Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu nhiên . . . . . . 4
1.3 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Một vài kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên 14
2.1 Tính ổn định theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất và tính không ổn định . 17
2.3 Tính khả vi của nghiệm của phương trình ngẫu nhiên với
điều kiện ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 p-ổn định mũ và q-ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính 34
3.1 Hệ một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 p-ổn định mũ và q-không ổn định mũ . . . . . . . . . . . 40
3.3 Ổn định đều theo nghĩa rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính với hệ số hằng . 53
Kết luận 60
Tài liệu tham khảo 61
i
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý
thuyết định tính các phương trình vi phân được đặt nền móng bởi A.
Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỉ XIX. Lý thuyết
này phát triển mạnh kể từ đó và ngày càng được ứng dụng nhiều để
phân tích các quá trình thực tiễn. Được sự hướng dẫn của thầy giáo TS.
Trần Quang Vinh, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn định
của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên”, luận văn này nghiên
cứu sự biến thiên của nghiệm của hệ phương trình vi phân thường với

k

r=1
|σ
r
(t, x) −σ
r
(t, y)| + |b(t, x) −b(t, y)| < B|x −y|.
Các định lý 2.1, 2.5 và 2.8 là sự khái quát hóa những hệ ngẫu nhiên của
phương pháp Lyapunov thứ 2. Tất cả chúng đều yêu cầu điều kiện hàm
1
Lyapunov phải trơn đều theo t và x trong một lân cận của x = 0, có thể
trừ ra tại điểm x = 0. Ở chương này, ta sẽ xét thêm tính ổn định theo
xác suất theo nghĩa mạnh, chính xác là ta sẽ biểu diễn những điều kiện
ổn định không chỉ cho trường hợp |X(t)| → 0 theo xác suất đều theo t,
mà còn trường hợp sup
t>0
|X(t)| → 0 theo xác suất khi |X(0)| → 0.
Chương 3: Hệ phương trình ngẫu nhiên tuyến tính. Chương này dành
cho những nghiên cứu chi tiết về hệ tuyến tính. Trong chương này, ta sẽ
chứng minh rằng tính ổn định hoặc không ổn định của hệ ngẫu nhiên
tuyến tính với hệ số độc lập thời gian được xác định bởi dấu của kỳ
vọng của một biến ngẫu nhiên đã biết, phân phối dừng của một quá
trình Markov đã biết trong không gian l-chiều. Kỳ vọng này sẽ bằng
lim
t→∞
ln |X(t)|
t
-là số mũ Lyapunov của hệ tuyến tính.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Quang Vinh,

Định nghĩa 1.2. Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ∈ T) trên không
gian xác suất (Ω, F, P), với mỗi ω ∈ Ω cố định, X
·
(ω) : T → R được gọi
là quỹ đạo của quá trình.
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là liên tục (liên tục phải, liên
tục trái) nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục (liên tục phải,
liên tục trái). Nghĩa là: P {ω : X
·
(ω) là hàm liên tục (liên tục phải, liên
tục trái) đối với t ∈ T } = 1.
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là quá trình đo được nếu ánh xạ
X : Ω × T → R là đo được đối với σ- đại số tích F × Γ, ở đây Γ là σ-
đại số các tập con của T .
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T ) được gọi là quá trình có số gia độc lập
nếu với mọi t
0
< t
1
< < t
n
; t

⊂ F
s
⊂ F.
Quá trình X = (X
t
, t ∈ T) được gọi là tương thích với lọc (F
t
, t  0)
nếu ∀t  0 X
t
là F
t
- đo được.
Lọc nhỏ nhất mà đối với nó X tương thích được gọi là lọc sinh bởi X.
Kí hiệu F
X
t
, nghĩa là : F
X
t
= σ(X
s
, s  t)
Lọc F
X
t
được gọi là lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ∈ T).
1.2 Chuyển động Brown và tích phân ngẫu

1
), , B(t
n
) −B(t
n−1
) độc lập.
4. Hầu tất cả các quỹ đạo của B(t, ω) liên tục, nghĩa là:
P {ω : B(., ω) liên tục} = 1.
Định nghĩa 1.5. Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ sở; L
2
[a, b]
là không gian Hilbert của tất cả các hàm bình phương khả tích trên
[a,b]. B(t, ω) là một chuyển động Brown. Với mỗi f ∈ L
2
[a, b] giới hạn
I(f) = lim
n→∞
I(f
n
) trong L
2
(Ω)(với {f
n
}
∞
n=1
là dãy hàm bước nhảy hội tụ
đến f trong L
2
[a, b]) được gọi là tích phân Wiener của f và ta kí hiệu:

1. f(t, ω) thích nghi với lọc {F
t
};
2.

b
a
E(|f(t)|
2
)dt < ∞.
Với f làm 1 hàm bất kỳ trong L
2
ad
([a, b] × Ω), tồn tại 1 dãy hàm bước
nhảy {f
n
(t); n = 1} trong L
2
ad
([a, b] ×Ω) sao cho
lim
n→∞

b
a
E(|f(t) −f
n
(t)|
2
)dt = 0.

)))
Do vậy, dãy I(f
n
) là một dãy Cauchy trong L
2
(Ω) và ta có giới hạn
I(f) = lim
n→∞
I(f
n
) trong L
2
(Ω).
Giới hạn này được gọi là tích phân Itô của hàm f và được kí hiệu

b
a
f(t)dB(t).
Định lý 1.1. Cho f, g ∈ L
2
ad
([a, b] ×Ω); α, β là hai số thực. Khi đó:
1. E

b
a
f(t)dB(t) = 0.
2. E|

b

a
g(t))dB(t)) =

b
a
E(f(t).g(t))dt.
5
Định lý 1.2. (Tính chất Martingale) Giả sử f ∈ L
2
ad
([a, b]×Ω) khi đó
quá trình ngẫu nhiên X(t) =

t
a
f(s)dB(s); a  t  b là một martingale
với lọc {F
t
; a  t  b}.
Định lý 1.3. (Tính chất liên tục) Giả sử f ∈ L
2
ad
([a, b] × Ω) khi đó
quá trình ngẫu nhiên X(t) =

t
a
f(s)dB(s); a  t  b là liên tục, nghĩa
là tất cả các quỹ đạo chuyển động của nó là các hàm liên tục trên khoảng
[a, b].

0  s  t < ∞; x ∈ E, A ∈ A với những tính chất sau:
1. Với mỗi 0  s  t < ∞ và A ∈ A
P (s, X(s); t, A) = P (X(t) ∈ A|X(s)).
2. Với mỗi s  t, x ∈ E, P (s, x, t, ·) là một độ đo xác suất trên E.
3. Với mỗi s  t, A ∈ A hàm P (s, ·, t, A) là một hàm đo được trên E.
4. Phương trình Chapman-Komogorov
P (s, x, t, A) =

E
˙
P (s, x, u, dy) · P(u, y, t, A).
6
Quá trình markov X(t) được gọi là thuần nhất nếu xác suất chuyển
P (s, x, t, A) chỉ phụ thuộc vào hiệu số t −s nghĩa là:
P (s + u, x, t + u, A) = P (s, x, t, A) ∀u.
Khi đó P (s, x, t, A) có dạng P (s, x, t, A) = P(t − s, x, A). Ở đó
P (t, x, A) = P (X
s+t
∈ A|X
s
= x) là xác suất để hệ tại thời điểm s
ở trạng thái x sau một khoảng thời gian t ( tại thời điểm t + s) rơi vào
A. Phương trình Chapman-Komogorov khi đó có dạng:
P (t + s, x, A) =

E
P (t, x, dy)P (s, y, A).
1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Cho ξ(t, ω) là một quá trình Wiener trên khoảng [a, b], xác định trên
không gian xác suất (Ω, F, P ). Cho

.
Vi phân ngẫu nhiên Itô dX(t) của quá trình

N
t
- đo được X(t) được định
nghĩa như sau:
dX(t) = b(t)dt +
k

r=1
σ
r
(t)dξ
r
(t).
Trong đó
b(t) ∈ R
l
là vectơ ngẫu nhiên

N
t
- đo được.
σ
1
(t), , σ
k
(t) là các vectơ trong R
l

2
< b
X(t
2
) −X(t
1
) =

t
2
t
1
b(t)dt +
k

r=1

t
2
t
1
σ
r
(t)dξ
r
(t).
Kí hiệu σ
∗
(t) là ma trận liên hợp của σ(t) và A(t) = σ(t).σ
∗

∂u(t, X(t))
∂x
i
+
1
2
l

i=1
l

j=1
a
ij
(t)
∂
2
u(t, X(t))
∂x
i
∂x
j

dt (1.1)
+
l

i=1
k



i=1

t
s
σ
r
i
∂V
∂x
i
dξ
r
(u).
(1.2)
Ở đây
LV (s, x) =
∂V (s, x)
∂s
+
l

i=1
b
i
(s, x)
∂V (s, x)
∂x
+
1

0
σ
r
(s, X(s))dξ
r
(s).
trên khoảng hữu hạn [s, T ], V ∈ C
2
, biến ngẫu nhiên τ
U
là thời điểm
mà tại đó quỹ đạo của quá trình X(u) lần đầu tiên đi ra ngoài lân cận bị
chặn U, đặt τ
U
(t) = min(τ
U
, t). Hơn nữa giả sử rằng: P {X(s) ∈ U} = 1.
Khi đó
E[V (τ
U
(t), X(τ
U
(t))) −V (s, X(s))] = E

τ
U
(t)
s
LV (u, X(u))du.
1.5 Một vài kết quả bổ trợ

với kỳ vọng hữu hạn Ey(t, ω), sao cho y(t, ω) = y(t) là một biến ngẫu
nhiên M
t
-đo được đối với mỗi t. Một họ (y(t, ω), M
t
) được gọi là một
martingale trên nếu với bất kì s < t ta có:
E(y(t)|M
t
) ≤ y(s) (P −hcc). (1.3)
Nếu trong (1.3) thay dấu bất đẳng thức bởi dấu đẳng thức, ta nhận
được định nghĩa của một martingale.
Xét hệ:
dX(t) = b(t, X)dt +
k

r=1
σ
r
(t, X)dξ
r
(t). (1.4)
9
Bổ đề 1.7. Cho V (t, x) là một hàm khả vi liên tục hai lần đối với biến
x, khả vi liên tục đối với biến t trên tập I × {U \ Γ } và bị chặn trên
tập I × U, ở đây U là một miền bị chặn trong R
l
và Γ ⊂ U là một tập
không đạt được đối với quá trình X(t) được xác định bởi (1.4). Giả sử
LV ≤ 0 trên tập I × {U \ Γ }. Khi đó quá trình V (τ

U,δ
(s), X(τ
U,δ
(s))) (hcc).
Cho δ → 0 trong bất đẳng thức này và sử dụng (1.5) kết hợp với giả
thiết V bị chặn, chúng ta suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.8. Giả sử các hệ số b và σ
r
trong (1.4) thỏa mãn điều kiện
b(t, 0) ≡ 0; σ
r
(t) ≡ 0. (1.6)
Thêm nữa giả sử rằng điều kiện Lipschitz
k

r=1
|σ
r
(t, x) −σ
r
(t, y)| + |b(t, x) −b(t, y)| < B|x −y|. (1.7)
đúng trên tập E = I ×R
l
. Khi đó với bất kỳ số thực β, t ≥ s, x = 0,
E|X
s,x
(t)|
β
≤ |x|
β

s,x
(u)|
β−2

(b(u, X
s,x
(u)), X
s,x
(u))du
+
1
2
l

i=1
a
ii
(u, X
s,x
(u))du +
k

r=1
(σ
r
(u, X
s,x
(u)), X
s,x
(u))dξ

δ
, t). Rõ ràng là biến ngẫu nhiên Y
s,x
(τ
δ
(t)) có một kỳ vọng. Tính
toán kỳ vọng trong (1.9) và sử dụng (1.7) và (1.6), ta nhận được:
EY
s,x
(τ
δ
(t)) ≤ |x|
β
+ kE
τ
δ
(t)

s
Y
s,x
(u)du, (1.10)
với k = k(β, B, l) nào đó. Do vậy τ
δ
(u) = u với u < τ
δ
(t). Từ (1.10) suy
ra
EY
s,x

(τ
δ
(t))|
β
≤ |x|
β
exp{k(t −s)}. (1.11)
Chọn β = −1 trong (1.11) và sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có
P
s,x
{τ
δ
(t) < t} <
δ
|x|
e
k(t−s)
.
11
Điều này kéo theo
P
s,x
{τ
δ
< t} → 0 khi δ → 0, (1.12)
với ∀s < t. Cho δ → 0 trong (1.11) kết hợp với (1.12) ta có điều phải
chứng minh.
Bổ đề 1.9. Giả sử các hệ số của (1.4) thỏa mãn (1.6), điều kiện (1.7)
đúng trong mọi miền bị chặn đối với biến x, quá trình X
s,x

δ
(t) → t khi δ → 0} = 1,
do vậy, cho δ → 0 trong (1.9) ta thấy công thức (1.1) áp dụng được cho
hàm |x|
β
trên toàn miền R
l
, mặc dù trên thực tế nếu β < 2, hàm này
không thỏa mãn giả thiết của định lý 3.3 tại điểm 0. Kết quả này còn
đúng với bất kỳ các hàm V (t, x) ∈ C
0
2
(E) sao cho
0 ≤ V (t, x) ≤ k|x|
β
.
Trong chương 2 và chương 3, ta sẽ cần hai định lí sau:
Định lý 1.12. Nếu (y(t, ω), M
t
, t ≥ 0) là một martingale dương, thì
giới hạn
y
∞
= lim
t→∞
y(t, ω)
12
tồn tại hầu chắc chắn và hữu hạn. Hơn nữa,
Ey
∞


r=1
σ
r
(t, X)dξ
r
(t).
được gọi là ổn định theo xác suất với t ≥ 0 nếu với bất kỳ s ≥ 0 và ε > 0
lim
x→0
P

sup
t>s
|X
s,x
(t)| > ε

= 0.
Ta nhắc lại rằng: một hàm số V (t, x) được gọi là xác định dương trong
một lân cận của tập x = 0 nếu V (t, 0) = 0 và trong lân cận này V (t, x) >
W (x), ở đây W (x) > 0 với x = 0 và liên tục.
Định lý 2.1. Cho {t > 0} × U = U
1
là một miền chứa đường thẳng
x = 0, và giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C
0
2
(U
1

∂x
j
≤ 0;
với x = 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (1.4) là ổn định theo xác suất.
Chứng minh. Gọi r là một số sao cho r-lân cận U
r
của điểm x = 0 được
chứa trong U cùng với bao đóng của nó. Đặt
V
r
= inf
x∈U\U
r
V (t, x) (V
r
> 0 theo giả thiết).
Theo bổ đề 1.10 ta có
EV (τ
U
r
(t), X
s,x
(τ
U
r
(t))) ≤ V (s, x)
với |x| < r. Từ điều này và bất đẳng thức Chebyshev, ta có
P

sup


≤
V (s, x)
V
r
.
Do V (s, 0) = 0 và V (s, x) là hàm liên tục, từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
Nhận xét 2.2. Ta nói rằng nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) là ổn định đều
theo xác suất với t > 0 nếu với bất kỳ ε > 0 hàm P

sup
t>s
|X
s,x
(t)| ≥ ε

tiến tới 0 khi x → 0, đều trong miền s ≥ 0. Một câu hỏi đặt ra là: điều
kiện đủ cho tính ổn định đều theo xác suất là hàm V (t, x) thỏa mãn giả
sử của định lí 2.1 và nó có giới hạn trên vô cùng bé, nghĩa là,
lim
x→0
sup
t>0
V (t, x) = 0.
15
Định lý 2.3. Giả sử rằng các hệ số b và σ
r
của (1.4) không phụ thuộc
vào thời gian và nghiệm của nó X(t) ≡ 0 ổn định theo xác suất. Giả sử

δ
của bài toán
Lu = 0; u|
|x|=r
= 1; u|
|x|=δ
= 0.
Ta có:
u
δ
(x) = P {|X
x
(τ
r,δ
)| = r},
ở đây τ
r,δ
là thời điểm đầu tiên mà ở đó quỹ đạo của quá trình đạt được
tập {|x| = r}∪{|x| = δ}.
Rõ ràng rằng dãy u
δ
(x) các hàm L-điều hòa là hàm đơn điệu tăng
khi δ → 0. Hàm giới hạn của nó V (x) cũng là L-điều hòa. Kí hiệu τ
0
là
thời điểm đầu tiên mà tại đó quỹ đạo của quá trình đi qua điểm 0. Khi
đó từ các mối liên hệ trước đó suy ra rằng

sup
t>0

P

sup
t>0
|X
x
(t)| ≥ r

= lim
δ→0
P {|X
x
(τ
r,δ
)| = r} = V (x).
Do vậy, nghiệm X ≡ 0 là ổn định theo xác suất. Từ trên suy ra
V (x) → 0 khi x → 0. Cuối cùng, theo nguyên lý maximum mạnh, suy ra
16
hàm u
δ
(x) dương và do đó hàm V (x) cũng dương đối với |x| > δ
1
> δ.
Từ đó hàm V (x) là xác định dương theo nghĩa Lyapunov và LV = 0.
Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.4. Hàm Lyapunov trong định lý 2.3 được xây dựng chỉ liên
tục tại 0. Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát hàm Lyapunov trơn tại
0 có thể không tồn tại. Điều này sẽ được chỉ rõ nhờ ví dụ dưới đây.
Cho X(t) là quá trình một chiều, cho bởi phương trình
dX = bXdt + σXdξ(t), (2.2)

1
(ε) ≥ δ, thỏa mãn
V
1
(x) ≥ δ(|x|/|ε|)
1−2b/σ
2
,
trong miền 0 < x < ε. Do vậy, rõ ràng khi b > 0 thì không có hàm
Lyapunov trơn tại điểm gốc và độc lập với t. Tương tự có thể chỉ ra rằng
không tồn tại một hàm Lyapunov trơn tại 0, phụ thuộc t nhưng có giới
hạn trên vô cùng bé.
2.2 Ổn định tiệm cận theo xác suất và tính
không ổn định
Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận theo xác
suất nếu nó là ổn định và hơn nữa
lim
x→0
P

lim
t→∞
X
s,x
(t) = 0

= 1. (2.3)
17
Trong mục này, ta luôn giả sử rằng điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Điều kiện D. Bất kỳ nghiệm nào của (1.4) xuất phát trong miền ε <

lim
t→∞
V (τ
U
(t), X
s,x
(τ
U
(t))) = ξ. (2.5)
Kí hiệu B
x
là tập các quỹ đạo của X
s,x
(t) sao cho τ
U
= ∞. Do hàm
V thỏa mãn các giả sử của định lí 2.1, nghiệm X(t) ≡ 0 là ổn định theo
xác suất, và do vậy
P(B
x
) → 1 khi x → 0. (2.6)
Từ điều kiện D suy ra tất cả các quỹ đạo chứa trong tập B
x
, trừ
ra tập có xác suất 0, ta có inf
t>0
|X
s,x
(t)| = 0 và từ bổ đề 1.9 ta cũng có
khẳng định mạnh hơn lim

,
điều này kéo theo lim
t→∞
|X(t)| = 0.
Từ đó kết hợp với (2.6) ta nhận được chứng minh của định lí.
Hệ quả 2.1. Điều kiện D có thể được thay bởi yêu cầu tồn tại một hàm
W (t, x) thỏa mãn bất đẳng thức (2.4). Hàm V (t, x) cũng thỏa mãn bất
đẳng thức đó nếu LV xác định âm. Ta đã chứng minh định lí Lyapunov
tổng quát về tính ổn định tiệm cận cho các hệ tất định đó là: Nghiệm
X(t) ≡ 0 của (1.4) là ổn định tiệm cận theo xác suất nếu tồn tại trong
miền {t > 0}×U một hàm xác định dương V (t, x) ∈ C
0
2
({t > 0} × U),
có giới hạn trên vô cùng bé, sao cho hàm LV là xác định âm trong miền
này.
Hệ quả 2.2. Điều kiện D luôn đúng nếu ma trận A(t, x) thỏa mãn điều
kiện không suy biến (2.1). Thật vậy, khi đó hàm W = k −|x|
n
thỏa mãn
điều kiện (2.4) nếu chọn k và n thích hợp. Điều này có nghĩa là, nếu điều
kiện (2.1) đúng, thì sự tồn tại một hàm V (t, x) thỏa mãn giả thiết của
định lí 2.1 và có giới hạn trên vô cùng bé cũng đủ để nghiệm X(t) ≡ 0
của (1.4) là ổn định tiệm cận. Từ điều này và định lí 2.3 kéo theo mệnh
đề sau: "Giả sử rằng các hệ số b và σ
r
độc lập với t và điều kiện không
suy biến (2.1) được thỏa mãn. Khi đó, nếu nghiệm của (1.4) ổn định
theo xác suất, thì nó cũng ổn định tiệm cận theo xác suất". Mệnh đề
này có thể được khái quát hóa cho những hệ không thuần nhất phụ thuộc

(t)| < r

,
có xác suất 0 với mọi s > 0, x ∈ U
r
.
Chứng minh. Kí hiệu τ
r,ε
là thời điểm đầu tiên đạt được tập {|x| =
r}∪{|x| = ε}, τ
r,ε
(t) = min(τ
r,ε
, t). Từ (2.7) ta có
EV (τ
r,ε
(t), X
s,x
(τ
r,ε
(t))) ≤ V (s, x).
đúng trong miền U
r
\ U
ε
với bất kỳ ε < r. Cho t → ∞ và sử dụng
Điều kiện D ta thu được EV (τ
r,ε
, X
s,x

đúng và hơn nữa sup
ε<|x|<r
LV < 0 với bất kỳ ε > 0.
Định nghĩa 2.1. Nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) được gọi là ổn định (tiệm
cận) theo nghĩa rộng nếu nó ổn định theo xác suất và đồng thời với mọi
s, x có
P

lim
t→∞
X
s,x
(t) = 0

= 1.
20
Định lý 2.8. Điều kiện đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn định theo
nghĩa rộng là nó ổn định đều theo xác suất và hơn nữa quá trình X(t)
là tuần hoàn trong miền |x| < ε với bất kỳ ε > 0.
Chứng minh. Do nghiệm X(t) ≡ 0 ổn định đều theo xác suất, kéo theo
với bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
sup
δ>0,|y|<δ
P

sup
t>s
|X
s,y
(t)| > ε


lim
t→∞
|X
u,y
(t)| > ε

=
∞

u=s

|y|=δ
P {τ
δ
∈ du, X
s,x
(τ
δ
) ∈ dy}P

sup
t>u
|X
u,y
(t)| > ε

≤ ε.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.9. Một điều kiện đủ để nghiệm X(t) ≡ 0 của (1.4) ổn định

Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ định lí 2.8 và các định lý đã
được nhắc đến trong chương 1 và chương 2. Ta vẫn nhận được khẳng
định đúng nếu thay thế điều kiện (1) bởi điều kiện (1’): tồn tại hàm
không âm V
3
(t, x) ∈ C
0
2
(E) sao cho LV
3
< kV
3
với một hằng số dương
k nào đó và lim
R→∞
inf
|x|>R
V
3
= ∞. Tương tự điều kiện (2) có thể thay bởi
điều kiện (2’): điều kiện không suy biến (2.1) đúng trong tập U
R
\U
ε
với
bất kỳ ε < R hoặc (2) cũng có thể được thay bởi điều kiện yếu hơn là
a
ii
(t, x) > a
R,ε

2
∂x
i
∂x
j
X
s,x
(t),
do đó cũng liên tục đối với x theo nghĩa trung bình bình phương. Chúng
được xác định bởi hệ thu được bằng cách lấy vi phân (2.9) theo x.
Ở đây ta chỉ xét trường hợp số chiều của không gian l = 1. Dễ thấy
quá trình ngẫu nhiên
Y
x,∆
x
(t) =
1
∆x
[X
x,x+∆x
(t) −X
s,x
(t)].
22
là một nghiệm của phương trình
X
z,∆x
(t) = 1 +
t


s,x+∆x
(t) −X
s,x
(t)
.
Theo giả thiết của định lí, các hàm |A| và |B| bị chặn hầu chắc chắn
bởi một hằng số k nào đó.
Với bất kỳ n ≥ 1, áp dụng công thức Itô (1.1) cho quá trình
Z(x, ∆x, t) = [Y
x,∆x
(t)]
2n
.
và do vậy từ (2.10) suy ra
Z(x, ∆x, t) = 1 + n
t

s
Z(x, ∆x, u)[2A(x, ∆x, u) + (2n −1)B
2
(x, ∆x, u)]du
+ 2n
t

s
Z(x, ∆x, u)B(x, ∆x, u)dξ(u).
Như trong chứng minh của Bổ đề 1.8, bây giờ ta tính kỳ vọng cả hai
vế của đẳng thức và áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman, ta thu được bất
đẳng thức
E[Y

hàm A, B, b

x
và σ

x
cũng bị chặn, điều này suy ra tất cả các moment
23
của hiệu số A − b

x
và B − σ

x
hội tụ đến 0. Vì thế, ta dễ rút ra kết
luận Y
x,∆x
(t) hội tụ theo nghĩa trung bình bình phương khi ∆x → 0 đến
nghiệm của phương trình
ζ
x
(t) = 1 +
t

s
b

x
(u, X
s,x

,
E[Y
x,∆x
(t) −ζ
x
(t)]
2n
→ 0 khi ∆x → 0.
(2.13)
Với những lập luận tương tự ta chứng minh được sự tồn tại và liên
tục của đạo hàm bậc hai.
Bổ đề 2.12. Cho các hệ số của (2.9) liên tục theo t, x và thỏa mãn điều
kiện
σ(t, 0) ≡ 0, b(t, 0) ≡ 0. (2.14)
Cũng giả sử rằng chúng có đạo hàm riêng bậc 1 và bậc 2 bị chặn, liên
tục theo x
1
, , x
l
. Khi đó với bất kỳ số thực β hàm u(s, x) = E|X
s,x
(t)|
β
khả vi liên tục hai lần theo x
1
, , x
l
, có thể trừ ra tại x = 0. Khi đó ta
cũng có


2
u(s, x)
∂x
i
∂x
j




≤ k
1
|x|
β−2
e
k
2
(t−s)
(2.15)
với k
1
> 0, k
2
> 0 nào đó.
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp l = 1. Trường hợp nhiều chiều có
thể chứng minh tương tự. Áp dụng công thức đạo hàm ta thu được
u

x
(s, x) = βE