ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ TRỌNG ĐẠI
BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA
PHẢN HỒI ĐẦU RA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1
i
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
: tập các số thực;
0;
: tập các số thực không âm;
n r
: không gian các ma trận
n r
chiều ;
n
: không gian véc tơ tuyến tính thực n chiều với ký hiệu tích
vô hướng là
.,.
và chuẩn véc tơ là
.
;
a b
và
lấy giá trị trong
m
.
T
A
: ma trận chuyển vị của ma trận
A
, ma trận
A
được coi là
đối xứng nếu
T
A A
;
I
: ma trận đơn vị ;
A
: tập các giá trị riêng của ma trận
A
;
: ma trận
A
xác định dương ;
0
A
: ma trận
A
xác định không âm ;
: 0
A B A B
;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học
ứng dụng quan trọng mới xuất hiện và phát triển trong những thập kỷ gần
đây. Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định
tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý
toán, kỹ thuật, kinh tế, Một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái
cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu trúc ban đầu
của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỉ
XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov, từ những năm 60 của thế kỉ XX, song
song với sự phát triển của lý thuyết điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các
.
x
là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra,
.
u
là biến điều khiển
mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiển trong mô
hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động ở
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4
2
mức độ này hay mức độ khác có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra
của hệ thống.
Một trong những mục đích quan trọng của của bài toán điều khiển hệ
thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho hệ thống đầu ra có tính chất mong
muốn. Vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển
phản hồi (feedback controls) sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó
trở thành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng.
Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số điều kiện đảm bảo
tính ổn định và ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến
tính và hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về bài toán ổn định hóa
cao học. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa sau đại học trường
Đại học sư phạm Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ tạo điều khiện cho tôi hoàn
thành kế hoạch học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè
đồng nghiệp đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6
4
Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ phương
trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm
Lyapunov, bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính và
phương trình vi phân tuyến tính có trễ dựa trên các tài liệu
1
,
2
,
4
.
1.1. Phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân có dạng :
0
, : , :
n n
f t x I D D x x x a
.
Nghiệm phương trình vi phân
1.1
là hàm số
x t
khả vi liên tục
thỏa mãn:
i,
,
t x t I D
,
ii,
Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân
1.1
.
1.1.1. Định lý (Định lý Picard - Lindeloff)
Xét phương trình vi phân
1.1
trong đó giả sử hàm
, :
n
f t x I D
là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
x
:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7
5
0 0
,
t x I D
có một và chỉ một đường cong tích phân chạy qua.
Định lý sau đây, với giả thiết nhẹ hơn, cho sự tồn tại nghiệm đối với
một lớp các hệ phương trình vi phân tương đối phổ biến và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết điều khiển.
1.1.2. Định lý (Định lý Caratheodory)
Giả sử
,
f t x
là hàm đo được theo
t I
và liên tục theo
x D
nếu
tồn tại hàm khả tích
m t
trên
Bây giờ ta xét một số trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân:
Hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm dạng:
0 0 0
, 0,
, 0
x Ax g t t
x t x t
1.2
trong đó
A
là
n n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8
6
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm dạng
0 0 0
, 0,
, 0
x A t x g t t
x t x t
1.3
trong đó
,
t s
của hệ
thuần nhất:
0 0
, 0,
x A t x t x t x
,
1.4
nghiệm hệ
1.3
cho bởi:
d
t s A t t s t s
dt
t t I t
1.2. Lý thuyết ổn định phương trình vi phân
1.2.1. Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
0 0 0
, , 0
, 0
x f t x t
x t x t
với điều kiện ban đầu
0 0 0
, 0
x t x t
luôn
có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức
0
0 0
, , .
t
t
x t x f s x s ds t t
1.2.1.1. Định nghĩa
Nghiệm
x t
của hệ
1.5
y x
thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức
0
,
y t x t t t
.
Nói cách khác nghiệm
x t
là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có
giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của
x t
thì vẫn đủ gần nó trong
suốt thời gian
0
t t
.
1.6
trong đó
, : , ,
g t y f t y x f t x
và
,0 0
g t
.
Ta nhận thấy nếu
.
x
là một nghiệm của
y
là một nghiệm của
1.6
và hơn thế nữa dễ dàng kiểm tra được rằng
.
x
là một nghiệm ổn định của
1.5
khi và chỉ khi
. 0
y
là một nghiệm
ổn định của
1.6
.
Do đó từ nay về sau ta chỉ xem xét sự ổn định của nghiệm
Nghiệm
0
x
của hệ
1.5
được gọi là ổn định nếu
0
0, 0
t
đều
tồn tại
0
,
t
sao cho mọi nghiệm
0 0
, ,
x t t x
của hệ thỏa mãn
t
tồn tại
0
0
t
sao cho với mọi
0
n
x
thỏa mãn
0
x
thì
0 0
lim , , 0
t
x t t x
sao cho mọi nghiệm của hệ
1.5
với
0 0
x t x
thỏa mãn
0
0
,
t t
x t Me t t
Vậy khi nghiệm
0
x
của hệ
x t
, với
0 0
x t x
cho bởi công thức
0
, 0.
at
x t x e t
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu
0
a
.
Nếu
0
a
thì hệ là ổn định.
Hơn nữa, hệ sẽ ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số
0
ma trận. Nghiệm của hệ
1.7
xuất phát từ trạng thái
ban đầu
0
x t
cho bởi
0
0 0
,
A t t
x t x e t t
.
1.2.2.1. Định lý (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov).
Hệ
1.7
là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn12
10
1 0
0 2
A I
0 1 2 0
A I
T
A X XA Y
(LE)
trong đó
,
X Y
là các ma trận
n n
chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE).
1.2.2.2. Định lý
2
Hệ
1.7
là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận
Y
đối
xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác
định dương
X
.
Chứng minh:
Giả sử
0
, ,
V x t Xx t x t t t
Ta có
, ,
d
V x t Xx t x t Xx t x t
dt
V x t V x t Yx s x s ds
Vì
X
là xác định dương nên
0
0,
V x t t t
và do đó
0
0 0 0
, ,
t
t
Yx s x s ds V x Xx x
.
Mặt khác, vì
Y
là xác định dương, nên tồn tại số
0
ta được
0
2
t
x s ds
1.8
Ta sẽ chứng minh rằng
Re 0,
A
. Thật vậy, giả sử có một
số
0
A
mà
0
0 0
2
2
2Re
1 0
t
t t
x t dt e x dt
,
vì
Re 0
, vô lý với điều kiện
1.8
.
Ngược lại, giả sử
Re 0,
A
. Với bất kì ma trận
1.9
Nhận thấy rằng hệ
1.9
có một nghiệm riêng là
T
A t At
Z t e Ye
Đặt
0
t
t
X t Z s ds
.
Vì
Re 0,
0
,
T
Z t Y A X t X t A t t
.
Cho
t
để ý rằng
0
Z t
khi
t
và vì
Re 0,
A
và
At
e
là không suy biến nên
, 0
Xx x nếu
0
x
.
Định lý được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn15
13
Ví dụ 1.3.
Xét hệ
x Ax
, trong đó
1 1
2 3
Re 0,
A
.
Do vậy hệ ổn định tiệm cận.
Ngoài ra với ma trận đối xứng xác định dương
4 2
2 3
Y
dễ dàng tìm được nghiệm
X
của phương trình
1.10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn16
14
Hàm
:
n
V x
là xác định dương nếu:
i,
0,
n
V x x
.
ii,
0 0
V x x
.
1.3.1. Định nghĩa
Hàm
V x
gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm
vào đó nó thỏa mãn điều kiện :
iii,
0: 0, \ 0 .
f
c D V x c x x D
1.3.2. Định lý
4
Nếu hệ
1.10
có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa, nếu hàm
Lyapunov đó là hàm chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.4.
Xét hệ phương trình vi phân:
2 2 2 2
2 , , 2
V z x y a t t t b t t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn17
15
Suy ra:
0 0,
V a z V z b z
.
2 2
4 2 2 4 2
x xy
y yx
1.12
Chọn
4 4 4 4
1
, , ,
2
V x y x y a t t b t t
ta có
1.3.1
nên hệ phương trình
1.12
ổn định đều.
Xét hệ phi tuyến không ô tô nôm :
0 0 0
, , 0,
, 0,
x t f t x t t
x t x t
. : , 0 0
a a
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18
16
Hàm
, :
n
V t x R
gọi là hàm Lyapunov nếu :
i,
,
V t x
là hàm xác định dương theo nghĩa
t x
Trường hợp
,
V t x
là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm điều kiện:
iii,
. : , , ,
n
b V t x b x t x
.
iv,
3
1
2
t
x e x
.
1.14
Lấy hàm Lyapunov
, :V t x D
trong đó
: 1
D x x
3
1 1
,
2 2
f
D V t x x x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn19
17
1.4. Bài toán ổn định hóa
Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân :
, , , 0
,
n m
n m n
f
là hàm véc tơ cho trước,
,0,0 0, 0
f t t
. Hàm
.
u
thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn
0;
t
và lấy giá trị
trong
m
, , , 0
x t f t x t h x t t
,
là ổn định tiệm cận. Hàm
u t h x t
gọi là hàm điều khiển phản hồi
trạng thái.
Trong trường hợp hệ
1.15
Chú ý :
Nếu ma trận
A
là ổn định thì hệ là ổn định hóa được với điều khiển
trạng thái
0
u
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn20
18
Ví dụ 1.7.
Xét hệ
1 2 1
0 1 1
x x u
Hệ có
1 2 1
,
0 1 1
A B
Re 1 0
A
.
Ma trận
A
không ổn định.
Ta tìm ma trận
1 2
K k k
sao cho ma trận
A BK
là ma trận ổn định.
Lấy
1 2
0, 3
k k
ta được
4 1
0 2
A BK
Khi đó
4 1
0 2
A BK I
A BK
ma trận
A BK
là ma trận ổn định.
Vậy hệ là ổn định hóa với điều khiển ngược trạng thái là :
1
1 2 1 1 2 2
2
x
u t k k k x t k x t
x
2
Xét hệ tuyến tính
, 0
x t Ax Bu t
1.16
Hệ ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn và điều khiển
phản hồi trạng thái là
1
1
1
T
T
u t T B L x t
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn22
20
là không suy biến. Lấy bất kì
1
T T
và đặt
1
1
1
0
T
T
At T A t
T
L T t e BB e dt
khi đó
1
T
L
cũng không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược
1
thì hệ
1.16
là ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận
A BK
là ổn
định. Để làm được điều này, lấy hàm Lyapunov dạng
1
1
,
T
V x L x x
với nghiệm
0
, 0
x t x x
T T
T
T T T
d
V x t L x x L x x
dt
L A A L x x Bu L x
Đặt
1
1
T
y L x
và nhận xét rằng
1 1 1 1
1 1
, ,
T T
T T T T
1
'
1
0
T
T At T A t
T BB e BB C dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn23
21
nên
1
1
1
0
1 1
, 2 ,
V x t T B y L y y
dt
1 1
1
, ,
T T
L y y L x x
Hơn nữa
1
1
T
L
là ma trận xác định dương nên có một số
0
C
sao cho
1
2
1
,
ta có
0
0 2
A I
nên
0
0
2
A I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn24
4
Xét hệ tuyến tính không ô tô nôm
, 0
x t A t x B t u t
.
1.17
Hệ
1.17
là ổn định hóa được nếu phương trình vi phân Riccati sau
khiển phản hồi trạng thái là
1
, 0
2
T
u t B t P t x t t
.
Chứng minh :
Lấy
,
V t P t x x
.
Áp dụng định lí 1.3.2 thì điều kiện
iii
rõ ràng thỏa mãn vì
2
,
P t x x M x
,
d
V t P t x t x t
dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn25
Copyright: Tài liệu đại học ©