Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------

VŨ TRỌNG ĐẠI

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA
PHẢN HỒI ĐẦU RA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2012

Footer
SốPage
hóa bởi
1 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1


Header Page 2 of 89.

i

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................................1


Header Page 3 of 89.

ii

MỘT SỐ KÝ HIỆU
    ;   : tập các số thực;
     0;   : tập các số thực không âm;
  nr : không gian các ma trận n  r chiều ;
 n : không gian véc tơ tuyến tính thực n chiều với ký hiệu tích
vô hướng là .,. và chuẩn véc tơ là . ;
   a; b  ,  n  : tập tất cả các hàm liên tục trên  a; b  và nhận giá
trị trên  n .


L2  a; b  ,  m  : tập tất cả các hàm khả tích bậc hai trên  a; b  và

lấy giá trị trong  m .


AT : ma trận chuyển vị của ma trận A , ma trận A được coi là
đối xứng nếu A  AT ;

 I : ma trận đơn vị ;
   A  : tập các giá trị riêng của ma trận A ;
 max  A   max Re  :     A  ;
 min  A  min Re  :     A ;


A  0 : ma trận A xác định dương ;

của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỉ
XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov, từ những năm 60 của thế kỉ XX, song
song với sự phát triển của lý thuyết điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các
tính chất chất định tính của hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu
các tính chất ổn định của hệ thống điều khiển hay còn gọi là ổn định hóa của
hệ. Trải qua quá trình nghiên cứu và phát triển, đến nay lý thuyết ổn định, ổn
định hóa các hệ phương trình vi phân đã được nghiên cứu và phát triển như
một lý thuyết toán học độc lập và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán
học ứng dụng, điều khiển kỹ thuật, kinh tế, ....
Trong thực tế, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển
thường liên quan đế các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với
thời gian liên tục hay rời rạc dạng:

x  t   f  t , x  t  , u  t   , t  0
x  k  1  f  k , x  k  , u  k   , k  0,1, 2,...
trong đó x . là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u . là biến điều khiển
mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiển trong mô
hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động ở

Footer
SốPage
hóa bởi
4 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4


Header Page 5 of 89.


Footer
SốPage
hóa bởi
5 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5


Header Page 6 of 89.

3

Chương 2: Ổn định hóa phản hồi đầu ra các hệ phương trình vi phân
tuyến tính.
Chương một trình bày một số kiến thức về phương trình vi phân, ổn
định phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov và đặc biệt
là bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa
phản hồi trạng thái và ổn định hóa phản hồi đầu ra.
Trong chương hai chúng tôi xin giới thiệu và chứng minh một số định
lý cơ bản về điều kiện cần và đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu ra bằng
phương thức tiếp cận bất đẳng thức ma trận, ổn định hóa phản hồi trạng thái
và ổn định hóa đầu ra cho hệ tuyến tính có trễ.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo GS TSKH Vũ Ngọc Phát, nhân dịp này em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Viện Toán học và trường

 Xét phương trình vi phân có dạng :

 x  f  t , x  , t  I  t0 , t0  b  ,

n
 x  t0   x0 , x   , t0  0

1.1

trong đó f  t , x  : I  D   n , D   x   n : x  x0  a .
Nghiệm phương trình vi phân 1.1 là hàm số x  t  khả vi liên tục
thỏa mãn:
i,  t , x  t    I  D ,
ii, x  t  thỏa mãn phương trình vi phân 1.1 .
Giả sử hàm f  t , x  liên tục trên I  D , khi đó nghiệm x  t  cho bởi
t

dạng tích phân sau: x  t   x0   f  s, x  s   ds .
t0

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân 1.1 .
1.1.1. Định lý (Định lý Picard - Lindeloff)
Xét phương trình vi phân 1.1 trong đó giả sử hàm

f  t, x  : I  D  n
là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x :

Footer
SốPage

 x  Ax  g  t  , t  0,

 x  t0   x0 , t0  0

1.2 

trong đó A là n  n  ma trận hằng số, g  t  :  0,    n là hàm khả tích thì
hệ 1.2  luôn có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy sau

x t   e

A t t0 

t

x0   e

A t  s 

g  s  ds, t  0

t0

Footer
SốPage
hóa bởi
8 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8

x  t     t , t0  x0     t , s  g  s  ds, t  0
t0

trong đó   t , s  là ma trận nghiệm cở bản của hệ 1.4  thỏa mãn phương
trình ma trận

d
   t , s   A  t    t , s  , t  s,
 dt
  t , t   I , t  0

1.2. Lý thuyết ổn định phương trình vi phân
1.2.1. Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

 x  f  t , x  , t  0

 x  t0   x0 , t0  0

1.5

trong đó x  t    n là véc tơ trạng thái của hệ, f :     n   n là hàm véc tơ
cho trước. Giả thiết f  t , x  là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm

Footer
SốPage
hóa bởi
9 ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

1.6 

trong đó g  t , y  : f  t , y  x   f  t , x  và g  t ,0   0 .
Ta nhận thấy nếu x . là một nghiệm của 1.5 thì x .  x . là
nghiệm của 1.6  . Mặt khác lại có x .  x . là một nghiệm của 1.5  nên

y  .  0 là một nghiệm của 1.6  và hơn thế nữa dễ dàng kiểm tra được rằng
x . là một nghiệm ổn định của 1.5  khi và chỉ khi y .  0 là một nghiệm
ổn định của 1.6  .
Do đó từ nay về sau ta chỉ xem xét sự ổn định của nghiệm y .  0 của

Footer
SốPage
hóa bởi
10 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10


Header Page 11 of 89.

8

phương trình vi phân dạng y  g  t , y  với giả thiết g  t ,0   0 .
Giả sử x  0 là một nghiệm của 1.5  ta định nghĩa:
Nghiệm x  0 của hệ 1.5 được gọi là ổn định nếu   0, t0  0 đều
tồn tại    ,t0  sao cho mọi nghiệm x  t , t0 , x0  của hệ thỏa mãn


SốPage
hóa bởi
11 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11


Header Page 12 of 89.

9

Ví dụ 1.1.
Xét phương trình vi phân trong 
x  ax, t  0.

Nghiệm x  t  , với x  t0   x0 cho bởi công thức

x  t   x0e at , t  0.
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a  0 .
Nếu a  0 thì hệ là ổn định.
Hơn nữa, hệ sẽ ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số   0
được chọn sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 .
1.2.2. Ổn định các hệ tuyến tính
Xét hệ tuyến tính ô tô nôm

x  t   Ax  t  , t  0,

1.7 

12 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12


Header Page 13 of 89.

10

 1  
 A  I  
 0

0 
2   

A  I   0     1   2   0
   1

   2

 Re   0,     A .
Do vậy hệ ổn định tiệm cận.
Tính ổn định của hệ tuyến tính ô tô nôm 1.7  có liên quan tương
đương với sự tồn tại nghiệm của một phương trình ma trận tuyến tính, thường
gọi là phương trình Lyapunov dạng

AT X  XA  Y ,


13


Header Page 14 of 89.

11

  Yx  t  , x  t  .
Do đó
t

V  x  t    V  x  t0      Yx  s  , x  s  ds
t0

Vì X là xác định dương nên V  x  t    0, t  t0 và do đó
t

ds  V  x0   Xx0 , x0 .

 Yx  s  , x  s 
t0

Mặt khác, vì Y là xác định dương, nên tồn tại số   0 sao cho
2

Yx, x   x , x   n ,
do đó
t


và do đó


 x t 
1

t0

2


2

dt   e 2Re 0t x0 dt   ,
t0

vì Re   0 , vô lý với điều kiện 1.8 .
Ngược lại, giả sử Re   0,     A  . Với bất kì ma trận Y đối xứng

Footer
SốPage
hóa bởi
14 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14


Header Page 15 of 89.

Z  t   Y  AT X  t   X  t  A, t  t0 .
Cho t   để ý rằng Z  t   0 khi t   và vì Re   0,

    A  , nên ta được
Y  AT X  XA
hay là các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn  LE  . Ta chỉ còn chứng minh

X là ma trận xác định dương. Thật vậy, ta có
T

Xx, x   Ye A t x, e At x dt.
Do Y  0 và e At là không suy biến nên

Xx, x  0 nếu x  0 .
Định lý được chứng minh.

Footer
SốPage
hóa bởi
15 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15


Header Page 16 of 89.

13


xác định dương

 23
 10
X 
 3

 20

3 
20 
.
9 

20 

Theo định lí 1.2.2 thì hệ là ổn định tiệm cận.
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov
 Xét hệ phương trình phi tuyến ô tô nôm

x  f  x  ,

f  0   0, t    .

Footer
SốPage
hóa bởi
16 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Xét hệ phương trình vi phân:
z  Az

1.11

trong đó

 x
z   ,
 y

 1 1 
A

 2 1 

Chọn V  z   2 x 2  y 2 , a  t     t   t 2 , b  t   2t 2

Footer
SốPage
hóa bởi
17 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17


Header Page 18 of 89.


V  0,0   0

D f V  x, y   4 x 4 y 4  4 x 4 y 4  0,   x, y    2
Vậy hàm V  x, y  là hàm Lyapunov và thỏa mãn điều kiện  iii ,  trong định
nghĩa 1.3.1 nên hệ phương trình 1.12  ổn định đều.
 Xét hệ phi tuyến không ô tô nôm :

 x  t   f  t , x  t   , t  0,

 x  t0   x0 , t0  0,

1.13

trong đó

f t, x  :   n   n
là hàm phi tuyến cho trước, f  t ,0   0, t    .
Xét lớp hàm  là tập các hàm liên tục tăng chặt a . :      , a  0   0 .

Footer
SốPage
hóa bởi
18 of
Trung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18


Header Page 19 of 89.


1 t 3
ex .
2

1.14 

Lấy hàm Lyapunov

V t , x  :   D  
trong đó

D   x : x  1 với V  t , x   x
ta có

1
3
D f V  t , x    et x
2
Hệ 1.14  ổn định với   h   h3 , vì

D f V  t , x   

1 3
1
x     x .
2
2

Footer




trong  m u .  L2  0; t  ,  m  , t  0 gọi là hàm điều khiển chấp nhận được
của hệ 1.15 
1.4.1. Ổn định hóa phản hồi trạng thái
1.4.1.1. Định nghĩa
Hệ 1.15  gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h  x  :  n   m sao
cho với hàm điều khiển này thì hệ phương trình vi phân





x  t   f t , x  t  , h  x  t   , t  0 ,
là ổn định tiệm cận. Hàm u  t   h  x  t   gọi là hàm điều khiển phản hồi
trạng thái.
Trong trường hợp hệ 1.15  là hệ tuyến tính x  Ax  Bu thì hệ là ổn
định hóa được nếu tồn tại ma trận K sao cho với điều khiển được phản hồi
trạng thái u  Kx thì hệ x  Ax  BKx là ổn định tiệm cận. Điều đó tương
đương với tìm ma trận K sao cho ma trận

 A  BK 

là ổn định, tức là,

Re   A  BK   0 .
Chú ý :
Nếu ma trận A là ổn định thì hệ là ổn định hóa được với điều khiển
trạng thái u  0 .

,
B


 1
 0 1
 
2 
 1  
A  I  
1   
 0

 A  I  0
  1   1     0
   1

  1

  Re   A  1  0 .
 Ma trận A không ổn định.
Ta tìm ma trận K   k1 k 2  sao cho ma trận A  BK là ma trận ổn định.

 1 2   1
A  BK  
     k1 k 2 
 0 1   1
 1 2   k1 k2   1  k1 2  k2 




19

  A  BK   I   0
  4    2     0
   4

   2

 Re   0     A  BK 
 ma trận  A  BK  là ma trận ổn định.

Vậy hệ là ổn định hóa với điều khiển ngược trạng thái là :

x 
u  t    k1 k2   1   k1x1  t   k 2 x2  t 
 x2 
 0.x1  t   3 x2  t   3 x2  t 
Sau đây là một số tiêu chuẩn cơ sở để hệ là ổn định hóa được theo điều khiển
trạng thái:
1.4.1.2. Định lý  2
Hệ

x  Ax  Bu

là điều khiển được hoàn toàn về

0

nếu

Header Page 23 of 89.

20

là không suy biến. Lấy bất kì T1  T và đặt
T1

T

LT1   T1  t  e  At BBT e  A t dt
0

khi đó LT1 cũng không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược LT11 . Đặt

K  T1 BT LT11
Ta chứng tỏ rằng K chính là ma trận điều khiển ngược cần tìm. Tức là với
điều khiển ngược

u  t   TBT LT11 x  t 
thì hệ 1.16  là ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận  A  BK  là ổn
định. Để làm được điều này, lấy hàm Lyapunov dạng

V  x   LT11 x, x
với nghiệm x  t  , x  0   x0 của hệ x  t    A  BK  x  t  và bằng điều khiển

u  T1 BLT11 x ta có

d
V  x  t    LT11 x , x  LT11 x, x
dt


L

T1



AT  ALT1 y , y



AT  ALT1 y , y  2 Bu , y

Mặt khác vì
T1
T

LT1 A  ALT1   T1  t 
0

d   At T  AT t 
e BB e

dt 
T1

 T1BB   e  At BBT C  A 't dt
T

0

d
V  x  t    T1 BT y  LT1 y, y
dt

  LT1 y , y   LT11 x, x
Hơn nữa LT11 là ma trận xác định dương nên có một số C  0 sao cho

L

1
T1



x, x  C x

2

Vậy

D f V  x   C x

2

nên hệ ổn định tiệm cận. Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.8.
Xét hệ điều khiển 1.16  trong đó

0 0 
0

Header Page 25 of 89.

22

Ta thấy hệ x  Ax là ổn định, do đó hệ ổn định hóa được với K  0 . Tuy
nhiên hệ không GNC vì

0 0 
rank  B, AB   rank 
 1 2
1 2 
Ví dụ trên cho thấy rằng nếu hệ ổn định hóa được thì hệ đó chưa chắc đã là
GNC. Như vậy để hệ ổn định hóa được là GNC thì đòi hỏi điều kiện mạnh
hơn tính ổn định hóa được.
1.4.1.4. Định lý  4 
Xét hệ tuyến tính không ô tô nôm

x  t   A  t  x  B  t  u, t  0 .

1.17 

Hệ 1.17  là ổn định hóa được nếu phương trình vi phân Riccati sau

P  t   A  t  P  t   AT  t  P  t   P  t  B  t  B T  t  P  t   Q  0
có nghiệm xác định dương đều P  t   0, Q  0 và P  t  bị chặn đều. Điều
khiển phản hồi trạng thái là

1
u  t    BT  t  P  t  x  t  , t  0 .
2