Bộ giáo dục và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Viện Toán học
Trần Văn Bằng
Một số tính chất định tính
của nghiệm nhớt
cho phơng trình vi phân
đạo hàm riêng cấp hai
Chuyên ngành: Phơng trình Vi phân và Tích phân
Mã số: 62.46.01.05
Tóm tắt luận án tiến sĩ Toán học
Hà Nội - 2007
Công trình đợc hoàn thành tại:
Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam
Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Trần Đức Vân
TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Phản biện 1: PGS.TS Đinh Nho Hào, Viện Toán học
Phản biện 2: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn, Trờng ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội
Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Hoàng, Đại học Huế
Luận án đợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp tại:
Viện Toán học - Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam
vào hồi 14 giờ 00 ngày 04 tháng 10 năm 2007.
Có thể tìm hiểu luận án tại: Th viện Quốc gia, Th viện Viện Toán học, Th viện
Trờng ĐHSP Hà Nội 2.
1
Lời nói đầu
Luận án này dành cho việc khảo sát một số tính chất định tính của nghiệm nhớt
(viscosity solution)- một loại nghiệm suy rộng toàn cục, cho phơng trình vi phân
đạo hàm riêng phi tuyến cấp hai.
Việc nghiên cứu phơng trình vi phân phi tuyến nói chung, phơng trình vi
phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đ và đang là một vấn đề hết sức cần thiết
của Giải tích hiện đại. Phơng pháp đặc trng đ chỉ rõ, nghiệm cổ điển của các

G(x, u(x), Du(x), D
2
u(x)) = 0, (PDE)
cho phép một hàm u : H R chỉ cần liên tục là nghiệm của phơng trình đạo hàm
riêng cấp hai (PDE). Sau đây, để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi thờng
viết (PDE) dới dạng
G(x, u, Du, D
2
u) = 0.
Để đa ra khái niệm nghiệm nhớt cho (PDE) thì hàm G phải thoả mn điều
2
kiện cấu trúc:
G(x, r, p, X) G(x, s, p, Y ) khi r s và Y X; (0.1)
trong đó r, s R; x, p H; X, Y S(H). Điều kiện (0.1) đợc thành lập từ hai
điều kiện
G(x, r, p, X) G(x, s, p, X) khi r s,
và
G(x, r, p, X) G(x, r, p, Y ) khi Y X. (0.3)
Khi hàm G thoả mn điều kiện (0.3) thì G và phơng trình G = 0 đợc gọi là
elliptic suy biến (có một số ít bài báo sử dụng các điều kiện ngợc với điều kiện
(0.1), khi đó bất đẳng thức trong định nghĩa nghiệm dới nhớt và nghiệm trên nhớt
cũng đổi chiều theo).
Khi số chiều của không gian H bằng N, chúng ta đồng nhất H với R
N
, không
gian Euclide N chiều. Lúc này, tập S(R
N
) đồng nhất với tập tất cả các ma trận đối
xứng thực cấp N ì N và (PDE) đợc gọi là phơng trình trong không gian hữu hạn
chiều. Sự phát triển của lý thuyết trong trờng hợp này đợc chia thành hai hớng

hệ của L
p
nghiệm nhớt với các loại nghiệm suy rộng khác, giúp cho chúng ta có
cái nhìn thấu đáo hơn về loại nghiệm suy rộng thú vị này. Năm 2002 R. Jensen,
M. Kocan, và A.
'
Swiech đ chỉ ra sự tơng đơng của L
p
nghiệm nhớt với khái
niệm L
p
nghiệm tốt (good solution) (hàm u là giới hạn trong không gian các hàm
liên tục của một dy các L
p
nghiệm mạnh của các phơng trình xấp xỉ) cho các
phơng trình elliptic đều. Ngay từ khi nhận đợc bản preprint từ Giáo s A.
'
Swiech
về kết quả đó, Giáo s Trần Đức Vân đ đặt bài toán cho tôi xây dựng khái niệm
L
p
nghiệm tốt cho phơng trình parabolic đều. Theo hớng này, tôi đ thu đợc
kết quả song song với các kết quả R. Jensen, M. Kocan, A.
'
Swiech. Kết quả này
đợc trình bày trong Chơng 1.
3
Các phơng trình đạo hàm riêng trong không gian vô hạn chiều đợc phân chia
thành hai loại: phơng trình bị chặn và phơng trình không bị chặn. Nếu tập xác
định của hàm G là một tập mở và G bị chặn địa phơng thì (PDE) đợc gọi là

nghiệm nhớt của các phơng trình trên đ đợc giới thiệu bởi Crandall M.G. và
Lions P L Sau đó có hai hớng phát triển chính là: mở rộng nghiên cứu cho cả
các phơng trình của các hàm đa trị của H. Ishii và phát triển các kỹ thuật để thích
ứng với lớp các phơng trình có độ không bị chặn cao hơn của nhóm tác giả
Gozzi F., Roy E., Sritharan S.S., và A.
'
Swiech. Năm 2000, Gozzi F., Rouy E. và A.
'
Swiech đ đề xuất cách tiếp cận phơng trình (S) theo nghĩa nghiệm nhớt khi hàm
F cũng gây nên tính không bị chặn. Tiếp theo sự phát triển đó, chúng tôi đ đa
ra đợc khái niệm nghiệm nhớt cho (CP) và đ chứng minh đợc cả sự tồn tại lẫn
tính duy nhất của khái niệm nghiệm nhớt đó khi hàm F cũng gây nên tính không
bị chặn. Kết quả này đợc trình bày trong Chơng 3.
Thành công của lý thuyết về nghiệm nhớt một lần nữa đợc khẳng định khi
Gozzi F., Sritharan S. S. và A.
'
Swiech nghiên cứu các phơng trình quy hoạch động
gắn với điều khiển tối u của hệ phơng trình Navier-Stokes. Các tác giả đ đa ra
khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán



u
t
Ax + B(x, x), Du + F (x, t, Du) = 0, (x, t) H ì (0, T)
u(x, T) = g(x), x H.
4
và cho bài toán



p
-nghiệm tốt với L
p
-nghiệm nhớt. Kết quả này cho
chúng ta thêm một sự hiểu biết về L
p
-nghiệm nhớt.
Trong Chơng 2, chúng tôi đa ra khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính
duy nhất nghiệm nhớt cho một lớp các phơng trình tổng quát (S2).
Chơng 3 dành cho việc giới thiệu khái niệm nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy
(CP) trong trờng hợp hàm F có dáng điệu xấu (bad behavior) theo cả x, t, Du
và D
2
u. Với khái niệm nghiệm đó, chúng tôi đ nhận đợc các định lý về sự tồn
tại và tính duy nhất nghiệm nhớt của (CP) dới những điều kiện nhất định.
Sau đây chúng tôi viết tắt tơng ứng bởi t.. và hầu khắp nơi bởi h.k.n..
5
Chơng 1
Nghiệm tốt của phơng trình parabolic cấp 2 đều
Trong chơng này chúng tôi đề xuất khái niệm L
p
nghiệm tốt cho phơng
trình parabolic cấp 2 đều, đồng thời chúng tôi cũng sẽ chứng tỏ rằng L
p
nghiệm
tốt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phơng trình parabolic đều tơng đơng với
L
p
nghiệm nhớt của bài toán đó.
1.1. Một số ký hiệu và kiến thức cơ sở

.
Cho 0 < là các hằng số. Các toán tử cực trị Pucci ứng với và là
các phiếm hàm xác định trên S(R
N
) và đợc định nghĩa bởi
P
+
,
(X) = tr(X
+
) + tr(X

), P

,
(X) = tr(X
+
) + tr(X

).
Trong toàn bộ Chơng 1, R
N
(N 2) luôn đợc giả thiết là một miền
bị chặn và thoả mn điều kiện nón ngoài đều, tức là tồn tại (0, ) và một số
r
0
> 0 sao cho, với mỗi z có một phép quay = (z) thoả mn
B
r
0

p
Q := ( ì (0, T ]) ( ì {0}) đợc gọi là
biên parabolic của Q. Ký hiệu Q
r
:= B
r
ì (r
2
, 0]. Khi đó, lân cận parabolic của
điểm (x, t) Q là các tập hợp có dạng:
Q
r
(x, t) = Q
r
+ {(x, t)}.
Khoảng cách parabolic giữa (x, t) và (y, s) trong R
N
ì R là
d((x, t), (y, s)) = (|x y|
2
+ |t s|)
1/2
.
6
Với khoảng cách này, thì đờng kính diam(Q) và các khoảng cách
dist((x, t),
p
Q), dist(Q

,

Giả sử O R
N+1
là một tập đo đợc tùy ý. Chúng ta sử dụng một số không
gian nh: L
p
(O) : không gian các hàm p khả tích trên O với chuẩn f
L
p
(O)
=
(

O
|f(x, t)|
p
dxdt)
1
p
; L

(O) : không gian các hàm bị chặn cốt yếu trên O với
chuẩn f
L

(O)
= esssup
O
|f(x, t)|; W
2,1,p
(O) : không gian các hàm f có tính chất

p
(O)
+ D
2
f
p
L
p
(O)

1
p
;
cùng với các không gian địa phơng tơng ứng; C(O) là tập hợp tất cả các hạn chế
trên O của các hàm thuộc C(R
N+1
), có chuẩn u
L

(O)
< .
1.2. Các giả thiết cơ bản
Từ đây đến hết chơng này, ta giả sử , là các hằng số dơng cố định.
Bằng cách đặt
f(x, t) := G(x, t, 0, 0, 0), F (x, t, r, p, X) := G(x, t, r, p, X) + f(x, t),
ta có
F (x, t, 0, 0, 0) 0. (1.1)
và chúng ta có thể viết phơng trình (PE) dới dạng
u
t

, X, Y S(R
N
).
Điều kiện (1.3) và (1.4) có nghĩa là: G(x, t, r, p, X) liên tục Lipschitz theo
biến p R
N
với hằng số đều đối với các biến còn lại; G(x, t, r, p, X + P )
G(x, t, r, p, X) P nếu P S(R
N
) là một ma trận dơng; G(x, t, r, p, X) liên
tục Lipschitz theo X S(R
N
) với hằng số đều đối với các biến khác. Nói riêng,
(PE) là một phơng trình parabolic đều và (1.4) suy ra tính elliptic suy biến,
G(x, t, r, p, X) G(x, t, r, p, Y ) khi X Y. (1.5)
Về sự phụ thuộc theo biến r, chúng ta giả thiết

r G(x, t, r, p, X) liên tục đều,
đều theo (x, t) Q, |r| + |p| + X R (R > 0).
(1.6)
r G(x, t, r, p, X) không giảm. (1.7)
Nhận xét 1.1. (i) Hàm F trong (PE) sẽ thoả mn các điều kiện (1.3)(1.7) khi và
chỉ khi G trong (PE) thoả mn các điều kiện đó.
(ii) Do giả thiết p > (N +2)/2 nên W
2,1,p
(Q) đợc nhúng compact trong C(Q).
Hơn nữa, nếu u W
2,1,p
loc
(Q) thì u khả vi parabolic hai lần h.k.n

à,
N
) R
N
, các hàm số
c
à,
, f
à,
đều đo đợc theo (x, t) và thỏa mn
0 < I A
à,
(x, t) I, |B
à,
(x, t)| ,
0 c
à,
(x, t) , g(x, t) := sup
à
inf

f
à,
(x, t) L
p
(Q), p > p
0
đều đối với à, .
8
1.3. Một số khái niệm nghiệm

Định nghĩa 1.2. Hàm u C(Q) đợc gọi là một L
p
nghiệm dới nhớt của (PE)
trong Q, nếu với mỗi hàm W
2,1,p
loc
(Q) khi u có cực đại địa phơng tại
(x,

t) ì (0, T) thì
ess liminf
(x,t)(x,

t)


t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D
2
(x, t)

0.
Hàm u C(Q) đợc gọi là một L
p
nghiệm trên nhớt của (PE) trong Q, nếu
với mỗi hàm W
2,1,p
loc
(Q) khi u có cực tiểu địa phơng tại (x,


t) ì (0, T ) là một điểm sao cho

t
(x, t) + G(x, t, u(x, t), D(x, t), D
2
(x, t)) ,
với một > 0 và với hầu hết (x, t) thuộc một lân cận Euclide của (x,

t) trong R
N+1
,
thì u không thể có cực đại địa phơng tại (x,

t). Khái niệm L
p
nghiệm trên
nhớt cũng cũng có khẳng định tơng đơng nh vậy nhng đổi chiều các bất đẳng
thức và thay cực đại địa phơng bởi cực tiểu địa phơng.
Nhận xét 1.3. i) Với các giả thiết ở Mục 1.2, Crandall và Lions đ chỉ ra rằng:
chúng ta có thể thay lân cận Euclide của điểm (x,

t) trong Định nghĩa 1.2 bởi lân
cận parabolic. Nói cách khác, trong các giới hạn có thể yêu cầu t

t.
ii) Các khái niệm trong Định nghĩa 1.2 là các khái niệm có tính địa phơng.
Do vậy chúng không thay đổi khi ta thay giả thiết W
2,1,p
loc
(Q) bởi W

p
nghiệm mạnh của (PE) nếu nó vừa là L
p
nghiệm
dới mạnh, vừa là L
p
nghiệm trên mạnh của phơng trình đó.
Trong Luận án chúng tôi còn đa ra khái niệm nghiệm từng điểm hầu khắp nơi,
một số tính chất của các loại nghiệm này và mối liên hệ giữa chúng.
1.4. Nghiệm tốt
Định nghĩa 1.15. Ta nói dy hàm G
1
, G
2
, , G
m
, thoả mn các điều kiện cấu
trúc đều theo m nếu (1.3), (1.4), (1.6) đợc thoả mn đều theo m với cùng các hằng
số , , và nếu |G
m
(x, t, 0, 0, 0)| g(x, t) với một hàm g L
p
(Q).
Định nghĩa 1.16. Ta gọi u C(Q) là một L
p
nghiệm tốt của (PE) nếu tồn tại
một dy các hàm G
m
sao cho:
i) G

trình và điều kiện trên biên parabolic. Đối với phơng trình thì các khái niệm
nghiệm đ đợc trình bày chi tiết, còn với điều kiện biên thì luôn đợc hiểu theo
nghĩa chặt, tức là tơng ứng với nghiệm dới (t.. nghiệm trên hay nghiệm) thì bất
đẳng thức (t.. hay đẳng thức) xảy ra tại mọi (x, t)
p
Q.
Nhận xét 1.17. Nếu hàm G(x, t, r, p, X) trong (1.10) liên tục Lipschitz theo biến
X với hằng số L đều đối với các biến còn lại và thỏa mn điều kiện (1.5) thì hàm

G(x, t, r, p, X) = tr(X) + G(x, t, r, p, X) thỏa mn điều kiện (1.4) với các hằng
số = 1, = 1 + L.
Sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán (1.10) đợc chỉ ra trong định lý sau
Định lý 1.18. Giả sử G : Q ìR ìR
n
ì S(R
N
) R là một hàm đo đợc, bị chặn,
thoả mn các điều kiện (1.3), (1.5), (1.6), và liên tục Lipschitz theo biến X đều đối
với các biến còn lại, C(
p
Q). Khi đó bài toán (1.10) có một L
p
nghiệm mạnh
u C(Q) W
2,1,p
loc
(Q).
10
Kết quả này cần thiết cho việc chứng minh sự tơng đơng của L
p

u) = f(x, t) trong Q, u = trên
p
Q. (1.15)
Chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi L
p
-nghiệm nhớt của (1.15) cũng là một L
p
nghiệm
tốt của bài toán đó. Theo kết quả đ biết về tính ổn định của L
p
nghiệm nhớt của
M. G. Crandall, M. Kocan và A.
'
Swiech, mỗi L
p
nghiệm tốt cũng là một L
p
-nghiệm
nhớt.
Định lý 1.20. Giả sử F là hàm đo đợc và thoả mn (1.3), (1.4), (1.1), f thoả mn
(1.2), C(
p
Q). Khi đó, mỗi L
p
-nghiệm nhớt u của (1.15) là một L
p
nghiệm
tốt. Tức là, có một dy hàm F
m
không phụ thuộc u, thoả mn các điều kiện (1.3),

) = f
m
(x, t) trong Q
có L
p
nghiệm mạnh u
m
C(Q) W
2,1,p
loc
(Q). Hơn nữa
u
m
u trong C(Q).
11
Chơng 2
Tính duy nhất nghiệm nhớt của phơng trình đạo
hàm riêng phi tuyến cấp 2 trong không gian con của
L
2
()
2
với R
2
Chơng này dành cho việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phơng trình
u(x) + Ax + B(x, x), Du(x) + F (x, Du(x), D
2
u(x)) = 0, (S)
trong đó A, B tơng ứng là toán tử Stokes và toán tử Euler trong không gian Hilbert
L

0 <
1

2
ã ã ã , lim
k

k
= .
Nếu toán tử B có phổ rời rạc thì chúng ta có thể xác định toán tử g(B) với một
lớp rộng các hàm g() xác định trên [0, ) nh sau:
D(g(B)) =

v =


k=1
v
k
e
k
H :


k=1
v
2
k
[g(
k

2
= B

u, B

v
và chuẩn |v|
2
= |B

v|.
(2) Với > thì V
2
đợc nhúng compact vào V
2
.
(3) V
2
trù mật trong V
2
với mọi > .
(4) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên V
2
đều có dạng F (v) = v, u
với u V
2
. Do đó, V
2
là không gian đối ngẫu của V
2

t
, công thức (2.1) cho ta toán tử mũ e
tB
, t 0.
2.1.2. Về phiếm hàm nửa liên tục theo dãy yếu
Một phiếm hàm f : D H R đợc gọi là nửa liên tục dới (trên) theo
dy yếu (weakly sequentially lower (upper) semicontinuous) nếu với mọi v D,
với mọi dy (v
n
) D, v
n
v, ta có
lim inf
n
f(v
n
) f(v)
(t.. lim sup
n
f(v
n
) f(v)).
Ta nói f là liên tục theo dy yếu nếu nó vừa nửa liên tục dới theo dy yếu, vừa
nửa liên tục trên theo dy yếu. Định lý sau đây là nguyên lý cực trị cơ bản trong
không gian Hilbert.
Định lý 2.3. Giả sử f : D H R là một phiếm hàm; tập D = , lồi, đóng và
bị chặn; f nửa liên tục trên theo dy yếu. Khi đó f đạt giá trị lớn nhất trên M.
2.1.3. Về Cnghiệm nhớt của phơng trình elliptic suy biến trong R
N
Giả sử R

(x)) 0.
Hàm u đợc gọi là Cnghiệm nhớt của (2.4) trong nếu nó vừa là Cnghiệm
dới nhớt vừa là Cnghiệm trên nhớt (do vậy u C()) của phơng trình đó.
2.1.4. Toán tử Stokes và toán tử Euler
Giả sử R
2
là một miền mở, bị chặn với biên trơn. Ký hiệu D() là không
gian các hàm thử trong lý thuyết phân bố trên ; L
p
() là không gian Banach các
hàm pkhả tích Lebesgue trên với chuẩn x
L
p
()
= (


|x()|
p
d)
1/p
, p > 1;
W
k,p
(), k R, p > 1 là không gian Sobolev và H
k
() = W
k,2
().
Ký hiệu W

k,p
()

1
p
.
Nói riêng |.|
0,p
là chuẩn trong L
p
()
2
.
Đặt
H = L
2
div
() := bao đóng của {x D()
2
, div x = 0} trong L
2
()
2
.
V = bao đóng của {x D()
2
, div x = 0} trong H
1
()
2

()
2
V,
định nghĩa bởi Ax = P
H
x đợc gọi là toán tử Stokes.
Toán tử Stokes là một toán tử tuyến tính, dơng, tự liên hợp, A
1
compact, do
đó A có phổ rời rạc. Hơn nữa, chúng ta có
Ax, x = Dx, Dx, x D(A),
do đó theo bất đẳng thức Poincar
'
e, tồn tại một hằng số M = M() > 0 sao cho
Ax, x M|x|
2
0,2
hay A là một toán tử xác định dơng.
Nhắc lại rằng V

là miền xác định D(A

2
) của A

2
với chuẩn
|x|

= |A


y()d.
Toán tử song tuyến tính B(., .) : V ì V V

xác định bởi
B(x, y), z = b(x, y, z), z V
đợc gọi là toán tử Euler
2.1.5. Giả thiết về hàm F
Ta nói rằng hàm : [0, ) [0, ) là một mô đun (modulus) nếu liên tục,
không giảm, dới cộng tính và (0) = 0.
Hàm : [0, ) ì [0, ) [0, ) là một mô đun địa phơng (local modulus)
nếu liên tục, không giảm theo cả hai biến, dới cộng tính theo biến thứ nhất và
(0, r) = 0, r 0. Quan hệ thứ tự trên [0, ) ì[0, ) là quan hệ thứ tự bộ phận:
(a, b) (c, d) khi và chỉ khi a c và b d.
Giả sử H,

H là các không gian Hilbert tuỳ ý, chúng ta ký hiệu B(H,

H),
UC(H,

H), BUC(H,

H) là không gian Banach tất cả các ánh xạ u : H

H tơng
ứng bị chặn, liên tục đều, liên tục đều và bị chặn trên H với chuẩn thông thờng
u = sup
xH
|u(x)|

1
, ã ã ã ,
N
} của A. Chúng ta có

N=1
H
N
= H. Với N N

đ cho, ký hiệu P
N
là phép chiếu trực giao trong H lên H
N
, đặt Q
N
= I P
N
và
H

N
= Q
N
H. Khi đó ta có sự phân tích trực giao H = H
N
H

N
và chúng ta qui

của V

ì V

ì S(H));
(A
1
) F (x, p, X
1
) F (x, p, X
2
), x, p V

, X
1
X
2
;
(A
2
) Tồn tại một môđun sao cho
|F (x, p, X
1
) F (x, q, X
2
)|

(1 + |x|

)|p q|


2


P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N

;

(A
4
) Với mỗi R < +, || R, x, p V

,
sup

|F (x, p,X
N
+ Q
N
) F (x, p, X
N
)| :
X R, X
N
= P
N
XP
N

0 khi N .
2.2. Nghiệm nhớtTính duy nhất
Định nghĩa 2.11. Hàm : H R đợc gọi là một hàm thử của phơng trình (S)
nếu có dạng
(x) = (x) + |x|
2
trong đó
1. > 0;
2. C

D(x) + B(x, x), D(x)
+ F (x, D(x), D
2
(x)) 0).
Hàm u đợc gọi là nghiệm nhớt của (S) nếu nó vừa là nghiệm dới nhớt, vừa
là nghiệm trên nhớt của phơng trình đó.
Nhận xét 2.13. Khi chúng ta hạn chế trong không gian hữu hạn chiều, chẳng hạn
H
N
thì phơng trình (S) trở thành một phơng trình với hệ số liên tục và khái niệm
nghiệm nhớt ở đây trùng với khái niệm Cnghiệm nhớt đ nêu trong Mục 2.1.3.
Gọi K là họ tất cả các hàm u : H R liên tục theo dy yếu, bị chặn, liên tục
Lipschitz theo chuẩn |.|

trên các tập con bị chặn của H. Ta có kết quả sau đây.
Định lý 2.14. Với giả thiết F
1
. Giả sử u, v M với một hằng số M nào đó, u, v
lần lợt là nghiệm dới nhớt và nghiệm trên nhớt của (S). Nếu u và v liên tục
Lipschitz địa phơng theo |.|

trên các tập con bị chặn của H thì u v trên H.
Hơn nữa, nếu (S) có nghiệm nhớt u K thì nghiệm đó là duy nhất.
17
Chơng 3
Nghiệm nhớt của bài toán Cauchy cho phơng trình
đạo hàm riêng parabolic phi tuyến cấp 2 trong không
gian Hilbert
3.1. Đặt bài toán
Xét bài toán

N
= I P
N
và H

N
= Q
N
H.
Khi đó ta có sự phân tích trực giao H = H
N
H

N
. Ký hiệu x
N
là phần tử của H
N
và x

N
là phần tử của H

N
. Với x H, ta viết x = (P
N
x, Q
N
x).
Bài toán (CP) đợc nghiên cứu với các giả thiết sau đây về hàm F

X
2
;
(B
2
) Tồn tại một mô đun sao cho
|F (x, t, p, X
1
) F (x, t, q, X
2
)|

(1+|A

2
x|)|A

2
(p q)|
+ (1 + |A

2
x|
2
)X
1
X
2



P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N
P
N
A

P
N

, (3.1)
18
ta đều có
F

x, t,
A

(x y)

) Với mỗi R < +, || R, t (0, T), x, p D(A

2
),
sup

|F (x, t, p, X
N
+ Q
N
) F (x, t, p, X
N
)| :
X
N
= P
N
XP
N
, X R

0 khi N .
3.2. Nghiệm nhớtSự tồn tại duy nhất
Ký hiệu
UC
x
(H ì [0, T]) = {u C(H ì [0, T]); u(., t) UC(H) đều theo t [0, T ]},
BUC
x
(H ì [0, T]) = {u UC

1
2
) và

t
(x, t) + A
1
2
x, A
1
2
D(x, t) + F (x, t, D(x, t), D
2
(x, t)) 0
(t..

t
(x, t) + A
1
2
x, A
1
2
D(x, t) + F (x, t, D(x, t), D
2
(x, t)) 0).
Hàm u đợc gọi là nghiệm nhớt của phơng trình trong (CP) nếu nó vừa là
nghiệm trên nhớt, vừa là nghiệm dới nhớt của phơng trình đó.
19
Kết quả của chơng này đợc nêu trong hai định lý sau

) ì [0, T],
|p|, X R} < +.
(3.5)
thì (CP) có một nghiệm nhớt duy nhất
u BUC
x
(H ì [0, T]) BUC
x
(D(A


2
) ì [, T ]) với > 0,
thoả mn điều kiện ban đầu theo nghĩa
lim
t0
u(x, t) = g(x), x H.
Hơn nữa, có một mô đun m sao cho
|u(x, t) u(e
(ts)A
x, s)| m(t s) với 0 s t T và x H.
20
Kết luận
Luận án đa ra và nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm suy rộng,
đặc biệt là nghiệm nhớt cho một số lớp phơng trình vi phân đạo hàm riêng phi
tuyến đầy đủ cấp hai. Các kết quả chính của Luận án bao gồm:
1. Đề xuất khái niệm L
p
nghiệm tốt cho phơng trình đạo hàm riêng parabolic
cấp 2 đều với hệ số không liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Chỉ ra sự tồn

a) Khảo sát sự tồn tại của nghiệm nhớt trong Chơng 2;
b) Nghiên cứu tính chất chính quy của nghiệm nhớt.
Danh mục công trình của tác giả đã công bố
1. Tran Van Bang (2006), The uniqueness of viscosity solutions of the second order
nonlinear partial differential equations in a Hilbert space of two-dimensional
functions, Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 31, No 2, 149-166.
2. Tran Van Bang and Tran Duc Van (2006), Viscosity solutions of the Cauchy
problem for second order nonlinear partial differential equations in Hilbert
spaces, Elec. Jour. of Diff. Equa., Vol. 2006, No. 47, 1-15.
3. Tran Duc Van and Tran Van Bang (2002), Good solutions of fully nonlinear
parabolic equations, Selguk Jour. of Applied Math., Vol. 3, No. 1, 100-111.
Các kết quả của luận án đã đợc báo cáo tại
*Seminar của Phòng Phơng trình Vật lý Toán, Viện Toán học, Viện Khoa học
và Công nghệ Việt Nam.
*Seminar Giải tích và Đại số, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà nội.
*Hội thảo Phơng trình Vi-Tích phân và ứng dụng, Ba vì, tháng 5/2004.
*Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6 tại Huế, tháng 9/2002.
*Hội nghị Quốc tế về Phơng trình vi phân và ứng dụng tại Thành phố Hồ Chí
Minh, tháng 8/2004.
*Các Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh thuộc Viện Toán
học: 11/2003, 11/2004, 11/2005.
*Các hội nghị khoa học Trờng ĐHSP Hà Nội 2: 5/2003, 5/2004, 5/2005.