nếu
λ
là thuần ảo.
3)
λ
là số phức (
IR
i
λλλ
+=
). Khi ấy
( ) ( )
1111
22

Để nhận được nghiệm số ổn định, bước
h
phải được chọn sao cho
h
λ
nằm trong
hình tròn. Nếu
λ
là số thực âm thì từ điều kiện
02
<<−
h
λ
suy ra
0
2
≤≤
−
h
λ
.
Nếu
λ
là thực và nghiệm số không ổn định thì
11
>+
h
λ
, nghĩa là
h

−
và
1 z+
.
1.3.3. Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta
1.3.3.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai
Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13). Ta có
nnn
hxtxhfk
λ
==
),(
1
;
( ) ( ) ( )
nnnnnn
xhhhxxhkxhhtkxhfk
λλλλλ
+=+=+=++=
1),(
112
và
( ) ( )( )
nnnnn
x
h
hxhhhxkkxx




λσ
++=
.
Trường hợp 1.
λ
là số thực. Khi ấy
1
2
1
22
≤++
h
h
λ
λ
hay
02
≤≤−
h
λ
.
Trường hơp 2.
ωλ
i
=
thuần ảo,
0
≠
ω
.








+
++=++
2
22
22
2
1
2
1
là số phức. Đặt
θ
λ
λ
i
e
h
h
=++
2
1
22
và tìm nghiệm phức
h





+=+=






+=
2
1
2
1
2
λ
λλλλ
;
nnnn
x
hh
hx
h
hxh
k
xhk



1
2
1
2
1
2
22
2
3
λλ
λ
λ
λλλ
;
( )
nnnn
x
hh
hhx
hh
hxhkxhk








+++=

x
hhh
hkkkkxx








+++=++++=
+
!4!32
122
6
1
443322
43211
λλλ
λ
.
Để phương pháp ổn định thì
1
≤
σ
, trong đó
!4!32
1
443322

IR
i
λλλ
+=
là số phức. Đặt
θ
λλλ
λ
i
e
hhh
h
=+++
!4!32
1
443322
và tìm
nghiệm phức
h
λ
của phương trình bậc bốn theo các giá trị của
θ
. Nhận xét rằng
1
=
σ
với mọi giá trị của
θ
.
Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6.

∑
. (1.15)
Định nghĩa 3.2
Tập tất cả các điểm của mặt phẳng phức
M
mà
( ) 1z
ν
≤
với mọi nghiệm của (1.15)
và
( ) 1z
ν
<
đối với các nghiệm bội được gọi là miền ổn định của phương pháp
18
(1.14). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi là
ổn định-A.
Nhận xét
Với mọi phương pháp cổ điển miền ổn định chứa gốc tọa độ của mặt phẳng phức.
Tương ứng với bậc của phương pháp ta đã biết những điều sau (xem [11]):
1) Bậc của các phương pháp Runge-Kutta
s
-nấc cho phương trình (1.13)-(1.15)
không vượt quá
2s
(chắn Butcher).
2)
p
là cấp chính xác,

k
là hằng số và đủ lớn so với 1.
Phương trình có nghiệm là
kx
BeAtx
−
+=
)(
, trong đó
A
và
B
là các hằng số bất kì
được xác định bởi điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên tương ứng.
Nếu
0
>
k
và
∞→
x
thì nghiệm bị chặn. Đại lượng
kx
e
−
là nghịch biến khi
0
>
k
và





+
−
+=
2
2
.
19
Nếu
0
>
k
đại lượng
1
2
2
<
+
−
kh
kh
nên
i
kh
kh



Về một phương pháp không cổ điển giải số
hệ phương trình vi phân cấp một
Chương này trình bày một phương pháp mới do Bulatov đề xuất giải số bài toán
Cauchy cho hệ phương trình vi phân cấp một (xem [9]-[11]) tốt hơn các phương pháp
cổ điển. Phương pháp mới là một họ phương pháp một bước, bậc hai, trong đó có
phương pháp là L-ổn định. Nội dung của Chương gồm hai mục. Trong 2.1 chúng tôi
trình bày phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi
phân phi tuyến cấp một. Phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ
phương trình vi phân tuyến tính cấp một được trình bày trong 2.2. Để làm sáng tỏ
phương pháp, chúng tôi đã thực hiện các tính toán chi tiết (phân tích các hàm nhiều
biến dưới dạng chuỗi Taylor,...) mà trong [9]-[11] trình bày không tường minh.
2.1. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân
phi tuyến cấp một
2.1.1. Phương pháp tổng quát
Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình
[ ]
( ) ( ( ), ), 0,1x t f x t t t
′
= ∈
(2.1)
thỏa mãn điều kiện ban đầu
0
(0)x x=
, (2.2)
trong đó
( ) ( )
, ,f x t x t
là các hàm vectơ
n
- chiều, hàm

,c c
là các hằng số tùy ý,
1 2
0 , 1c c≤ ≤
.
Mỗi công thức truy hồi (2.3) (hoặc (2.4)) cho một dãy các giá trị xấp xỉ nghiệm của
phương trình vi phân (2.1)-(2.2). Dưới đây ta cố gắng kết hợp hai phương pháp (2.3)
và (2.4) để được một phương pháp số mới giải hệ phương trình vi phân (2.1)-(2.2).
Khai triển Taylor tại điểm
i
x x=
ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 1 1 1
, , ,
i i i i i i i i i i
f x t f x t J x t x x O x x
+ + + + + +
= + − + −
và
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )

=
∂
.
Các phương pháp (2.3)-(2.4) được tuyến tính hóa như sau
[ ]
1 1 1 1 1 1 1
( , ) (1 ) ( , ) ( , )( )
i i i i i i i i i i
x x h c f x t c f x t c J x t x x
+ + + +
− = + − + −
, (2.3’)
[
1 2 2 2 1
( , ) ( , )( )]
i i i i i i i i
x x h f x t c h c J x t c h x x
+ +
− = + + + −
. (2.4’)
Viết lại hai công thức trên thành một hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn là
1i
x
+

(kí hiệu
E
là ma trận đơn vị cấp
n
):

cấp
2n n×
, trong đó
3
c
là hằng số tùy ý.
Khi ấy (2.5) trở thành:
22
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 3 2 2 1
2 2
1 1 3 2 2
1 1 1 1 1

và có bậc hội tụ
tối thiểu là bậc một. Ta có ba tham số tự do, vì vậy có thể chọn được bộ ba số
1 2 3
, ,c c c
sao cho họ lược đồ sai phân (2.6) hội tụ cấp hai.
Khai triển Taylor theo
t
tại điểm
( )
,
i i
x t
ta được:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2
2 2
2
1
2

+ = + +
′ ′′
= = + + +
Thay vào (2.6) ta được
( ) ( )
{
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
}
( )
3 1 1 2 3 2 3
2
2 2
2 2 2
1 2 3 2
3 1 1 2 3 2 3
(1 ) 2 ( , ) 2 , 2 ( , ) 2 ,
, , , ,
2
(1 ) 2 ( , ) 2 , 2 ( , ) 2
i i t i i i i t i i
i i t i i i i t i i i i i
i i t i i i i
c E h c J x t c hJ x t c c J x t c c hJ x t
h
h c J x t hJ x t c c J x t c hJ x t x hx x
c E h c J x t c hJ x t c c J x t c c h
′ ′

3 2 2 2
,
, , , ,
( , ) , , , 1 ,
( , ) , , ,
t i i
i i t i i i i t i i i
i i t i i i i t i i i i
i i t i i i i t i i
J x t
h c J x t hJ x t c c J x t c hJ x t x
h E hc J x t hc J x t c f x t c hf x t c f x t
hc E hc J x t h c J x t f x t hc f x t O h
 
+
 
 
′ ′
+ + + + +
 
 
′ ′
   
+ − − + + − +
   
 
′ ′
 
+ − − + +
 

 
′ ′ ′′
+ − + − + − + +
 ÷
 
 
′ ′
= − + + − + +
hay
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2 3
1 1 1 3
2 2 2 3
2 3 2 3 2 3
(1 ) 2 , 2 , ,
2
, , , , , , ,
, , , ,
i i t i i i i i i
i i t i i i i i i i i t i i i i
t i i i i i i i i
h

txfctxfxc
+=
′
+
.
Do
( ) ( ( ), )x t f x t t
′
=
(phương trình (1.1)) nên hệ thức trên đúng với mọi
3
c
.
• Hệ số của
2
h
:
3 1 2 3
1 1 2 3 2 3
(1 ) 2( ) ( , )
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
i
i i i
t i i i i i i t i i i i i i
x
c c c c J x t x
c f x t c J x t f x t c c f x t c c f x t J x t
′′
′

i i i i t i i i i i i t i i
c
J x t f x t f x t c c c J x t f x t f x t
+
′ ′
+ = − + −
hay
( ) ( )
( )
3
1 2 3
1
, , ( , ) 0
2
i i i i t i i
c
c c c J x t f x t f x t
+
 
′
+ + + =
 ÷
 
.
Như vậy, hệ số của
2
h

bằng 0 khi và chỉ khi ta có
3 1 2 3

Định lý này được chứng minh nhờ nhận xét là sai số địa phương có bậc ba, và ma
trận chuyển sang bước tiếp theo có chuẩn là
1 hK
+
với
0 K
< < ∞
.
2.1.2. Phương trình thử
Áp dụng công thức (2.6) cho phương trình thử
( )
[ ]
0
, 0 , 0,1x x x x R t
λ
′
= = ∈ ∈
. (2.8)
Ta có
( )
, ,f x t x
λ
=
do đó
( )
, , ,J x t x t
λ
= ∀ ∀
và
2 1 1 1

3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
(1 ) ( 2 2 ) ( )( ) ]
(1 ) (1 2 2 ) ( )( ) ] .
i
i
c E c c c h c c c h x
c E c c c c h c c c c c c h x
λ λ
λ λ
+
+ + − − + +
= + + + − − + + − −
(2.9)
Đặt
z h
λ
=
và nhận xét rằng, với phương trình thử, ma trận
1E =
là một số, ta được
công thức
1
( ).
i i
x R z x
+
=
,
trong đó
( )