Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh

1

MụC LụC
Trang
Mở đầu
. 3

Chơng 1:
KIếN THứC chuẩn bị.
5
1.1. Bổ xung về không gian Banach 5
1.1.1. Không gian định chuẩn 5
1.1.2. Không gian Banach10
1.1.3. Không gian Banach khả li 10
1.1.4. Toán tử tuyến tính liên tục. 9
1.2. Không gian Hilbert 12
1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert 12
1.2.2. Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert 12
1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert 14
1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn 15
1.2.4.1. Vectơ trực giao 15
1.2.4.2. Một số tính chất đơn giản .16
1.2.4.3. Hệ thống trực giao 17
1.2.4.4. Hệ thống trực chuẩn .17
1.2.4.5. Bất đẳng thức Bessel .19
1.2.4.6. Hệ trực chuẩn đầy đủ 20
1.2.4.7. Các định lý 20
1.2.4.8. Cơ sở trực chuẩn 23
1.2.5. Phép chiếu..24

2.5. Một số cách giải phơng trình tích phân tuyến tính.62
2.5.1. Pơng pháp đại số 61
2.5.2. Phơng pháp xấp xỉ 62
2.5.3. Phơng pháp lặp liên tiếp 64
2.5.4. Bài tập áp dụng 67
Kết luận .84
Tài liệu tham khảo .85
Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh

3

Mở đầu

1) Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành Toán học đợc xây dựng vào khoảng đầu thế
kỷ XX và đến nay hầu nh đ đợc xem nh một ngành toán học cổ điển. Trong
quá trình phát triển, Giải tích hàm đ tích lũy đợc một nội dung hết sức phong
phú. Những phơng pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của Giải tích hàm đ
xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ
Giải tích và không gian vectơ. Chính điều đó đ mở ra phạm vi nghiên cứu lớn
cho ngành Toán học.
Phơng trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích
hàm đợc xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hoá học và nhiều khoa
học ứng dụng khác. Cụ thể nh trong nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt và

5) í ngha khoa hc v thc tin
Khoỏ lun l ti liu tham kho cho thy cụ giỏo, cỏc bn sinh viờn khoa
toỏn. V bn thõn bờn cnh vic ủc tỡm hiu sõu hn v phng trỡnh tớch
phõn tuyn tớnh trờn khụng gian Hilbert cũn ủc nõng cao kin thc c s v
Gii tớch hm.
6) Cấu trúc của khóa luận
Ngoi li núi ủu, mc lc, kt lun, ti liu tham kho, ni dung khoỏ
lun l ti liu dy 85 trang gm hai chng:
Chơng 1 - Kiến thức chuẩn bị
Chơng 2 - Một số phơng trình tích phân tuyến tính Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC chuÈn bÞ
1.1. BỔ SUNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH


,
∀ ∈Χ
x

λ
∀ ∈Κ(
)
iii

,
+ ≤ +
x y x y

,
∀ ∈Χ
x yĐượ
c g
ọ
i là m
ộ
t chu
ẩ
n trên
Χ

t c
ả
các hàm s
ố

(
)
x x t
=
xác
ñị
nh và
ñ
o
ñượ
c trên
ñ
o
ạ
n
[
]
;
a b
v
ớ
i bình ph
ươ
ng mo
ñ

( ) ( )
 
 
= < +∞
 
 
 
∫
b
a
x x t x t dt
Khi
ñ
ó (
[ ]
2
,
a b
L
,
⋅
) là không gian
ñị
nh chu
ẩ
n, v
ớ
i chu
ẩ
n

t v
ậ
y:

∀
[ ]
2
,
a b
x L
∈
:
( )
2
0
≥
x t
,
[
]
,
∀ ∈
t a b

suy ra
( )
2
0
b
a

∫

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

6

( ) ( )
2 2
0 0
⇔ = ⇔ =
∫
b
a
x t dt x t

hầu khắp nơi trên
[
]
,
a b(
)
0
⇔ =
x t hầu khắp nơi trên
[
]
,

 
∫
b
a
x x t dx
=
1
2
2 2
( )
λ
 
 
 
∫
b
a
x t dt

=
( )
1
2
2
2
λ
 
 
 
∫

:
(
)
(
)
(
)
(
)
,
+ = +
x y t x t y t

[
]
,
∀ ∈
t a b
nên:
( )( )
1
2
2
b
a
x y x y t dt
 
+ = +
 
 

⋅ ≤ ⋅
   
   
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
x t y t dt x t dt y t dt

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
+ = + ≤ +
∫ ∫
b b
a a
x y x t y t dt x t y t dt

( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2 2 2
2
b b b b
a a a a
x t dt y t dt x t dt y t dt
   
≤ + ⋅ +

Cho nên
(
)
2
2
+ ≤ +
x y x y
hay:
.
+ ≤ +
x y x yTrường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

7

∗
Tính Chất
)
+

(
)
,
d x y
=
−
x y
,

n n
x y
trong không gian ñịnh chuẩn X, lần
lượt hội tụ tới
0 0
,
x y
thuộc X, tức
0
lim ,
=
n
x x

0
lim
=
n
y y
và
{
}
λ
n
là dãy số
trong trường K với lim
0
λ λ
= ∈Κ
n

)
0 0 0 0 0 0 0 0
λ λ λ λ λ λ λ λ
− = − + − ≤ − + − ≤
n n n n n n n n
x x x x x x x x

0 0 0
0
n n n
x x x
λ λ λ
≤ − + − →
(khi
→ ∞
n
)
Tõ ®ã

cã:

(
)
0 0
lim
n n
x x
λ λ
=
.

(1) và (2) suy ra:
− ≤ −
x y x y
.
Do
ñ
ó, v
ớ
i
{
}
n
x
là m
ộ
t dãy ph
ầ
n t
ử
trong X mà h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i
0
∈Χ
x thì:
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

x
trong không gian ñịnh chuẩn X ñược gọi là dãy cơ bản nếu
ε
∀
>0
cho trước,
0
∗
∃ ∈Ν
n ñể
0
,
∀ ≥
m n n
ta ñều có
−
n m
x x
<
ε
.
∗
Ví dụ 1.1.2. Không gian
ℝ
n
với chuẩn
2
1=
=
∑

∞
=
∑
hội tụ, gọi
{
}
n
S
là dãy tổng riêng của chuỗi
1
∞
=
∑
n
n
x
với
n
S
=
1
=
∑
n
k
k
x
, khi ñó với mọi số tự nhiên
,
n

b
ả
n trong không gian X, vì X là không gian Banach
nên dãy này h
ộ
i t
ụ
, do
ñ
ó chu
ỗ
i
1
∞
=
∑
n
n
x
h
ộ
i t
ụ
.
Ng
ượ
c l
ạ
i, X là không gian
ñị

s
ử

{
}
n
x
là m
ộ
t dãy c
ơ

b
ả
n b
ấ
t kì c
ủ
a không gian tuy
ế
n
t
ính
ñị
nh chu
ẩ
n X, khi
ñ
ó v
ớ

ó

1
2
− ≤
l m
n
x x (3)
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

9

Ta chọn các
n
k
sao cho:
1 2 3

< < < < <
n
k k k k thì ta sẽ có dãy con
{
}
n
k
x
của dãy
{
}
n

n n
k k k k k k k
x x x x x x x (4)
có
1
0
+
− →
n n
k k
x x khi
→ ∞
n

Do v
ậ
y (4) h
ộ
i t
ụ
tuy
ệ
t
ñố
i, theo gi
ả
thi
ế
t thì chu
ỗ

x
là dãy cơ bản suy ra
chuỗi
{
}
n
x
hội trong X.

Suy ra
(
)
,
Χ ⋅
là không gian Banach.
1.1.3. Không gian Banach khả li
∗
Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X ñược gọi là khả li (hay tách ñược) nếu
tồn tại một dãy
{
}
n
n
x
các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X.
∗
Ví dụ 1.1.3. Không gian các hàm số liên tục trên
[
]
0,1

.
1.1.4.Toán tử tuyến tính liên tục
∗
Định nghĩa 1.1.4. Cho
(
)
, .
X
X và
(
)
, .
Y
Y là hai không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn trên cùng một trường K. Ánh xạ A :
X Y
→
gọi là toán tử tuyến tính liên
tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục.
∗
Chú ý. A liên tục tại ñiểm
0
∈Χ ⇔
x với mọi dãy
{
}
n
x
các phần tử của
Χ

A x y Ax Ay
+ = +

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

10 

(
)
x,A x A
λ λ λ
= ∀ ∈Κ

Định lý 1.1.4. Giả sử cho
A
:
→
X Y
là một toán tử tuyến tính từ không gian
ñịnh chuẩn
X
vào không gian ñịnh chuẩn Y, khi ñó 3 mệnh ñề sau là tương
ñương:

i
A liên tục


Χ
và dãy
{
}
n
n
x

hội tụ tới ñiểm
∈Χ
x
, ta chỉ ra
lim x
n
Ax A
=
. Thật vậy, vì
n
x
,
∈ Χ
x
,
∗
∀ ∈
ℕ
n
nên
(
)

ạ
i
θ
∈ Χ
suy ra:
(
)
lim 0
n
A x x A
θ
− = =
lim
n
Ax Ax
⇒
=
.
Nên A liên t
ụ
c t
ạ
i
x
, v
ớ
i m
ọ
i
∈ Χ

c t
ạ
i ph
ầ
n t
ử

θ
∈Χ
, do
ñ
ó
0
∃∂ >
sao cho m
ọ
i
x
∈ Χ
mà
≤ ∂
x thì ta có
1
Ax
≤
. Bây gi
ờ
v
ớ
i m

x

ñượ
c:
1
A 1 A
x
A x x x
x x
∂ ∂
= ⋅ ≤ ⇔ ≤ ⋅
∂
(5)
B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c (5)
ñ
úng cho c
ả
tr
ườ
ng h
ợ
p
θ
=

ậ
y, v
ớ
i
x
là ph
ầ
n

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

11

tử bất kỳ của
Χ
,
{
}
n
x
là dãy phần tử trong X hội tụ tới x, tức
0
− →
n
x x khi
→ ∞
n
. Do
Α
bị chặn nên tồn tại

→ ∞
n
.
Do tính tuy
ế
n tính c
ủ
a A suy ra
lim
n
Ax Ax
=
. Vậy A liên tục tại
x
, với
x
là bất kỳ
suy ra A liên tục.
∗
Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn
Cho X,Y là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng trường K. Ta
ký hiệu L
(
)
,
X Y
là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Khi
ñó với phép cộng các toán tử và phép nhân vô hướng thông thường:
)
+

X Y
,
,
λ
∈Χ ∈Κ
x

Tậ
p
L
(
)
,
X Y
là m
ộ
t không gian vect
ơ
trên tr
ườ
ng
Κ
và v
ớ
i chu
ẩ
n
ñượ
c xác
ñị

và gọi
∗
Χ
là không gian liên hợp của không gian ñịnh chuẩn X. Mỗi
phần tử của
∗
Χ
ñược gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

12

1.2. KHÔNG GIAN HILBERT

1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert
∗
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian vectơ trên trường K, hàm
g :E E
× →
ℝ
thỏa mãn:

i

(
)
(
)


(
)
(
)
, 0, , , 0
g x x x E g x x x E
θ
≥ ∀ ∈ = ⇒ = ∈
.
Khi ñó g ñược gọi là một tích vô hướng trên E, thường kí hiệu là
,
⋅ ⋅

(
)
, .,.
Ε ñược gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert.
∗
Nhận xét:

i

, , 0
θ θ
= =
x x (
θ
là vectơ không trên
E

λ µ
+
x y x z

1.2.2. Bất ñẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert
Kí hiệu
,
=
x x x
, v
ớ
i m
ọ
i
∈Ε
x
thì ta có:
, , ,x y x y x y
≤ ∀ ∈Ε

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên
ñượ
c g
ọ

2
, , , , ,
α α α α α
+ + = + + +
x y x y x x x y y x y y

=
2 2 2
, , .
α α α
+ + + ⋅
x y x x y y

Vì ñẳng thức ñúng với mọi
α
∈Κ
nên ta có thể chọn
2
,
α
−
=
x y
y
, khi ñó:

2 2 2
2 2
2 2 4
, , ,

x y
phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, giả sử x và y phụ thuộc
tuyến tính, tức
,
λ λ
= ∈Κ
x y
thì:
(
)
(
)
2
, , ,
λ λ λ λ
= = = =
x y y y y y y y y
=
λ
= ⋅
y y x y

Ngược lại, giả sử dấu
" "
=
xảy ra, tức có:
,
x y
=
⋅

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

14

∗
Công thức
,
=
x x x
là
m
ộ
t chu
ẩ
n trên không gian tích vô h
ướ
ng E.
Th
ậ
t v
ậ
y:

∀ ∈Ε
x
, , 0 , 0,
≥
⇒
= ≥ ∀ ∈Ε
x x x x x x

nên:
2 2 2
2 ,
x y x x y y
+ ≤ + +
Mặt khác theo bất ñẳng thức Schwarz ,
≤ ⋅
x y x y
ta có:

(
)
2
2 2
2
2
x y x x y y x y
+ ≤ + + = +
Kéo theo
x y x y
+ ≤ +

Với mọi
,
λ
∈Κ ∀ ∈Ε
x
ta có
:


ộ
t không gian
ñị
nh chu
ẩ
n.
∗
Nhận xét
. M
ọ
i không gian
tí
ch vô h
ướ
ng
ñề
u
là
không gian
ñị
nh chu
ẩ
n và
chu
ẩ
n xác
ñị
nh nh
ư
trên

1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert
∗
Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi không gian Hilbert là không gian tích vô hướng ñầy
ñủ (tức mọi dãy cơ bản ñều hội tụ trong nó).
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

15

1.2.3.2. Một số không gian Hilbert
)
+
Không gian tích vô hướng các số phức
ℂ
, với tích vô hướng
, ' '
z z zz
=
là không
gian Hilbert.
)
+
Không gian
,
ℂ ℝ
k k
là những không gian Hilbert với tích vô hướng ñược xác
ñịnh lần lượt là:




k
i i
i
x y x y
,
(
)
1,
=
=
i
i k
x x
,
(
)
1,
=
=
i
i k
y y

)
+
Không gian
[ ]
2
,
a b

]
,
a b
là
không gian Hilbert v
ớ
i
tí
ch vô h
ướ
ng
ñượ
c

xá
c
ñị
nh:
( ) ( )
, =
∫
b
a
x y x t y t dt
,
[ ]
2
,
, ∈
a b

1
∞
=
< ∞
∑
n
n
x
)
là
không gian Hilbert v
ớ
i
tí
ch vô h
ướ
ng
ñượ
c
xá
c
ñị
nh nh
ư
sau:

( )
1
,
∞

⊥
x y
nếu
, 0
=
x y .
1.2.4.2. Một số tính chất ñơn giản
)
+
Nếu
⊥
x y
thì
⊥
y x
. Ta nói
⊥
x x
khi và chỉ khi
θ
=
x
,vectơ
θ
trực giao với
mọi vectơ.
)
+
Nếu
1 2

)
+
Nếu tập hợp
Μ
trù mật trong H thì
M
⊥
g
ồ
m m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
duy nh
ấ
t
là

θ
,
nghĩ
a l
à
θ
⊥ Μ ⇒ =
x x
, trong
ñó

x

thuộc M và
lim
n
x x
=
vậy
⊥ Μ
x
kéo theo
⊥
n
x x
với mọi
n
, và do ñó
⊥
x x
suy
ra
θ
=
x
.
)
+
Nếu
⊥
x y

p, v
ớ
i
1 2
2,
= ⊥
k y y
:
1 2 1 2 1 2
,
+ = + +
y y y y y y
1 2 1 2 2 1 2 1
, , , ,
= + + +
y y y y y y y y

Vì
1 2
y y
⊥

nên
1 2 2 1
, , 0
y y y y
= =

suy ra:
2 2 2

i i
y y

Khi
ñ
ó:
1
2 2 2
1
1 1
+
+
= =
= +
∑ ∑
k k
i i k
k i
y y y

2 2 2
1
1 1 1
1 1 1 1
,
+
+ + +
= = = =
= + = + +
∑ ∑ ∑ ∑


2
1 1
2 2 2
1
1 1 1
+ +
+
= = =
= + =
∑ ∑ ∑
k k k
i i k i
i i i
y y y y

V
ậ
y ta
có ñẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh.
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

17

thì S ñược gọi
là một hệ trực chuẩn của
Ε
.
∗
Ví dụ:
)
+
Trong không gian tích vô hướng
2
l
dãy các véctơ
(
)
δ
=
n mn
n
x
(
)
,
∗
∈ Ν
m n
(
)
( )
( )
1

ầ
n t
ử

(
)
n
n
y
c
ủ
a
[ ]
2
,
π π
−
L

xác
ñị
nh
b
ở
i
in
,
2
x
n

i n m x
n m n m
x x dx e dx
π π
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
π
−
− −
= =
∫ ∫

=
( )
( )
( )
2
0
π
π
π
− −
−
−
−
=
i n m
i n m
i n m
e e

ử
S là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c giao c
ủ
a không gian tích vô h
ướ
ng E, ta ph
ả
i
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

18

chỉ ra với mọi
∗
∈
ℕ
n
:
1
n
i i
i
x
α θ

j j
x
θ α
=
hay
0 , 1,
j
j n
α
= = .
Ng
ượ
c l
ạ
i: M
ộ
t h
ệ
các
vect¬

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
{
}
n

∗
∈
ℕ
n
:
{
}
{
}
1 2 1
, , , , ,
=
n n
span y y y span x x
.
Th
ậ
t v
ậ
y,
ñặ
t
1 1
ω
=
y
và
1
1
1

≠
k
, n
ế
u không
ω θ
=
k
thì
{
}
1
, ,
k
y y
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính
ñ
i
ề
u
này mâu thu
ẫ
n v
ớ

p. V
ớ
i
1
=
k
vì
1
ω θ
≠
hi
ể
n nhiên.
V
ớ
i
2
=
k
, ta có:

2 1 2 2 1 1 1
, , ,
ω ω ω
= −y y x x
2 2 1 1 1
, ,
= −
y y x x y


−
k
ñôi một trực giao với nhau, ta có:

1
1
, , ,
ω ω ω
−
=
= −
∑
k
k m k k i i m
i
y y x x =
1
2
1
, ,
,
ω ω ω
ω
ω
−
=
−
∑
k
k i i m

−
=
= =
∑
k
k i i m k m m m
k m
i
i m
y y
y
, , , 0
ω ω ω ω
⇒ = − =
k m k m k m
y y . Suy ra hệ
{
}
1
, ,
ω ω
k
trực giao.
Vậy hệ
{
}
ω
n
n
là một hệ trực giao, do ñó

}
1 1
, , , ,
=
n n
span y y span x x
.
1.2.4.5. Bất ñẳng thức Bessel
Giả sử
{
}
n
n
x
là một dãy trực chuẩn trong không gian tích vô hướng E. Khi ñó với
mỗi số tự nhiên
0
≠
n
,
∀ ∈Ε
x
ta có:.

2
2
2
1 1
, ,
= =

,
∞
=
≤
∑
k
k
x x x
(b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Bessel).
Chứng minh.
V
ớ
i m
ỗ
i
∗
∈
ℕ
n
,
á
p
dụ
ng

:2
1 1 1
0 ,
α α α
= = =
≤ − = − −
∑ ∑ ∑
n n n
k k k k k k
k k k
x x x x x x

2
1 1 1
, , ,
n n n
k k k k k
k k k
x x x x x x
α α α
= = =
− − +
∑ ∑ ∑

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

20

k k
x x
ta có:
2
2
2
1 1
, ,
n n
k k k
k k
x x x x x x x
= =
− = −
∑ ∑

vì rằng
2
1
, 0
=
− ≥
∑
n
k k
k
x x x x
nên:

2

k
k
x x x
.
Bất ñẳng thức trên ñược gọi là bất ñẳng thức Bessel.
∗
Chú ý. Từ ñó suy ra rằng chuỗi
1
,
=
∑
n
k n
k
x x x
bao giờ cũng hội tụ.
1.2.4.6. Hệ trực chuẩn ñầy ñủ.
Một hệ trực chuẩn
{
}
n
n
e
trong không gian tích vô hướng E gọi là ñầy ñủ khi
chỉ duy nhất vect¬
θ
trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là:
⊥
n
x e

ẩ
n trong không gian Hilbert H

và giả
s
ử
{
}
α
n
n
là
m
ộ
t
dã
y
cá
c ph
ầ
n t
ử
trong tr
ườ
ng
Κ
khi
ñó
chu
ỗ

ng
nà
y:
2
1 1
α α
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
n n n
n n
x
.

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

21

Chứng minh. Với mọi ,
∗
∈
ℕ
k m mà
<
k m
ta có:

2
2

1
α
=
 
 
 
∑
n
k
k
n
là dãy cơ bản trong K. Do H và K ñều là những không gian ñầy
ñủ nên ñiều trên tương t−¬ng với chuỗi
2
1
α
∞
=
< +∞
∑
n
n
.Do tính liên tục của chuẩn
⋅
, nên chọn
1
=
k
, cho
→ ∞

=
∑
n n
n
x x e e
.
Chứng minh. Giả sử
{
}
n
n
e
là một dãy trực chuẩn ñầy ñủ trong không gian Hilbert
H, tức với mọi
,
∈Η
x

⊥
n
x e
(
1,2,
=
n
)
θ
⇒ =
x
. Đặ

x y e x x e e e x e x e e e

=
, , 0, 1,2,
− = ∀ =
m m
x e x e m
Theo giả thiết suy ra:
,( 1,2, )
n
x y e n
− ⊥ =
kéo theo
x y
θ
− =

suy ra
x y
=
hay
1
, .
n n
n
x x e e
∞
=
=
∑

e
là một hệ trực chuẩn ñầy ñủ , tức
⊥
n
x e
,
( 1,2, )
=
n
kéo theo
x
θ
=
. Thấy nếu
⊥
n
x e

( 1,2, )
=
n
thì
, 0,
=
n
x e
1,2,
=
n


n
n
x x x x H
.
Chứng minh.
G
iả
s
ử
cho
{
}
n
n
e
là
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu
ẩ
n
ñầ
y
ñủ
trong không gian
Hilbert H, khi

2
1 1
, ,
= =
− = −
∑ ∑
N N
n n n
n n
x x e e x x e
(*)
§ẳ
ng th
ứ
c (
∗
)
ñú
ng v
ớ
i
mọ
i
Ν
,
và vì
chu
ẩ
n
là

ử
{
}
n
n
e
l
à
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert H
thỏ
a
mã
n:

2
2
1
: ,
∞
=
∀ ∈Η =
∑

∞
=
−
∑
n n
n
x x e e
=
2
2
1
,
∞
=
−
∑
n
n
x x e
=0

1 1
, ,
n n n n
n n
x x e e x x e e
θ
∞ ∞
= =
− =

x
là các phần tử ñôi một phân biệt trong B.
∗
Nhận xét. Mỗi dãy trực chuẩn ñầy ñủ là một cơ sơ trực chuẩn.
Thật vậy, giả sử
{
}
n
n
x
là một dãy trực chuẩn ñầy ñủ trong không gian tích vô
hướng E, nếu
1
α
∞
=
=
∑
n n
n
x x
và
1
β
∞
=
=
∑
n n
n

x x x

=
( )
2
1
α β
∞
=
−
∑
n n n
n
x
( )
2
1
α β
∞
=
= −
∑
n n
n
suy ra:
(
)
0, 1,2,
n n
n

}
n
n
x
là
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu
ẩ
n
ñầ
y
ñủ
trong không gian
tí
ch vô
h
ướ
ng E
thì
{ }
1
1
, , , ,
α α
∗

α
∈Κ
i
. Ngược lại mọi phần tử có dạng
1
α
=
∑
n
i i
i
x
trong ñó
n
là một số tự nhiên
bất kì thuộc
∗
ℕ
,
i
x
là những phần tử của dãy
{
}
n
n
x
,
α
∈

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

24

Biết
{
}
n
n
x
là hệ trực chuẩn ñầy ñủ, thì
∀ ∈
x
E ta có:
1
,
∞
=
=
∑
n n
n
x x x x
hay
1
lim ,
→∞
=
=
∑

λ λ
= − + ⊂
x y x y
S.
∗
Ví dụ 1.2.5. Mọi không gian vect¬ con ñều là tập lồi.
Định lý 1.2.5. Cho S là tập lồi ñóng trong không gian Hilbert H khi ñó
x H
∀ ∈

tồn tại duy nhất
y
∈
S sao cho:
inf
∈
− = −
z S
x y x z
trong
ñó

inf
∈
−
z S
x z

ñượ
c

n d
ướ
i
ñ
úng t
ồ
n
tạ
i
dã
y
{
}
n
y
∈
S sao cho:

lim
→∞
∈
− = −
n
n
z S
x y Inf x z

Đặt
∈
= −

− = − + + − − − +
n m n m n m n m
y y x y y y y x y y
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1
4
2
− + − + − − − − − +
n m n m n m
x y x y x y x y x y y
=
( )
( )
2
2 2
1
2 4
2
− + − − − +
n m n m
x y x y x y y
Vì
(
)
2 2
2
2 4

25

Vậy
{
}
n
y
là dãy cơ bản trong H, và vì H là không gian ñầy ñủ cho nên
{
}
n
y
hội
tụ trong H. Đặt
lim
→∞
=
n
n
y y
, S là tập ñóng nên
∈
y
S và:
− =
x y
lim
→∞
∈
− = −

2
y y
y y d x
 
+
− = − − ≤
 
 

Suy ra:

,
0
y y
− =
kéo theo
,
y y
=

∗
Hệ quả. Nếu
1
H
là không gian con ñóng của không gian Hilbert H thì mỗi
∈
x H
có biểu diễn duy nhất:
= +
x y z

t
ậ
p l
ồ
i
ñó
ng, cho nên theo
ñị
nh
lý
5.1, v
ớ
i m
ỗ
i
∈Η
x
t
ồ
n
tạ
i duy nh
ấ
t ph
ầ
n t
ử

1
∈Η

∈Η
u
và mọ
i s
ố
α
∈Κ
ta
có
:
α α
= − ≤ − − = −
z x y x y u z u

suy ra:

2 2
,
α α α
≤ − = − −
z z u z u z u
=
2 2 2
, ,
α α α
− − +
z u z z u u

c
họ

1
=
u suy ra:
1
, 0,z u u
= ∀ ∈Η
hay
1
z
⊥ Η