TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

K H Ú C TH Ị LOAN

BÀI TO ÁN ÔN Đ ỊN H HÓA HỆ
PH Ư Ơ N G TR ÌN H VI P H Â N
T U Y Ế N TÍN H CÓ Đ IÊU KH IÊN

L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC

H à N ộ i, t h á n g 6 n ă m 2015


T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

K H ÚC THỊ LOAN

BÀI TO ÁN ÔN Đ ỊN H HÓA HỆ
PH Ư Ơ N G TR ÌN H VI P H Â N
T U Y Ế N TÍN H CÓ Đ IÊU KH IÊN

L U Ậ N VĂN T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

C h u y ên n gà n h : T O Á N GIẢI
M ã số : 60 46 01 02

TÍCH

N g ư ờ i h ư ớn g d ẫ n k h o a học:
GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT


các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào
khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

KHÚC THỊ LOAN


M uc luc
M ở đầu
1

Cơ
1.1
1.2
1.3

1.4
1.5
2

1
SỞ T O Á N H Ọ C
Hệ phương trình vip h â n ...............................................................
Hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến t í n h ......................
Bài toán ổn định và ổn định h ó a ................................................
1.3.1 Bài toán ổn đ ị n h ..................................................................
1.3.2 Bài toán ổn định h ó a ........................................................

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đ ề tà i
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Lý thuyết ổn định được nghiên cứu từ cuối thế kỷ
19 bởi nhà toán học Nga A.M.Lyapunov. Mỗi khi phân tích và thiết kế các
hệ thống kỹ th u ật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương
trình toán học ngưòi ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Cho
đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết
toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học
và kỹ thuật. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra
đòi của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đươc quan
tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật. Từ đó
xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân điều khiển.
Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, do nhu cầu nghiên
cứu tính ổn định các hệ kỹ thuật mô tả bằng các phương trình điều khiển,
ngưòi ta nghiên cứu tính ổn định hóa của các hệ động lực. Bài toán ổn
định hóa là tìm hàm điều khiển chấp nhận được (hàm điều khiển ngược)
sao cho hệ đóng (hệ giải tương ứng với điều khiển chấp nhận được này) là
ổn định tiệm cận Lyapunov. Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa
tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết quả thú
vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã được
công bố bởi các nhà toán học, điều khiển học trong và ngoài nước, đặc
biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS Vũ Ngọc Phát, Viện toán học Hà Nội.
Bài toán ổn định hóa là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu
quan trọng đang được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho
luận văn thạc sĩ của mình là “ B à i t o á n ổ n đ ị n h h ó a hệ p h ư ơ n g t r ì n h

số tuyến tính, giải tích thực hiện đại.


3

7. Đ ó n g góp củ a đ ề tà i
Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định, ổn định hóa hệ
phương trình vi phân tuyến tính và các kết quả chọn lọc mới về bài toán
ổn định hóa của hệ phương trình vi phân tuyến tính


4

M ôt số ký hiệu và viết tắ t
R
R+
Rn
Xm

(x,y)
A(A)
Amax (-A)
Amin(-A)

Ĩ){A)
L 2([t,s],Rn)
M ([0, + 00] , My)
M >0
M >0



H ệ phương trìn h v i phân

Xét hệ phương trình vi phân có dạng:

x(t) = f( t, x( t) ),
x(t0) = x ữ)

t > t 0,

t0 > 0,

( 1 . 1)

trong đó x ( t ) Ẽ R " , / : R + X R n —> R n , với mỗi t > toHàm khả vi liên tục x ( t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) là
nghiệm của hệ phương trình vi phân đó. Công thức nghiệm dạng tích phân
của hệ (1.1) là

Định lý sau đây khẳng định sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân (1.1)


6

Đ ịn h lý 1.1 (Đ ịn h lý 1.23, [2], tra n g 27):
Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm
f(t, x ị t )): K+ X1 " -> 1 " là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
theo x:

3 K > 0 : \\f(t,xi) — / ( ¿ , 2:2)11 < K \\xi — a?2II ,
0,

trong đó A(t),g(t) là các hàm liên tục, luôn tồn tại nghiệm x(t, Xũ) xác
định trên toàn khoảng [0, + 00).

1.2

H ệ phương trìn h vi p h ân đ iều k h iển tu y ế n tín h

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến
tính dạng

x( t ) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

t > 0,

(1.2)

trong đó x(t) G R n - là véc tơ trạng thái, u(t) E R m là véctơ điều khiển ;
0 , nếu tồn tại một điều khiển
chấp nhận được u(t) sao cho nghiệm x(t,XQ,u) của hệ thỏa mãn điều kiện
x(0, Xo, u) = Xo, x(t i, Xo, u) = X\.
Đ ịn h n gh ĩa 1.2.2: Hệ điều khiển (1.2) gọi là điều khiển được hoàn
0 sao cho
(0 ,£ i) là điều khiển được sau thòi gian tị.
Đ ịn h n gh ĩa 1.2.4: Hệ điều khiển (1.2) được gọi là điều khiển được
hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kỳ trạng thái Xq G M" , tồn tại một
thòi gian t\ > 0 sao cho (a^o, 0) là điều khiển được sau thòi gian ¿1 -

1.3

B ài to á n ổn đ ịn h và ổn đ ịn h hóa

1 .3 .1

B à i to á n ổn đ ịn h

Đ ịn h n gh ĩa 1.3.1: Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, to > 0
sẽ tồn tại số ô > 0 (phụ thuộc vào £,to ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) :
x(to) = Xq thỏa mãn ||íEo|| < ô thì ||rr(t)II < £ với mọi t > t 0.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2: Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và
có một số ô > 0 sao cho nếu IIXo II < ô thì
lim ||rr(t)II = 0.
t —ì oo

Nếu số ô > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian
ban đầu ỈQ thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định
đều (hay ổn định tiệm cận đều).


8


t > 0,

trong đó a( t ) : K+ —> K là hàm liên tục, nghiệm x(t), với a:(ío) = Xo cho
bởi công thức
t

ĩ a{r)dT
x(t) = e‘°
XoDễ kiểm tra được rằng hệ là ổn định nếu

J
t

a ( r ) d r < Ịi{to) < +oo.

¿0
Hệ là ổn định đều nếu số n(to) là hằng số không phụ thuộc vào to , là ổn
định tiệm cận nếu


9

1 .3 .2

B à i to á n ổn đ ịn h h ó a

Xét hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính (1.2)
Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.1: Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại
hàm h(t ) = K(t)x(t) sao cho hệ đóng (closed - loop system)

Đ ị n h lý l . l ( Đ ị n h lý 3.1, [2], t r a n g 110):
Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi A là ma trận ổn định.
V í d ụ 1.3: Xét tính ổn định hệ

Xị(t) = -Xị(t),
x 2(t) = - 2 x 2{t).


10

Ta thấy

Vậy giá trị riêng của A là A = —1, —2 . Hệ là ổn định mũ.
Đ ịn h lý 1.2 (Đ ịn h lý 3.3, [2], tra n g 113):
Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác
định dương, phương trình (LE) A TX + X A = —Y có nghiệm là ma trận
X đối xứng, xác định dương.

Chứng minh. Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng
xác định dương. Với x ( t ) là một nghiệm tùy ý của (1.3) ta xét hàm số
V(t,x(t)) = (Xx(t ), x(t)) , Ví > 0.
Ta có

^ -V( t , x( t ) ) = ( X x , x ) + ( X x , x )
LiV
= ( ( X A + A TX ) x , x )
= — (Yx, x) .
Do đó

V(t,x(t)) - V ( t 0, x o) = -

■'to

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác , lấy
tích phân hai vế phương trình (1.4) từ t đến to ta có

Z{t) - Y = A TX{t) + X( t ) A,

V í > í 0.

Cho t —> +oo thì z(t) —> 0 và vì A là ma trận ổn định , nên ta được

- Y = A TX + X A ,


12

hay là, các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng
minh X là ma trận xác định dương. T hật vậy, ta có

Do Y là xác định dương và eAt không suy biến nên ( X x , x )

>

0 nếu

X Ỷ 0-

□

Định lý được chứng minh.
R n là hàm phi tuyến cho trước
Đ ịn h n gh ĩa 1.4.1: Xét K là lớp các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R + —>
R + , a(0) = 0. Hàm khả vi liên tục V ( t , x ) : R + X Kn -> 1 là hàm
Lyapunov cho hệ (1.5) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) V( t , x ) là hàm xác định dương theo nghĩa
3ữ(.) G K : V ( t , x ) > ữ(||a:||),
(ii) D , V ( t , x ) = % - + ^ f ( t , x ) < 0,

V(t,x) G R + X R n.

V(f, x) Ẽ * + X

Trường hợp v(t,x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm hai điều kiện:
(iii) 3Ồ(.) G K : V ( t , x ) < ò(||rrII), V(t,a;) G R+ X Rn.
(iv) 3c(.) G K : D f V ( t , x ) < —c( 11rr 11) < 0, với mọi nghiệm x(t) của

+ 1 0 æ 24 )-

Do đó

Đ , V ( x ) < 0.
Vậy hệ ổn định tiệm cận.
V í d ụ 1.6 :Xét hệ phương trình vi phân:
1
¿1 = —X\ + -æ isin 2(í),
2





15

Chương 2
TÍN H ÔN Đ ỊN H HÓA HỆ
PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N
T U Y Ế N TÍN H CÓ Đ IÊU KH IÊN
Chương này trình bày một số kết quả về bài toán ổn định hóa hệ phương
trình vi phân tuyến tính có điều khiển ôtônôm và không ôtônôm. Nội dung
được lấy từ tài liệu [2, 3].

2.1

H ệ phương trìn h vi p h ân tu y ế n tín h có đ iều
k h iển ô tô n ô m

Xét hệ phương trình

x(t) = Ax(t) + Bu(t),

t > 0,

(2.1)

trong đó A , B , là ma trận hằng số.
Đ ị n h n g h ĩa 2.1: Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
K sao cho ma trận (A + B K ) là ổn định.
Đ ị n h lý 2.1 ( Đ ịn h lý 3.18, [2], t r a n g 140):
Hệ (2.1) là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn.

thì hệ (2.1) là ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận (Ả + B K ) là ổn
định.
Để làm được điều này, ta lấy hàm Lyapunov dạng

V (s) = ( L ỹ lx, X) .
Với nghiệm x(t), s(0 ) = Xq của hệ

x(t) = (A + B K ) x ( t ),
và bằng điều khiển u = —T i B L ^ x ta có

^ V { x { t ) ) = (L~^x,x) + (L~^x,x)

( ( L Tl A + A TL Tl ) X, x) + 2 (Bu, L t 1x ) .


17

Đặt y = Lrj}x và nhận xét rằng

( ( L T' A + A TL Tf ) x , x ) = ( ( L TlA T + A L Tl) y , y )
ta có

dt

V{x{t)) = {(LTịA T + A L Tl) y , y ) + 2 (Bu, y) .

Mặt khác vì

d ị
L txA t + A L — í (T\ — t )


D f V ( x ) < - C \ \ x \ \ 2.


18

Theo định lý 1.4 hệ là ổn định tiệm cận. Định lý được chứng minh.
V í dụ 2.1: Xét hệ điều khiển (2.1) trong đó

Ta thấy hệ X = Ax là ổn định, do đó hệ là ổn định hóa được với K = 0.
Tuy nhiên ta thấy hệ không là điều khiển về 0 hoàn toàn vì

rank [B, A B ] = rank

2.2

0

0

1 -2

= 1 < 2.

H ệ phương trìn h vi p h ân tu y ế n tín h k h ôn g
ô tô n ô m có hạn chế trên đ iều kh iển

Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm có dạng

x( t ) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

0
trong đó ư(t, s ) kí hiệu ma trận nghiệm cơ bản của hệ cơ bản

x( t) = A(t)x(t),
xác định bởi

ị dư(t, s)/dt = A(t)ư(t, s), t, s > 0,
1 U(t,t) = I.
Đ ị n h n g h ĩa 2.2: Hệ điều khiển (2.2) là điều khiển được đều (UGC) nếu
có số N > 0 và C\ , C2, C3, Cị > 0 sao cho thỏa mãn các điều kiện sau cho tấ t
cả t > 0:

c j < W { t , t + N) < C2I.

(ĩ)

{ii)

c3/ < ư{t + N, t)W{t, t + N ) ư T(t + N , t ) < Cịl.

Trong đó

W { t , t + N) = Ị Ư(N, s ) B ( s ) B T(s)ưT(N, s)ds.
Hiển nhiên rằng, nếu hệ là UGC thì nó là GC. Kết hợp với hệ điều khiển
không ôtônôm (2.2) chúng ta xét các phương trình vi phân Riccati sau:

( RD E ) p ( t ) + Ả T(t)P(t) + P(t)A(t) - P ( t ) B ( t ) B T(t)P(t) + Q(t) = 0,
(2.4)
trong đó P (t), Q(t) E R nxn.
M ệ n h đ ề 2.1: Nếu hệ điều khiển (2.2) là UGC, ta có những khẳng

Vi > 0.

Chứng minh: Giả sử rằng hệ điều khiển (2.2)là UGC, khi đó nó là GC.
Đặt Q(t) —ĨỊ/ , phương trình vi phân Riccati
p (í) + A T{t)P{t ) + P{t)A{t) - P{t ) B{t )BT{t)P{t ) + 77/ = 0,
có nghiệm p ( t ) > 0. Điều đó có nghĩa rằng phương trình vi phân Riccati

P{t) + AT(t)P(t) + P(t)A(t) - P{t)Ỗ{t)BT{t)P{t) + 1 = 0,

(2.5)

trong đó

P(t) = ( l / V) P( t ) , Ẽ( t ) = ^ r ìB(t),
CÓ nghiệm p(t). Rõ ràng hệ [A(t), B ( t )] cũng là UGC; do đó, theo Mệnh
đề 2.1, phương trình RDE(2.5) có nghiệm p ( t ) thỏa mãn

p{t) II
0.

Bởi vậy,
p(t)\\
0.