T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

K H Ú C THỊ LOAN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

L U Ậ N VĂN TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2015


T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

K H Ú C THỊ LOAN

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH CÓ ĐIỀU KHIEN

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

C huyên ngành : T O Á N G I Ả I
M ã số : 60 46 01 02

TÍCH

N gười hướng dẫn khoa học:
G S.TSK H v ũ N G Ọ C PH Á T


các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào
khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

KHÚC THỊ LOAN


M ục lục
Mở đầu

1

1

C ơ SỞ T O Á N HỌC
1.1 Hệ phương trình vi p h â n ............................................................
1.2 Hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến t í n h ......................
1.3 Bài toán ổn định và ổn định h ó a ...............................................
1.3.1 Bài toán ổn đ ịn h ...............................................................
1.3.2 Bài toán ổn định h ó a .....................................................
1.4 Các tiêu chuẩn ổn định cơ b ả n .................................................
1.5 Các bổ đề bổ t r ợ .........................................................................

2

T ÍN H ỔN Đ ỊN H HÓA HỆ P H Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N
T U Y Ế N T ÍN H CÓ ĐIỀU K H IEN

MỞ Đ Ầ U

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Lý thuyết ổn định được nghiên cứu từ cuối thế kỷ
19 bởi nhà toán học Nga A.M.Lyapunov. Mỗi khi phân tích và thiết kế các
hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương
trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Cho
đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết
toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học
và kỹ thuật. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra
đời của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đươc quan
tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật. Từ đó
xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân điều khiển.
Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, do nhu cầu nghiên
cứu tính ổn định các hệ kỹ thuật mô tả bằng các phương trình điều khiển,
người ta nghiên cứu tính ổn định hóa của các hệ động lực. Bài toán ổn
định hóa là tìm hàm điều khiển chấp nhận được (hàm điều khiển ngược)
sao cho hệ đóng (hệ giải tương ứng với điều khiển chấp nhận được này) là
ổn định tiệm cận Lyapunov. Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa
tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết quả thú
vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã được
công bố bởi các nhà toán học, điều khiển học trong và ngoài nước, đặc
biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS Vũ Ngọc Phát, Viện toán học Hà Nội.
Bài toán ổn định hóa là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu
quan trọng đang được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho
luận văn thạc sĩ của mình là “ Bài toán ổn định hóa hệ phương trình
vi phân tuyến tính có điều khiển ”



3

7. Đ ón g góp của đề tài
Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định, ổn định hóa hệ
phương trình vi phân tuyến tính và các kết quả chọn lọc mới về bài toán
ổn định hóa của hệ phương trình vi phân tuyến tính


4

M ột số ký hiệu và v iết tắ t
M.
R+
Rn
Rnxm
AT
(x, y)
||.||
A(A)
АтйЯ(А)
Amin(A)
tị(A)
Z/2([í, s] , Rn)

M ([0, + 00] , Ry)
M > 0
M >0

Tập các số thực

H ệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:
< â (t) = /(t,a ;(t)),
k x ( t 0) = x 0ì

t > t 0ì

to > 0,

tro n g đó x { t ) € R n , / : R + X R n —>■R n , với mỗi t > t 0.

Hàm khả vi liên tục x { t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) là
nghiệm của hệ phương trình vi phân đó. Công thức nghiệm dạng tích phân
của hệ ( 1 . 1) là
t

x(t) = X 0 + J

f(s,x(s))ds.

to
Định lý sau đây khẳng định sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân ( 1 . 1)


6

Định lý 1.1 (Định lý 1.23, [2], trang 27):
Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm


x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

( 1 .2)

t > 0,

trong đó x(t) £ Rn - là véc tơ trạng thái, u(t) £
là véctơ điều khiển ;
n > ra; A(t), B(t ), t > 0, là những ma trận hàm liên tục có số chiều (n x rì)
,(n X ra) tương ứng.

Hệ phương trình tuyến tính (1.2) có nghiệm x(t, Xq, u) tại thời điểm t được
cho bởi:
t
x ( t , X q, u ) = <E>(í, 0)^0 4- J

$(t,s)B(s)u(s)ds,

t > 0,

0

trong đó $ (í, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất :

x(t) = A(t)x(t),

t > 0.




Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1: Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, t(Ị > 0
sẽ tồn tại số ỏ > 0 (phụ thuộc vào £, to ) sao cho bất kỳ nghiệmx(t) :
x ( t o ) = X q thỏa mãn lịrro|Ị < ô thì ||íc(í)|| < £ với mọi t > Í q .

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2: Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và
có một số ỏ > 0 sao cho nếu ||íCo|| < ỗ thì
lim ||z(í)|| = 0.
í—>00
Nếu số ỏ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian
ban đầu to thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định
đều (hay ổn định tiệm cận đều).


Đ ịn h n g h ĩa 1.3.3: Hệ (1.1)
0 ,ổ > 0 sao cho mọi nghiệm của

là ổn định mũ nếu tồn tạ i các số M >
hệ ( 1 . 1 ) với íc(ío) = X(Ị thỏa mãn

\\x(t)\\ < Me~5(t~to) IIEoII,

Ví > t0.

V í d ụ 1.1: Xét phương trình vi phân sau trong M
X = ax,

t > 0.

Nghiệm x(t), với x(ío) = %0 cho bởi công thức



9

1.3.2

B ài to á n ổn định hóa

Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính (1.2)
Định nghĩa 1.3.1: Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại
hàm h(t) = K{t)x{t) sao cho hệ đóng (closed - loop system)

x(t) = [Ả(t) + B(t)K(t)] x(t),

t > 0,

là ổn định tiệm cận. Hàm h(t) được gọi là hàm điều khiển ngược (feedback
control).
Như vậy mục đích của bài toán ổn định hóa là tìm các hàm điều khiển
ngược h(t), hoặc ma trận K sao cho hệ đóng là ổn định tiệm cận.

1.4

Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản

Xét hệ tuyến tính

x(t) = Ax(t),

t > 0,

định dương, phương trình (LE) A TX + X A = —Y có nghiệm là ma trận
X đối xứng, xác định dương.

Chứng minh. Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng
xác định dương. Với x{t) là một nghiệm tùy ý của (1.3) ta xét hàm số
v ( t , x ( t ) ) = (Xx(t),x(t)) , Ví > 0.
Ta có
ỵ

V ( t, x(t)) = (Xx, x) + {Xx, x)
= { ( X A + A TX ) x , x )
= — (Yx, x ) .

Do đó

V{t,x{t)) - V (t 0ìx 0) = - f (Yx(s),x(s)) ds.
Vì X là xác định dương nên V (t , íc(í)) > 0 ,
/ (Y x(s), x(s)) ds < v ( t o ,
Jt0

Ví > ío yà do đó

X q)

= { X x ữì x ữ) .

Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại a > 0 sao cho:

(Y
Do đó

sau đây:
' Z(t) = ATZ( t ) + Z(t)A,

t > to,

(1.4)

I Z((t0) = Y.

Nhận thấy rằng hệ (1.4) có một nghiệm riêng là

Z(t) = eATịYe At.
Đặt

X(t) = f Z(s)ds.
Jto
Vì Ả là ma trận ổn định nên dễ kiểm tra được rằng

X = /

z(s)ds < 00,

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác , lấy
tích phân hai vế phương trình (1.4) từ t đến í 0 ta có

Z { t ) - Y = ATX{t) + X ự ) A ,

Ví > í 0.

Cho t —>■+00 thì z ( t ) —¥■0 và vì A là ma trận ổn định , nên ta được

R + , a(0) = 0. Hàm khả vi liên tục v ( t , x ) : R + X Rn —> M làhàm
Lyapunov cho hệ (1.5) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) V (t , x) là hàm xác định dương theo nghĩa
3a(.) £ K : V ( t , x ) > ữ(||íc||),
(ii) D ị V (t, x) = ^ + % f ( t , x) < 0,

v (í,x ) £ R + X Rn.

V(í, i ) G R + x r .

Trường hợp v(t,x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm hai điều kiện:
(iii) 3Ò(.) € K : V ( t, x) < ò(||x||), V(t,x) G R+ X
(iv) 3c(.) £ K : D f V ( t , x ) < —c(||íc||) < 0, với mọi nghiệm x(t ) của
hệ (1.5), thì v ( t , x ) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.5)
Định lý 1.4 (Định lý 3.14, [2], trang 130):
Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ ổn định. Nếu hàm Lyapunov đó là


13

chặt thì hệ ổn định tiệm cận.
V í d ụ 1.5 :Xét hệ phương trình vi phân :
±1

= {2x2 - x 1)(2x1x 2 + Xi2 + 1),





14

1.5

Các bổ đề bổ trỢ

Bổ đề 1.5.1: Hệ điều khiển
x{t) = Ax(t) + B u ( t ) , t > 0,
ỉà điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu mội trong hai điều kiện sau thỏamẫn:
ỉ) rank

[в, A

ỉỉ) Tồn tại

B , А п~хв \ = п.

т > о sao

cho ma trận

LT = [ e~AtB B Te~ATtdt ,
•'О
là không suy biến.
Bổ đề 1.5.2 ( Bổ đề Schur): Giả sứ s G Rn x n ỉà một ma trậnđối
xứng xác định dương, thì mọi ma trận P , Q £ Rn x nta có ma trận

là ma trận xác định âm khi và chỉ khi ma trận P + Q S 1QT là xác định âm.

t > 0,

( 2 .1 )

trong đó A, B , là ma trận hằng số.
Định nghĩa 2.1: Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
K sao cho ma trận (Ả + B K ) là ổn định.
Định lý 2.1 (Định lý 3.18, [2], trang 140):
Hệ (2.1) là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn.


16

Chứng minh: Giả sử (2 . 1 ) là điều khiển được về 0 hoàn toàn, (không
mất tính tổng quát ta giả sử t(Ị = 0), theo bổ đề 1.5.1 sẽ có một số T > 0
sao cho ma trận
= [ e- MB B Te- ÂTtdt,
•'0
là không suy biến.
Lấy bất kỳ Ti > T và đặt

LTi = í 1 (Ti - t)e-MB B Te- ATtdt,
•'0
khi đó LTl cũng là không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược L~1.
Đặt

K = —T ị B t L ^ ,
ta chứng tỏ rằng K chính là ma trận điều khiển ngược cần tìm. Tức là với
điều khiển ngược


e~AtB B Ấẽ
dt
Jo
Tx

= TXB B T - J e~AtB B TC~ATtdt,
0

nen
T,

^ У ( х Ш = ( T i B B Ty,y) + 2{Bu,y) - { у ,

I e AíB B Te AT‘ydt

= Ti { BTy, B Ty) - 2ĨÌ {BTy, B Ty) - (LTty , y ) .
Ta được

Ị v ( x ( t ) ) < -TiịịBTyịị2 - (LTly,y)

< - (ь т,у,у) = - { L~' x, x) .
Hơn nữa, vì Lỹ 1 là ma trận xác định dương nên có một số
(Lỹ 1^ , X) > СЦяЦ2.
Vậy

Df V(x) < - C \ \ x \ \ \

с>

0 sao cho


0 0=

1 < 2.

1 -2

H ệ phương trình vi phân tu yến tín h không
ôtôn ôm có hạn chế trên điều khiển

Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

t > 0.

( 2 .2 )

trong đó x ( t ) e R” ,tí(í) e Rra, ^ ( í ) e R”x" ,B (í) e R"*m - là các ma
trận hàm liên tục, và điều khiển u(t) thỏa mãn điều kiện:

\u(t)\\ < r,

t > 0.

(2.3)

Định nghĩa 2.1: Hệ điều khiển (2.2) là ổn định hóa được nếu có một
hàm điều khiển ngược u(t ) = k(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.3) sao cho hệ
đóng:


cả t > 0 :
(i)

ClI < W ( t , t + N ) < C 2 Ỉ .

(ii)

c3/ < U(t + N, t ) W( t , t + N) UT(t + N, t) < c j .

Trong đó

W ( t , t + N) = Ị u ( N , s ) B( s ) BT(s)UT(N, s)ds.
Hiển nhiên rằng, nếu hệ là UGC thì nó là GC. Kết hợp với hệ điều khiển
không ôtônôm (2.2) chúng ta xét các phương trình vi phân Riccati sau:

(RDE) p(t) + A T(t)P(t) + P(t)A(t) - P ( t )B ( t) B Tự ) P ự ) + Q(t) = 0,
(2.4)
trong đó P(t), Q(t) e R"*”.
M ệ n h đề 2.1: Nếu hệ điều khiển (2.2) là UGC, ta có những khẳng
định sau:
(i) Tồn tại số C5 > 0 sao cho
^2

J UT(s,t1)U(s,t1)ds < c5(í 2 - í i ) / ,
h

Ví2 > Í 1 > 0.



trong đó

P(t) = ( l / V)P(t),Ẽ(t) = ựĩjB(t),
có nghiệm p(t). Rõ ràng hệ [yl(í),5(í)] cũng là UGC; do đó, theo Mệnh
đề 2.1, phương trình RDE(2.5) có nghiệm p ( t ) thỏa mãn
||-P(í)||
0.

Bởi vậy,
Il-P(í)||
0.

Mệnh đề được chứng minh.
M ệ n h đề 2.3: Cho hàm ma trân liên tục và bị chặn B(t), p(t), khi đó
f { t , x ) = - r B ( t ) B T ( t)P{t)x/ [1 + ||-BT(í)P(í)x||] ,

g(t , x) = - rB( t ) BT(t ) [P (t ) + I ] x / [1 + ||-BT (í) [P(t) + I ] z||] ,