BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
NGUYỄN HỮU CHƯỜNG
NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP
VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01



Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Nhân
Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Cần Thơ

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Nhân
Khoa Thống kê- Toán,
Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh MỤC LỤC Chương 1: Phần tổng quan trang 01
Chương 2: Các công cụ chuẩn bò trang 05
Chương 3: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trang 07
Chương 4: Thuật giải lặp cấp hai trang 12
Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé trang 20
Chương 6: Ví dụ về một hệ phương trình hàm cụ thể trang 28
Phần kết luận trang 38
Tài liệu tham khảo trang 40

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi là Tiến sỹ
Nguyễn Văn Nhân, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như trong quá trính hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Đặng Đức Trọng, PGS. TS. Đinh Ngọc
Thanh, TS. Nguyễn Thành Long, TS. Nguyễn Công Tâm đã đọc qua luận văn
và cho những nhận xét quý báu.
Xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin học Trường

n
j
ijki
xgxSfbxRfaxf
1111
,
ε
(1.1)
,, ,;
n
i
x
1=Ω∈∀
trong đó
[
]
b
a
,
=
Ω
hoặc
Ω
là một khoảng không bò chận của
ijkijk
b
a
I
R
,, là các hằng số thực cho trước;

là một tham số bé.
Trong trường hợp riêng
(
)
,,
ijkijk
SRyy
==Φ
2
hệ (1.1) được nghiên cứu bởi
các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11].
Trong [12], các tác giả Wu, Xuan và Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây
ứng với
[]
ijkijk
S
v
à
a
n
m
b
b
02
=
==−=Ω ,,, là nhò thức bậc nhất.

() ( )
(
)

f
22323223
222222221211212
11313113
121221211111111
(1.2)
với mọi
[]
,,
b
b
x
−=Ω∈ trong đó, các hằng số
b
c
b
a
ijijij
,,,
cho trước thoả các điều
kiện:
,max,max,
,
1
1
1
3
1
<
⎟

(1.3)
các hàm số
21
g
g
,
liên tục cho trước và
21
f
f
,
là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2)
lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các
i
g
.
Trong [9], các tác giả Nghóa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau
đây để làm kiểm tra một thuật toán số.
2

()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠

3
4200
1
2100
1
3
1
2200
1
4100
1
4
1
3100
1
4
1
4100
1
2
1
3200
1
2100
1
(1.4)
[]
,,11−∈∀
x
trong đó

.
Trong trường hợp
0
=
ijk
a
và
ijk
S
là các nhò thức bậc nhất,
(
)
nr
IRCg
,Ω∈ và
[]
b
b
,−=Ω các tác giả trong [3] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm
của hệ (1.1) cho đến cấp r. Hơn nữa, nếu
i
g
là các đa thức bậc r, thì nghiệm của
hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Sau đó, nếu
i
g
là các hàm liên tục, nghiệm
f
của
(1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên

⎜
⎜
⎝
⎛
++=
2
1
0
21
j
i
x
jijijijjiji
bbxixgdttfcxbfaxf
ijij
.,,,,
γβ
α
(1.7)
Sau đó Danh, Dung và Long [1] đã xét hệ
()
()
() ( )
,
∑∑
∫
==
+
+
⎟

trong đó
I
R
g
i
→
Ω
:
là các hàm liên tục cho trước,
R
c
b
a
ijkijkijkijkijkijk
∈
γ
β
α
,,,,, là các hằng số thực cho trước thoả thêm một số điều
kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5, 7] đã thiết lập nghiệm
()
n
f
f
f
,
1
=
bởi một
dãy các đa thức hội tụ đều.

Nrr
Off
0
1
εε
ε

tức là
4

()
[]
()
∑∑
=
+
=
Ω∈
≤−
n
i
N
r
i
N
r
r
i
x
Cxfxf

[]
b
a
,=Ω
hay
Ω
là khoảng không bò chặn trong
.
I
R

Với
[]
b
a
,=Ω
ta ký hiệu
(
)
n
IRCX
;Ω=
là không gian Banach của các hàm số
()
n
n
IRfff
→Ω= : ,,
1
liên tục trên

Ω
đối với chuẩn (2.1).
Tương tự, với số nguyên không âm m, ta đặt
(
)
()
(
)
(
)
(
)
{
}
.,,;:; ,,;
nimkIRCfIRCfffIRC
k
i
n
n
nm
≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω 10
1

Với
Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu

(
)
(

;; ΩΩ cũng là các không gian Banach đối với chuẩn

()
()
.supmax
∑
=
Ω∈
≤≤
=
n
i
k
i
x
mk
m
xff
1
1
(2.2)
2.2. Đònh lý điểm bất động Banach
Đònh lý sau đây được dùng nhiều trong các chương sau.
Đònh lý 2.1. (Đònh lý điểm bất động Banach)
Cho X là không gian Banach với
chuẩn
X
K
⊂⋅ ,
là tập đóng. Cho


(ii) Với mỗi
(
)
,
Kf
∈
0
xét dãy
(
)
{
}
v
f
cho bởi
(
)
, ,, 21
1
==
−
vTff
vv

ta có

(a)
(
)

vvv
σ
σ

Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách về nhập môn giải
tích.
7
Chương 3
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
Trong chương này, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1).
Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong
(
)
n
IRCX
;Ω≡
(hoặc trong
(
)
);
n
b
IRCX
Ω=
như sau

g
B
f


với

()() ()
()()
()() ()
()
()
.,
,
Ω∈∀≤≤=
Φ=
∑∑
∑∑
==
==
xnixSfbxBf
xRfaxAf
m
k
ijkj
n
j
ijki
m
k
n
j
ijkjijk
i

i)
[]
.
XffbBf
X
ijk
X
∈∀≤
ii)
Toán tử tuyến tính

X
X
B
I
→
−
:
là khả đảo và

()
[]
.
ijk
b
BI
−
≤−
−
1

()
()
∑∑∑
===
Ω∈
≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
x
xSfb
111
sup

8

()
()
[]
.supmax
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
≤≤
n

X
X
Xf
b
f
B
f
B
do đó
., 1<
B

Tiếp theo, ta chứng minh rằng
B
I
−
khả đảo, tức là, với mỗi
X
g
∈ , phương trình
g
B
f
f
+= có nghiệm duy nhất .
X
f
∈
Thật vậy, xét ánh xạ


≤
1

Vì

()
gBIf
1−
−= nên
()
.
B
g
gBI
X
X
−
≤−
−
1
1

Vậy

()
()
[]
,sup
ijk
X

1
TfgAfBIf ≡+−=
−
ε
(3.2)
Ta thành lập các giả thiết sau:
()
Ω→Ω:,
ijkijk
S
R
H
1
liên tục;

()
R
R
H
→Φ :
4
thoả điều kiện
() ()
(
)
(
)
[
]
.,,:,

−
>
1
2
5
và
[
]
(
)
() ()
()
[]
.
ijk
ijk
anMMC
BM
02
1
0
1
0
Φ+
−
<<
ε

Với mỗi
,0>

ijk
X
KfnfMCaAf
∈∀Φ+≤ 0
1

ii)
(
)
[
]
.
~
,
~~
M
X
ijk
X
KffffaMCfAAf
∈∀−≤−
1

Chứng minh.
() ( )() ()
()()
()
()()
()
()

x
m
k
ijk
nj
n
i
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
i
M
xfa
xRfa
xRfaxAfKfi
111
1
111
1
1111
supmax
supmax
,() () ()

x
ijk
nj

Vậy

[]
()
(
)
()
.0
1
Φ+≤
nfMCaAf
X
ijk
X

()
,
~
,
M
Kffii
∈∀
ta có
()()
()
() ()

jj
x
ijk
n
i
m
j
nj
n
j
jj
x
ijk
n
i
m
k
nj
n
j
ijkjijkj
x
ijk
n
i
m
k
nj
n
i

=
Ω∈
==
≤≤
====
1
111
1
1
111
1
111
1
1111

Vậy
10

()
[]
.
~~
X
ijk
X
ffaMCfAAf
−≤−
1

Khi đó, ta có đònh lý sau đây.

K
f
∈
ε

Chứng minh. Hiển nhiên rằng
,
X
T
f
∈
với mọi
.
X
f
∈
xét
,
~
,
M
Kff
∈
ta dễ dàng
nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng

()( )
(
)
(

()
(
)
(
)
()
[]
[]
.
~
~~~
X
ijk
ijk
X
X
X
ff
b
aMC
fAAfBIfAAfBIfTTf
−
−
≤
−−≤−−=−
−−
1
10
1
0

Từ đây ta suy ra

[]
()
(
)
()
[]
(
)
[
]
[]
.1
11
0
1010
<
−
≤
−
+Φ+
ijk
ijk
ijk
X
ijk
b
aMC
vàM

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
gAfBITff
vvv
+−≡=
−
−
− 1
1
1
ε
(3.6)

()
M
Kf
∈
0
cho trước.
Khi đó


ff
v
X
X
v
σ
σ
ε
(3.8)
với
()
[]
[]
.1
1
10
<
−
=
ijk
ijk
b
aMC
ε
σ

Chú thích 3.2. Trong trường hợp riêng
(
)
,,

m
k
n
j
iijkjijkijkjijki
xgxSfbxRfaxf
11 11
,
ε

n
i
x
,,; 1=Ω∈∀
(1.1)
Ta giả sử rằng
()
.;
IRIRC
1
∈Φ Dựa vào xấp xỉ sau đây

()
(
)
()
(
)
(
)

)
(
)
,,
Xfff
n
∈=
00
1
0

ii) Giả sử biết
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,,
Xfff
v
n
vv
∈=
−−− 11
1
1
ta xác đònh

ijk
v
j
n
j
ijk
v
i
xRfaxf
1
1
1
ε()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[
]
∑∑
=

m
k
n
j
iijk
v
jijk
vnixxgxSfb
11
211 ,,,,, (4.2)
Ta viết lại (4.2) dưới dạng

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
∑∑ ∑∑
== ==
++=
n
j
m

)
v
i
v
ijk
g
,
α
phụ thuộc vào
(
)
1−
v
f
cho bởi:

()
()
()
(
)
(
)
(
)
,
/
xRfax
ijk
v

∑∑
=
−−−
=
Φ−Φ+
m
k
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
n
j
ijk
xRfxRfxRfa
1
111
1
.
/
ε
(4.5)
Khi đó ta có đònh lý sau:
Đònh lý 4.1.
Giả sử

()()

≤≤
ijk
v
ijk
n
i
x
m
k
nj
v
bxαα
(4.6)
Khi đó tồn tại duy nhất

()
X
f
v
∈
là nghiệm của
(4.3) – (4.5).
Chứng minh.
Hệ (4.3) được viết lại như sau:

(
)
(
)
,

ijk
i
v
xgxSfbxRfxxfT
11 11
,
α

(
)
, ,,,,,
X
f
f
f
v
n
i
x
n
∈
==≤≤Ω∈
1
211 (4.8)
Hiển nhiên rằng
.:
X
X
T
v

i
v
i
v
xhTxfT
1()
() ()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
X
ijk
n
i
m

n
i
n
j
m
k
n
i
n
j
m
k
ijkijkj
v
ijk
n
i
n
j
m
k
n
j
m
k
ijkjijkijkj
v
ijk
fbfx
xSfbxRfx

+=
11
1
11
1
11 1
1
11 1
1
111 111
111 11
α
α
α
α()
()
[]
.
~
supmax
X
v
x
n
i
m
k

i
X
v
i
v
i
v
x
X
vv
hfxhTxfThTfT
1
α
sup

Sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, đònh lý 4.1 được chứng minh.
Đònh lý 4.2.
Giả sử

()
(
)
31
H
H
−

đúng. Cho

.


thoả
điều kiện

(
)
,,,, 210=∀∈
vKf
M
v
(4.10)
Chứng minh. Giả sử
()
M
Kf
∈
0
, với hai hằng số
,,
ε
M
mà ta sẽ chọn sau.
Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

(
)
.
M
v
Kf

()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
[]
() ()
.supmax
max
supmax
max
max
X
v
X
v
ijk
v
ijk
x
n
i
m

m
k
nj
n
j
ijk
v
j
v
ijk
n
i
m
k
nj
n
i
n
j
m
k
n
i
v
iijk
v
jijk
n
i
n

≤
++
≤
Ω∈
==
≤≤
==
≤≤
Ω∈
==
≤≤
===
≤≤
===
≤≤
=== =
====
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑ ∑
∑∑∑∑
α
α
α
α
11
1

nj
X
v
gfbxf
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≤
Ω∈
==
≤≤
∑∑
α
11
1
(4.13)
Mặt khác, với mọi
Ω∈
x
, ta có từ (4.4), (4.11), rằng:

()
()
()
(
)

≤
1

Ta suy ra từ (4.14) rằng:

()
()
[]
.supmax
ijk
v
ijk
x
n
j
m
k
nj
aMx
1
11
1
εα
≤
Ω∈
==
≤≤
∑∑
(4.15)
Mặt khác, ta cũng có từ (4.5) rằng:

jijk
v
jijki
v
i
xRfxRfxRfaxgxg
11
111
ε

Chú ý rằng số hạng trong dấu móc [ ] được đánh giá như sau

()
()
()
()
(
)
(
)
(
)
()
(
)
(
)
(
)
()

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
.
//
//
/
/
02
0
0
00
1
1
111
1111
111
111
Φ+≤

jijk
v
j
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
θ
θ

Do đó ta suy ra từ (4.11) rằng

()
() ()
()
()
()
()
()
()

111
11
20
20
20
MMnag
fMnag
xRfMag
xRfxRfxRfa
xgxg
ijk
X
X
v
ijk
n
i
m
k
nj
X
n
i
m
k
n
j
ijk
v
jijk

≤≤
== =
−
≤≤
−−−
===
==
∑∑
∑∑ ∑
∑∑∑
∑∑
ε
ε
ε
ε

Vậy

()
[]
(
)
(
)
1
20
MMnagg
ijk
X
X

X
v
+Φ++
+≤
ε
ε
(4.17)
hay

[]
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
.
11
201
MMnagfaMb
ijk
X
X
v

)
(
)
[
]
(
)
.
MbnMMag
ijkijk
X
−≤Φ++ 103
1
ε
(4.19)
Khi đó, ta suy ra từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng:

()
[]
(
)
(
)
[] []
.
M
aMb
MMnag
f
ijkijk

ijkijkijk
X
11
102
εε
−−≤Φ++
(4.21)
Như vậy, ta chỉ cần chọn
ε
thoả (4.19).
Đònh lý 4.2 được chứng minh hoàn tất.
Đònh lý 4.3.
Giả sử

()()
(
)
321
,, HHH
đúng. Cho
.IRa
ijk
∈

Khi đó, tồn tại hai hằng số

,
ε
v
à

2
1
=∀−≤−
−
vffff
X
v
M
X
v
β
(4.22)
trong đó

[]
[] []
()
,sup,
//
yM
aMb
aM
M
ijkijk
ijk
M
Φ=
−−
=
≤

0
<−
X
M
ff
β
(4.24)
thì dãy

(
)
{
}
v
f

hội tụ cấp
2
ve
à
f

và thoả một đánh giá sai số

17

() ()
(
)
,,, 21

()()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
() ()
()
()
()
()()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
()
()
()
()

Φ−Φ+=
Φ−Φ−
+Φ−Φ=
−++
Φ−Φ=
−=
n
j
m
k
ijk
v
jijkjijk
i
v
n
j
m
k
ijk
v
iijk
v
jijk
v
jijk
i
v
n
j

11
1
11
111
11
1
11
1
ε
ε
ε
ε
/
/
/()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[
]
∑∑

(
)
()
()
(
)
()
()
(
)
()
()
,
///
2
1111
2
1
yeyhyeyfyfyf
v
j
v
j
v
j
v
j
v
jj
−−−−

)
()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
()
()
()
()
()
∑∑
∑∑
==
−
==
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ+

1
2
.
//
/
ε
ε
(4.27)
Đặt
()
.sup
//
yM
My
Φ=
≤
2

Với mọi
,Ω∈
x
ta có từ (4.27) rằng:
18
()
()
() ()
()
()
()
()

n
i
m
k
n
j
ijk
v
j
x
ijk
nj
n
j
v
j
x
ijk
n
i
m
k
nj
X
v
ijk
n
i
m
k

2
1
1
2
111
1
1
11 1
2
1
1
2
1111
1
1
2
2
]supmax
supmax
]supmax
supmax
ε
ε
ε
ε[]
()
[]

.
2
1
2
1
21
X
v
ijk
X
v
ijkijk
eaMeaMb
−
≤−−
ε
ε

Suy ra

()
[]
[] []
() ()
,
1
2
2
121
1

v
M
X
v
β
(4.29)
với
[]
[] []
.
1
2
1
2
ijkijk
ijk
M
aMb
aM
ε
ε
β
−−
=

ii) Từ (4.29) ta suy ra

() () ()
()
()

2
0
2 221
2
3
221
2
2
3
21
2
2
21
2
2
2
2
1
12
3
2
2
2

−
++++
−
++
−
+

0
2
0
21
21
vv
v
X
M
M
X
M
ee
β
β
β
==
−
−
(4.30)
19
tức là (4.25) đúng. Bất đẳng thức đánh giá này cho phép ta kết luận dãy
(
)
{
}
v
f

hội tụ cấp 2 đến nghiệm

T
→: (như trong đònh lý 3.1, chương 3):

()
(
)
(
)
(
)
(
)
,,, 21
1
1
1
=+−≡=
−
−
−
ηε
ηηη
gAzBITzz
(4.31)
Khi đó dãy
()
{
}
η
z

−
=
ijk
ijk
b
aM
ε
σ
(4.33)
Từ (4.32), (4.33), ta chọn
N
∈
0
η
đủ lớn sao cho:

()
() ()
.1
1
0
0
00
<
−
×−≤−
σ
σ
ββ
η

,
và các số thực
M
b
a
ijkijk
,,,
0
ε
chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển
tiệm cận đến cấp
1+
N
theo
ε
thu được, với
ε
đủ nhỏ theo nghóa

[]
()
1
0
+
=
+=
∑
Nr
N
r

S
ijk
,
và các số thực
M
b
a
ijkijk
,,,
0
ε

thoả các giả thiết
()()
,
51
H
H
− lần lượt.
Giả thiết.
() ( )
.;
IRIRCH
N
∈Φ
6

Ta xét hệ bò nhiễu (3.2), trong đó
ε
là một tham số bé, .

]
,
011
AfPLf
≡=
(5.2)

[] []
, ,,,,
NrPLf
rr
32== (5.3)
trong đó

[
][][]
[
]
(
)
, ,,,, ,,,
NrPPPP
r
n
rrr
10
21
==

[]