Đại học thái
nguyên
TRNG đại học S
phạm
Vi diệu
m
i
nh
Tính điều khiển
C
hệ PHNG trình vi phân đại
số
tuyến
tính
Chuyên ngành: Giải
tích
Mã số :
60.46.01
Luận văn Thạc sỹ toán
học
Ngi hng dn: PGS.TS. T DUY
PHNG
Thái Nguyên -
2008
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c


§2 Tính
đ
iều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính
với hệ số hằng.
35
Ch
ƣ
ơng
2
PH
Ƣ
ƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN
TÍN
H CÓ HỆ
SỐ
BIẾN THIÊN
41
§1 Tính giải được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ
số
biến thiên…
41
§2 Tính
đ
iều khiển được của hệ phương
trì
nh vi phân
đ
ại số tuyến

kho
ảng 50 năm trở lại đây. Công cụ
chính
của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp
toán
học
giải quyết những vấn đề định tính và giải số các hệ thống điều khiển.
Rất
nhiều
bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả
bởi các
hệ
phương trình vi phân chứa tham số điều khiển và cần đến những công
cụ toán
học
để tìm ra lời
giải.
Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết
điều
khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều
khiển
sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng
thái
khác.
Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác
như bài
toán
tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn
đ
ịnh hóa, bài

ta
không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận
hệ số là ma
trận
suy biến, không có tính chất “nhân quả” giữa đầu vào và đầu ra,
…, làm cho
việc
nghiên cứu những vấn đề liên quan trở nên phức tạp nhưng lại
rất hấp dẫn.
Hiện
nay, mặc dù đã có nhiều cố gắng khảo sát những tính chất đặc
biệt ấy, nhưng
việc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

- t nu . e

d

u . v

n
3
nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy
b
iến vẫn còn là thời sự, bởi còn rất

các hệ phương trình
vi
phân ẩn tuyến tính dừng và sau đó là cho hệ mô tả bởi hệ
phương trình vi phân
ẩn
tuyến tính không dừng. Các tiêu chuẩn điều khiển
được này nói chung phức
tạp
hơn rất nhiều so với tiêu chuẩn
Kalman.
Nội dung của luận văn gồm hai
chương:
Chương 1 nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ
số
hằng.
Mục 1 chương 1 trình bày hai cách tiếp cận hệ phương trình vi phân đại
số
tuyến tính nhằm nghiên cứu tính chất tập nghiệm của phương trình
dạng
Ex

(t)
Ax(t)
Bu(t
)
trong đó E là ma trận nói chung suy
biến.
Cách tiếp cận thứ nhất là thông qua cặp ma trận chính quy để đưa
phương
trình trên về

2
(t
), t
0,
trong đó phương trình thứ nhất là phương trình vi phân thường và phương
trình
thứ hai là phương trình vi phân với ma trận lũy
linh.
Cách tiếp cận thứ hai nhằm nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của phương
trình
vi phân với hệ số hằng thông qua ma trận cơ sở. Mục này giới thiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

- t nu . e

d

u . v

n
4
khái
niệm
toán tử hiệu chỉnh, nghiệm của phương trình vi phân đại số được
tìm thông
qua

hơn.
Mục 2 của chương 2 trình bày tính điều khiển được hệ phương trình vi
phân
đại số với hệ số biến thiên theo [9]. Thống nhất với mục 1, mục 2 cũng
dùng
toán
tử hiệu chỉnh trái để đưa việc nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được
hệ suy
biến
không dừng về nghiên cứu hệ đơn giản
hơn.
Mặc dù luận văn chủ yếu là trình bày lại các kết quả trong [6], [7], [8],
[9],
nhưng chúng
tô
i cố gắng thể hiện những lao động của mình trong quá trình
đọc,
nghiên cứu và mở rộng các kết quả ấy cho hệ phương trình vi phân đại số
tuyến
tính. Thí dụ: Mục 1.1 chương 1 trình bày công thức nghiệm tường
minh
của
phương trình vi phân tuyến tính không dừng với ma trận luỹ linh là
kết quả
của
tác giả, đã được báo cáo tại Hội nghị nghiên cứu khoa học sau đại
học do Đại
học
Sư phạm Thái Nguyên tổ chức (Thái Nguyên, tháng 7-2008) và
được đăng

5
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS – TS
Tạ
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới
Thầy.
Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm – Đại học
Thái
Nguyên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn
bản.
Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông,
ủng
hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận
văn.
Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm
2008
Tác
giả
Vi Diệu
Minh
2
2
C
k
N B
6
Chƣơng
1
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ

trong đó
N
là ma trận vuông
cấp
n
2
, không phụ thuộc vào
t
và là ma trận
lũy
linh bậc
h
, tức là N
h
=
0
n
với 0
n
là ma trận vuông
cấp
n
2
có tất cả các
thành
phần bằng
0;
x(t
) là một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không
gian

) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần
là
các hàm khả vi liên tục đến cấp
h
, trong đó
h
là bậc của ma trận lũy linh
N
.
Khi
ấy với mọi 1 £ k
£
h ta
có
N

k
x
(

k
)
(t)
N

k
1

x
(

k
của vectơ
hàm
x(t)
, tương
tự,
u

(i

)

(t
)
là
đạo
hàm cấp i của vectơ
hàm
u(t

)
,
còn
B
(s

)

(t
)

k
k 1 k
1
k
1
k 1
k
C C
C
C
N B
N
k
1
1
B
1
B
1
B
1
B
1
1
B
1
1
N
N
N

rồi lấy đạo hàm hai vế ta
được:
N
3

x

(t
)
N
2

x

(t )
N
2

x

(t )
2
N
2
N
2
C
i
B
( 2

2,
3

.
Giả sử công thức (1.1.1.2) đúng với mọi
s
£
k < h
. Ta sẽ chứng minh nó
đúng
với
s
=
k + 1
. Thật vậy, theo qui nạp ta
có
N

k
x
(

k
)
(t)
N

k
1


(
k
1)
(t

)
N
k
x
( k )
(t

)
k
1
k i
B
( k
i
)
(t
)u
(i )
(t
)
i
0
B
(
k


k
1)
(t
)u

(t
)
N
k
C
1
(

k
1)
(t
)u

(t
)
N
k
C
1
(

k
2)
(t

(t )

N
k
C
s
1

B
( k s 1)
(t
)u
(
s 1)
(t
)
N
k
C
s 1
B
( k
s
)
(t
)u
(
s
)
(t

(
s 1)
(t

)

N
k
C
k
2
B
( 2)
(t
)u
(
k
2)
(t

)
N
k
C
k
2
B


(t

1

B(t )u
(
k
)
(t

)
N
k
x
( k )
(t
)
N
k
C
0
B
( k )
(t )u(t
)
k 0 1
k 1 k 1
B
( k
1)
(t )u


B


(t )u
( k
k 1
1)
(t )
N
k
C
k
1
B(t )u
( k )
(t
).
k 1
i
=
(
k

-
1
)
!
nên
Nhưng
C

k
và
s 1 s
s
C
k
1
C
k 1
C
k
8
N C C C
C C
C C
k
s k
(s
- k
)
k
1
N
N
N
k
1
k
nên
N

(t

)u(t
)
k 0
1
k 1 k
1
B
(
k 1)
(t

)u

(t
)
k 1
2
k 1 k
1
B
(

k
2)
(t

)u


2
C

k
1
B


(t

)
u
(

k
1)
(t
)
N

k

C

k
1
B(t

)u


)
(t

)
u(t
)
N

k

C
1

B
(
k 1)
(t

)u

(t
)
k
k
N

k

C



s
)
(t
)
k
k

N

k

C

k
1

B


(t

)
u
(

k
1)
(t
)

N

k
C

s
B
(
k
s
)
(t

)u

(

s
)
(t
).
s
0
Vậy theo nguyên lý qui nạp, công thức (1.1.1.2) được chứng
minh.
Từ Bổ đề 1.1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ
(1.1.1.1).
Mệnh đề 1.1
([3])
Giả

0
trong
đó
F
k
(t ) = -
h
-
1
å
s
=
k
N C
s
B (t )
.
Chứng
minh
Viết lại (1.1.1.2) với k
=
1,

2,

,

h
ta
được

)
NC
1
B(t
)u

(t )
;
3 2 2 0 2 1 2
2
N

x

(t)
N

x

(t)
N C
2
B

(t)u(t)
N C
2
B



s
N B
N B N B
N B
1
N
h
1
k
k
N

k
x
(

k
)
(t
)
N

k
1

x
(
k
1)
(t

k
1)
(t

)
k 1
0 (
k
k
1
1)
(t

)u(t
)
k 1 1
(

k
k
1
2)
(t

)u

(t

)



h
x
(

h
)
(t
)
N

h
1

x
(
h 1)
(t
)
N

h
1
h
1
i
B
(
h 1
i

)u(t
)
h 1
1
h
1
B
(

h
2)
(t

)u

(t

)

h 1
i
h
1
B
(
h 1
i
)
(t


, sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta
được
0
x(t
)
h 1
N
s

C

0

B
(

s
)
(t

)
u(t
)
h 1
N
s
C
1
B
(

)
(t
)

s k
N

h
1
B(t

)u

(
h 1)
(t
)
x(t
)
h 1
F
(t

)u

(

k
)
(t


(t
)
º
B là ma trận hằng
và
u(t
) vectơ hàm có các thành phần là các
hàm
khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của phương
trình
Nx

(t)
x(t) Bu(t)
(1.1.1.4)
được tính theo công
thức
x(t)
h
1
N

k
Bu
(

k
)
(t)

N
s
C
k

B

(s
- k
)

(t
) =
-
N
k
C
k

B
= - N
k

B
nên ta có ngay công thức
(1.1.1.5).
1.2 Công thức nghiệm của
ph
ƣ
ơng

0
hoặc đa
thức
sE A 0
.
Bổ đề 1.2 (Bổ đề 1-2.2, [6], trang
7)
Cặp ma trận
(
E

,
A
)
là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không
suy
biến
P
và
Q
sao
cho
QEP
I
n
1
0
,
QAP
A

là hai ma trận đơn vị tương
ứng
cấp n
1
và n
2
;
N


n
2

n
2
là ma trận lũy
linh.
Bổ đề 1.2 chỉ ra rằng với giả thiết chính quy của cặp ma trận
(
E

,
A
)
,

hệ
(1.1.2.1) có thể viết dưới dạng
sau:
x

(1.1.2.
2)
11
1
÷
Thật vậy, do
(
E

,
A
)
là cặp ma trận chính qui nên tồn tại các ma trận không
suy
biến
P
và
Q
sao
cho
QEP
I
n
1
0
,
QAP
A
1
0

P
-
1
x

(t

)
. Khi ấy
x
&
(t
)
=
Px
%
&
(t
)
và phương trình
trên
có thể viết
thành
QEPx


(
t)
QAPx


%

ö
%
ç
÷
và
QB(t
)
B

1
(t
)
, khi ấy phương trình trên có
dạng
Đặt
x
=
ç
x
%

÷

hay
è
ç
2
ø

A
1

x


1

(t)
I
n
2
x


2
(t)
A
1
x


1
(t

)
x


2

n n n
n
với
x

1
(t)


1
,
x

2

(t)


2
và
N 
2 2
là ma trận lũy
linh.
Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận
(
E

,
A

(1.1.2.2a) có dạng (xem, thí dụ, [2],
[4]):
x
(t)
e

A
1
t
x
0
t
e

A
1
(t
s

)

B (s)u(s)ds
.
(1.1.2.4a)
1 1
1
s
0
Theo Mệnh đề 1.2, nghiệm của hệ (1.1.2.2b) được tính theo công
thức

(
k )
(t

)

.
(1.1.2.4b)
2 k s
2
k 0 k 0 s
k
Như vậy,
nghiệm
x(t

)
x
1

(t
)
x
2
(t

)
của (1.1.2.2) tính được tường minh theo
công
thức (1.1.2.4a) và (1.1.2.4b). Ta nói nghiệm (1.1.2.4) tương ứng với điều

Giả sử
B

(t
)
º
B là ma trận hằng
và
u(t
) vectơ hàm có các thành phần là các
hàm
khả vi liên tục đến cấp
h
. Khi ấy nghiệm của phương
trình:
Ex

(t)
Ax(t) Bu(t)
có
dạng:
x
(t)
e

A
1
t
x
0

.
k
0
Đối với hệ phương trình vi phân đại số (1.1.2.1), ta cũng có một cách tiếp
cận
khác thông qua ma trận cơ sở để nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm. Dưới
đây
chúng tôi trình bày cách tiếp cận này theo
[7].
n
n
n
1.3 Công thức nghiệm của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số với ma trận cơ
sở
1.3.1 Hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số với ma trận cơ
sở
Một cách tự nhiên, hệ phương trình vi phân đại số được hiểu là
hệ
x

1
(t

(t

)
R
4
x
2
(t

)
f
2
(t
),
(1.1.3.2)
trong
đó
x
1

(t)


1

và
x
2

(t)

phương trình không chứa đạo hàm của các
ẩn
Đặt
x
1
, x
2
).
x
x
1
;
f
f
1
;
E
I 0
; A
R
1
R
2
,
x
2
f
2
0 0 R
3

Nhận xét
1.3.1
Ex

Ax
f
(1.1.3.4)
Trong các tài liệu, hệ phương trình vi phân đại số thường được đồng nhất với
hệ
(1.1.3.4). Tuy nhiên, cách viết (1.1.3.1), (1.1.3.2) chỉ đòi hỏi
là
x
1
có đạo
hàm.
Cách viết (1.1.3.4) đòi hỏi là x có đạo hàm, tức là toàn bộ các tọa độ, hay
x
2
cũng phải có đạo hàm. Từ đó ta thấy, (1.1.3.3) và (1.1.3.4) nói chung là
khác nhau.
Dưới đây, để phù hợp với các tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.1.3.3), (1.1.3.4), trong
đó
ma trận E có thể suy biến (
det E
có thể bằng 0) là hệ phương trình vi phân
đại