£>ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
■ ■ ■ ■
ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN
ĐỘNG HỌC CỦA QUẨN THỂ Được MÔ TẢ BỞI
■ ■ ■
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH VÀ NGẪU NHIÊN
m
Dynamics of Population Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
Mã số: QT 05-03
Chủ trì để tài: Nguyễn Hữu Dư
HÀ NỘI 2006
DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN
ĐỘNG HỌC CỦA QUẦN THỂ Được MÔ TẢ BỞI PHƯƠNG
■ ■ ■
TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH VÀ NGAU nhiên
Dynamics of Population Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
Mã số: QT 05-03
Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư
Cán bộ tham gia:
- GS TSKH Nguyễn Duy Tiến ĐHKH Tự nhiên
- TS Lê Công Lợi ĐHKH Tự nhiên
- TS Trịnh Tuấn Anh ĐHSưphạmHN
- ThS Tống Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên
HÀ NỘI 2006
MỤC LỤC
Trang

Sự phát triển của hệ sẽ phức tạp lên rất nhiều nếu như có sự tham gia của các yếu
tố ngẫu nhiên như khí hậu, di nhập cư
Mục tiêu của đề tài là đưa ra những kết quả lý thuyết về dáng điệu tiệm cận của
một hệ sinh thái được mô tả bởi phương trình vi phân Lotka-Voltera trong môi
trường ngẫu nhiên như là phương trình vi phân Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn thực
hay hệ Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn trắng. Đề tài QT 05-03 được thực hiện từ
tháng 3 năm 2005 đến tháng 3 năm 2006 nhằm giải quyết một số vấn đề sau đây:
+
Nghiên cứu dáng điệu của hệ sinh thái gồm có hai loài phát triển trong theo mô

hình cạnh tranh. Trước hết nghiên cứu hệ Lotka-Volterra khi các hệ số là
những
ĐHKH Tự nhiên u v
ĐHKH Tự nhiên uv
ĐHSưphạmHN uv
ĐHKH Tự nhiên Thư ký
5
hàm tuần hoàn có cùng chu kỳ. Sau đó, ta xét những hệ như vậy nhưng có sự

tham gia của tiếng ồn kiểu điện báo.
+
Nghiên cứu tính hỗn loạn của hệ thú mồi, trong đó có một thú và một mồi. Các

hệ số của hệ là nhũng quá trình markov bước nhảy có hai trạng thái.
5. Các kết quả đã đạt được
a) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ có hai loài cạnh tranh nhau, số
lượng của mỗi hệ được mô tả bởi phương trình Lotka-Volterra với hệ số tuần hoàn
trong môi trường ngẫu nhiên. Sự ngẫu nhiên can thiệp vào hệ thông qua một quá
trình Markov bước nhảy có hai trạng thái, ở mỗi trạng thái, hệ có hệ số tuần hoàn
và thỏa mãn các điều kiện ổn định, do đó tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn hút các


Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học hoặc tài liệu
chuyên khảo cho NCS
Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo
khoa học sau:
1. Nguyễn Hữu Dư.
”Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên”.
NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội 2005.
2. Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam. Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra
model perturbed by white noise, đang in trong tạp chi
Jour of Mathematical

Analyse and Applications
3. N. H. Du , R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Dynamical behavior of lotka -
volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka - volterra
competition systems: non autonomous bistable case and the effect of
telegraph noise,
Journal of Computational and Applied Mathematics
, 170
(2004), no 2, pp. 399-422
4. N. H. Du, R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Evolution of Periodic Systems
under Telegraph Noise,
Tohoku Mathematical Journal
, December 2005, Vol
57, No 4.
5. Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population
under random environment. Proceeding of International conference on
Mathematical Modeling in Biology
6.

đắc lực cho nhiều NCS của khoa Toán - Cơ - Tin học.
6. Tình hình tài chính của để tài
Đề tài được cấp 20.000.000d trong năm 2005 và 2006 vaddwowcj chi vào các
mục sau đây:
+ Các bài báo và báo cáo khoa học và các thù lao chuyên môn: 10.000.000 đ
+ Hội thảo và Seminar khao học 4.600.000 đ
+ Hỗ trợ xuất bản cuốn sách
"Điều khiển tối ưu ”
4.600.000 đ
+ Quản lý cơ sở, nghiệm thu đề tài 1.400.000 đ
Tổng cộng:
20.000.000 đ
Xác nhân của Ban Chủ nhiêm Khoa
Chủ trì đề tài
Ị 'ìí/i).’v Á * 4
PGS TS Nguyễn Hữu Dư
Xác nhận của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên
TGS.TS / ã 'i t o J ^ l i n /ư
8
n. SCIENTIFIC PROJECT
1. BRANCH: Mathematics PROJECT CATEGORY: National University
2. Title of Project: Dynamics of Populations Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
3. Code of Project: QT 05-03
4. Head of research group: Assoc. Prof. Nguyen Huu Du
4. Managing Institution
5. Implementing Institution
6. Collaborating Institutions:
7. Participants:
• Prof. Nguyễn Duy Tiến Member

ecology. Especially a great effort has been expended to find the possibility of
persistence under the unpredictable or rather predictable (such as seasonal)
environmental fluctuations.
The noise makes influences on an ecological system by various ways. By the
complexity of stochastic models, we are limited on considering a simple color
noise, say telegraph noise. The telegraph noise can be illustrated as a switching
between two regimes of environment, which differ by elements such as the
nutrition or as rain falls. The changing is non-memories and the waiting time for
the next change has an exponential distribution. Under different regimes, the
intrinsic growth rate and interspecific coefficient of (1.1) are different. Therefore,
when random factors make a switching between these deterministic systems, it
seems that the behavior of the solution is rather complicated. By intuition, we see
that the behavior of the solution of perturbed system can inherit simultaneously the
good situation and the bad situation.
In a view of ecology, the bad thing happens when a species disappears and a
good situation occurs when all species co-exist and their amount of quantity
increases.
Slatkin concentrates on analyzing a class of models of single population which
grows under this kind of telegraph noise, and obtained the general conditions for
extinction or persistent fluctuations.
We consider the behavior of a two-species population, developing under two
different conditions of environment connected each other by telegraph noise.
It is proved that under the influence of telegraph noise, all positive trajectories of
such a system always exile from any compact set of int$\R_+A2=\{(x,y): x>0,
y>0\}$ with probability one if two rest points of the two deterministic systems do
not coincide.
If these two rest points coincide and if the quantities of population do not converge
to the rest point, then the quantity of each species oscillates between $0$ and
$\infty$. That explains that for a random eco-system, the population varies
complicatedly.

Analyse and Applications
3. N. H. Du , R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Dynamical behavior of lotka -
volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka - volterra
competition systems: non autonomous bistable case and the effect of
telegraph noise,
Journal of Computational and Applied Mathematics,
170
(2004), no 2, pp. 399-422
4. N. H. Du, R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Evolution of Periodic Systems
under Telegraph Noise,
Tohoku Mathematical Journal,
December 2005, Vol
57, No 4.
5. Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population
under random environment. Proceeding of International conference on
Mathematical Modeling in Biology
6.
N. H. Du, Y. Takeuchi, N. T. Hieu and K. Sato. Evolution of predator-prey
systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment,
đang in trong tạp chi
Jour of Mathematical Analysis and Applications
12.Evaluation grade: good (if the project has been evaluated by the
evaluation committee: excellent, good, fair)
11
III. N Ộ I D U N G C H ÍN H C Ủ A Đ Ể T À I
3.1 Mở đầu
Một trong những bài toán quan trọng của sinh thái-môi trường là nghiên cứu dáng điệu của
số lượng các cá thể trong hệ trên quãng thời gian lâu dài. Trong tiến trình phát triển của
mình, trong một số trường hợp, một vài loài của hệ có thể bị diêt vong. Tuy nhiên nhiều lúc
có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào đó hoặc diễn ra sự phát triển

p
> 0. Quá trình (£,) có phân phối dừng
V = lim P {£ , = + } = q = ì™ p { & = - } =
f —*00 O i p t —*OC
a + 6
a
(3.2.1)
Giả sử
(3.2.2)
là thời gian nhảy của
ị(t).
Đặt
(3.2.3)
12
Xét một hệ sinh thái trong đó có hai loài. Ta ký hiệu số lượng của từng loài tường ứng
tại thời điểm
t
là
x(t)
và
y(t).
số lượng của chúng được mồ tả bởi PTVP cạnh tranh kiểu
Lotka-Volterra
X
=
X (a(Ẹt, t) - b{Ẹt, t)x
-
c(£í,
t)y)


(3.2.6)
Vì vậy sự tương tác giữa hai hệ này sẽ tạo nên sư phát triển của hệ (3.4.1).
Như đã biết, sự phát triển của hệ phụ thuôc vào hai phương trình biên. Vì vậy trước hết
chúng ta nghiên cứu hệ
ủ = u(a{£t,t) - b(£u t)ù), li(O) G :R+ ,
V = v(d(£ft) - f(£t,t)v), -ỉ'(0) <E £ + .
(3.2.7)
(3.2.8)
Nếu
u(t)
là nghiệm của (3.2.7) và
v(t)
là nghiệm của (3.2.8) thì (
Ẹt .
u (f)) và
{Ẹt,v{t))
là
các quá trình markov.
Phương trình (3.2.7) có duy nhất nghiệm tuấn hoàn (£t, !/*(£))
exp{.4(í)}
ỉloo s)
exp{.4(s)}
ds
trong đó
A (t)
— /q
a(Ẹs, s) ds.
Tương tự phương trình (3.2.8) có nghiệm tuần hoàn
v*(t)
BỔ để 3.2.1.

(3.2.9)
Tương tự,
1 ' 1 f T ■
+ h{s.Ẹ s,v'(s))ds
= £
^ h(s.Ẹ5,v t (s))ds

t J
0
1 J
0
13
Chúng ta nghiên cứu các điều kiệnđảm bảo tính bền vững của phương trình (3.4.1).
Đ ịn h lý 3.2.1.
a) Nếu
[ ịaiiut) - c(it,t)v’{t))dt
Jo
> 0
(3.2.10)
th ì
lim in fi_ 00 I / 0'
x(s,x, y) ds
> 0
với P —a.s. và
X > 0, y > 0.
N ếu
7 :=
r
[ (d(tt,t) - e(Zt,t)u'(t))dt
Jo .

ũ
<t<T e (i.t
a (i.t) d íi.t
in f 7- - > sup
0
< t<Tc(i,t)
0<t<T
f { l, t
b(i, t) c (i,t
in i 7- . > sup
0<t<T e(i, t)
0
<t<T f { i j
với m ọi i e E.
Do (3.4.4), (3.2.13), tồn tại các hằng số sao cho
fl(+ ĩ
t)

Ễ>( + ,
t)

a { - , t)
1 e(+,s) c (+ ,f) 2
f ( + .s)
, „
d (-,s ) a { - , t ) d ( - , s )
< *1 < /— s ; /— N > ^2 >
e (-,s
c ( - ,t)
(3.2.12)

a(+,í) - b(+,t)e - c(+,t)kỊ > ỏ, d(+,t) - e(+,t)kf - f(+,t)e > ỗ, (3.2.18)
a( — ,t) — b(—,t)e — c{ — ,t)k ^ > ỗ, d( — ,t) — e( — , t ) k ĩ — f ( — ,t)e > ô ,
(3.2.19)
với mọi
t
> 0.
Ký hiệu
Tỵ =
maxj/cj1-,
k ĩ}
và
T
2
=
max{/c^, },
BỔ đề 3.2.3.
Với 5i
> 0,
ỏ
2
>
0
đủ nhỏ, tồn tạiT *
= T]*(ỏ 1,ố2) > 0
sao cho
(xl (t),y l (t))
€
Us1('yl ) với m ọi t 'ỷ T{, miễn là
(V(0), yl (0)) G
JCị2. ở đây ƯStiY) là

E,
a) N ếu r 2
^ ^ El
(res. Tị
^
x i (ti)
^
E]) th ì Ĩ
2 ^
yi {t)
^ C2 (Ves.
T'i ^ I l(í) ^ uớỉ
mọi t > t\.
b) N ếu (xl ( ti),y l(ti)) E
[<s, r'i) X [0, £2] ỈÀÌ I l(í) G [e:, 7~i] Ví > íi.
N ê u thêm điều

k iện yl{t2) < £1 ta có supẾi<t<(2 yl{t) ^ £ỵ.
Tổn tạ i kết quả tương tự cho (xi(ti),y i (ti))
6 [0. £'2] X
\s,T
2
)-
BỔ để 3.2.5.
Với m ỗi I
e
E, ký hiệu {(xl(t),yl(t))
:
ti
^ í ^ í2} = 7[t

7 +
và ~ị~ là các tập con của uj(x,y).
Đặt
xn
= x (r„,x,y );
yn
=
y{rn,x,y).
B ổ để 3.2.6. Giả sứ
(x*,y*) £
7 _ ưà ố! > 0,
ta có
F {(x n,y n) e ,y*) i.o. n } =
1. (3.2.20)
Tồn tạ i kết quả tương tự đối với
7 +.
Đ ịn h lý 3.2.3.
M ọ i quỹ đạo của phương trình (3.4.2), xu ât p h á t trên
7 ,
tập con

của u j(t, y) với X >
0,
y >
0.
Tương tự, mọi quỹ đạo của phư ơng trìn h (3.4.3), xuất

p h á t từ một điểm trên
7 +,
tập con của u(x, y

N h ư vậy, tồn tại m ột đường cong tru ng tính i, sao cho N ếu
(xo,yo) G
l th ì

nghiệm (x~(t,xo,yo),y~(t,xo,yo)) bị chặn trên và dưới bởi các hăng sô dương.

H ơ n nữa, tồn tạ i duy nhất một quỹ đạo tuần hoàn chứa trong í, (ký hiệu J~),

được viếng thăm bởi mọi nghiệm xuất p h át từ m ột điểm trên i, i.e., với mọi

ỏ >
0,
(x",y*)
e
J~, tồn tại một t
> 0
sao cho (x~ (t, x0,yQ),y~ (t,x0,y0))
€ ơá(i*,y*)
với m ọ i (xo, yo) E i.
Đ ịn h lý 3.2.4.
Giả sử rằng các điều kiện (3.2.10), (3.2.11) có được. G iả sử Lư(x, y)

là tập UI- giới hạn của nghiệm (x(t, X, y), y(t,x, y)) với X > 0, y > 0.
a) M ôi quỹ đạo
7 - (x*,y‘ )
của nghiệm của phương trìn h (3.4.3), xuảt p há t từ

m ột điểm của
7 +
là tập con của Lj(x,y).

ở đây
a,
ò,
c
và
d
là các hằng số dương,
Nếu ở đây không có ảnh hưởng của môi trường , quần thể phát triển một cách tuần hoàn
[4, 8]. Tuy nhiên, trên thực tế ảnh hưởng của môi trường như khí hậu thời tiến là rất quan
trọng
x{t)
=
x(t)(a - by(t)),

ỳ it) = y {t){ - c + dx(t)),
(3.3.1)
16
V 3
Ịfl
3
✓ 1
?5;
1 /
/
V "
' ỉ
• .*»
_ _ E 3
<1


Giả sử Xi và
Aj
là đường cong tích ph â n của
(3.4.2).
Giả sử răng

Ai n A2 n [p + £\ 00) X [0, 00)
Ỷ
0
và
n
Ằ
2 n
\jị —
2
£i,p\
X [g, 00) ^ 0
thì
m ax m ax V •
II: Hệ với các điểm dừng phân biệt
Chúng ta giả sử rằng (pi, Ợi) (p2, Ợ2)- Chúng ta xét P2 ^ Pi; 92 > 91 ■ Các trường hợp
khác tương tự.
M ệ nh để 3.4.7. Với £■ Ã/ló 7i/iỏ,
tồn tạ i các số dương
£2
và ơy
> 0
sao cho: nếu tồn tạ i

x2,

và Tj(x,
y)
= in f{s : (xi(í + s),
Ui(t + s)) £ U \}
đối với trường hợp II.
Tương tự,
T2{x,y) = m f{ s : h o ặ c {x2{t + s),y2{t + s)) e VL h o ặ c ( x 2(í + 5 ) , y2{t + s)) € H\).
Vì mỗi đường cong tích phân dễ thấy
T \(x,y )
< 00, 72(x,y) < 00 và không phụ thuộc
theo í.
Giả sử
H 2 =
[fci, £2] x [m i, 7n2] là hình chữ nhật bất kỳ chứa các điểm dừng của (3.4.2)
và (3.4.3). Do Ti(x,
y)
và 72(1 , y) là liênd tục theo (x, y), tồn tại một hằng số
T" >
0 sao
cho
Ti(x, y)
^
T ', y)
^ T* đối với mỗi (x,
y)
€
Ỉ Ỉ
2
-
Hơn nữa tổn tại í* sao cho nếu

(3.4.2)
và
(3.4.3)
có điểm dừng chung. VỚI mỗi

(
X
,
y)
€
irifR ^, chúng ta có với xác suât 1, hoặc
lim ( x (í, X, y),y(t,x,y)) = (p,q),
(3 .4 .8)
hoặc,
lim su p x(t,x, y) = 0 0 , lim in f I ( í , X, y ) = 0,
/ — 00 t—*00
(3 .4 .9)
lim su p y(t,x, y) — 0 0 , lim in f y(t. X, y) — 0.
í —*0o t — 00
(3 .4 .1 0)
20
3.5 Các công trình khoa học chính và ân phẩm
khác
c) Đã viết được 01 cuốn sách "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên". Cuốn sách này
có thể dùng làm tài liệu ging dạy cho Cao học hoặc tài liệu chuyên kho cho NCS
Các kết qu nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo khoa học
sau:
1. Nguyễn Hữu Dư. "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên". NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội 2005.
2. Nguyễn Hữu Dư. "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên". NXB Đai học Quốc

21
Câu chuyện cũng xảy ra tương tự khi nghiên cứu động học của hệ thú mồi trong môi
trường ngẫu nhiên. Chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai loài, trong đó loài thứ nhất là con
mồi của loài còn lại. Chúng ta cũng giả thiết hệ được phát triển trong hai chế độ khác nhau
của môi trường và sự chuyển đổi giữa các chế độ này tuân theo quá trình quá trình Markov
bước nhảy. Được biết rằng trong môi trường tất định, hai loài được phát triển theo quy luật
tuần hoàn. Tuy nhiên chúng ta đã phát hiện ra rằng trong môi trường ngẫu nhiên, hệ phát
triển hết sức hỗn loạn, số lượng của các loài khi thì trở nên rất nhỏ bé, khi thì trở nên rất lớn
và như vậy thì hệ không phát triển bền vững về phương diện thực tế. Cũng như trong mô
hình cạnh tranh, hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp.
Số lượng các loài có thể dao động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức
vô cùng) và về thực tế thì hệ có nguy cơ bị tiêu diệt. Các kết luận từ các mô hình trên đều
khẳng định rằng, trong một môi trường, khi chế độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu cũng như
chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi một cách ngẫu nhiên thì sớm hay muộn sẽ có một loài bị
diệt vong. Các kết luận này đóng vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn thực hành. Nó
giúp cho các nhà đầu tư hoach định chiến lược để kịp thời có thể thiệp vào hệ để khai thác
tối Ưu hệ và tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.
22
Tài liêu tham khảo
[1] M. Ballys, Le Dung, D.A. Jones và H.L. Smith, Effects của random mortality
on Microbial growth và competition inflow reactor,
SLAM J. A ppl. M ath.
57, No 2
(1998), 573-596. 374-402.
[2] P. L. Chesson và R. R. W arner, Environmental variability promotes coexistence in
lottery competitive systems,
Amer. N atur.
117 (1981), 923 943.
[3] N. H. Du, R. Kon, K. Sato và Y. Takeuchi, Dynamical Behavior of Lotka - Volterra
Competition Systems: Non Autonomous Bistable Case and the Effect of Telegraph

3. Nguyễn Thị Hồng
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
• • • ■
PHẠM THỊ HẰNG
ĐÔNG HỌC CỦA QUẦN THẺ ĐƯỢC MÔ TẢ
BƠI PHƯỜNG TRÌNH LOTKA - VOLTERRA
CHỊU NHIẺU NGẪU NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 1.01.04
Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS. Nguyễn Hữu Dư
Hà Nội - 2004
A2>'
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
• • • •
Nguyễn Thị Hoàng Oanh
ĐỘNG HỌC CỦA QUẰN THẺ ĐƯỢC MÔ TẢ
BỞI HỆ CẠNH TRANH LOTKA-VOLTERRA
* *
TRONG MÔI TRƯỜNG NGẢU NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 1.01.04
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Hữu Dư
Hà Nội - 2005
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
• • • •
Nguyễn Thị Hồng
VÈ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA