BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
TRƯƠNG HÀ HẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số : 62.46.30.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn khoa học
1. GS.TS Đặng Quang Á
2. TS. Vũ Vinh Quang
HÀ NỘI - 2013

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng. Vấn
đề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vẫn luôn là một trong những vấn đề được quan
tâm nhất trong toán học tính toán, đặc biệt khi hệ số không trơn (gián đoạn trên một mặt phân
cách nào đó) hoặc điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumann
đều xuất hiện và chuyển đổi tại một hay nhiều điểm trên biên). Mặc dù đã có rất nhiều công trình
nghiên cứu lời giải gần đúng cho các bài toán hệ số gián đoạn và điều kiện biên hỗn hợp mạnh
bằng các phương pháp khác nhau, đây vẫn là một vấn đề được các nhà khoa học quan tâm. Các
lược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, các phương pháp xấp xỉ biên, đều trở nên phức
tạp hơn khi phải chú ý đến mặt gián đoạn hay sự chuyển đổi của các điều kiện biên. Mặt khác các
cấu trúc của hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ không còn đẹp đẽ như các trường hợp hệ số liên
tục hay điều kiện biên đơn giản. Khi đó độ phức tạp của thuật toán tăng đáng kể. Trong khoảng 3
thập kỷ gần đây, một hướng tiếp cận mới được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm và có thể giải
quyết tốt vấn đề giải số lớp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn. Đó là phương pháp
chia miền với ý tưởng chính là đưa bài toán phức tạp trên miền lớn về các bài toán đơn giản hơn

Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu về phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuật
lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp song
song giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải bài toán cỡ lớn trên các
hệ thống tính toán song song.
Chương 3: Trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương
trình và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp
mạnh. Giải gần đúng bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra, thử nghiệm bằng các chương trình cài đặt
trong môi trường Matlab 8.0.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Phần này giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ sở được tham khảo từ các cuốn sách của
các tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni và Rectorys:
• Không gian Sobolev: Các khái niệm và định nghĩa về miền Lipschitz, không gian Sobolev, định
lý vết, bất đẳng thức Poincare, công thức Green.
• Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa: Phát biểu các bài
toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất và các công thức yếu tương ứng.
Trình bày về toán tử song điều hòa, phương trình song điều hòa và các loại điều kiện biên.
• Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử, định lý
cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp.
1.2 Kết quả bổ trợ
Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ
đầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu
trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số. Trên cơ sở của phương
pháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev, trong phần này giới thiệu tóm tắt về các
kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009. Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việc
cài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3. Các kết quả xây dựng thư viện
chương trình đã được công bố trong công trình [6].
Kết luận. Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, các khái niệm

với biên ∂Ω, hệ số k(x) = (k
1
(x), k
2
(x)) là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω. Sự tồn
tại và duy nhất của nghiệm yếu u ∈ H
1
0
của bài toán Dirichlet (2.1.1) đã được đưa ra trong sách
của Gilbarg và Trudinger.
2.1.2. Một số hướng tiếp cận
Để giải bài toán mặt phân cách, một số các phương pháp khá hiệu quả đã được nghiên cứu như:
Các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp sử dụng các phép nhúng, Phần này trình bày
một phương pháp giải bài toán mặt phân cách trên cơ sở phát triển phương pháp chia miền kết
hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm trên các biên phân cách, từ đó đưa
bài toán mặt phân cách trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán con
trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục. Sự hội tụ của phương pháp đã
được chứng minh bằng lý thuyết và được thử nghiệm qua nhiều ví dụ. Kết quả này đã được công
bố trong công trình [1].
2.1.3. Phương pháp lặp
Phát biểu bài toán
Xét bài toán
Lu := −
∂
∂x
1

k
1
(x)

, (2.2.2)
u = ϕ, x ∈ ∂Ω, (2.2.3)
4
trong đó x = (x
1
, x
2
), Ω là miền giới nội trong R
2
với biên ∂Ω, các hệ số k
1
(x) và k
2
(x) gián đoạn
qua mặt phân cách Γ, kí hiệu [u]
Γ
là bước nhảy của u qua mặt phân cách, ∂u/∂ν
L
là đạo hàm theo
hướng của u gắn với toán tử L được xác định bởi công thức
∂u
∂ν
L
= k
1
∂u
∂x
1
cos(n, x
1

, f
i
= f |
Ω
i
k
1i
= k
1
(x), k
2i
= k
2
(x), x ∈ Ω
i
, i = 1, 2 và ký hiệu n
i
là pháp tuyến ngoài
của Γ so với Ω
i
. Khi đó đạo hàm pháp tuyến của u
i
trên Γ là
∂u
i
∂ν
L
i
= k
1i

1
/∂ν
L
1
trên biên Γ.
(i) Xuất phát từ một giá trị xấp xỉ g
(0)
trên Γ, ví dụ, g
(0)
= 0 trên Γ.
(ii) Biết g
(k)
, (k = 0, 1, 2, ) trên Γ, giải lần lượt hai bài toán
Lu
(k)
1
= f
1
trong Ω
1
,
u
(k)
1
= ϕ trên Γ
1
,
∂u
(k)
1

(2.2.7)
(iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới
g
(k+1)
= (1 −τ)g
(k)
− τ
∂u
(k)
2
∂ν
L
2
+ τψ
2
, (2.2.8)
trong đó τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn.
Nghiên cứu sự hội tụ
Giả thiết về tính trơn của các dữ kiện như sau: f
i
∈ L
2
(Ω
i
), (i = 1, 2), ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω), ψ
1
∈
H

∈ H
−1/2
(Γ). Giả sử bài toán mặt phân cách
5
(2.2.1)-(2.2.3) có nghiệm duy nhất u và u
i
= u|
Ω
i
∈ H
1
(Ω
i
, L).
Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp, ta viết lại công thức (2.2.8) dưới dạng
g
(k+1)
− g
(k)
τ
+ g
(k)
+
∂u
(k)
2
∂ν
L
2
= ψ

i
tác động lên hàm ξ bởi công thức S
i
ξ = ∂v
i
/∂ν
i
, (i = 1, 2) trong đó v
i
là
nghiệm của bài toán
Lv
i
= 0 trong Ω
i
,
v
i
= 0 trên Γ
i
,
v
i
= ξ trên Γ.
(2.2.15)
Các toán tử này là các toán tử Steklov-Poincare, v
i
là sự mở rộng toán tử L của ξ từ Γ tới Ω
i
. Ta

∂ν
i
= η trên Γ.
(2.2.17)
Với cách định nghĩa toán tử như trên ta thu được e
(k)
1
= S
−1
1
ξ
(k)
, S
2
e
(k)
1
= ∂e
(k)
2
/∂ν
L
2
. Do đó, có
thể viết công thức (2.2.13) dưới dạng (ξ
(k+1)
− ξ
(k)
)/τ + ξ
(k)

e
(k+1)
1
= (I − τB) e
(k)
1
, (2.2.20)
trong đó B = I+S
−1
1
S
2
. Để thiết lập sự hội tụ của quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8), hoặc sơ đồ lặp tương
đương (2.2.20) ta xét toán tử B trong một không gian hàm thích hợp. Toán tử S
i
, (i = 1, 2) tác
động giữa không gian H = H
1/2
00
(Γ) = {v |
Γ
: v ∈ H
1
0
(Ω)} và không gian đối ngẫu H

= H
−1/2
00
(Γ).

2
∂(L
i
η)
∂x
2

dx, ∀ξ, η ∈ H. (2.2.22)
Trong trường hợp, nếu S
i
ξ ∈ L
2
(Γ) ta có S
i
ξ, η
H

,H
= (S
i
ξ, η)
L
2
(Γ)
. Do đó, S
i
là đối xứng
và xác định dương (trong 2.2.3). Vì vậy, S
1
ξ, η

(I + S
−1
1
S
2
)ξ, η

H

,H
= S
1
ξ, η
H

,H
+ S
2
ξ, η
H

,H
.
Vì S
1
và S
2
là đối xứng, toán tử B là đối xứng. Hơn nữa, giả sử khi chia Ω thành hai miền con
Ω
1

(k)
i
→ u
i
trong H
1
(Ω
i
) khi k → ∞. (2.2.30)
Như vậy, giới hạn của nghiệm xấp xỉ được tính bởi quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8) chính là nghiệm
của bài toán (2.2.1)-(2.2.3). Theo Samarskii giá trị tối ưu τ trong quá trình lặp(2.2.20) là
τ
opt
=
2
2 + m + M
(2.2.32)
Giá trị này của τ thỏa mãn đánh giá



e
(k)
1



Γ



1/2
(Γ)
, từ (2.2.28) ta thu được



e
(k)
i



H
1
(Ω
i
)
≤ Cρ
k



e
(0)
1



Γ


1
= r, 0  x
2
 b}, 0 < r < 1. Các hệ số a(x) = 0 và k
1
(x), k
2
(x) được
cho như sau
k
1
(x) =



k
11
, x ∈ Ω
1
k
12
, x ∈ Ω
2
, k
2
(x) = 1, x ∈ Ω
trong đó k
11
, k
12

k
12





.
7
2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm
Ví dụ 2.1.3. Xét bài toán trong miền Ω = [0, 1] × [0, 1] biết nghiệm đúng là
u (x
1
, x
2
) =

(x
2
1
+ 1) e
x
2
trong Ω
1
= [0, r] × [0, 1] ,
(x
2
1
+ x

bước lặp với sai số so với nghiệm đúng là 10
−4
. Đồ thị nghiệm xấp xỉ được cho trong Hình 2.7. Kết
quả này tương tự như kết quả mà các tác giả Seyidmamedov và Ozbilge đã tìm được bằng phương
pháp sai phân trên lưới không đều.
Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp lặp được đề xuất để giải bài toán mặt phân cách
với mục đích đưa bài toán mặt phân cách về một dãy các bài toán trên các miền con đã chứng tỏ
được một số ưu điểm: Có thể tận dụng được những thuật toán với độ chính xác cao có sẵn để giải
các bài toán con này, sự hội tụ nhanh của phương pháp cũng đã được chứng minh và kiểm tra qua
các ví dụ thử nghiệm. Hơn nữa, phương pháp lặp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán bao
gồm các hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con và mỗi bài toán
8
Hình 2.6. Miền Ω với lớp cách nhiệt Ω
δ
.
Hình 2.7. Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài
toán trong môi trường 3 lớp không đồng
nhất.
bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần mềm hiệu quả có sẵn.
2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình
elliptic
Phần này trình bày một phương pháp lặp song song mới đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về
một dãy các bài toán hỗn hợp yếu, dễ giải. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh và
các thử nghiệm tính toán cũng được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp. Kết quả đã
được công bố trong công trình [4].
2.2.1. Mô tả phương pháp
Trong miền chữ nhật Ω = {(x
1
, x
2

N
.
(2.3.1)
trong đó L là toán tử elliptic
Lu ≡ −
∂
∂x
1

a
1
(x)
∂u
∂x
1

−
∂
∂x
2

a
2
(x)
∂u
∂x
2

,
a

1
, u
2
), với u
i
là nghiệm trong miền Ω
i
, ν
i
là pháp tuyến ngoài của ∂Ω
i
,
(i = 1, 2). Bài toán (2.3.1) giải được nếu tìm được ∂u
1
/∂ν
1
trên Γ. Đặt ∂u
1
/∂ν
1
= ψ trên Γ, khi
đó sơ đồ lặp song song tìm ψ như sau:
(i) Cho trước ψ
(0)
∈ L
2
(Γ), chẳng hạn ψ
(0)
= 0, x ∈ Γ.
(ii) Với mỗi giá trị ψ

,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= ϕ trên Γ
N
,
u
(k)
2
= g trên Γ
D
2
,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= −ψ
(k)
trên Γ,
(2.3.4)
(iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới
ψ
(k+1)
= ψ
(k)

w
1
|
Γ
− w
2
|
Γ
, w
1
và w
2
là nghiệm của các bài toán











Lw
1
= 0 trong Ω
1
,
∂w

2
= 0 trong Ω
2
,
∂w
2
∂ν
2
= 0 trên Γ
N
,
w
2
= 0 trên Γ
D
2
,
∂w
2
∂ν
2
= −h trên Γ.
Mệnh đề 2.2.1. Toán tử B là đối xứng và dương trong L
2
(Γ) và B là một ánh xạ hoàn toàn liên
tục từ L
2
(Γ) vào H
1
(Γ). Tiếp theo, ta đưa bài toán tìm hàm ψ = ∂u

D
) và ϕ ∈ L
2
(Γ
N
). Với các kết quả đã chứng minh ở trên về tính
chất của toán tử B, ta có định lý:
Định lý 2.2.4. Lược đồ lặp (2.3.14) hội tụ trong L
2
(Γ) nếu 0 < τ < 2/ B.
2.2.3. Một trường hợp riêng
Đánh giá ||B|| khi toán tử vi phân L là toán tử Laplace và đặt l
1
= l
2
= 1.
B ≤ γ
2
(a), với γ
2
(a) =
tanh(πa)
π
+
tanh(π(1 − a)/2)
π/2
.
Với bất cứ 0  a  1 thì γ
2
(a)  0.7455. Đánh giá trên của B và Định lý 2.3.4 bảo đảm rằng,

tốc độ hội tụ của cả ba phương pháp là tương đương. Tuy nhiên phương pháp lặp song song có ưu
điểm: cho phép giải các bài toán hỗn hợp mạnh cỡ lớn trên các hệ thống xử lý song song.
2.2.5 Áp dụng giải bài toán Motz. Phương pháp lặp song song được áp dụng giải bài toán
Motz, một bài toán biên hỗn hợp mạnh thường được sử dụng để thử nghiệm các phương pháp giải
số. Kết quả khảo sát dáng điệu đạo hàm khi có sự thay đổi đột ngột các loại điều kiện biên qua
điểm kỳ dị phù hợp với tính chất của các bài toán cơ học trong thực tế.
Kết luận chương 2. Chương 2 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc phát triển phương
pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm, dựa vào tính chất
gián đoạn của hệ số qua mặt phân cách đưa bài toán biên với hệ số gián đoạn về các bài toán đơn
giản hơn trong các miền con có tính chất liên tục. Với bài toán biên của phương trình elliptic với
điều kiện biên hỗn hợp mạnh đã xây dựng được một sơ đồ lặp song song cho phép giải bài toán
biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song. Áp dụng phương pháp giải bài toán Motz và
khảo sát sự kỳ dị xuất hiện tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Sự hội tụ của các phương
pháp lặp đều đã được chứng minh về lý thuyết và trong một số trường hợp riêng đã thiết lập được
công thức tính tham số lặp tối ưu hoặc xác định được khoảng tham số lặp tối ưu. Sự hội tụ của
phương pháp và độ chính xác của nghiệm xấp xỉ còn được kiểm tra qua nhiều ví dụ thử nghiệm.
Các kết quả áp dụng giải một số bài toán mẫu và so sánh với các phương pháp khác cho thấy hiệu
quả của các phương pháp lặp được đề xuất trong chương này. Trên cơ sở những kết quả đã đạt
được, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với các phương pháp khác
cho bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được trình bày trong chương 3.
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp các ý tưởng: hạ cấp phương
trình, chia miền và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hòa với các điều
kiện biên hỗn hợp mạnh, từ đó đưa ra lời giải của hai bài toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem)
và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong (Problems for Plates with Partial Internal
Supports). Các kết quả đã được công bố trong các công trình [2] và [3].
11

= S
A
∪S
C
, Γ
2
= S
B
∪S
D
∪S
E
, S
A
, S
B
, S
C
, S
D
và S
E
là các phần của biên Γ = ∂Ω, ∆ là toán tử Laplace, f và g
i
(i = 0, 2 ) là các hàm cho trước
trong Ω và trên các phần của biên Γ tương ứng.
3.2.2. Mô tả phương pháp
Giả thiết bài toán (3.2.1) có nghiệm duy nhất và đủ trơn. Đặt ∆u = v trong Ω, v|
Γ
1

.
Quá trình lặp tìm ϕ được thực hiện như sau:
(i) Cho ϕ
(0)
∈ L
2
(Γ
1
), ví dụ,
ϕ
(0)
= 0 trên Γ
1
. (3.2.5)
(ii) Biết ϕ
(k)
trên Γ
1
(k = 0, 1, ), giải lần lượt hai bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp
mạnh
∆v
(k)
= f trong Ω,
v
(k)
= ϕ
(k)
trên Γ
1
,

12
(iii) Tính xấp xỉ mới
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
∂ν



Γ
1
− g
1

, (3.2.8)
trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.
3.2.3. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp
Viết sơ đồ lặp (3.2.8) dưới dạng lược đồ lặp hai lớp:
ϕ
(k+1)
− ϕ
(k)
τ
+
∂u

∂ν
= 0 trên Γ
2
.
(3.2.12)
Biểu diễn nghiệm của (3.2.2)-(3.2.3) dưới dạng: u = u
1
+ u
2
; v = v
1
+ v
2
, trong đó u
1
, v
1
thỏa
mãn các bài toán (3.2.11)-(3.2.12) và u
2
, v
2
là các nghiệm của các bài toán Poisson trong Ω. Theo
định nghĩa của toán tử B ta có
Bϕ =
∂u
1
∂ν
trên Γ
1

13
3.2.4. Sơ đồ lặp kết hợp
Để thực hiện phương pháp lặp ở mức rời rạc, giải lần lượt hai bài toán biên hỗn hợp mạnh
(3.2.6), (3.2.7) trong miền Ω. Để giải các bài toán này cần sử dụng phương pháp chia miền trên cơ
sở lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm tại biên phân cách các miền con. Do đó, ta thực hiện
2 vòng lặp: vòng lặp bên trong của DDM với mỗi bài toán bậc hai và vòng lặp ngoài đã được mô
tả trong quá trình lặp (3.2.5)-(3.2.8) để tìm ϕ từ đó tìm u. Chia miền Ω thành hai miền con Ω
1
và
Ω
2
bởi đường thẳng x = 0, ký hiệu biên phân cách hai miền con là S
I
, u
i
= u |
Ω
i
, (i = 1, 2). Để
giảm khối lượng tính toán nhằm tăng tốc độ hội tụ của phương pháp lặp, ta sử dụng quá trình lặp
kết hợp:
Bước 1. Cho trước
ϕ
(0)
= 0 trên S
A
∪ S
C
; ξ
(0)










∆v
(k)
1
= f trong Ω
1
,
v
(k)
1
= ϕ
(k)
trên S
A
,
∂v
(k)
1
∂ν
1
= g
2





∆u
(k)
1
= v
(k)
1
trong Ω
2
,
u
(k)
1
= g
0
trên S
A
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
1
trên S
E









∆v
(k)
2
= f trong Ω
2
,
v
(k)
2
= ϕ
(k)
trên S
C
,
∂v
(k)
2
∂ν
2
= g
2
trên S


∆u
(k)
2
= v
(k)
2
trong Ω
2
,
u
(k)
2
= g
0
trên S
C
,
∂u
(k)
2
∂ν
2
= g
1
trên S
B
∪ S
D
2

∂u
(k)
2
∂ν
2
trên S
I
,
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
i
∂ν
i
− g
1

trên S
A
∪ S
C
, i = 1, 2,
(3.2.31)
trong đó θ, τ là các tham số lặp sẽ được lựa chọn để các sơ đồ lặp trên hội tụ.
Kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.2.28)-(3.2.31) bằng cách: Trước hết tiến hành thử nghiệm

dẫn tới ∂u/∂x =
0, ∂∆u/∂x = 0. Do đó, bài toán có dạng (3.2.1). Quá trình lặp với tham số τ = 1.7 để giải bài
toán trên lưới 65 ×65 nút với độ chính xác 10
−4
hội tụ sau 14 bước lặp. Đồ thị nghiệm xấp xỉ được
chỉ ra trong Hình 3.4. Sử dụng nghiệm xấp xỉ thu được của bài toán Crack, tính đạo hàm bậc hai
Hình 3.3. Bài toán với vết nứt.
Hình 3.4. Đồ thị nghiệm của bài toán
vết nứt.
∂
2
u/∂y
2
trên biên y = 0 biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt. So sánh kết quả này với kết quả tính
đạo hàm bậc hai bằng phương pháp SFBIM với 15 hệ số đầu tiên trong khai triển tiệm cận của
hàm ứng suất Airy gần với đỉnh vết nứt. Các đồ thị tương ứng trong Hình 3.5 cho thấy ứng suất
dọc theo vết nứt thu được bởi hai phương pháp DDM và SFBIM là tương đương.
3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên
Hình 3.5. Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) và
theo SFBIM (bên phải)
trong
3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong
Xét bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong (line partial
internal supports-LPIS) được mô tả trong Hình 3.6 và Hình 3.7. Giả sử bản có tải trọng q được
phân bố đều, các cạnh trên và dưới của bản là ngàm, các cạnh trái và phải là gối tự do. Khi đó mô
hình toán học tương ứng của bài toán là: tìm nghiệm u(x, y) của phương trình song điều hòa:
∆
2
u = f (3.3.1)
15

2
u/∂x
2
= 0 là tương đương với cặp điều kiện u = 0, ∆u = 0. Trong phần tiếp theo
chúng tôi sử dụng các điều kiện biên tương đương dưới dạng u, ∂u/∂ν, ∆u và ∂∆u/∂ν, trong đó
ν là pháp tuyến ngoài của biên.
3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS
Xét bài toán sau
∆
2
u = f trong Ω,
u = g
0
trên S
B
∪ S
D
∪ S
E
,
∂u
∂ν
= g
1
trên Γ \ S
E
,
∆u = g
2
trên S

Giả thiết bài toán (3.3.2) có nghiệm duy nhất và đủ trơn. Ký hiệu Γ
1
= S
B
∪ S
D
. Để đưa bài
toán song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai, ta đặt ∆u = v trong Ω, v |
Γ
1
= ϕ. Khi đó bài toán
(3.3.2) được đưa về dãy các bài toán Poisson với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh như sau
∆v = f trong Ω,
v = ϕ trên Γ
1
,
v = g
2
trên S
E
,
∂v
∂ν
= g
3
trên S
A
∪ S
C
,

1
. (3.3.6)
17
(ii) Biết ϕ
(k)
trên Γ
1
(k = 0, 1, ), giải lần lượt hai bài toán
∆v
(k)
= f trong Ω,
v
(k)
= ϕ
(k)
trên Γ
1
,
v
(k)
= g
2
trên S
E
,
∂v
(k)
∂ν
= g
3

(3.3.8)
(iii) Tính các xấp xỉ mới
ϕ
(k+1)
= ϕ
(k)
− τ

∂u
(k)
∂ν



Γ
1
− g
1

trên Γ
1
, (3.3.9)
trong đó τ là tham số lặp được chọn sau.
Nghiên cứu sự hội tụ. Bằng cách đưa vào toán tử biên B, thiết lập các tính chất đối xứng,
dương, hoàn toàn liên tục của B. Sự hội tụ của phương pháp lặp giải bài toán (3.3.2) được chứng
minh tương tự như phần 3.2.3.
Sơ đồ lặp kết hợp
Chia miền Ω thành hai miền con Ω
1
và Ω

(k)
, ξ
(k)
, η
(k)
, (k = 0, 1, ), giải lần lượt các bài toán sau:
Các bài toán với v
(k)
2
và u
(k)
2



















∂ν
2
= ξ
(k)
trên S
I
,



















∆u
(k)
2
= v

(k)
trên S
I
,
(3.3.23)
18
Các bài toán với v
(k)
1
và u
(k)
1



















trên S
A
,
v
(k)
1
= v
(k)
2
trên S
I
,















∆u
(k)
1

1
= u
(k)
2
trên S
I
,
(3.3.24)
Bước 3. Tính các xấp xỉ mới
ξ
(k+1)
= (1 − θ)ξ
(k)
− θ
∂v
(k)
1
∂ν
1
trên S
I
η
(k+1)
= (1 − θ)η
(k)
− θ
∂u
(k)
1
∂ν

/π
4
D, D được xác định bởi D = Eh
3
/12(1 −σ
2
), h là độ dày của bản, σ và
E là tỷ lệ Poisson và modul Young tương ứng. Quá trình lặp (3.3.22)-(3.3.25) giải bài toán bản với
một LPIS trong miền Ω = [0, π/2] ×[0, π/2] trên lưới 65 ×65 nút trên mỗi miền con với độ chính
xác 10
−4
, h = 0.5, q = 0.3, τ = 0.6 hội tụ sau 14 bước lặp. Trong Hình 3.11 là kết quả biểu diễn
các hàm độ võng tương ứng với các vị trí đặt giá đỡ (e/π) có độ dài khác nhau cho bản có các điều
kiện biên trên cách cạnh như trong Hình 3.8. Độ dốc của bản theo hướng của x và y dọc theo giá
đỡ bên trong được biểu diễn trong Hình 3.12. Mặt võng của toàn bản được biểu diễn trong Hình
3.13.
Các kết quả thu được ở trên trong trường hợp bản với một giá đỡ bên trong là giống như các
kết quả của Sompornjaroensuk và Kiattikomol đã trình bày, nhưng được tính toán đơn giản và rất
nhanh. Hơn nữa, phương pháp lặp đã được đề xuất có thể dễ dàng áp dụng cho các bài toán phức
tạp hơn.
3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai giá đỡ
Xét bài toán về bản có hai LPIS dạng tổng quát:
∆
2
u = f trong Ω,
u = g
0
trên S
B
∪ S

Hình 3.12. Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ.
trong đó Ω là hình chữ nhật (0, a) ×(0, b), S
A
, S
B
, S
C
, S
D
, S
E
và S
F
là các phần của biên Γ = ∂Ω
được mô tả trong Hình 3.9, f và g
i
, (i = 0, 3) là các hàm cho trong Ω và các phần tương ứng của
biên Γ. Chia miền Ω thành ba miền con Ω
1
, Ω
2
và Ω
3
bởi các đường x = e
1
và x = e
2
, và ký hiệu
các biên phân cách các miền con này là S
I

E
; ξ
(0)
i
= 0, η
(0)
i
= 0 trên S
I
i
, (i = 1, 2).
Bước 2. Biết ϕ
(k)
, ξ
(k)
i
, η
(k)
i
, (k = 0, 1, ), (i = 1, 2) giải lần lượt:
20
Các bài toán với v
(k)
2
và u
(k)
2




trên S
I
i
, (i = 1, 2),









∆u
(k)
2
= v
(k)
2
trong Ω
2
,
u
(k)
2
= g
0
trên S
B
∪ S





∆v
(k)
1
= f trong Ω
1
,
∂v
(k)
1
∂ν
1
= g
3
trên S
A
∪ S
F
,
v
(k)
1
= ϕ
(k)
trên S
E1
,

1
trong Ω
1
,
u
(k)
1
= g
0
trên S
D1
,
∂u
(k)
1
∂ν
1
= g
1
trên S
A
∪ S
F
,
u
(k)
1
= u
(k)
2

(k)
3
= f trong Ω
3
,
∂v
(k)
3
∂ν
3
= g
3
trên S
C
,
v
(k)
3
= ϕ
(k)
trên S
E3
,
v
(k)
3
= g
2
trên S
D

(k)
3
trong Ω
3
,
u
(k)
3
= g
0
trên S
D
∪ S
E3
,
∂u
(k)
3
∂ν
3
= g
1
trên S
C
,
u
(k)
3
= u
(k)

1
∂ν
1
trên S
I
1
ξ
(k+1)
2
= (1 − θ)ξ
(k)
2
− θ
∂v
(k)
3
∂ν
3
trên S
I
2
η
(k+1)
2
= (1 − θ)η
(k)
2
− θ
∂u
(k)

, u
i
= u |
Ω
i
, ∂/∂ν
i
,
i = (1, 2, 3) là các đạo hàm theo hướng tương ứng trên các phần của biên.
Các ví dụ thử nghiệm. Xét các trường hợp sau đây:
(a) Trong 1/4 bản, Ω là miền chữ nhật, một giá đỡ đặt tại phần giữa của cạnh trên của hình
chữ nhật, khi đó miền Ω được chia thành ba miền con bằng nhau bởi các biên phân cách
S
I
1
= {x = e
1
, 0 ≤ y ≤ b} và S
I
2
= {x = e
2
, 0 ≤ y ≤ b}. Quá trình lặp (3.3.27)-(3.3.30) giải
bài toán với hai LPIS trong miền Ω = [0, π/2]×[0, π/2], e
1
= π/6, e
2
= π/3, h = 0.5, q = 0.3,
trên lưới 65 ×65 nút cho mỗi miền con với độ chính xác 10
−4

2
, 0 ≤ y ≤ b}. Quá trình lặp (3.3.27)-(3.3.30) giải
bài toán trong miền Ω = [0, π/2] × [0, π/2], h = 0.5, q = 0.3, trên lưới 65 × 65 nút với độ
chính xác 10
−4
, θ = 0.7, τ
1
= τ
3
= 0.9, τ
2
= 0.3, e
1
= π/10, e
2
= 3π/10 sẽ hội tụ sau 16 lần
lặp. Các Hình 3.19, Hình 3.20, Hình 3.21 là các kết quả tương ứng biểu diễn: Độ dốc của bản
theo hướng x, y và độ võng của 1/4 bản.
Hình 3.19. Độ dốc của bản theo hướng
x với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý.
Hình 3.20. Độ dốc của bản theo hướng
y xét tại điểm giữa của giá đỡ.
(c) Xét trường hợp khi tải trọng phân bố không đều và là một hàm chẵn theo biến y, giả sử
q = cos(y). Giống như các trường hợp trên, xét bài toán trong miền Ω = [0, π/2] × [0, π/2],
có một giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý trên cạnh trên của hình chữ nhật. Các kết quả tương ứng thu
được biểu diễn trong Hình 3.22 sau 16 lần lặp.
Qua các kết quả nghiên cứu về độ võng của bản có giá đỡ bên trong với các điều kiện biên ngàm
hoặc gối tự do giúp cho chúng ta có thể xác định được độ võng của bản phụ thuộc vào các thông
22
Hình 3.21. Mặt võng của 1/4 bản với

hỗn hợp phức tạp nảy sinh từ cơ học và vật lý. Các kết quả chính của luận án bao gồm:
(1) Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm trên
biên phân chia giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cách trong
môi trường không đồng nhất về các bài toán con, trong các miền ở đó tính chất của môi trường
là liên tục. Các kết quả đã được chứng minh bằng lý thuyết và kiểm tra bằng các chương trình
thực nghiệm tính toán trên một số miền cả đơn giản và phức tạp.
23
(2) Đề xuất một phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều
kiện biên hỗn hợp mạnh, chứng minh sự hội tụ của phương pháp, tìm khoảng tham số lặp tối
ưu cho một trường hợp riêng và áp dụng giải bài toán Motz. Phương pháp này cho phép giải
bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song.
(3) Đề xuất một phương pháp kết hợp giữa chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo
hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các
kết quả đã được chứng minh chặt chẽ về mặt lý thuyết và được kiểm tra trên nhiều thực nghiệm
tính toán. Đặc biệt, hiệu quả của phương pháp đã được khẳng định qua các kết quả giải các
bài toán:
- Bài toán vết nứt
- Bài toán về độ uốn của bản mỏng có một hoặc hai giá đỡ bên trong. Đặc biệt, kết quả về bài
toán bản với hai giá đỡ bên trong là hoàn toàn mới, và đã được chấp nhận đăng trên tạp chí
Journal of Engineering Mathematics (SCI), 03/2013.
Các thử nghiệm tính toán đã được thực hiện trên nhiều ví dụ và so sánh với các phương pháp
khác (Phương pháp SFBIM, phương pháp phương trình chuỗi cặp, ) chứng tỏ tính hiệu quả
của các phương pháp đã được đề xuất.
(4) Xây dựng một thư viện chương trình giải số bài toán biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic
với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau dựa trên thuật toán thu
gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nikolaev. Thư viện chương trình này là công cụ quan
trọng để giải số các bài toán phức tạp được nghiên cứu trong luận án.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu biện pháp làm tăng tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp trên cơ sở phương
pháp ngoại suy tham số .