Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

-

t nu . e

d

u . v

n
1
MỤC
LỤC
Trang
Mở đầu
2
Ch
ƣ
ơng
I Một số khái niệm về hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số
5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận

ph
ƣ
ơng
trình vi phân
đại
số tuyến tính với nhiễu động
34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên
35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định
37
3.3 Công thức bán kính ổn định
44
3.4 Các trường hợp đặc biệt
55
Kết luận
59
Tài liệu tham khảo
60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

-

t nu . e

d

ịnh
tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà
khoa
học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế
kỷ trôi
qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu
sôi nổi và
đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học
kỹ thuật
công
nghệ,
s
inh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn
đ
ịnh bằng cả
hai
phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng
Lyapunov (còn gọi
là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của
Lyapunov) và phương
pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai
của
Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan

số,
det A
t
0 t I
. Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi
phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương
trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu
DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

-

t nu . e

d

u . v

n
3
được
một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số.

phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra
công thức
bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear
time -
varying
differential - algebraic equations with respect to
dynamic
perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL
EQUATIONS, June
2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn
này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham
khảo, gồm có ba
chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương
này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương
sau.
Chương II: Bán kính ổn
đ
ịnh của hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn
định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

n
n
,
B
.
L
loc
0,
;
K

n
n
, ở đây công thức
bán
kính ổn định được đưa
ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư
phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của
Cô
giáo -
T
iến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng
b
iết ơn sâu sắc
công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi
hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa

1
1
CH
Ƣ
ƠNG

I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
9
Định nghĩa 1.1.1. Cho P
L


Nhận xét
1.1.2.
. P được gọi là một phép chiếu nếu
P
2
P
.
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có:
KerP
Im P 
n
.
ii) Mỗi phân


KerA
k
KerA
k
1
Định lý 1.1.4. Với
mọi
A L


n
ta luôn
có:
imA
k
KerA
k

n
với mọi k thoả mãn
0<k<indA.
imA
k
KerA
k
imA
k
KerA
k

B
, là chỉ
số
của ma
trận
cA B
A

.
ind
A,
B ind cA B
A
(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị
c).
1
n
B
n
Định lý 1.1.7. Nếu
Q L


n
không suy biến
thì:
ind QA,QB ind AQ, BQ ind A, B
.
Nếu A, B là giao hoán được thì ind A, B ind A
.

r
u L


l
r
1 s i r
ij
với
u
ij
1 khi j
i
0
khi
1

;
U
k
0
còn U
l
0 l k
.
j i
1
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là
tương đương:
1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số

B
1
, rankA rankA
1
, ta nhận được ma
trận
2
A
không suy biến
1
B
2
L 
.
x
y
n
x
'
1.2. Hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số
hằng
2 , 3 , 9
Xét hệ phương trình vi phân
dạng:
F
t,


n
,
F

'

,

F
'
C I
D

,
L 
n
.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ
phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả
mãn
KerF

'
t,
x t
,

x

mọi
t I ,
là
hệ phương trình vi phân đại
số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ
khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại
này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi
phân
đại số ([3],
[9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số
dạng:
F
t,
x
t
,

x
' t 0
(1.2.3)
trong
đó:
x : I 
n

,

D là tập mở
trong
 , F C I D 
,


,
F

'

,

F
'
C I
D

,
L 
n
KerF
'
t, x,
x
'
0
t, x,
x


tục
N(t) t I
.
Q
C
1
I

,
L


n
sao
cho
Q t Q t
, ImQ(t)
=
Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t).
Đặt
P t I Q t P
C
1
I

,
L 
n
.
Ta

0
. Từ đó
ta
1
F
t,
x, y F
t,

x,
P t y
F

'
t,

x,

sy
1 s P t y Q t yds
0
hay
0
F
t,
x, y F
t,

x,
P t y



n
. Bây giờ ta quan tâm tới không
gian
hàm sau:
1
I

,



n
x
C
1
I

,



n
: Px
C
1
I

,

1
t, x, y :
G t, x, y F
'
t, x, y P
'
t Q t
x
n
N
1
t, x, y
:
KerA
1
t, x,
y
S
1
t, x, y
z

n
:

F

'
t, x, y P t z
ImA

t, x, y
const
0 và
N
1
t, x, y
S
1
t, x, y


n
t, x, y
G
Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng:
A t
x

'
t B t x t
0
(1.2.4)
trong đó x : I 
n

,
A,
B C
I

KerA
1
t
S
1
t
:
z


n
: B t P t z ImA
1
t
Gọi
Q
1
t là phép chiếu khả vi liên tục
lên
N
1
t dọc
theo
S
1
t
,
P
1
t



n
t I
tức là
det A
1
t
0 t I
.
n
1 1
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I
khi
dim N t const 0
và chỉ khi
1
det A t
tức là
1
0 t I
N
1
t S
1
t
R
n
t I
det A

Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên
ImA).
A
1
:
A BQ
,
N
1
:
KerA
1
,
S
1
:
z


n
:
B
1

z
ImA
Gọi Q
1
là phép chiếu
lên

khi
N S


n
det A
1
0
.
khi
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và
chỉ
dim
N
1
const
0
det A
0
tức là
1
N S
R
n
det A
2
0
1.3. Phân rã hệ
ph
ƣ

1
Ax

'
t Bx t q t
(1.3.1)
trong
đó:
x : I 
n

,
A, B L


n
, det
A 0

,
q
.
C
I

,
R
n
.
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số

t A
1
Qx t BPx t q t
.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt
với
hệ tương
đương:
PA
1
và
QA
1
ta
được
Px '
t PA
1
BPx t PA
1
q t
Qx t QA
1
BPx t QA
1
q t
Đặt u t Px t , v t Qx t ta đưa hệ (1.3.1) về hệ
sau:
u ' t PA
-1

( ')
v t QA
-1
Bu t 0
( ')
1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số
2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó det
A
1
Xét vế trái của (1.3.1) ta
có:
0, det A
2
0.
1
2
1
2
Q A

1 1 2 1 1
2
1 2
1
1 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1

= A
2
P
1
P Px ' t P
1
Qx Q
1
x BPP
1
x
Do vậy, hệ
(1.3.1)
A
2
P
1
P
Px
' t P
1
Qx Q
1
x BPP
1
x q t
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
PP A
1
,

, PP
1
cũng là các
phép
chiếu đồng thời Q, PQ
1
,
PP
1
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta
có:
Q Q

A
-1
BP,

Q

Q
0, PP
1
P PP
1
,
PP
1
Q
0, QP
1

Q x Q A
-1
q
u PP
1
x, v Q
1
x,
w Qx
x u Pv w ta nhận được hệ
sau:
u ' PP A
-1
Bu PP A
-1
q
Qv '
w QP A
-1
Bu QP A
-1
q
v Q A
-1
q
Đặc biệt, khi
q
t
0
ta nhận được

x : I 
n

,
A, B L


n
, det
A 0
, q
.
C
I

,

R
n
Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường x t
0

.
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số
1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và KerA t trơn. Gọi Q t là phép
chiếu
khả vi liên tục lên KerA t , đặt P t :
I
n

0

Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định

(theo

nghĩa

của

Lyapunov)

nếu

với

mọi

số
0

cho


0
x
0
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
0
t
0
0
sao cho
nếu
P t
0
x
0 0
t
0
thì
x
t;t
0

,
x

mãn
P t
0
x
0
thì
x t;t
0
,

x
0
e
t t
0
với mọi
t t
.
1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số
2
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA t trơn. Các phép chiếu P t
,
P
1
t như ở mục 1.3.2. Ký
hiệu
x t;t
0
,


0


.
Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường x
t
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và mọi t
0
I
đều tồn
tại
t
0
, 0 sao cho nếu
x
0

thoả
mãn
P t
0
P
1
t
0
x
0

0
thì
x
t;t
0

,
x
0
0 khi t
.
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số
0
cho
trước
đều tồn tại
số
t
0
,
0
sao cho
nếu

Ƣ
ƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ
HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn
định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng
Ax '(t) - Bx(t) 0 ,
trong
đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa
bán
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác
biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình
vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn
đ

ịn
h thực
và
phức bằng nhau cũng được chứng
minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ
ph
ƣ

quy

chỉ
số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao
cho
A
W
I
r
0
0
T

-1
; B W
B
1
U
0
0
I
m-r

T

-1
,
(2.1.2)
s s r
r

0
R

p
i
p
i
,
i
1,

2, l.
(2.1.3)
sao cho max p
i
l
k
,
p
i
m

-

r.

Nhân hai vế (2.1.1) với
W
-1


K

r
,
z
t
K

m
r

.
Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do
đó,
hệ trên trở
thành
y
'
t
-
B
1

y t
0,
z t
0,
trong đó
y t
K

có nghiệm
x t
duy nhất, thoả
mãn
x
t
c Px
0
e
t
, t
0.
Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = I
m
– Q, trong đó Q là phép chiếu
lên
KerA dọc theo S
z

:
Bz ImA
.
Ký
hiệu
A, B
là phổ của cặp {A,B}, nghĩa
là
A, B
là tập hợp
tất