Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
––––––––––––––––––––
MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học:

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: ...............................................

Phản biện 2: ...............................................

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận
văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - ĐHTN
Ngày tháng năm 2009

Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên
♥♦♥
✶

ó tể ế sự s rt ớ ột ủ ệ t í
t trở ệ ị ờ t ó ữ t
ó t ỉ s
số ệ tờ ợ t t tự ệ q
tr s ó ợ ử ý tr tí ú tr ỏ
s số í ì tế t r ó ữ ổ
ị t t ỉ s s số ủ ữ ệ ỏ
tì ệ ỉ tì ợ ớ ệ ú ủ t t
t ữ ờ ó t ề ó ý tết t t
ỉ rt s
r ổ ủ ú t sẽ ề ế ột
t t ỉ ó ó ứ ụ ớ tr t t s
từ ĩ tt
ó trì tí tế tí r

b
a
K(t, s)x(s)ds = f
0
(t), t [c, d],
< a < b < +, < c < d < +
ở ệ ột x
0
(s) ế f
0
(t) ột số trớ
K(t, s) ủ tí ù ớ K/t ợ tết
tụ trớ
sẽ ứ ệ ỉ tố ộ ộ tụ ủ


♥❤✃t tr♦♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ t➠✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ❝❤✐❛ s❰✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ r✃t ♥❤✐Ò✉
➤Ó t➠✐ ✈➢ît q✉❛ ❦❤ã ❦❤➝♥ ✈➭ ➤➵t ➤➢î❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 10 ♥➝♠ 2009
❚➳❝ ❣✐➯
▼❛✐ ❚❤Þ ◆❣ä❝ ❍➭
✻

ột số ế tứ
ột số ế tứ ủ tí
ệ ị ý í ụ ết q tr ụ ợ t
ở t ệ [1] [2]
tr
ị ĩ tr ột tr ó ột
t ợ : X ì X R ột ị tr X ì X t
ề ệ s
ớ x, y X (x, y) 0, (x, y) = 0 x = y
ớ x, y X (x, y) = (y, x)
(x, y) (x, z) + (z, y),x, y, z X
ợ ọ ột tr ủ ỗ tử ủ Xợ
ọ ột ể ủ số (x, y) ợ ọ ữ
ể
ị ĩ ó

x
n


n=1
ữ tử ủ tr
ộ tụ ế tử x

i
, x
j
) <

tr (X, ) ợ ọ ủ ế ọ
s tr X ề ộ tụ ế ột tử tộ X
ị ĩ ột t M tr tr X ợ ọ
t ế ọ

x
n


n=1
M ề ó ứ ột

x
n
k


k=1
ộ tụ ế ột ể tộ M
r C
[a,b]
ột t M ế t ị ý s
ị ý ị ý rs s
M C
[a,b]

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✳ ◆Õ✉ ➤➷t✿ ρ(x, y) = x− y t❤× (X, ρ) trë t❤➭♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✼✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ➤➬② ➤ñ✳
✶✳✶✳✸✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳ ❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ R✳ ▼ét tÝ❝❤ ✈➠
❤➢í♥❣ tr♦♥❣ X ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ., . : X × X → R t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
s❛✉✿
✶✮ x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0❀
✷✮ x, y = y, x, ∀x, y ∈ X❀
✸✮ αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R❀
✹✮ x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X✳
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❝ï♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ., . ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ t✐Ò♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✾
ét ớ x =


x, x

tì trở t ị

ị ĩ tề rt ủ ợ ọ
rt
í ụ L
p
[a, b] tr ó ỗ tử
ợ s ó x
p
(s) tí ớ ợ ị s
x

= f
2
L
2
+ f


2
L
2
<
rt
s tụ tr
x
C
[a,b]
= max
s[a,b]
|x(s)| (1.2)

ự ộ tụ tr
ị ĩ X ị

x
n

X ợ
ọ ộ tụ ế ột tử x
0
X n ế x

) f(x
0
) n í ệ x
n
x
0
.

ừ ộ tụ s r ộ tụ ế ợ từ ộ tụ ế s r ộ tụ
ỉ ị ữ ề

x
n

M
ớ ột t tr
tử tr
ị ĩ tế tí t ì
tử A : X Y ọ tế tí ế
A(x + y) = Ax + Ay ớ x, y X
A(x) = Ax ớ x X, R
ế f : X R ột t tử tế tí tì t ó f ột ế
tế tí
ị ĩ sử ị ột t
tử tế tí A : X Y ọ tụ ế từ x
n
x
0
é t
Ax

X
0
⊆ X ❧➟♥ Y
0
= A(X
0
)✳ ◆Õ✉ ❆ ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤✱ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ X
0
❧➭ ♠ét t❐♣
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ X✱ t❤× A
−1
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tõ Y
0
❧➟♥ X
0
✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✻✳ ❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ f(x) tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥♥❛❝❤ X ♥❤➢ s❛✉✿ ❚×♠ ♣❤➬♥ tö x
0
∈ X s❛♦ ❝❤♦
f(x
0
) = inf
x∈X
f(x). (1.3)
❉➲②

x
n


1
, b
2
, ...., b
n
)
T
❧➭ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ✈Ð❝t➡ ❤➭♥❣✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♠❛
✶✷
tr❐♥ A = U
∗
U ✈í✐
U =









u
11
u
12
u
13
. . . u
1n




.
✈➭ U
∗
❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ U✳ ❈➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ u
ij
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➬♥
❧➢ît t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s❛✉
u
11
=
√
a
11
, u
1j
=
a
1j
u
11
, j = 2, 3, ...n;
u
ii
=




❉♦ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ Ax = b ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ U
∗
y = b
✈➭ Ux = y✳ ▲➬♥ ❧➢ît ❣✐➯✐ ❤❛✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè ✈í✐ ♠❛ tr❐♥ t❛♠ ❣✐➳❝
t❛ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ①✳
✶✳✷ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ➤➢î❝ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ➤➢❛ r❛ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ✈Ò ➯♥❤ ❤➢ë♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ❧➟♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✭①❡♠ [6]✮✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ ●✐➯ sö ❳ ✈➭ ❨ ❧➭ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✈í✐ ❝➳❝ ➤é ➤♦
t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ρ
X
(x
1
, x
2
) ❀ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ✈➭ ❆ ❧➭ t♦➳♥ tö tõ ❳ ✈➭♦ ❨✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤✿
Ax = f, f ∈ Y, (1.4)
✶✸
t tì ệ x X t ữ ệ f Y ợ ọ t t
ỉ tr tr (X, Y ) ế
f Y,x
f

x
i
= R(f
i
), x
i
X, f
i
Y, i = 1, 2.
ột t ó tể t ỉ tr
t ỉ tr
r ề ứ ụ tì ế ủ tờ ợ ở
ĩ t trị í f t ỉ ết ỉ f

ủ ó t
f

f sử x

ệ ủ ớ f t ở f


tết r ệ tồ t 0 tì f

f ớ t t
ỉ tì x

ó ộ tụ ế x
í ụ t tì ệ ủ trì tí r
t t ỉ

❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ f
1
(t) ✈➭ f
2
(t) tr♦♥❣ L
2
[a, b] ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
ρ
L
2
[a,b]
(f
1
, f
2
) =


b
a
|f
1
(t) − f
2
(t)|
2
dt

1/2
.

, f
1
) = |N|


b
a


b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds

2
dt

1/2
❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♥❤á t✉ú ý✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t✿
K
max
= max
s∈[a,b] t∈[a,b]
|K(t, s)|
❚❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝
ρ
L
2
[a,b]
(f
0

0
❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝❤ä♥ N ✈➭ ω ❧í♥ t✉ú ý ♥❤➢♥❣
N
ω
❧➵✐ ♥❤á✳
❑❤✐ ➤ã✿
ρ
C[a,b]
(x
0
, x
1
) = max
s∈[a,b]
|x
0
(s) − x
1
(s)| = |N|
❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳
• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
x(s) → f
0
(t) =


ds

1/2
= |N|


b
a
sin
2
(ω.s)ds

1/2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a)).cos(ω(b + a)).
❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② ❤❛✐ sè N ✈➭ ω ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) r✃t


: |f

f
0
| 0
t t r ự t t ề (A, f

) ứ s số tì ột
tử ỉ ệ í x
0
õ r tể ị
tử ỉ x

t q t x

= A
1
.f

ì tứ t A
1
ó tể
ị ớ f Y tứ A
1
tụ A
1
f

ế tồ t ũ

1
:
f Y,
Y
(f, f
0
)
1
=
Y
(x

, x
0
) ở x

R(f, (f, ))
ú ý
r ị ĩ ò ỏ tí trị ủ t tử R(f, )
P tử x

R(f

, ) ợ ọ ệ ệ ỉ ủ
trì (1.6) ở = (f

, ) = () ợ ọ t số ệ ỉ
ễ t từ ị ĩ tr ệ ệ ỉ ổ ị ớ ữ
ệ


0 t ợ
f(t + ) f(t)

z.
ố tứ ợ ở
|
g(t + ) g(t)

|
2

.
ế ọ =

()
ớ () 0 0 tì 2


= 2() 0 ì
ớ
=
1
() =

()
, R(f

,
1
()) z.

(1.7).
x
0
Q

ể tì ợ tử x

ớ ỗ s t x

x
0
0 ờ t r ột ý ự tr q t ự tể ế
ệt ợ ọ ế ổ ị [1]
ị ĩ Pế (x) 0 ị tr X
1
X X
1
= X
ợ ọ ế ổ ị ế
x
0
D() ề ị ủ
d
0
> 0 X
d
0
1
=



R ó ụ tộ t số ó ĩ
z

=

R(f

, ) ó

R(f

, ) ột t tử ệ ỉ trì
(1.6)
X H ột rt B t ó ủ H f(z)
ột ế tụ tr H
ét ế ụ tộ t số

(z) = f(z) + .(z), > 0 (1.9)
ó t ó

ị ý ồ t tử z B X
1
s

(z) = inf
zBX
1

(z) (1.10)


Y
(Az, f

) = . (1.12)
t
R
1
(f

, ) =

z

: M

[z

, f

] = inf
zX
1
M

[z, f

]

. (1.13)

1
(f, ) ó
tộ X H s tử z

= R
1
(f, ) ự tể ế
M

[z, f]

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱× M
α
[z, f] ❦❤➠♥❣ ➞♠ ♥➟♥ tå♥ t➵✐
M
α
1
:= inf
z∈X
1
M
α
[z, f].
❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞➲②

z
α
n

⊂ X

⇒ Ω(z
α
n
) ≤
C
α
= r
❱× ✈❐② ❞➲②

z
α
n

t❤✉é❝ t❐♣ X
r
1
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❉♦ ✈❐② tõ ❞➲② ➤ã t❛ ❝ã
t❤Ó rót r❛ ♠ét ❞➲② ❝♦♥

z
α
n
k

❤é✐ tô tí✐ ♣❤➬♥ tö z
α
∈ X
1
✳ ❑❤✐ ➤ã✿
M

1
(δ), β
1
(δ) ❝è ➤Þ♥❤ tõ ❧í♣ T
δ
1
s❛♦ ❝❤♦ β
2
(0) = 0 ✈➭
δ
2
β
1
(δ)
≤ β
2
(δ) (1.15)
tå♥ t➵✐ ♠ét sè δ
0
= δ
0
(, β
1
, β
2
)✱ ➤Ó ✈í✐ ♠ä✐
˜
f ∈ Y ✈➭ δ ≤ δ
0
: ρ

[z,
˜
f] ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❦❤✐ z = ˜z
α
♥➟♥
M
α
[˜z
α
;
˜
f] ≤ M
α
[x
0
,
˜
f].
✷✶
❉♦ ➤ã✱
α.Ω(˜z
α
) ≤ M
α
[˜z
α
,
˜
f] ≤ M
α


δ
2
α
+ Ω(x
0
)

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✿
δ
2
β
1
(δ)
≤ α −→
δ
2
α
≤ β
1
(δ) ≤ β
1
(δ
1
)✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã✿
δ
2
α
+ Ω(x
0

d
0
= AX
d
0
1
✳ ❉♦ A ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tõ X
d
0
1
✈➭♦ Y
d
0
✱
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ Ax = f, f ∈ Y
d
0
❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ X
d
0
1
❧➭ ♠ét t❐♣
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛ X ♥➟♥ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ➳♥❤ ①➵ ♥❣➢î❝ A
−1
tõ Y
d
0
❧➟♥ X
d
0

✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ➤è✐ ✈í✐
˜
f
α
= A˜z
α
t❤×
ρ
2
Y
(
˜
f
α
,
˜
f) = ρ
2
Y
(A˜z
α
,
˜
f) ≤ M
α
[˜z
α
,
˜
f]

❚õ α ≤ β
2
(δ) ❞➱♥ ➤Õ♥
ρ
Y
(
˜
f
α
,
˜
f) ≤

δ
2
+ β
2
(δ).Ω(x
0
)

1
2
= ϕ(δ). (1.17)
✷✷