1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
nhà trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học và các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,
người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày tháng năm 2012
Tác giả Trương Mỹ An Ngọc

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và
YXT

:
là toán tử phi
tuyến tính và f

Y. Xét phương trình
Tu = f (1)
Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trên không gian định
chuẩn.
Có thể nói phương trình toán tử dạng: Tu = f là có một nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi toán tử T là toán tử khả nghịch và trong trường hợp này nghiệm là
u =
fT
1
. Vấn đề đặt ra là tìm điều kiện để phương trình giải được và có
nghiệm duy nhất.
Trong trường hợp tìm nghiệm giải tích từ phương trình (1) là rất khó hoặc
không thể tìm được thì người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ. Một trong
những phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ là phương pháp chiếu. Nhờ có phương
pháp chiếu, phương trình toán tử giải trong không gian vô hạn chiều được đưa
về giải một dãy các phương trình toán tử trong không gian hữu hạn chiều.
Nghiệm của phương trình toán tử trong không gian hữu hạn chiều cho ta một

vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. 6. Đóng góp đề tài

Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp chiếu.
Trình bày về một số phương pháp chiếu giải xấp xỉ phương trình tích phân
Fredholm, và bài toán biên của phương trình vi phân thường.
Ví dụ về phương pháp giải xấp xỉ vào phương trình vi phân thường. 5

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 1
LỜI CAM ĐOAN 2
MỞ ĐẦU 3
MỤC LỤC 5
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 6
1.1. Một số khái niệm về không gian, không gian con hữu hạn chiều, không gian
Banach, không gian Hilbert 6

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X khác rỗng cùng với
một ánh xạ d từ tích Descartes X

X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề
sau đây:
1,
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0 ,
x y X d x y d x y x y
     
(tiên đề đồng nhất);
2,
( , ) ( , ) ( , ),
x y X d x y d y x
  
(tiên đề đối xứng);
3,
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
x y X d x y d x z d z y
   
(tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x
và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề
metric.
Không gian metric được kí hiệu là M = (X,d).
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X,d). Một tập hợp con bất kì
0
X

khác rỗng của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric.
Không gian metric

      
7

Kí hiệu:
0
lim
n
n
x x


hay
)(
0
 nxx
n

Điểm
0
x
còn được gọi là giới hạn của dãy
)(
n
x
trong không gian M.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric M = (X,d) gọi là tách được nếu tập X
chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian M.

Số
x
gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Cho không gian vecto
2
l
. Đối với vecto bất kì
2
( )
n
x x l
 
ta đặt

2
1n
x x




. (1.1)
Từ công thức
),(

xdx 
và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1) cho một

đóng trong không gian X, thì
0
X
gọi là không gian con đóng của không gian X.
Định nghĩa 1.1.8. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.1.9. Ta gọi một tập H khác

gồm những phần tử x, y, z,…nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1, H là không gian tuyến tính trên trường P;
2, H được trang bị một tích vô hướng (. , .); và H là không gian tiền Hilbert.
3, H là không gian Banach với chuẩn
( , ), .
x x x x H
 

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con của không gian H.
Ví dụ 1.2. Kí hiệu R
k
là không gian vectơ thực k chiều. Với
k
n
Rxx  )(
,


1 2,
, , , ,

k
n n
n
x x x x x x R

   

.
Trùng với chuẩn



k
j
j
xx
1
2
đã biết trong không gian R
k
. Nên không gian vectơ
thực R
k
cùng với tích vô hướng (1.2) là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X. Dãy


n
x X


9

Định nghĩa 1.11. X là không gian định chuẩn


n
x
là một dãy, nếu
n
x x

tiến
đến 0 khi
n
 
thì ta nói
n
x
hội tụ mạnh đến x.
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là không gian lồi địa phương được chứa trong không
gian lồi địa phương Y. Ánh xạ
:
I X Y

thỏa mãn điều kiện:

.
I x x

với

H
.
Chứng minh. Đặt
0
inf
u H
d x u

 
theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại một dãy
phần tử


0
n
u H

sao cho
lim
n
n
x u d

 
. Ta có

2
2 2 2
2 2 4
2

Do đó
,
lim 0
n m
n m
u u

 
.
Do H là không gian Banach và tính đóng của không gian con
0
H
ta được
0
lim
n
n
u y H

 
, nghĩa là 10lim
n
n
x y x u d

  
và

     
2
2
2
w ,
, , ,
c c c
d x x y v z v z v
v v v v v v
 
       
 
 
    
 
 
 
2
2 2
2
2
.
,
, , ,

tục F xác định trên toàn không gian X sao cho:
1, F(x) = f(x),


0
x X
 
,
2,
0
X X
F f

.
2.1 Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn, không
gian Hilbert.
Định nghĩa 2.1. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P là
trường số thực hoặc trường số phức C ). Ánh xạ A đi từ không gian X vào không
gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện sau:
1,
( , ' )
x x X
 
( ') '
A x x Ax Ax
  
,
2,
( )( )
x X P


C
nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.3)
gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là
A
.
Định lí 2.1. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng.
F(x) = (x,a) ,
Hx


Trong đó phần tử
Ha

được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

af 
.

12

P
:
n
X X

và

n
Q
:
n
Y Y

tương ứng, ta sử dụng ánh xạ
n
Q
:
n
Y Y

để xác định một dãy toán
tử
nnn
YXT :
bởi

n
n n
X
T Q T


:
{ , , , }
n n n n n
X P Y Q
 
.
Để có thể định nghĩa sơ đồ xấp xỉ là hiệu quả và có ích, ta phải bàn đến một
số vấn đề quan trọng sau: 13(1) Phương trình xấp xỉ (2.3) có một nghiệm (duy nhất) với mỗi n không?
(2) Nếu mỗi phương trình (2.3) có một nghiệm
n
u
thì dãy nghiệm
}{
n
u
có hội tụ
không?
(3) Với giả thiết nếu dãy nghiệm
}{
n
u
hội tụ thì giới hạn của nó có là nghiệm
chính xác của phương trình (2.1) không?

n

, nếu
lim
n


n
X
u u

= 0.
Một dãy
Xu
n

gọi là hội tụ yếu tới
,
u X

kí hiệu
n
u
w

u, nếu

lim
n


u X n N
  
, và dãy
}{
n
u
là hội tụ mạnh (yếu) đến
,
u X

ở đó u là nghiệm duy
nhất của (2.1).
Định nghĩa 2.1.3. Phương trình toán tử (2.1) gọi là giải được xấp xỉ theo nghĩa
mạnh (yếu) theo sơ đồ xấp xỉ
n

, nếu tồn tại một số nguyên N > 0 sao cho
phương trình toán tử
,
n n n n n
T u Q f u X
 
, n = 1,2,3,… có một nghiệm
nn
Xu 
,
Nn


và dãy

Điều kiện này nói rằng hợp của một dãy
}{
n
X
là trù mật khắp nơi trong X.
Điều kiện này sẽ được nghiên cứu ở chương sau.
Phần lớn sơ đồ xấp xỉ, toán tử
n
P
và
n
Q
được giới thiệu ở trên là toán tử
tuyến tính. Nếu
n
P
:
n
X X

và
n
Q
:
n
Y Y

là phép chiếu tuyến tính thì tương
ứng với sơ đồ xấp xỉ, ta có phương pháp chiếu số và sơ đồ đó gọi là thuật toán
chiếu xấp xỉ.

và
nn
YYQ :
là
toán tử nội suy được định nghĩa bởi:




n
i
iin
xxyxyQ
1
)()())((

,
ở đây
1 2
, , , ,
n
x x x x

,
Yxy

)(
và
}, ,{
1 n
i
i
xx
xx
n
fuT



,
1, , .
i n

(2.5)
Phương pháp này gọi là phương pháp Collocation.
(iv) Nếu X và Y là không gian Hilbert với tích vô hướng
.,.
,

1
{ , , }
n n
X span
 

và
1
{ , , }

YXM

:
đây là phương pháp moment. Mặt khác nếu
:
T X Y

là toán tử
tuyến tính và
i i
T
 

, i = 1,2,3,…, khi đó ta có phương pháp xấp xỉ trung bình
phương nhỏ nhất vì trong trường hợp này điều kiện ở (2.6) tương đương với cực
tiểu hóa.

min
n n
u X


n
Y
Tu f

.
Hơn nữa, nếu X = Y và
i i
 



n

(ii) Hợp của một dãy
}{
n
X
là trù mật trong X:
XX
n
n




1
; 16 (iii)
}{
n
P
là bị chặn đều, nghĩa là tồn tại hằng số c sao cho
n
P

(a) Điều kiện (iv)

điều kiện (ii);
(b) Điều kiện (iv)

điều kiện (iii); và
(c) Các điều kiện (i), (ii) và (iii)

điều kiện (iv).
Chứng minh . Trước tiên, ta có
1
n
n
X X



U
. Khi đó, từ
n
P
là toán tử chiếu, nên
mọi
Xx

, ta có
1
n n n
n
P x X X

x
với
nn
Xx 
,
, 3,2,1


n
,
sao cho
lim 0.
n
X
n
x x

 

Thật vậy, từ điều kiện (iii) ta có
n n n n
X X X
P x x P x x x x
    



n n n
X
P x x x x

Xx



Chọn
,0 ,1 ,
{ , , },
n
n n n n m
X span e e e

ở đây
, ,
( ), 0,1,2, ,
n k n k n
e e t k m
 
, gồm một cơ sở gồm các hàm hàm tuyến tính B -
spline được định nghĩa trên phân hoạch
,0 ,1 ,
:
n
n n n m
n
a t t t b
    

.
Giả sử rằng phép phân hoạch thỏa mãn
1

0
( ) ( ) ( ),
n
m
n n k n k
k
P x t x t e t




x X
 

Thế thì rõ ràng
nn
PP 
2
và
n
P
là toán tử tuyến tính bị chặn:

,
0
sup ( ) ,
n
m
n n k
a t b
18Ví dụ 2.1.2. Cho D là toán tử đạo hàm,
),(
1
baHX 
là không gian Sobolev cấp
một và được định nghĩa bởi


1
),( ba
H
{ x(t) / x(t) liên tục tuyệt đối trên [a,b]
[Dx](t) là hàm bình phương khả tích tuyệt đối trên (a,b) }
Với tích vô hướng

 
1
1
, ( ) ( ) [ ]( )[ ]( ) , , ( , )
b
H
a
x y x t y t Dx t Dy t dt x y H a b
     


1
baHtx 
thỏa mãn
],[
)(
ba
Ctx 
với
1
H
x c x


.
trong đó hằng số c > 0 không phụ thuộc
),()(
1
baHtx 
.Như vậy, toán tử chiếu
}{
n
P
là xác định khắp nơi trên H
1
(a,b). Do đó, với bất kì
),(
1
baHh
, từ công thức
(2.7) ta được.

),(
1
baHf 
, ta đặt


1
, ,
( ) ( , ) ( ) ( ), 0,1, ,
f n k n k n
V h t H a b h t f t k m
   
,
và đặc biệt với f = 0

1
0 ,
{ ( ) ( , ) ( ) 0 , 0,1, , }
n k n
V h t H a b h t k m
   
.
Do đó ta có

2 2
2 2
[ ] inf
f
n
L L

H L H
L
Pf P f D P f c f
   
.
Điều đó chứng tỏ rằng dãy
}{
n
P
là bị chặn đều và điều kiện (iii) cũng được
thỏa mãn.
Tiếp theo do dãy
}{ fP
n
là bị chặn trên H
1
(a,b), cho nên tồn tại một dãy con
hội tụ yếu
{ }
j
n
P f
sao cho

1
( , ) ( )
j
w
n
P f f H a b j

vi liên tục đến cấp hai trên [a,b], do đó từ công thức (2.10) và tích phân từng
phần ta có
22
2
,)]()[()]()[(],[
L
n
L
n
gDfPaDgafbDgbfDgfPD
jj
2
2
,)]()[()]()[(
L
gDfaDgafbDgbf 2
, ( ).
L
Df Dg j
  

Do vậy, công thức (2.10) và (2.13) cùng có giới hạn nói trên ta có
1
1

),(),(:
2
1
baLbaHD 
. Do đó

1
2
* 1
2
, , , ( , ) ( , )
L
H
Df g f D g f H a b và g L a b
    
.
Từ (2.14) ở đó bất kì
1
( , ),
g H a b

ta có

1
2
*
,,
H
n
L

*
,
,
, ( ),
n n
L L
n
H
L
H
DP f DP f Df
P f D Df
f D Df Df n


   

khi đó

2
2
n
L
DP f Df

21




nn
PX ,
thỏa mãn điều kiện (iv). Do đó điều kiện (ii) cũng được
thỏa mãn.
Chú ý rằng đây là ví dụ có thể dễ dàng mở rộng cho đẳng thức nội suy bậc
cao bởi các hàm spline. Hơn nữa, ai cũng biết đa thức nội suy Lagrange và đa
thức lượng giác cũng có thể được sử dụng để định nghĩa toán tử chiếu.

2.2. Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (II).
Nhiều phương trình toán tử trong toán giải tích được đưa ra từ phương trình
Tu = f ,
*
Xf 
(2.15)
ở đây
*
X
là không gian đối ngẫu của không gian Banach X và toán tử
* *
: .
T X X

Trong trường hợp sơ đồ phương pháp xấp xỉ
{ , ; , }
n n n n n
X P Y Q
 


được định nghĩa như sau:

*
( , ) ( , ),
n n
g P l P g l g X
  
và
*
l X
 
.Kí hiệu: (g, l) là giá trị của phiếm hàm tuyến tính l tại điểm
g X

với
*
,
l X

g X

. Phương trình toán tử (2.1) được thay thế bởi (2.15), và bài toán
xấp xỉ (2.2)- (2.3) tương ứng trở thành: Tìm
nn
Xu 
sao cho


,
nn
PY
, dãy
này được sinh ra bởi
},{
nn
PX
ta kí hiệu đơn giản sơ đồ phương pháp xấp xỉ bằng


,
n n n
X P
 
.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử
n
X
là không gian con N chiều của không gian Banach X,
:
n n
P X X

là toán tử chiếu và
* *
.
n n
Y P X


là delta Kronecker. Có thể chứng minh rằng


* *
1
, ,
n n N
P l P l
là một cơ sở
của
n
Y
. Trước tiên, ta thấy rằng chúng là hệ độc lập tuyến tính. Thật vậy, cho
N
aa , ,
1
là hằng số sao cho
*
1
, 0,
N
i n i
i
g a P l

 

 
 


N
aa

Tiếp theo, với bất kì
*
,
n
l Y l X
  
%
sao cho
*
n
l P l

%
, với mọi
Xg

, đặt



N
i
iin
gbgP
1
.
Khi đó, ta có

 
 

 
 
 
%   
 
1
, , ,
N
i i n
i
b g l P g l g l

  

% %
,
do đó

 
*
1
,
N
i n i



và


*
( ) ,
n n
N P R P



trong đó




*
0,
M l X l g g M X

     
.
Tiếp theo ta xét bài toán: Nếu dãy


nn
PX ,
thỏa mãn tất cả bốn điều kiện (i)-(iv)
ở mục 2.1, thì dãy

, nếu
m
n

. Hơn nữa, giả sử
* *
.
n n
Y P X

Khi đó với các điều kiện
dưới đây.
(a)
, 2,1,
1


nXX
nn
, và
(b)
n
P
là hội tụ từng điểm đến toán tử đồng nhất I trên X,
ta có


*
1
n n

P P P

,
n m

. Thật vậy, ta có
mn
YY 
nếu
m
n

.
Khi đó, do X là phản xạ , nếu
*
1
XY
n
n




,
thì,
, 0
g X g
  
, sao cho
 

n
bởi điều kiện
(b), nghĩa là g = 0 (mâu thuẫn). Do đó ta phải có
*
1
XY
n
n




.
Khi đó, sử dụng mệnh đề 2.1.1. có thể thấy rằng


*
n
P
hội tụ đến
*
I
từng điểm
trên
*
X
.
Cuối cùng trong mục này, ta xét trường hợp X là không gian Hilbert, theo
một kết quả đã biết nếu



25 Bây giờ, giả sử rằng không gian Hilbert X có một dãy không gian con hữu
hạn chiều
}{
n
X
thỏa mãn điều kiện (i), (ii), nghĩa là,
1
, 1, 2,
n n
X X n

  
và
1
n
n
X X



U
.
Đối với các toán tử chiếu trực giao
:
n n
P X X

n
P
hội tụ từng điểm đến toán tử đơn vị I trên X.
Khi đó sơ đồ phương pháp xấp xỉ
n

với phép chiếu toán tử trực giao, được
gọi là sơ đồ phép chiếu xấp xỉ trực giao. Rõ ràng là mọi không gian Hilbert tách
được đều có sơ đồ phép chiếu xấp xỉ trực giao.

2.2.1 Các ví dụ về phương pháp chiếu xấp xỉ.
Trong mục này, ta sử dụng bài toán biên hai điểm làm ví dụ về việc đưa bài
toán của phương trình vi phân thường về dạng phương trình toán tử và sau đó là
giải bằng phương pháp chiếu xấp xỉ.
Xét bài toán biên

" ( ) ( ), 0 1
u q x u f x x
    
(2.19)

(0) 0, (1) 1.
u u
 
(2.20)
Với
' ,
du
u
dx