Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM
NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHỨC
L
L
U
U

T
T
O
O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C Thái Nguyên - năm 2010
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ĩ
ĨT
T
O


Thái Nguyên - Năm 2010
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

1
Mở Đầu

Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ-ợc đánh giá là một trong
những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m-ơi. Đ-ợc hình thành từ
những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công
trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học.
Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất
phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý
cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết.
Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng:
Ch-ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna.
Ch-ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph-ơng trình
vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi
phân phức của tác giả Ping Li.
Kết quả của luận văn:
Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f
coi nh- là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p
1
, p
2
là 2 hàm nhỏ của
z
e

Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ và
Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình,
bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
L-u Thị Minh Tâm
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

3
Ch-ơng I
Cơ sở lý thuyết Nevanlinna

1.1. Hàm phân hình
1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi là điểm bất th-ờng cô lập của hàm f(z)
nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó.
1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ-ợc gọi là

lân cận của z
0
, hàm
0
1
m
f z h z
zz


, trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong
lân cận của z
0
và

0
0hz
.
1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f(z) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f(z) và f(z) cũng có các cực điểm tại những điểm nh-
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

4
nhau. Đồng thời, nếu z
0
là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z

. , 0 , 0;
i
z r e r R f z f z


thì: 2
22
22
0
22
11
1
log log Re
22
log log .
i
MN
v
v
v
Rr
f z f d
R Rrcos r
R z a

22
22
0
1
log log Re .
22
i
Rr
f z f d
R Rrcos r








(1.1a)
+ Tr-ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng
minh:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

5
2
0






Lấy phần thực ta thu đ-ợc kết quả tại z = 0.
2
0
1
log 0 log Re .
2
i
f f d







+ Với z tùy ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến
R


thành
1



. Trên
R


, ta có:

2
2
log log log log log .
Rz
R z R z
Rz







Nên
2
2
2









(2*)
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

6
Mặt khác


2
2
11
log log .
22
RR
zd d
ff
R
ii
Rz
z



1
log f
R
z



là hàm chỉnh hình. Nh- vậy tích phân trong
vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có:


2
2
2
1
log log .
2
R
R z d
f z f
i
R z z






i
ii
i
R z z R R re re
R Rrcos r









Kết hợp với (1.2) ta thu đ-ợc: 22
2
22
0
1
log log Re .
22
i
R r d
f z f








Đây là điều cần phải chứng minh.
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

7
* Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong zR
, nh-ng có hữu hạn không điểm và cực điểm c
j
trên biên
R


. Với
0


nhỏ tùy ý, ta đặt:

z re


trong miền
zR
, tồn tại

đủ nhỏ sao cho
zD
. Khi đó:

2
2
2
1
log log
2
D
R z d
f z f
i
R z z







trong đó m > 0 nếu z
0
là không điểm và m < 0 nếu z
0
là cực điểm. Suy ra 1
log logf z O





khi
0


.
Nh- vậy:

11
log . . ,
2
OM





trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích
phân trong vế phải của (1.3), tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Nh- vậy ta cũng thu
đ-ợc công thức (1.3) trong tr-ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1).
*Tr-ờng hợp 3. Bây giờ ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các
không điểm và các cực điểm trong
zR
đặt:

2
1
2
1
1

N
v
M
v
v
Rb
f
R a R b
Ra






2
1,
R a R a
Ra
a










và


2
1,
vv
v
v
R b R b
Rb
b




1
log Re .
22
i
i
R r d
z
R Rrcos r
R r d
f
R Rrcos r

















(1.5)
Mặt khác:

fz
R a z R b z




















Thay

log z

vào (1.5) ta thu đ-ợc kết quả.
*ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của
modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong
zR








(1.6)
Khi

0,fz
công thức trên đây chỉ cần thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu

0,fz
hàm f(z) có khai triển tại lân cận z = 0 dạng:


,
x
f z c z Z




Xét hàm R f z
z
z

b
c f d R
RR












www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

10
Nhận xét:
Giả sử f(z) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của
hàm f(z) tại điểm
0
zG
, ký hiệu
0
z
ord f
, là số nguyên m sao cho hàm


2
2
2
0
1
log log Re . .log
2
Re
i
i
Rz
Rz
f z f d ord f
Rz
z
















ii
i
f d f d d
f









ta đặt:
2
0
1
, log Re .
2
i
m R f f d







vv
vv
R R R
dn t f
b r t




(1.8)
trong đó n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong
zt
, cực điểm bậc q
đ-ợc đếm q lần.
Thật vậy, tr-ớc hết bằng ph-ơng pháp tích phân từng phần ta có:


0
0 0 0
log , log . , , log ,
R
R R R
R R R dt
dn t f n t f n t f d n t f
t t t t


, (a)
mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử
12

,
N
tr
r t r
n t f r t r
N r t R














nên
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

12

12

n t f n t f n t f n t f
t t t t
dt dt dt
N
t t t
t t N t
r r r r N R r
N R r r r
Rr









2
1
og log log log
log ;
N
N
v
v
R r R r
R
r


vv
R R R
dn t f
b r t





Hàm đếm đ-ợc định nghĩa bởi công thức sau:


1
0
, log , .
R
N
v
v
R dt
N R f n t f
bt




(1.9)

1
0



Hoặc

11
, , , , log 0 .m R f N R f m R N R f
ff





Bây giờ ta đặt:


, , , .T R f m R f N R f
(1.11)
Khi đó công thức Jensen đ-ợc viết lại một cách rất đơn giản là:


1
, , log 0 .T R f T R f
f




(1.12)
Giá trị



1
1
log log ,
p
p
vv
v
v
aa







và

1, ,
11
log log log log .
pp
v v v
vp
vv
a p max a a p





2)


1
1
, , .
p
p
vv
v
v
m r f z m r f z









3)


11
, , .
pp
vv
vv

5)


11
, , log .
pp
vv
vv
T r f z T r f z p







6)


1
1
, , .
p
p
vv
v
v
T r f z T r f z



11
, , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R
f a f a







www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

15
trong đó:

, log log2.a R a




Ta th-ờng dùng định lý cơ bản thứ nhất d-ới dạng:


11
, , , 1 ,m R N R T R f O
f a f a




. Từ đó ta có:

11
, , , log 0 , .m R N R T R f f a a R
f a f a







Với

, log log2a R a



. Định lý đ-ợc chứng minh xong.
*ý nghĩa:
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna, ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ
nhất. Hàm đếm
1
,NR
fa




đ-ợc cho bởi công thức:


16
Hàm xấp xỉ:

2
0
1 1 1
, log .
2
Re
i
m R d
fa
fa













Nh- vậy, nếu f nhận cng nhiều giá trị gần a ( tức l

Re

nếu a là hữu hạn và

, , , , ,m R N R n R
thay cho

, , , , ,m R f N R f n R f
.
Nếu chúng ta cho R biến thiên thì định lý cơ bản thứ nhất có thể đ-ợc viết
d-ới dạng nh- sau:

, , 1 .m R a N R a T R O

Với mỗi a là hữu hạn hay vô hạn. Số hạng m(R,a) dần tới trung bình nhỏ
nhất có thể đ-ợc của f a trên vòng tròn
zR
, số hạng N(R,a) dần đến số
nghiệm của ph-ơng trình

f z a
trong
zR
. Với mỗi giá trị của a, tổng của
hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a.
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

17
1.2.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xét hàm hữu tỷ


, , log 1
r
a
dt
N r a n t a p r O
t


khi
r
,
Do đó, khi
r
,


, log 1 ,T r f p r O

và

, log 1 ,N r a p r O


, 1 ,m r a O
với
a
.
Nếu p < q,

, log 1 ,T r f q r O



, 1 ,m r a O
với

af
,
trong đó d = max(p, q).
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

18
Trong tr-ờng hợp này, m(r, a) là bị chặn khi
r
ngoại trừ một giá trị
của a là

f
. Nếu ph-ơng trình f(z) = a có nghiệm bội

tại

với
0 d


, thì


, log 1 ,m r a r O



,

cos
log ,cos 0
0,cos 0
r
e











,

cos
log ,
22
3
0,
22
r
e







.
Từ đó: 2
2
0
2
11
, log cos .
22
i
r
m f a f re d r d












Pz
f z e
. Khi đó
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

 
 

p
p
az a
Pz
f z e e


,
Nh- vËy:
 
   
, , , . , log
pp
pp
aa
az az
T r f T r e T r e pT r e e


 
,0N r g 
suy ra
   
 
, , ,
p
az
T r g m r g m r e
.

 


2
0
1
, log ,
2
i
p
a re p
az
m r e e d







p
a r p
ed






,
=
 
2
2
1
cos
2
p
p
p
a r p d






,
=
 

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

20
suy ra

, 1 .
p
a
T r f r O

1.2.4. Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi
1.2.4.1. Định lý
Giả sử f(z) là một hàm phân hình trong
zR
. Khi đó:
2
0
1
, , log 0
2
i
T r f N r e d f








Nh- vậy trong mọi tr-ờng hợp ta đều có:

2
0
1
log log .
2
i
a e d a







(*)
Lại áp dụng (1.6) cho hàm số

i
f z e


và có:

2 2 2
0 0 0
22
00
2 2 2
0 0 0
1 1 1
log 0 log .
2 2 2
11
,,
22
1 1 1
log . , , .
2 2 2
i i i
i i i
f e d f r e e d d
N r d N r e d
f r e e d d N r N r e d
















Từ đó:



22
00
2
0
2
0
1
, log , log 0 ,
2
1
, , , log 0 ,
2
1

Với ( 0 < r < R).
Vậy định lý đ-ợc chứng minh.
1.2.4.2. Hệ quả 1: Hàm đặc tr-ng Nevanlinna T(r,f) là một hàm lồi tăng
của logr với 0 < r <R.
Chứng minh:
Ta thấy rằng

,
i
N r e

hiển nhiên là hàm tăng, lồi của logr nên ta suy ra
hàm T(r,f) cũng có tính chất nh- vậy và hệ quả đ-ợc chứng minh. Trong tr-ờng
hợp này chúng ta có:
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

22
2
0
1
, , .
2
i
d
r T r f n r e d
dr

chúng ta có:



, , , log 0
i i i
T r f m r e N r e f e G



, trong đó

log2G


. Lấy tích phân hai vế theo biến

ta có:


2 2 2
0 0 0
1 1 1
, , ,
2 2 2
ii
T r f d m r e d N r e d




T r f m r e d T f f f G d








Nh- vậy: 2 2 2
0 0 0
1 1 1
, log2 log2.
2 2 2
i
m r e d G d d







Hệ quả 2 đ-ợc chứng minh.
* Nhận xét:
Định lý Cartan v hệ qu chỉ ra rng trung bình của các giá trị của hàm
m(r,a) lấy trên một vòng tròn l khá nhỏ, hm T(r,f) hầu nh- chỉ phụ thuộc

,
a
2
,.a
q
là các số phức hữu hạn riêng biệt,
0


và
v
aa



với
1 vq


. Khi đó:

1
1
, , 2 , .
q
v
v
m r m r a T r f N r S r