BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ

HUỲNH BỬU TÍNH

N
N
G
G
H
H
I
I
Ê
Ê
N
NC
C
H
H
Ấ
Ấ
T
TN
N
G
G
H
H
I
I
Ệ
Ệ
M
MC
C
Ủ
Ủ

Ì
Ì
N
N
H
HH
H
À
À
M
M−
−T
T
Í
Í
C
C
H
H
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ



S
S
Ố
ỐT
T
Í
Í
N
N
H
HC
C
H
H
Ấ
Ấ
T
TN
N
G

ỆP
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
GT
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
HH


P
P
H
H
I
IT
T
U
U
Y
Y
Ế
Ế
N
N Luận văn Thạc sỹ Toán học
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

Người nhận xét 1: Ts. Nguyễn Văn Nhân
Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh.

Người nhận xét 2: Ts. Nguyễn Công Tâm
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

Học viên cao học:
Huỳnh Bửu Tính
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tp. Cần Thơ.

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn tại Trường Đại học Cần Thơ,
vào lúc 7 giờ, ngày 26 tháng 11 năm 2005.

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ.


hướng dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô của Khoa Toán – Tin học trường Đại học
Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tận tâm truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm
cho chúng tôi trong suốt thời gian học tập.

Xin chân thành cảm ơn Ts. Nguyễn Văn Nhân, Ts. Nguyễn Công Tâm,
PGS. Ts. Đặng Đức Trọng, Ts. Tô Anh D
ũng, PGS. Ts. Đinh Ngọc Thanh đã giành thời
gian đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích.

Xin chân thành cảm ơn Phòng Quản lý Khoa học – Hợp tác Quốc tế – Sau Đại học
Trường Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học
tập.

Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục – Đào tạo Tp. Cần Thơ, Ban Giám Hiệ
u
trường THPT chuyên Lý Tự Trọng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thời gian học
tập và làm luận văn.

Cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các Anh, Chị của khóa trước, các bạn
học viên lớp Cao học Toán khóa 10, đã động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời
gian học tập và làm luận văn.
Huỳnh Bửu Tính

Định lý 2.1 5

Chương 3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 6

Bổ đề 3.1. 6
Bổ đề 3.2. 8
Định lý 3.1. 9
Chú thích 3.1. 9

Chương 4. Thuật giải lặp cấp hai 11

Định lý 4.1. 12
Định lý 4.2. 14
Định lý 4.3. 16
Chú thích 4.1. 19

Chương 5. Khai triển tiệm cận của nghiệm 20

Bổ đề 5.1. 22
Bổ đề 5.2. 24
Định lý 5.1. 25
Chú thích 5.1. 26
Định lý 5.2. 26

Chương 6. Sự phụ thuộc khả vi của nghiệm 27

Bổ đề 6.1. 28
Chú thích 6.1 28

Kết luận 33

NT
T
Ổ
Ổ
N
N
G
GQ
Q
U
U
A
A
N
N

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm tích phân
sau:
()
),()())(()((,)(
11

, c
ijk
là các hằng số thực cho trước;
g
i
: Ω → IR, R
ijk
, S
ijk
, X
ijk
: Ω → Ω, và Φ : Ω×IR → IR là các hàm số liên tục cho
trước thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm
IRf
i
→Ω: là các ẩn
hàm,
ε
là một tham số bé.
Trong [9], các tác giả Wu, Xuan, Zhu nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với
Ω = [−b,b], m = n = 2, a
ijk
= 0 và S
ijk
là các nhị thức bậc nhất.

⎩
⎨
⎧
++++++=

⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
≥<
∑
=j
ij
i
ij
ij
ji
ij
a
b
c
bb
(1.3)

Trong (1.2), các hàm số g
1
, g
2

∑
==
(1.4)

với mọi i = 1,2, và x ∈ Ω ⊂ IR, trong đó Ω là một khoảng đóng bị chận của IR. Các
hàm g
i
: Ω → IR, S
ij
, X
ij
: Ω → Ω là các hàm số liên tục cho trước, a
ij
,
α
ij
∈ IR là các
hằng số và f
1
, f
2
là các ẩn hàm.
Trong [2], Danh, Dung, Long đã khảo sát hệ (1.1) tương ứng với Φ ≡ 0,
S
ijk
(x), X
ijk
(x) là các nhị thức bậc nhất, cụ thể có dạng như sau

),()()()(

i
: Ω → IR là các hàm liên tục, nghiệm
của hệ (1.5) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều [2, 7], trong đó a
ijk
,
b
ijk
, c
ijk
,
α
ijk
,
β
ijk
,
γ
ijk
∈ IR là các hằng số thực cho trước thỏa các điều kiện (
)
,1max ,1 ,1
11
1
<α+<β<
∑∑
==
≤≤

≤≤≤≤≤≤≤≤Trong [8], Long đã nghiên cứu hệ phương trình hàm phi tuyến

()
),())(()((,)(
1111
xgxSfbxRfxaxf
i
m
k
n
j
ijkjijk
m
k
n
j
ijkjijki
++Φε=
∑∑∑∑
====
(1.6)

với mọi i = 1,2, và x ∈ Ω, trong đó Ω là một khoảng đóng bị chận hoặc khoảng
không bị chận của IR. Các hàm g
i
: Ω → IR, R
ijk

) và Ω = [−b,b] các
tác giả trong [5] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho
đến cấp r. Kế đó, nếu g
i
là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi
một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi
Long, Nghĩa [6] cho miền nhiều chiều Ω ⊂ IR
p
và S
ijk
là các hàm affine. Hơn nữa,
điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương trình hàm cũng được đề cập [6].
Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là
phần tài liệu tham khảo.
Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả
đã có trước đó và một số nội dung trình bày trong các chương của luận văn.
Trong ch
ương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và
một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn.
Trong chương 3, chúng tôi khảo sát sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1)
dựa vào định lý điểm bất động Banach.
Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để thu được thuật giải hội tụ
cấp hai cho hệ (1.1).
Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ ph
ương trình hàm tích phân (1.1)
bị nhiễu bởi một tham số bé
ε
và chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai
triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo
ε
4

Ý
ÝH
H
I
I
Ệ
Ệ
U
UV
V
À
ÀK
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G

f = ( f
1
,…, f
n
) : Ω → IR
n
liên tục trên Ω đối với chuẩn

.)(sup
1
∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x
X
xff
(2.1)

Với số nguyên không âm r, ta đặt {
}
.1 ,0 ),;(:);();(
)(
nirkIRCfIRCfIRC


f =
ε
Af + Bf + g, (2.3)
trong đó

f = ( f
1
,…, f
n
), Af = ((Af )
1
,…, (Af )
n
), Bf = ((Bf )
1
,…, (Bf )
n
),
với

()
,)((,)()(
11
∑∑
==
Φ=
m
k
n


Định lý sau đây là một công cụ được sử dụng nhiều lần trong luận văn nầy,
mang tên định lý điểm bất động Banach và được phát biểu dưới dạng 5

Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach với chuẩn
.
, K ⊂ X là tập đóng và
T : K → K. Giả sử tồn tại số thực
σ
∈ [0,1) sao cho gfTgTf −σ≤− , với mọi f, g ∈ K.

Khi đó ta có

(i) Tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf.

(ii) Với mỗi
)0(
f ∈ K, xét dãy {
)(v
f } cho bởi ,
)1()( −
=
vv
fTf v = 1,2,…

σ
≤−
vv
v
v
fTfff
v = 1,2,…

Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về giải tích cơ sở.
■
Ị
N
N
H
HL
L
Ý
ÝT
T
Ồ
Ồ
N
NT
T
Ạ
Ạ
I
IV

I
Ệ
Ệ
M
M

Trong chương này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3).

Đặt
.max ][
11
1
∑∑
==
≤≤
=
n
i
m
k
ijk
nj
ijk
bb
BI
−−
≤−
−

Chứng minh.
(i) Ta có

∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x
X
xBfBf
1
)()(sup
∑∑∑
∫
∑∑
=====
Ω∈
+≤
n
i
m
k

⎝
⎛
+≤
n
i
m
k
n
j
xX
jijkijkjijk
x
ijk
dttfcxSfb
111
)(
0
)()((sup

∑∑ ∑∑
== =
Ω∈
≤≤
=
Ω∈
≤≤
⎟
⎟
⎠
⎞

X
ijkijk
fcbb +≤

(ii) Trước hết, ta kiểm nghiệm lại rằng
.1<B

Thật vậy, do (i) và
1][][ <+
ijkijk
cbb , ta chú ý rằng .1][][sup
0
<+≤=
∈≠
ijkijk
X
X
Xf
cbb
f
Bf
B

7

Do đó,
1][][ <+≤

g
f
X
X
−
≤

Vì
gBIf
1
)(
−
−= nên .
1
)(
1
B
g
gBI
X
X
−
≤−
−

Vậy

.
][][1
1

f = (I − B)
−1
(
ε
Af + g) ≡ Tf. (3.2)

Ta thành lập các giả thiết sau

(H
1
) R
ijk
, S
ijk
, X
ijk
: Ω → Ω liên tục;

(H
2
) g = ( g
1
,…, g
n
) ∈ X;

(H
3
) 1][][ <+
ijkijk

(
)
0
1
1[] []
2
,0 .
1[] []
2 ( ) sup ( ,0) [ ]
ijk ijk
X
ijk ijk
ijk
x
Mbbc
g
M
bbc
MC M n x a
∈Ω
−−
<<<
⎡⎤
−−
+Φ
⎢⎥
⎣⎦
ε(ii)
.
~
, ,
~
][)(
~
1 M
X
ijk
X
KffffaMCfAAf ∈∀−≤−Chứng minh.
(i) ∀f ∈ K
M
, ta có
()
()
()
.)0(sup)(][
)0()()(supmax
)(supmax
)((,supmax
)((,)()(
1
11 1

n
i
m
k
n
j
j
x
ijk
nj
n
i
m
k
n
j
j
x
ijk
nj
n
i
m
k
n
j
ijkj
x
ijk
nj

X
ijk
X(ii)
M
Kff ∈∀
~
, , ta có
()
(
)
∑∑∑∑
====
Φ−Φ≤−
n
i
m
k
ijkjijkj
n
j
ijk
n
i
ii
xRfxRfaxfAxAf
1111
))((

)
∑∑∑
==
Ω∈
=
≤≤
Φ−Φ≤
n
i
n
j
jj
x
m
k
ijk
nj
xfxfa
111
1
)(
~
)(supmax
9

∑∑∑
==
Ω∈
=
≤≤

X
ijk
X
ffaMCfAAf −≤−
■

Định lý 3.1. Giả sử (H
1
) − (H
5
) đúng. Khi đó, với mỗi
ε
, với |
ε
| ≤
ε
0
, hệ (3.2) có
nghiệm duy nhất f ∈ K
M
.

Chứng minh. Ta có T f ∈ X, ∀f ∈ X. Xét
ff
~
, ∈ K
M
, áp dụng bổ đề (3.1) và (3.2),
ta suy ra
1

⎥
−−
⎣
⎦
(3.3)

1
1
0
01
()( )
()
()[ ]
.
1[] []
X
X
X
ijk
X
ijk ijk
T f T f I B Af Af
I B Af Af
CM a
f f
bbc
ε
ε
ε
−

⎣⎦
(3.5)
và
01
()[ ]
1.
1[] []
ijk
ijk ijk
CM a
bbc
ε
σ
=<
−−Từ (3.3) − (3.5) ta suy ra T : K
M
→ K
M
là ánh xạ co. Áp dụng định lý điểm bất động
Banach, ta có duy nhất f ∈ K
M
thỏa f = T f.■

Chú thích 3.1. Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) được xấp
xỉ bởi thuật giải sau

),()(

v
XX
v
(3.7)
với
01
()[ ]
1.
1[] []
ijk
ijk ijk
ε CM a
bbc
σ
=<
−−
■


Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G4
4
T
T
H
H
U
U
Ậ
Ậ
T
TG
G
I

Trong định lý 3.1 cho ta một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc
ánh xạ co (xem chú thích 3.1), mà sự hội tụ của dãy lặp
}{
)(v
f
về nghiệm f của hệ
(3.2) là hội tụ cấp một. Sự hội tụ này thể hiện qua đánh giá sai số 2,1 ,
)(
=∀σ≤− vCff
v
X
v
(4.1)

trong đó 0 ≤ σ < 1, C > 0 là các hằng số độc lập với v.

Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1), tức
là thiết lập một dãy lặp
}{
)(v
f thỏa bất đẳng thức 2,1 ,

)(v
f hội tụ về f và thỏa một đánh giá sai số cấp hai theo nghĩa

2,1 ,
1
2)(
=∀σ
β
≤− vff
v
X
v
(4.4)

Rõ ràng bất đẳng thức (4.4) cho sự hội tụ của dãy
}{
)(v
f về f nhanh hơn so với dãy
}{
)(v
f
thỏa bất đẳng thức (4.1).

Xét hệ phương tình hàm
()
),()())(()((,)(
11
)(
0
xgdttfcxSfbxRfxaxf

∂
Φ
∂
+Φ≅Φ
v
j
v
j
v
j
v
j
v
j
fffx
y
fxfx (4.5)
trong đó
)),((
)()(
xRff
ijk
v
j
v
j
=
12

Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1)

v
v
∈= ), ,(
)(
)(
1
)(
như
sau
∑∑
==
Φε=
m
k
n
j
v
ijk
ijk
v
i
xWaxf
11
)()(
))(()(
[
]
))(())(())((
)1()(
11

n
j
ijk
v
jijk
xSfb
11
)(
))((

, ,2,1 ,1 , ),()(
11
)(
0
)(
=≤≤Ω∈++
∑∑
∫
==
vnixxgdttfc
i
m
k
n
j
xX
v
j
ijk
ijk

∫
∑∑
==
====
vnixxgxSfb
dttfcxRfxxf
v
i
n
j
m
k
ijk
v
j
ijk
m
k
n
j
xX
v
j
ijkijk
v
j
n
j
m
k

∂
Φ∂
ε=εα
(4.8)
,))((),())(()()(
11
)1(
11
)()(
∑∑∑∑
==
−
==
εα−Φε+=
n
j
m
k
ijk
v
j
ijk
n
j
m
k
v
ijk
ijki
v

nj
v
cbbx
11
)(
1
.1][][),(supmax (4.10)

Khi đó tồn tại duy nhất
Xf
v
∈
)(
là nghiệm của (4.7) − (4.9).

13

Chứng minh. Ta viết hệ (4.7) − (4.9) dưới dạng hàm trong X = C(Ω; R
n
)

f
(v)
= T
v
f
(v)
, (4.11)
trong đó
,))((

iv
gxSfb
dttfcxRfxxfT
ijk
++
+α=
∑∑
∑∑
∫
∑∑
==
====
(4.12)
∀x ∈ Ω, i = 1,2,…,n và f = ( f
1
,…,f
n
) ∈ X.

Hiển nhiên rằng T
v
: X → X. Ta chỉ cần kiểm nghiệm lại rằng

X
v
X
vv
fffTfT
~~
−α≤−

ijk
n
j
m
k
jijk
n
j
m
k
xX
ijkijk
n
j
m
k
j
v
ijk
xShxbdtthcxRhx
ijk
11111
)(
0
11
)(
)(
~
)( )(
~

n
i
n
j
m
k
xX
ijkijkj
n
i
n
j
m
k
v
ijk
ijk
∑∑∑
∑∑∑
∫
∑∑∑
===
======
+
+α≤

()
()
∑∑∑
∑

n
j
ijkj
m
k
v
ijk
nj
xShxb
dtthxcxRhx
ijk
111
1
1
)(
0
11
1
111
)(
1
)(
~
)(max
)(
~
)(max)(
~
)(max


1
11
1
11
)(
∑∑∑∑∑∑
==
≤≤
==
≤≤
==
Ω
≤≤
++α≤

X
n
i
m
k
ijk
nj
n
i
m
k
ijk
nj
n
i

X
ijkijk
n
i
m
k
v
ijk
nji
hbcbx
~
][][)(supmax
11
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++α=
∑∑
==
Ω
≤≤

.
~
X
v

tồn tại hai hằng số M,
ε
sao cho, nếu
M
Kf ∈
)0(
cho trước, hệ (4.7) − (4.9) tồn tại
duy nhất nghiệm
)(v
f thỏa điều kiện
,
)(
M
v
Kf ∈
∀v = 0,1,2,…

Chứng minh. Giả sử
M
Kf ∈
)0(
, với hai hằng số M,
ε
, mà ta sẽ chọn sau.
Ta cũng giả sử bằng quy nạp rằng
M
v
Kf ∈
− )1(
.

ijk
n
i
n
j
m
k
xX
v
j
ijk
n
i
ijk
v
j
n
j
m
k
v
ijk
n
i
v
i
xgxSfb
dttfcxRfxxf
ijk
1

n
i
m
k
n
j
ijk
v
j
ijk
nj
n
i
m
k
n
j
ijk
v
j
v
ijk
nj
gdttfxc
xSfxbxRfx
ijk
)(
1
)(
0

m
k
ijk
nj
X
v
n
i
m
k
ijk
nj
n
i
m
k
X
v
v
ijk
nji
gfcb
fbfx
)()(
11
1
)(
11
1
11

ijk
nji
gfcbbx +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++α=
∑∑
==
Ω
≤≤
(4.15)
Do đó
.][][)(supmax
)()(
11
)(
)(
X
v
X
v
ijkijk
n
i

Myx
ijk
v
ijk
ijk
v
ijk
aMyx
y
axW
y
ax ε=
∂
Φ∂
ε≤
∂
Φ∂
ε≤α
≤Ω∈
(4.17)
trong đó
.),(sup
1
yx
y
M
My
∂
Φ∂
=

()
.)()()()()(
11
)1()()()(
∑∑
==
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Φ∂
−Φε+=
n
j
m
k
ijk
v
j
v
ijk
v
ijk
ijki
v
i

)1()(
xRfxxw
ijk
v
j
v
ijk
−
= ta có

()
,))(())(
ˆ
(
2
1

))(())(()0,())((
2
)1()(
2
2
)1()()(
xRfxw
y
xRfxw
y
xxw
ijk
v

ijk
xRfxxw

Từ đây ta suy ra

()
,))((
2
1
)0,(sup
))(())(())((
2
)1(
2
)1()()(
xRfMx
xRfxw
y
xW
ijk
v
j
x
ijk
v
j
v
ijk
v
ijk

)(
))((
2
1

)0,(sup)()(
xRfaM
xaxgxg
ijk
v
j
n
i
m
k
n
j
ijk
x
n
i
m
k
n
j
ijk
n
i
i
n

xRfaM
xang
1
2
)1(
2
))((sup][
2
1

)0,(sup][2
)1(
2
][
2
1
)0,(sup][
X
v
ijk
x
ijk
X
faMxang
−
Ω∈
ε+Φε+≤

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φε+≤
Ω∈
MMxnagg
x
ijk
X
X
v
(4.23)
Từ (4.16), (4.18) và (4.23), ta được

()
.
2
1
)0,(sup][
][][][
2
2
)(
1
)(
⎟
⎠

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+Φε+≤
−−ε−
Ω∈
MMxnag
fcbbaM
x
ijk
X
X
v
ijkijkijkVới M > 0 đã chọn như trong (H
5
), tiếp theo ta chọn
ε
sao cho hai điều kiện sau
được thỏa ,1][][][
1
<++ε


.
][][][1
2
1
)0,(sup][
1
2
2
)(
M
bcbaM
gMMxna
f
ijkijkijk
X
x
ijk
X
v
≤
−−ε−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φε

)1()(
=∀−β≤−
−
vffff
X
v
M
X
v

trong đó
0
][][][1
][
2
1
1
2
>
ε−−−
ε
=β
ijkijkijk
ijk
M
aMcbb
aMvà f là nghiệm của hệ (1.1).


Chứng minh
. Trước hết ta sẽ đánh giá
X
v
ff −
)(
.
(i) Ta có
)()()(
)()(
xfxfxe
v
ii
v
i
−=

),()()()(
))](()))((,()))((,([
)(
)(
11
)()1(
xgxgxBe
xRfxRfx
y
xRfxa
v
iii

−−−
==
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Φ∂
−Φε−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
Φ∂
−Φε=
n
j
m
k
ijk
v
jijk
v


()()()
(
)
[
]
()
()
() ()
[]
.)()()(,
)(,)(,)()(
11
)1()()1(
11
)1(
)(
∑∑
∑∑
==
−−
==
−
−
∂
Φ∂
ε+
Φ−Φε+=
n
j

)
(
)
()
,)( )(,
2
1

)()(,)(,)(,
2
)1()(
2
2
)1()1()1(
yeyhx
y
yeyfx
y
yfxyfx
v
j
v
j
v
j
v
j
v
jj
−

2

))(())((,)()()(
11
2
)1()1(
2
2
11
)()1(
)(
)(
∑∑
∑∑
==
−−
==
−
∂
Φ∂ε
+
∂
Φ∂
ε+=
n
j
m
k
ijk
v

2
,
2
yx
y
M
Myx
∂
Φ∂
=
≤Ω∈
Với mọi x ∈ Ω, ta có từ (4.31) rằng

2
11 1
)1(
1
2
11 1
)(
1
1
)(
1
)(
))((supmax
2

))((supmax)(
∑∑ ∑

ijk
v
j
x
ijk
nj
X
v
n
i
v
i
xReaM
xReaMBexe

2
11 1
)1(
1
2
11 1
)(
1
1
)(
))((supmax
2

))((supmax
∑∑ ∑

nj
n
i
m
k
n
j
ijk
v
j
x
ijk
nj
X
v
xReaM
xReaMBe

()
.][
2
][][][
2
)1(
2
)(
1
)(
X
v

eaMeaMcbb
−
ε
≤ε−−−

Suy ra

,
][][][1
][
2
1
2
)1(
2
)1(
1
2
)(
X
v
M
X
v
ijkijkijk
ijk
X
v
ee
aMcbb

>
ε−−−
ε
=β
ijkijkijk
ijk
M
aMcbb
aM(ii) Từ (4.32), ta suy ra
2
2
)2(
2
)1()(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ββ≤β≤
−−
X
v
MM
X
v

2
)3(221
)(
X
v
M
e
−++
β=
v
v
X
M
e
2
)0(2 221
12
)(
−
++++
β≤≤

(
)
.
1
)(
2
)0(
2

,1
)0(
<−β
X
M
ff

định lý 3.1 cho ta một thuật toán xấp xỉ liên tiếp (3.6). Khi đó, dãy
ff
v
→
)(
trong X
và chúng ta có đánh giá sai số (3.7). Chọn v
o
đủ lớn sao cho , 2,1 ,
1
0
0
)0()0(
)(
=∀
σ
−
σ
−β≤−β vTffff
v

20

C
C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N


T
T
I
I
Ệ
Ệ
M
MC
C
Ậ
Ậ
N
NC
C
Ủ
Ủ
A
AN
N
G

1 n
AfAfAf =),)(, ,)((
1 n
BfBfBf =

với

()
,))((,)()(
11
∑∑
==
Φ=
m
k
n
j
ijkjijki
xRfxaxAf

,)())(()()(
11
)(
0
11
∑∑
∫

: , ,
ijkijkijk
XSR , và
RIR →
×
Ω
Φ
:
là các hàm số liên tục cho
trước thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm
IRf
i
→Ω: là các ẩn
hàm,
ε
là một tham số bé.
Trong phần này, với các giả thiết trên các hàm Φ, g, R
ijk
, S
ijk
, X
ijk
và các số
thực
ε
0
, M với Φ ∈ C
N
(Ω×IR;IR). Khi đó, chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của
hệ (5.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo

X
N
r
rr
Cff
εε
εtrong đó C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, Φ,
][
ijk
a , ][
ijk
b , ][
ijk
c ,
X
r
f
][
,
r = 0,1,…,N.
Trong phần này, ta vẫn giả sử rằng các hàm Φ, g, R
ijk
, S
ijk
, X
ijk
và các số thực