Mục lục
Mở đầu 3
Danh mục ký hiệu 5
1 Phương trình vi phân đại số 6
1.1 Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số . . . . 7
1.2 Một số ví dụ phương trình vi phân đại số trong thực tế 13
1.2.1 Hệ cơ học có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Phép chiếu - Ma trận chính quy . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Các khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số 23
2.1 Chỉ số Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Chỉ số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Chỉ số mềm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Các khái niệm chỉ số khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Chỉ số nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Chỉ số hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.3 Chỉ số lạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Viện Toán học - Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa
học của PGS.TS. Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn
sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, người
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình tập dượt
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn
các thầy cô trong Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam đã nhiệt tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện cho tác giả
về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn
này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, Tạp chí Toán học và
Tuổi trẻ và các bạn trong lớp Cao học K19 Viện Toán học, đã động

đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối
với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm,
cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trong
việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số.
Luận văn có mục đích trình bày các khái niệm chỉ số của phương
trình vi phân đại số và một số ứng dụng của nó trong nghiên cứu
phương trình vi phân đại số.
Nội dung luận văn gồm hai chương:
Chương 1 Trình bày một số đặc thù, các ví dụ về phương trình
vi phân đại số trong thực tế và một số kiến thức liên quan sử dụng
trong Chương 2.
Chương 2 Trình bày các khái niệm chỉ số khác nhau và quan hệ
giữa chúng: chỉ số Kronecker (cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính với hệ số hằng), chỉ số vi phân (Brenan 1996), chỉ số nhiễu
(Hairer 1996), chỉ số mềm (Griepentrog 1986), chỉ số hình học (Rabier
2002) và chỉ số lạ (Kunkel 2006). Các khái niệm chỉ số này trùng
nhau trong trường hợp phương trình vi phân tuyến tính với các hệ
số hằng nhưng trong các hệ phi tuyến hoặc hệ phương trình vi phân
tuyến tính với hệ số biến thiên thì khái niệm chỉ số có thể khác nhau.
Đối với các hệ này, chỉ số trở thành một khái niệm địa phương với
các giá trị khác nhau ở các miền khác nhau.
4
Danh mục ký hiệu
R
n
- Không gian Euclid n chiều.
L(R
n
, R
m

m
, trong đó J = (a, b), Ω ⊂ R
m
.
C(J × Ω ×R
m
, R
m
)- Tập các hàm liên tục theo ba biến,
C
p
(J) - Không gian các hàm khả vi đến cấp p trên J.
detA(t) - Định thức của ma trận A(t).
rankA(t) - Hạng của ma trận A(t).
diag(M, N) - Ma trận khối đường chéo.
5
Chương 1
Phương trình vi phân đại số
Xét phương trình vi phân ẩn
F (t, x(t), x

(t)) = 0, (1.1)
trong đó x : J → R
m
, J = (a, +∞) ⊂ R, Ω là tập mở trong R
m
, và
F : J × Ω × R
m
→ R

Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
Ex

(t) + F x(t) = f(t), t ∈ J, E, F ∈ L(R
n
). (1.4)
Khác với phương trình vi phân thường, sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm cũng như cấu trúc tập nghiệm của phương trình (1.1) cũng là
vấn đề cần được nghiên cứu kĩ. Các ví dụ dưới đây cho thấy điều đó.
Ví dụ 1.1.1 [14] Cho phương trình vi phân đại số tuyến tính


1 0
0 0


x

(t) +


0 1
0 0


x(t) = 0, (1.5)
với x =


x

2
(t)


, trong đó x
2
(t) = g(t),
x
1
(t) = −
t

t
0
g(s)ds + C, với hàm g ∈ C
1
(J, R) bất kì, C là hằng số
bất kì.
Ta biết rằng không gian nghiệm của phương trình vi phân thường
tuyến tính x

= A(t)x là không gian hữu hạn chiều. Không gian nghiệm
của hệ (1.5) là vô hạn chiều. Thật vậy, chọn x
2,k
(t) = t
k
, k = 1, 2, ,
7
và x
1,k





1 −t

x(t)


+


1 1
0 2


x(t) = 0. (1.6)
Phương trình (1.6) có dạng (1.2) với
A =


1
1


, D =

1 −t

, B =


+


1 1
0 2




x
1
(t)
x
2
(t)


= 0. (1.7)
Phương trình (1.7) có dạng



x

1
(t) − x
2
(t) − tx


(t) = 0. (1.9)
Trên các khoảng (−∞, 1) và (1, +∞), phương trình (1.9) tương đương
với x

1
(t) =
−x
1
(t)
1 − t
⇔
dx
1
(t)
x
1
(t)
=
dt
t − 1
⇔ lnx
1
(t) = ln(t − 1) + C ⇔
8
x
1
(t) = (t − 1)C. Nếu cho trước x(0) =


x



(1 − t)x
0
(1 − t)x
0


= (1 − t)x
0


1
1


, x
0
∈ R.
Điều đó cho thấy rằng tất cả các nghiệm bị triệt tiêu (bằng 0) tại
t∗ = 1. Hơn nữa, hệ (1.8) chỉ có nghiệm ứng với điều kiện ban đầu
x(t
0
) = x
0
=


x
10


1 0
0 1


x(t) = q(t). (1.10)
Phương trình (1.10) có dạng



α(t)x

2
(t) + x
1
(t) = q
1
(t),
x
2
(t) = q
2
(t).
Hàm liên tục α(t) xác định trên I = [−1, 1] và
α(t) = 0 với t ≤ 0, α(t) = 0 với t > 0.
Hệ (1.10) chỉ có duy nhất một nghiệm x
2
(t) = q
2
(t), t ∈ [−1, 1]

(t) =



0, t ∈ [−1, 0]
−2
3
√
t
4
, t ∈ (0, 1].
và x
2
(t) = t
2
Nhận xét x

1
(t) =
8
3
3
√
t khi t > 0 nên x

1
(0) = 0. Hàm x
1
(t) có
Hình 1.2: Nghiệm x

0 1


x


+ x(t) = q(t), (1.11)
thì ta thấy rằng tính khả vi liên tục chỉ cần thiết cho x
2
(t), điều này
có thể được đảm bảo bằng cách giả thiết q
2
(t) là khả vi liên tục trên
[−1, 1].
11
Ví dụ 1.1.4 [14] Xét phương trình vi phân đại số


0 0
1 −t


x

(t) +


1 −t
0 0


2
(t) = q
1
(t) ta được
x

1
(t) − tx

2
(t) − x
2
(t) = q

1
(t). Thay vào phương trình thứ hai ta được
x
2
(t) = q
2
(t) − q

1
(t). Lại thay vào phương trình thứ nhất ta được
x
1
(t) = q
1
(t) + tq
2

(t) = f(t, x)
có nghiệm thì chỉ cần hàm ở vế phải f(t, x) là Lipschitz theo x đều
theo t trên J × Ω.
Trong ví dụ trên, bài toán giá trị ban đầu chỉ giải được duy nhất
khi giá trị ban đầu tương thích với vế phải, tức là điều kiện ban đầu
x(t
0
) = x
0
phải thỏa mãn



x
1,0
= x
1
(t
0
) = t
0
q
2
(t
0
) − t
0
q

1

(t) − tx
2
(t) = 0,
x

1
(t) − tx

2
(t) = 0,
(1.13)
chỉ có nghiệm tầm thường



x
1
(t) = 0,
x
2
(t) = 0.
Thật vậy, lấy đạo hàm phương trình thứ nhất của hệ (1.13) ta được
x

1
(t)−tx

2
(t)−x
2

) =
1
2
m(x

2
+ y

2
). (1.15)
13
Số hạng x

2
+ y

2
miêu tả vận tốc chuyển động của con lắc. Do sợi
dây có độ dài l luôn căng nên ta có ràng buộc
0 = g(x, y) = x
2
+ y
2
− l
2
. (1.16)
Các phương trình (1.14) - (1.16) được sử dụng để lập hàm Lagrange
L(q, q

) = T (x


−
∂L
∂q
k
= 0, k = 1, 2, 3,
với q = (q
1
, q
2
, q
3
) = (x, y, λ). Ta có
d
dt

∂L
∂q

1

−
∂L
∂q
1
=
d
dt

∂L

∂L
∂y


−
∂L
∂y
=
d
dt
(my

) − mg + 2λy
= my

− mg + 2λy = 0,
d
dt

∂L
∂q

3

−
∂L
∂q
3
=
d


= −
2λ
m
,
y

= v,
v

= g −
2λ
m
g(x, y) = 0,
(1.18)
với z =




x
u
y
v




thì hệ đã cho có dạng phương trình vi phân đại số
F (t, z, z

v(t), một điện trở với độ dẫn điện G và một tụ điện với điện dung
C > 0. Mạch điện có thể được mô tả bằng ma trận
A
α
=


−1 1 0
0 −1 1
1 0 −1


,
trong đó các cột của A
α
tương ứng với điện thế, điện trở và điện
dung nhánh. Các hàng biểu diễn các nút của mạng điện mà -1 và 1
chỉ ra các nút đã được nối bởi nhánh đang xét (có dòng điện vào và
dòng điện ra). Do đó A
α
thể hiện sự phân cực tại mỗi nhánh.
Hình 1.4: Một mạch điện đơn giản
Theo cấu trúc mạng điện, các hàng của A
α
là phụ thuộc tuyến
tính. Điều này cũng được thể hiện trên ma trận A
α
. Thật vậy, kí
hiệu a
1

1
+ c
2
a
2
+ c
3
a
3
= 0 ⇔ c
1
(−1, 1, 0) + c
2
(0, −1, 1) + c
3
(1, 0, −1) = 0
⇔



−c
1
+ c
3
= 0
c
1
− c
2
= 0

.
Sau khi xóa một hàng (hàng thứ 3), các hàng còn lại (hai hàng đầu)
mô tả tập các phương trình độc lập tuyến tính. Nút tương ứng với
hàng bị xóa sẽ được ký hiệu là nút tiếp đất (the ground node). Ma
trận
A =

−1 1 0
0 −1 1

được gọi là ma trận tới (the incidence matrix). Bây giờ ta có thể mô
tả các định luật vật lý cơ bản theo ma trận tới A. Ký hiệu i và v
tương ứng là vectơ cường độ dòng điện nhánh và hiệu điện thế, vectơ
e là điện năng (potential) của nút. Tại mỗi nút, điện năng của nút
chính là hiệu điện thế của nó tương ứng với đất. Ta có
• Định luật bảo toàn cường độ dòng điện Kirchhoff (KCL): Tại mỗi
nút, tổng của tất cả cường độ dòng điện bằng 0 ⇒ Ai = 0.
• Định luật bảo toàn điện thế Kirchhoff (KVL): Trong mỗi chu
trình tổng của tất cả điện thế bằng không ⇒ v = A
T
e.
Đối với mạch trong Hình 1.4 KCL và KVL tương ứng được viết là
− i
V
+ i
G
= 0, −i
G
+ i
C

Cuối cùng ta có
v
V
= v(t) (1.22)
cho các nguồn độc lập được coi là tín hiệu đầu vào điều khiển hệ.
Hệ gồm ba phương trình (1.19), (1.20) và (1.21) được gọi là một bảng
17
thưa (spare tableau.)
Từ hệ gồm các phương trình
−i
V
+ i
G
= 0,
i
G
= Gv
G
,
v
G
= e
1
− e
2
,
suy ra
− i
V
+ G(e

V
+ G(e
1
− e
2
) = 0
−G(e
1
− e
2
) + C
de
2
dt
= 0
−e
1
= v









(1.26)
⇔






e
1
e
2
i
V


=


0
0
v


(1.27)
Phương trình (1.27) có dạng (1.3) và thể hiện các tính chất đặc
thù của phương trình vi phân đại số (1.3):
1. Chỉ cần một vài tọa độ vectơ x = (e
1
, e
2
, i
V
)

. Vì ở đây ta có ràng buộc đại số x
1
= e
1
= −v
18
nên phương trình có nghiệm chỉ khi −x
10
= v(t
0
), còn x
20
= e
2
hoặc x
30
= i
v
có thể bất kì.
Từ hệ phương trình thứ ba của hệ (1.26) ta có −e
1
= v. Thay vào
phương trình thứ hai của hệ (1.26) ta được
e

2
(t) =
de
2
dt

(t)).
Một đặc trưng quan trọng nữa phân biệt phương trình vi phân đại số
với phương trình vi phân thường là quá trình giải thường liên quan
đến phép lấy đạo hàm hơn là phép lấy tích phân. Điều này được giải
thích trong ví dụ tiếp theo.
Một ví dụ khác
Hình 1.5: Một mạch điện đơn giản khác
19
Nếu ta thay điện thế nguồn không phụ thuộc thời gian trong Hình
1.4 bằng cường độ dòng điện nguồn i
I
= i(t) và tụ điện bằng một
cuộn cảm với độ tự cảm L, ta thu được mạnh điện trong Hình 1.5.
Bây giờ bảng thưa được viết
− i
I
+ i
G
= 0, −i
G
+ i
L
= 0,
v
I
= −e
1
, v
G
= e

− e
2
) + i
L
= 0
D
di
L
dt
− e
2
= 0
(1.29)
Nghiệm được cho bởi
i
L
= i(t),
e
2
= L
di
L
dt
= L
di(t)
dt
,
e
1
= e

i) Cho P là một phép chiếu. Khi đó ta có kerP ⊕ imP = R
n
.
Thật vậy, với mỗi x ∈ R
n
, viết x = x −P(x) + P(x). Ta có
P (x − P (x)) = P (x) − P
2
(x) = P (x) −P(x) = 0.
Suy ra x − P (x) ∈ kerP . Do đó x ∈ kerP + imP , suy ra
kerP + imP = R
n
.
Hơn nữa, nếu x ∈ kerP ∩ imP thì x ∈ imP , tức là tồn tại y ∈ R
n
sao cho x = P (y) và x ∈ kerP , hay P (x) = 0. Suy ra x = P (y) =
P
2
(y) = P (x) = 0. Vậy kerP ∩ imP = {0}. Do đó
kerP ⊕ imP = R
n
.
ii) Với mỗi phân tích không gian R
n
thành tổng trực tiếp hai không
gian con, R
n
= U ⊕ V, tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho
imP = U và kerP = V . Ánh xạ P được gọi là phép chiếu lên U dọc
theo V .

n
sao cho P(u
i
) = u
i
với mọi i = 1, 2, , k và
P (u
j
) = 0 với mọi j = k + 1, , n.
Ánh xạ P tồn tại duy nhất.
Thật vậy, giả sử {e
1
, e
2
, , e
n
} là hệ vectơ cơ sở trong không gian R
n
21
và {e

1
, e

2
, , e

n
} là hệ vectơ cơ sở trong không gian R
n

.
.
.
.
P (e
n
) = c
n1
e

n
+ + c
nn
e

n
.
Áp dụng cho hai không gian U và V ta được ma trận đại diện của
ánh xạ P
A =




















Vì ma trận A là duy nhất nên ánh xạ P là duy nhất.
Hơn nữa u ∈ R
n
: u =

n
i=1
c
i
u
i
⇒ P u =

n
i=1
P c
i
u
i
=


c
i
P (u
i
) =

k
i=1
c
i
u
i
= P (u). Vậy P
2
= P , do đó P là một phép chiếu.
Rõ ràng imP = U và kerP = V . Thật vậy,
imP = {y ∈ R
n
|y = P x} = {(x
1
, , x
k
, 0, , 0)} = U;
kerP = {x ∈ R
n
|P (x) = 0} = {(0, 0, , x
k+1
, , x
n
)} = V.


(t) + F x(t) = q(t), t ∈ J, (2.1)
với E, F ∈ L(R
m
), x ∈ R
m
, q ∈ R
m
.
Xét chùm ma trận λE + F . Cặp ma trận (E, F) được gọi là cặp
ma trận chính quy hay chùm ma trận chính quynếu tồn tại λ sao cho
det(λE + F ) = 0.
Định lý 2.1.1 (Weierstrass 1868, Kronecker 1890, xem, thí dụ [4]).
Giả sử (E, F ) chùm ma trận chính quy. Khi đó tồn tại hai ma trận không
suy biến U và V sao cho
23
UEV =


I 0
0 N


, UF V =


C 0
0 I







và C giả thiết có dạng khối Jordan.
Chứng minh. [5] Do (E, F ) là chính quy nên tồn tại một số c sao cho
cE + F khả nghịch. Nếu ta nhân λE + F = cE + F + (λ − c)E) với
nghịch đảo của cE + F và khi đó phép biến đổi (cE + F )
−1
E có dạng
khối Jordan chính tắc, từ Định lý I.12.2 trong [5] ta có


I 0
0 I


+ (λ + c)


J
1
0
0 J
2


(2.3)
Ở đây, J
1

+ λ


I 0
0 J
2
(I − cJ
2
)
−1


Các ma trận J
−1
1
(I −cJ
1
) và J
2
(I −cJ
2
)
−1
có thể đưa về khối Jordan
chính tắc. Vì tất cả các giá trị riêng của J
2
(I − cJ
2
)
−1

1
, . . . , J
ρ
v
, N
σ
1
, . . . , N
σ
w
),
(2.4)
trong đó L
ε
i
là một khối đường chéo cấp ε
j
× (ε
i
+ 1), ε
j
∈ N
0
,
λ




0 1

η
j
là khối đường chéo cấp (η
i
+ 1) × η
j
, η
j
∈ N
0
,
λ







1
0
.
.
.
.
.
.
1
0



; (2.6)
J
ρ
j
là khối Jordan cấp ρ
j
× ρ
j
, ρ
j
∈ N, λ
j
∈ C,
λ







1
.
.
.
.
.
.
1





; (2.7)
N
σ
j
là khối lũy linh cấp σ
j
× σ
j
, σ
j
∈ N,
λ







0 1
.
.
.
.
.
.






. (2.8)
Xét phương trình (2.1). Giả sử U và V là các ma trận nói trong
Định lí 2.1, ta giải (2.1) bằng cách đổi biến
x(t) = V

u(t)
v(t)

,
25