Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ................................................................................................ 2
Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5
1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7
1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10
1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13
Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15
2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24
Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37
3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44
3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55
Kết luận .............................................................................................. 59
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60

www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, gồm có ba chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau.
Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t

PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm
học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Học viên cao học
Lƣu Thị Thu Hoài www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
CHƢƠNG I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
9

Định nghĩa 1.1.1. Cho
. P L P
được gọi là một phép chiếu nếu
2
PP
.

ta luôn có:
k k n
imA KerA 
với mọi k thoả mãn 0<k<indA.
k k k k n
imA KerA imA KerA 
với
k indA
.
Định nghĩa 1.1.5. Cho
,
n
A B L 
. Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính
quy nếu
c 
sao cho
det 0cA B
.
Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà
det 0cA B
. Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là
,ind A B
, là chỉ số
của ma trận
1
cA B A
.

1

A Pdiag I U Q

,
nr
B Pdiag W U Q

ở đó
1
1 ij
,..., , max ,
sr
r
l l l
l
s i r
U diag U U l k U u L 

với
ij
1 khi 1
;
0 khi 1
ji
u
ji
0
k
U
còn
0


thoả mãn:
1
,
0
A
EA

1
2
,
B
EB
B

1
rankA rankA
, ta nhận được ma trận
không suy biến
1
2
n
A
L
B

.
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7

''
,,
nn
xy
F F C I D L
.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn
'
'
, , ' 0
x
KerF t x t x t

với mọi
, , '
n
t x x I D 
.
Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính:

'A t x t B t x t q t
(1.2.2)
trong đó:
,,
n
A B C I L 
, q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi
,tI
là

nn
F C I D 
,
''
,,
nn
xy
F F C I D L

'
'
, , ' 0
x
KerF t x x

, , '
n
t x x I D 
.
Giả thiết
'
'
, , '
x
KerF t x x
không phụ thuộc vào x và x’ tức là:

'
'
, , '

1
'
'
0
, , , , , , 1
x
F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds
và từ
''
''
, , ' , , 0
xx
Q t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y
. Từ đó ta
suy ra:
1
'
'
0
, , , , , , 1 0
x
F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds

hay
, , , ,F t x y F t x P t y

, , ' , , ' , , ' 'F t x x F t x P t x F t x Px t P t x t

Điều này cho thấy, để hàm
:

yx
G t x y F t x y F t x y Q t

'
11
, , : , , , , '
y
A t x y G t x y F t x y P t Q t

www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
11
, , : , ,N t x y KerA t x y

'
11
, , : , , , ,
n
x
S t x y z F t x y P t z ImA t x y

Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 1 trên tập mở
n
G I D 
nếu
,,
n
N t S t x y 

det 0At
với mọi
tI
.
N t KerA t
trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên
tục. Đặt
:P t I Q t
.
::
n
S t z B t z ImA t

1
:'A t A t B t A t P t Q t

11
:N t KerA t

11
::
n
S t z B t P t z ImA t

Gọi
1
Qt
là phép chiếu khả vi liên tục lên
1
Nt

và chỉ khi
1
11
dim 0

n
N t const
N t S t t IR
tức là
1
2
det 0
det 0
A t t I
A t t I

Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng:

'0Ax t Bx t
(1.2.5)
trong đó:
:
n
xI 
,
,
n
A B L 
,
det 0A

:P I Q
.
1
:B BP
,
2 1 1 1 1 1
:A A BQ A BPQ

Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ
khi
n
NS

1
det 0A
.
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ
khi
1
11
dim 0

n
N const
NSR
tức là
1
2
det 0
det 0

.
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên
KerA
,
:
n
P I Q
. Khi đó, AQ = 0. QP = 0.
A = AI
n
= A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A
1
P.
B = BI
n
= B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP
= (A+BQ)Q + BP = A
1
Q + BP
Do vậy, hệ (1.3.1)
11
'APx t AQx t BPx t q t
.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
1
PA
và
1

là hệ phương trình
đại số.
Đặc biệt, khi
0qt
ta được hệ:

-1
1
-1
1
'0
( ')
( ')
0
u t PA Bu t
v t QA Bu t

1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó
1
det 0, A
2
det 0.A

Xét vế trái của (1.3.1) ta có:
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
' ' 'Ax t Bx t APx t Bx t A Px t Bx t


-1 -1
1 1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 2 1 1 2
'
'
PPP Px PPQx PPA BPPx PPA q
QPP Px QPQx QPA BPPx QPA q
Q x Q A BPPx Q A q

Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ
1
, PP
1
cũng là các phép
chiếu đồng thời
11
,,Q PQ PP
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có:
-1
1 1 2
,Q Q A BP
1
0,QQ
11
,PPP PP
1
0,PPQ

ta nhận được hệ sau:

-1 -1
1 2 1 2
-1 -1
1 2 1 2
-1
12
'
'
u PPA Bu PPA q
Qv w QPA Bu QPA q
v Q A q

Đặc biệt, khi
0qt
ta nhận được hệ:
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13

-1
12
-1
12
'0
0
0
u PPA Bu
w QPA Bu

trơn. Gọi
Qt
là phép chiếu
khả vi liên tục lên
KerA t
, đặt
:
n
P t I Q t
.
Ký hiệu
00
;,x t t x
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu
0 0 0 0 0 0
, ,
n
P t x t P t x t I x 

Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
0
cho trước và với mọi
0
tI
đều tồn tại
0
,0t

Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số
0
cho trước
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
đều tồn tại số
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x 
thoả mãn
00
P t x
thì
0
00
;,
tt
x t t x e
với mọi
0
tt
.
1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2

0
n
x 
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x

thì
00
;,x t t x
với mọi
0
tt
.
Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
00
0t
sao cho nếu
0 1 0 0 0 0
P t P t x t
thì
00
; , 0x t t x
khi
t
.
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường


www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
CHƢƠNG II
BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
, trong
đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và
phức bằng nhau cũng được chứng minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số
Xét phương trình
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
(2.1.1)
trong đó

, , ,(
m m m
x A BKK
hoặc
)
, det A = 0, cặp
( , )AB
là chính quy chỉ

2
,..., J
l
) với

0 1 ... 0
0 ... 0
, 1,2,... .
. . ... 1
0 0 ... 0
ii
pp
i
J R i l
(2.1.3)
sao cho
1
1
max , - .
l
ii
il
i
p k p m r
Nhân hai vế (2.1.1) với
-1
W
ta được
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
có nghiệm
xt
duy nhất, thoả mãn Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = I
m
– Q, trong đó Q là phép chiếu lên
KerA dọc theo
:.S z Bz ImA

Ký hiệu
,AB
là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là
,AB
là tập hợp tất
cả các nghiệm của phương trình det
AB
0.
Trường hợp A = I
m
,ta viết
B
thay cho
,
m
IB
.

0 vì khi đó với
mọi s ta có

1
1
det det .det det det
r m r
sA B W sI B sU I T
0.
Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ.
Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0. Trong trường hợp
này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = I
m
.
Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc
Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma
trận ổn định tiệm cận {A,B}. Giả sử
;
m p q m
EFKK
cố định, ta xét hệ
có nhiễu:

A ' tx B E F x t
0, (2.1.6)
trong đó
pq
K
. Ma trận
EF

ta gọi
d

là bán kính ổn định thực.
Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt
1
G s F sA B E
và ta sẽ chứng minh rằng
1
sup
s
d G s



Trước hết, ta chứng minh
1
sup
s
d G s



www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Lấy

V
bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:

s
d G s



(ii) Cặp
,A B E F
là không chính quy, khi đó
s 
ta có
det sA B E F
0, tức là đa thức
det sA B E F
0,
s
, do đó với
mọi
s 
luôn tồn tại vectơ
x
0 sao cho
sAx B E F x
0.
Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được
1
sup
s
d G s



và
00
G s u G s
. Theo một hệ quả của định
lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính
*
y
xác định trên
*
:1
q
y
và
*
0 0 0
.y G s u G s u G s

Đặt
1
*
0
.
pq
G s uy 
Rõ ràng,
11
*
0 0 0 0 0
.G s u G s uy G s u G s u G s u


0
s A B x Eu
. Vậy
0
E Fx s A B x
, hay là
0
s A B E F x
0. Điều
đó có nghĩa là,
0
,s A B E F
, hoặc cặp
,A B E F
không chính quy.
Do đó, hệ
'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy.
Nghĩa là,

.

V

Mặt khác, ta có,
1
1
0
sup
s

i
.
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Vậy,
1
sup
si
d G s


.
Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu
0
s 
sao cho
0
sup
s
G s G s

thì
1
1
0
max ,
s
d G s G s


d

và hệ
'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 là không ổn
định tiệm cận.
Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế.
Lấy
0
,s A B E F 
và
x
là vectơ riêng của nó, nghĩa là,
0
s Ax B E F x
0. Lập luận như trên ta thấy
1
1
00
sup
s
G s G s d


.
Điều này là mâu thuẫn.
Hơn nữa, giả sử
n
s 
sao cho

n
sao cho
0
lim .
k
k
n
n
)
Vì tập hợp các ma trận sao cho cặp
,A B E F
có chỉ số 1 là mở
nên ta suy ra chỉ số của
0
,A B E F
phải lớn hơn 1.
Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó
m
E F I
(nhiễu
không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là
1
sup
si
d G s


, trong đó
1
.G s sA B

W
0
r
mr
sI B
T
sU I

1
1
-1
1
0
0
W
0
r
k
i
i
sI B
T
sU
khi
s

Tính không bị chặn của
Gs
kéo theo
d



, trong đó
1
.G s F sA B E

ii) Tồn tại ma trận “xấu” :
d

khi và chỉ khi
Gs
đạt được giá trị
lớn nhất trên
i
.
iii) Trong trường hợp
,
m
E F I d

0 khi và chỉ khi
,ind A B
1.
Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm
Gs
đạt được giá trị lớn
nhất tại một giá trị hữu hạn
0
s
? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào

E

1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
F

www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Ta thấy
,ind A B
2,
1
,
3
AB
. Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận.
Tính toán trực tiếp, ta nhận được
1
3 1 3 1 3 1
111
.
3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
sss
sss
sss
G s F sA B E
sss

thì
00G u G
3.
Giả sử
*
0 1 0y
và ta có:
1
*
1
00
3
1
0 0 0 .
3
1
00
3
G uy

Hơn nữa,
det 2sA B E F s
0 khi
s
0.
Ví dụ 2.1.4.
Xét phương trình
'( ) - ( )Ax t Bx t
0, trong đó
12

s
không đạt được giá trị lớn nhất
trên

.
Hơn nữa,
3
lim
2
s
Gs
nên ta suy ra
2
3
d

.
Chọn
2
1
1
si
u
s
rõ ràng
u
1 và
G s u G s
khi phần thực
của

1 2 1 2
''
1 2 1
5
2 2 0,
3
4
2 4 0,
3
x x x x
x x x

có duy nhất nghiệm
1
2
0
0
x
x
vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa
chọn không “xấu”.
2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ
phƣơng trình vi phân đại số
Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi
dd

. Đối
với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới
ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương
n

ij
0,
,.ij

iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận
ij
,Mm
ký hiệu
M
, là ma trận
ij
,m
tức là
M
=
ij
,m
với
12
, ,..., .
m
x x x x

Trong
mm

ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau.
Định nghĩa 2.2.2.
i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là
,MN

n n n n
t t t t A B n
(2.2.2)
www.VNMATH.com