LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong
tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận
theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số.
Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải
quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các
nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.
Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những
phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Để làm
được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các
phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. Phương pháp
không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V.
Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này.
Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc
nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo
các tài liệu [4] (2009) và [9]-[11] (2003-2008).
Luận văn gồm ba Chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương
trình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số cổ
điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản.
Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những
năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính,
theo các tài liệu [9]-[11].
1
Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân
bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V. Berghe ([4],
2009).
Thông qua việc tính toán đạo hàm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗi
Taylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M.
V. Bulatov và G. V. Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất.
Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB và

trong đó
( ) ( )
, ,f x t x t
là các hàm vectơ
n
- chiều, hàm
f
xác định trên hình hộp vô
hạn
[ ]
n
RD
×=
1,0:
.
Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm của (1.1)-(1.2)
là một hàm khả vi
( )x t
trên
[
)
0,
α
,
1
α
≤
sao cho
( ) ( ( ), )x t f x t t
′

( )B t
, của các vectơ
( )
,f x t
,
( )g t
là đủ
trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo định lí Picard-
Lindelöf, hệ (1.1)-(1.2) có duy nhất nghiệm
( )x t
trên toàn đoạn
[ ]
0,1
(nghiệm có thể
kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục, xem [8],
trang 467). Lưu ý này là quan trọng trong giải số hệ phương trình (1.1)-(1.2).
3
1.2. Giải số bài toán Cauchy
Để chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân
(1.1)-(1.2), ta có thể xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm của bài toán
(1.1)-(1.2) trên khoảng tồn tại nghiệm. Có hai phương pháp xây dựng dãy nghiệm
xấp xỉ: phương pháp giải tích và phương pháp số kết quả được cho dưới dạng bảng,
như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước,...
Dưới đây trình bày cách xây dựng các công thức Euler, Runge-Kutta,... xuất phát từ
qui tắc cầu phương cơ bản (xem, thí dụ, [2]).
1.2.1. Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân
Quy tắc cầu phương cơ bản (basic quadrature rules) có thể được coi là phương pháp
quan trọng để tính tích phân. Vì giải phương trình vi phân thường (1.1) với điều kiện
ban đầu (1.2) tương đương với việc giải phương trình tích phân
0

c c c
trong khoảng
[ ]
,a b
. Đa thức nội
suy Lagrange bậc nhỏ hơn
s
có dạng (xem [1]):
1
( ) ( ) ( )
s
j j
j
t f c L t
ϕ
=
=
∑
,
trong đó
1,
( )
( )
( )
s
i
j
i i j
j i
t c

a
L t dt
ω
=
∫
Nếu
1s =
thì đa thức nội suy
1
( ) ( )t f c
ϕ
≡
và ta có:
1
( ) ( ) ( ).
b
a
f t dt b a f c≈ −
∫

Ta nói độ chính xác (precision) của quy tắc cầu phương là
p
nếu quy tắc này chính
xác cho mọi đa thức bậc nhỏ hơn
p
, tức là với mọi đa thức
( )
k
P t
bậc nhỏ hơn

1s
=
và
1
c a=
thì ta có công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích hình chữ
nhật ABCD (Hình 1.1):

( ) ( ) ( ).
b
a
f t dt b a f a≈ −
∫
(1.5)
Nếu
( )x t
là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) - (1.2) (nghiệm của phương trình
tích phân (1.4)) thì:

( ) ( ) ( ( ), )
t h
t
x t h x t f x s s ds
+
+ − =
∫
(1.6)
Kết hợp với công thức (1.5) ta đi đến công thức:
( ) ( ) . ( ( ), )x t h x t h f x t t+ − =
(1.7)

5
O
f
x
C
D
b
B
a
A
1 0 0 0
. ( , )x x h f x t= +
;
2 1 1 1
. ( , )x x h f x t= +
;
.....;
1
. ( , )
n n n n
x x h f x t
+
= +
.
Đây chính là công thức Euler tiến quen thuộc. Hình 1.1
• Nếu chọn
1s =
và
1
c b=

công thức xấp xỉ tích phân bởi diện tích
hình chữ nhật ABMN (Hình 1.3):
( ( ), ) . ( ( ), )
2 2
t h
t
h h
f x s s ds h f x t t
+
= + +
∫
Từ đây ta có: Hình 1.3
( ) ( ) . ( ( ), )
2 2
h h
x t h x t h f x t t+ − = + +
.
Từ công thức trên ta có
1
[ ( ( ), ]
2 2
n n n n
h h
x x h f x t t
+
= + + +
.
Đây chính là phương pháp trung điểm (midpoind method).
6
E

a b
−
=
−
và
2
( ) .
( )
t a
L t
b a
−
=
−
Suy ra
2
1 1
1 ( )
( )
( ) ( ) 2 2
b
b b
a a
a
t b t b b a
L t dt dt
a b a b
ω
− − −
= = = =

.
Như vậy nếu xấp xỉ tích phân
( ( ), )
t h
t
f x s s ds
+
∫
bởi công thức trên (bởi diện tích hình
thang ABED, Hình 1.4)

thì ta được:
( ( ), ) [ ( ( ), ) ( ( ), )]
2
t h
t
h
f x s s ds f x t h t h f x t t
+
≈ + + +
∫
.
Từ đây ta có công thức hình thang:
1 1 1
[ ( , ) ( , )]
2
n n n n n n
h
x x f x t f x t
+ + +

( )( )
2
a b
t t b
a b
L t t t b
a b
h
a a b
+
− −
+
= = − −
+
− −
7
E
D
b
B
a
A
O
f
x

2
2
( )( ) 4
( ) ( )( ),

+
= = − −
+
− −
Suy ra
1 1
2 2
3 2
2
2 2
3
2
2 2
( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2 2 ( ) ( )
[( ) ( )( )] [ ( ) ]
2 3 2 2
2 ( )
.
12 6
b b b
a a a
b
b
a
a
a b a b
L t dt t t b dt t b t b dt
h h

t a t a h
a b
h
ω
− −
= = − − = − − + −
− − −
= + − =
∫ ∫ ∫
Do tính chất đối xứng (hoặc tính trực tiếp), ta có
3 1
6
h
ω ω
= =
.
Từ các tính toán trên ta đi đến công thức Simpson:
( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]
6 2
b
a
h a b
f t dt f a f f b
+
≈ + +
∫
.
Suy ra công thức xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân
( ) ( ) [ ( ( ), ) 4 ( ( ), ) ( ( ), )]
6 2 2

,
ta thay giá trị
1n
x
+
ở vế phải bằng công thức Euler tiến:
1
ˆ
( , )
n n n n
x x hf x t
+
= +
.
Khi ấy ta được công thức:
1 1 1
ˆ
[ ( , ) ( , )]
2
n n n n n n
h
x x f x t f x t
+ + +
= + +
Công thức này được gọi là phương pháp hình thang hiển (explicit trapezoidal
method).
• Bằng cách sử dụng xấp xỉ bậc nhất của
( )
2
n

n
h
x x hf x t
+
+
= + +
• Từ phương pháp Runge-Kutta ẩn cấp bốn kinh điển
9

1 1 1
[ ( , ) 4 ( ( ), ) ( , )]
6 2 2
n n n n n n n n
h h h
x x f x t f x t t f x t
+ + +
− = + + + +
,
ta có công thức Runge-Kutta hiển bậc bốn kinh điển sau:
1 1 2 3 4
( 2 2 ), 0,1,2,...
6
n n
h
x x k k k k n
+
= + + + + =
trong đó:
1
1

thành một lưới đều
i
t ih=
,
0,1,2,...,i N=
,
1
h
N
=
,
và kí hiệu
i
x
là giá trị xấp xỉ
( )
i
x t
,
( )
i i
B B t=
,
( )
i i
g g t=
.
Phương pháp Runge-Kutta cho bài toán (1.1)-(1.2) có dạng (xem, [2], [4]-[7])
1
1

1
,
. (1.9)
Các tham số
ij
a
,
i
c
,
i
b
xác định bậc xấp xỉ của phương pháp, còn
s
được gọi là số
nấc. Nếu
0
ij
a =
với mọi
j i≥
thì ta có phương pháp Runge-Kutta hiển. Khi ấy tính
toán khá đơn giản (
i
X
được tính theo công thức truy hồi). Nếu
0
ij
a ≠
với

tại
n
t
là
n
x
. Phương pháp Runge-Kutta hiển hai
nấc cấp hai sử dụng điểm
( , )
n n
x t

để xấp xỉ giá trị của
x
tại điểm tiếp theo bằng
công thức
1 1 1 2 2
( ),
n n
x x h b k b k
+
= + +
(1.10)
trong đó

1 2 2 21 1
( , ); ( , ).
n n n n
k f x y k f x c h y ha k= = + +
Khái niệm

,
2
2
1
2
c
b
=
,
21
2
1
2
a
b
=
.
11
Chọn
2
1
2
b =
, thì
1
1
2
b =
và
21 2

và
2
1
2
c =
. Khi ấy ta có công thức
1 1 1 2 2
( ) . . ( ( , ), )
2 2
n n n n n n n
h h
x x h b k b k x h f x f x t t
+
= + + = + + +
.
Phương pháp tính theo công thức trên được gọi là phương pháp Euler-Cauchy.
1.2.3. Phương pháp cổ điển đa bước
Phương pháp cổ điển
k
-bước cho bài toán (1.1) có dạng (xem, [3], [4]-[7])
1 1 1
0 0
( , )
k k
j i j j i j i j
j j
x h f x t
ρ σ
+ − + − + −
= =

và
0
0
σ
=
thì phương pháp là phương pháp hiển. Nếu
0
0
ρ
≠
và
0
0
σ
≠

thì ta có phương pháp ẩn.
1.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số
1.3.1. Mô hình thử
Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G.
Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô hình thử)
12
( )
[ ]
0
, 0 , 0,1x x x x R t
λ
′
= = ∈ ∈
, (1.13)

1
,
,...2,1,0
=
n
,
trong đó
0
x
cho trước và
σ
nói chung là một số phức. Nghiệm của phương trình
này là
0
xx
n
n
σ
=
. Ta thấy rằng nghiệm này bị chặn khi và chỉ khi
1
≤
σ
.
Giả sử bước
0
>
h
cố định. Khi ấy giá trị của nghiệm chính xác tại các điểm
nht

≤=
hh
R
λλ
. Điều này có nghĩa là, trên mặt phẳng với trục hoành
)Re( h
λ
và trục
tung
)Im( h
λ
, miền ổn định của nghiệm chính xác phải là nửa mặt phẳng mở bên
trái.
Phương pháp một bước được gọi là ổn định tuyệt đối nếu
1
≤
σ
và ổn định tương
đối nếu
h
e
λ
σ
≤
.
Nếu
λ
là thuần ảo và
1
=

của phương pháp (1.8)-(1.9). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì
phương pháp được gọi là ổn định-A, còn nếu ngoài ra
lim ( ) 0
z
R z
→∞
=
thì phương pháp
được gọi là ổn định-L(hay còn gọi là ổn định tiệm cận).
1.3.2. Sự ổn định của phương pháp Euler
Phương pháp Euler áp dụng cho phương trình thử (3.1) có dạng
( )
nnnnnnn
xhhxxtxhfxx
λλ
+=+=+=
+
1),(
1
.
Nghiệm của phương trình sai phân tương ứng là
( )
0
1 xxhx
n
n
n
n
σλ
=+=

=
, trong đó
ω
là số thực khác 0). Khi ấy
111
22
>+=+=
hhi
ωωσ
.
Chứng tỏ phương pháp là không ổn định nếu
λ
là thuần ảo.
3)
λ
là số phức (
IR
i
λλλ
+=
). Khi ấy
( ) ( )
1111
22
≤++=++=+=
hhhihh
IRIR
λλλλλσ
,
nghĩa là

hình tròn. Nếu
λ
là số thực âm thì từ điều kiện
02
<<−
h
λ
suy ra
0
2
≤≤
−
h
λ
.
Nếu
λ
là thực và nghiệm số không ổn định thì
11
>+
h
λ
, nghĩa là
h
λ
+
1
là một số
âm và có trị tuyệt đối lớn hơn 1. Vì
( )

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử (1.13). Ta có
nnn
hxtxhfk
λ
==
),(
1
;
( ) ( ) ( )
nnnnnn
xhhhxxhkxhhtkxhfk
λλλλλ
+=+=+=++=
1),(
112
và
( ) ( )( )
nnnnn
x
h
hxhhhxkkxx








++=+++=++=

1
2
1
22
≤++
h
h
λ
λ
hay
02
≤≤−
h
λ
.
Trường hơp 2.
ωλ
i
=
thuần ảo,
0
≠
ω
.
Khi ấy
1
4
1
1
44


+
++=++
2
22
22
2
1
2
1
là số phức. Đặt
θ
λ
λ
i
e
h
h
=++
2
1
22
và tìm nghiệm phức
h
λ
của phương trình bậc hai
theo các giá trị của
θ
. Nhận xét rằng
1






+=
2
1
2
1
2
λ
λλλλ
;
nnnn
x
hh
hx
h
hxh
k
xhk









22
2
3
λλ
λ
λ
λλλ
;
( )
nnnn
x
hh
hhx
hh
hxhkxhk








+++=












+++=++++=
+
!4!32
122
6
1
443322
43211
λλλ
λ
.
Để phương pháp ổn định thì
1
≤
σ
, trong đó
!4!32
1
443322
hhh
h
λλλ
λσ
+++=
.

λλλ
λ
i
e
hhh
h
=+++
!4!32
1
443322
và tìm
nghiệm phức
h
λ
của phương trình bậc bốn theo các giá trị của
θ
. Nhận xét rằng
1
=
σ
với mọi giá trị của
θ
.
Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.6.
Hình 1.6
1.3.4. Sự ổn định của phương pháp đa bước
Áp dụng các phương pháp (1.11) và (1.12) cho bài toán (1.13) ta được
( )
1
0

( ) 1z
ν
≤
với mọi nghiệm của (1.15)
và
( ) 1z
ν
<
đối với các nghiệm bội được gọi là miền ổn định của phương pháp
17
(1.14). Nếu tập hợp đó chứa toàn bộ nửa mặt phẳng trái thì phương pháp được gọi là
ổn định-A.
Nhận xét
Với mọi phương pháp cổ điển miền ổn định chứa gốc tọa độ của mặt phẳng phức.
Tương ứng với bậc của phương pháp ta đã biết những điều sau (xem [11]):
1) Bậc của các phương pháp Runge-Kutta
s
-nấc cho phương trình (1.13)-(1.15)
không vượt quá
2s
(chắn Butcher).
2)
p
là cấp chính xác,
k
là số bước của phương pháp (1.11).Nếu phương pháp ổn
định thì
p
không vượt quá
2k

+=
)(
, trong đó
A
và
B
là các hằng số bất kì
được xác định bởi điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên tương ứng.
Nếu
0
>
k
và
∞→
x
thì nghiệm bị chặn. Đại lượng
kx
e
−
là nghịch biến khi
0
>
k
và
đồng biến khi
0
<
k
.
Xấp xỉ sai phân trung tâm cho hệ là

+=
2
2
.
18
Nếu
0
>
k
đại lượng
1
2
2
<
+
−
kh
kh
nên
i
kh
kh






+
−

trình bày phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ phương trình vi
phân phi tuyến cấp một. Phương pháp không cổ điển do Bulatov đề xuất giải số hệ
phương trình vi phân tuyến tính cấp một được trình bày trong 2.2. Để làm sáng tỏ
phương pháp, chúng tôi đã thực hiện các tính toán chi tiết (phân tích các hàm nhiều
biến dưới dạng chuỗi Taylor,...) mà trong [9]-[11] trình bày không tường minh.
2.1. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân
phi tuyến cấp một
2.1.1. Phương pháp tổng quát
Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình
[ ]
( ) ( ( ), ), 0,1x t f x t t t
′
= ∈
(2.1)
thỏa mãn điều kiện ban đầu
0
(0)x x=
, (2.2)
trong đó
( ) ( )
, ,f x t x t
là các hàm vectơ
n
- chiều, hàm
f
xác định trên hình hộp chữ
nhật vô tận
[ ]
1,0:
×=

phương trình vi phân (2.1)-(2.2). Dưới đây ta cố gắng kết hợp hai phương pháp (2.3)
và (2.4) để được một phương pháp số mới giải hệ phương trình vi phân (2.1)-(2.2).
Khai triển Taylor tại điểm
i
x x=
ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 1 1 1
, , ,
i i i i i i i i i i
f x t f x t J x t x x O x x
+ + + + + +
= + − + −
và
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 1 2 2
2
2 2 2 1 2 1
2
2 2 2 1 1

( , ) (1 ) ( , ) ( , )( )
i i i i i i i i i i
x x h c f x t c f x t c J x t x x
+ + + +
− = + − + −
, (2.3’)
[
1 2 2 2 1
( , ) ( , )( )]
i i i i i i i i
x x h f x t c h c J x t c h x x
+ +
− = + + + −
. (2.4’)
Viết lại hai công thức trên thành một hệ phương trình đại số tuyến tính có ẩn là
1i
x
+

(kí hiệu
E
là ma trận đơn vị cấp
n
):
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
i i i i i i i i

Khi ấy (2.5) trở thành:
21
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 3 2 2 1
2 2
1 1 3 2 2
1 1 1 1 1
3 2 2 2
, ,
, ,
, , 1 ,
, , .
i i i i i

t
tại điểm
( )
,
i i
x t
ta được:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
2
2 2
2
1
2
2 2
2
3
1 1
, , ,
, , ,

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
}
( )
3 1 1 2 3 2 3
2
2 2
2 2 2
1 2 3 2
3 1 1 2 3 2 3
(1 ) 2 ( , ) 2 , 2 ( , ) 2 ,
, , , ,
2
(1 ) 2 ( , ) 2 , 2 ( , ) 2
i i t i i i i t i i
i i t i i i i t i i i i i
i i t i i i i
c E h c J x t c hJ x t c c J x t c c hJ x t
h
h c J x t hJ x t c c J x t c hJ x t x hx x
c E h c J x t c hJ x t c c J x t c c h
′ ′
 
+ + − − − − +
 
 
 
′ ′ ′ ′′

i i t i i i i t i i i
i i t i i i i t i i i i
i i t i i i i t i i
J x t
h c J x t hJ x t c c J x t c hJ x t x
h E hc J x t hc J x t c f x t c hf x t c f x t
hc E hc J x t h c J x t f x t hc f x t O h
 
+
 
 
′ ′
+ + + + +
 
 
′ ′
   
+ − − + + − +
   
 
′ ′
 
+ − − + +
 
 
hay
22
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

′ ′
= − + + − + +
hay
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2 3
1 1 1 3
2 2 2 3
2 3 2 3 2 3
(1 ) 2 , 2 , ,
2
, , , , , , ,
, , , ,
i i t i i i i i i
i i t i i i i i i i i t i i i i
t i i i i i i i i
h
c E h c c c J x t h c c c J x t c c c J x t hx x
hf x t c h f x t c h J x t f x t c h J x t f x t hc f x t
c c h f x t c c h J x t f x t c c h J x t f
 
 
′ ′ ′′

( ) ( ( ), )x t f x t t
′
=
(phương trình (1.1)) nên hệ thức trên đúng với mọi
3
c
.
• Hệ số của
2
h
:
3 1 2 3
1 1 2 3 2 3
(1 ) 2( ) ( , )
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
i
i i i
t i i i i i i t i i i i i i
x
c c c c J x t x
c f x t c J x t f x t c c f x t c c f x t J x t
′′
′
+ − +
′ ′
= − + −

Từ phương trình (1.1) ta có:
( ) ( ( ), )x t f x t t

hay
( ) ( )
( )
3
1 2 3
1
, , ( , ) 0
2
i i i i t i i
c
c c c J x t f x t f x t
+
 
′
+ + + =
 ÷
 
.
Như vậy, hệ số của
2
h

bằng 0 khi và chỉ khi ta có
3 1 2 3
1 2 2c c c c+ = +
. (2.7)
23
Như vậy nếu chọn
1 2 3
, ,c c c

< < ∞
.
2.1.2. Phương trình thử
Áp dụng công thức (2.6) cho phương trình thử
( )
[ ]
0
, 0 , 0,1x x x x R t
λ
′
= = ∈ ∈
. (2.8)
Ta có
( )
, ,f x t x
λ
=
do đó
( )
, , ,J x t x t
λ
= ∀ ∀
và
2 1 1 1
( , ) , ( , )
i i i i i i
f x t c h x f x t x
λ λ
+ + +
+ = =

c E c c c c h c c c c c c h x
λ λ
λ λ
+
+ + − − + +
= + + + − − + + − −
(2.9)
Đặt
z h
λ
=
và nhận xét rằng, với phương trình thử, ma trận
1E =
là một số, ta được
công thức
1
( ).
i i
x R z x
+
=
,
trong đó
( )
2 2 2
3 1 3 2 3 1 1 3 2 2 3
2 2 2
3 1 2 3 1 2 3
(1 ) (1 2 2 ) ( )
(1 ) 2( ) ( )

1.
c c c
c c c c c c
c

+ ≠


− + − =


≠ −


(2.10)
Chú ý rằng khi
3
1c = −
thì điều kiện (2.7) cho
0
231
=+
ccc
. Khi ấy
( )
1
=
zR
2.1.3. Trường hợp đặc biệt
Nếu chọn

2
1
( )
1
2
R z
z
z
=
− +
có
lim ( ) 0
z
R z
→∞
=
.
Như vậy (2.11) là công thức có tính chất ổn định-L.
Trường hợp đặc biệt này đã được xét độc lập trong [9].
Công thức (2.11) trùng với một phương pháp Runge-Kutta, đó là phương pháp
Lobatto III C với bảng Butcher
0 ½ -1/2
1 ½ ½
½ ½
Tuy nhiên, trong trường hợp tuyến tính, khi ma trận
( )B t
phụ thuộc vào
t
, thì các
phương pháp (2.11) và phương pháp Lobatto cho các kết quả khác nhau.