TR

B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

NGUY Nă

CăLAI ậ C00449

AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT
DĨNHăCHOăH CăSINHăCHUYểN TOỄN
TịMăT TăLU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C
CHUYểNăNGĨNH:ăPH

NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P

MĩăS :ă60ă46ă01ă13

NG

IăH

NGăD NăKHOAăH C:ăTSăBỐIăHUYăHI N

Hà N i – N m 2016


M CăL C
Trang
1

II.1

Phép chia có d

6
7

………………………………………………………………………….

7

II.2

a th c b t kh quy…………………………………………………………..………

8

II.3

Phân tích đa th c( nhân t hóa đa th c) ……………………………..………

8

III

Nghi măc aăđaăth c…………………………………………………………………

9

III.1 Không đi m c a đa th c…………………………………………………….………


9

IV.2

Phép phân tích m t phân th c h u t

10

IV.3 Các ph

…………………………………………

ng pháp phân tích m t phân th c h u t

……………….………

IV.4

ng d ng c a phép phân tích m t phân th c h u t

Ch

ngă2.ăCácăd ngătoánăv ăđaăth căvƠăphơnăth căh uăt

……………………

10
10



Nghi măc aăđaăth c…………………………………………………………………

14

II.1

Tìm nghi m c a đa th c…………………………….………………………………

14

II.2

Tính ch t c a nghi m c a đa th c………………………………….…….……

15

II.3

Nghi m b i và đ o hàm c a đa th c……..……………………………………

18

III

BƠiătoánăxácăđ nhăđaăth c………………..………………………………………

19

III.1 Xác đ nh đa th c khi cho bi t nghi m c a đa th c ……..……......………

TƠiăli uăthamăkh o…………………………………….….……………………………………

2


M ă
Trong ch

ng trình môn Toán

U

b c Ph thông, h c sinh đ

c ti p c n v i

đa th c t b c THCS, đ n THPT chuyên. Bài toán v đa th c và phân th c h u
t xu t hi n trong h u h t các cu c thi. Hi n nay, các tài li u v đa th c c ng khá
đa d ng và phong phú. Tuy nhiên, đa s đ u khó đ i v i các h c sinh m i b t
đ u ti p c n. Vì v y tôi l a ch n các d ng toán đi n hình v đa th c và phân
th c h u t đ nghiên c u và ph c v cho h c sinh các l p chuyên toán ph
thông.
Lu năv năăg mă2ăch

ng:

Ch

ngă1.ăTómăt tăm tăs ăki năth căchungăv đaăth căvƠăphơnăth căh uăt .


c m n tr

ng

i h c Th ng Long, c m n các Th y, Cô giáo c a Nhà tr

ng

đã nhi t tình gi ng d y cho em trong su t th i gian qua. C m n các Th y, Cô
giáo tr

ng THPT Chuyên B c Giang đã giúp đ , t o đi u ki n cho tôi có nhi u

th i gian tham gia h c t p nâng cao trình đ . C m n các b n h c viên l p Cao
h c Th ng Long khoá 03 đã giúp đ tôi trong c quá trình h c t p t i tr

ng!

Hà n i. ngày 15 tháng 5 n m 2016
Tácăgi

Nguy nă

4

căLai


CH


I.1.2.2.ăPhépănhơn.
Cho các đa th c P   a n n  K[X ] và Q   bn n  K[X ] . Khi đó tích c a
chúng đ

c vi t và tính theo công th c là P .Q   cn n  K[X ] .

I.1.2.3.ăPhépăh păđaăth c.

5

Thang Long University Libraty


Cho các đa th c P   a n n  K[X ] , Q   bn n  K[X ] . Ta g i đa th c h p
c a P và Q đ

c vi t là P Q ho c P  Q  và đ

c xác đ nh theo công th c
N

P Q  P  Q    a nQ n .
n 0

I.2.ăTínhăch tăc aăvƠnhă K[X ] .
I.3.ăPhépăđ oăhƠm.
I.3.1.ă nhăngh a.
N

V i m i đa th c P   a n X n  K[ X ] , đa th c đ o hàm c a P , ký hi u là P '


i 0

I.4.ăHƠmăđaăth c.
I.4.1ă nhăngh a.
N

Cho đa th c P   a n X n  K[ X ] . Khi đó ta có hàm P : K  K xác đ nh b i
n0

N

quy t c x  K , P  x   a n xn đ
n 0

c g i là hàm đa th c liên k t v i P .

I.4.2.ăM nhăđ 1.
Cho P , Q là các đa th c trong K[X ] ,   K ta có

6


P   Q  P   Q, P Q  P Q, PQ  P .Q .

I.4.3.ă nhălỦ( nhălỦăTaylorăđ iăv iăđaăth c).
Cho đa th c P  [X ], N  , th a mãn deg  P   N ,   . Ta có công th c
N

P   X   

nhălỦ.
Cho các đa th c A, B  K[ X ], B  0 . T n t i duy nh t c p đa th c
2
 Q, R   K[ X ] sao cho

A  BQ  R, deg  R   deg  B  , Q , R l n l

t là th

ng và d

trong phép chia Euclide A cho B .
II.1.4.ă nhăngh aă

căchungăl nănh t(UCLN),ăB iăchungănh ănh t(BCNN).

7

Thang Long University Libraty


II.1.5.ă Tínhă ch tă c aă

că chungă l nă nh t(UCLN),ă B iă chungă nh ă

nh t(BCNN).
II.1.6. aăth cănguyênăt ăcùngănhau.
II.1.7. Cácăđ nhălỦ vƠătínhăch t.
Cho A, B, C , P , Q là các đa th c trong K[X ] và   K .
M nhăđ ă1.

M nhăđ ă1.
M nhăđ ă2.
II.3.ăPhơnătíchăđaăth c(ănhơnăt ăhóaăđaăth c).

8


nhălỦ.
H ăqu .
M nhăđ .
III.ăNGHI MăC Aă AăTH C.
III.1.ăKhôngăđi măc aăđaăth c.
III.1.1.ă nhăngh a 1.
Cho P  K[X ], a  K . Ta nói r ng  là m t không đi m hay m t nghi m c a
P khi và ch khi P    0 .

III.1.2.ă nhăngh aă2.
Cho P  K[X ], a  K . Ta nói r ng  là không đi m c p b i không th p h n
k khi và ch khi P  X    .
k

III.2.ăTínhăch tăc aăkhôngăđi m vƠ đ oăhƠm.
III.2.1.ă nhălỦăViet.
III.2.2.ă

oăhƠmăv iănghi măc aăđaăth c.

III.3.ă nhălỦăBerzout.
Cho đa th c P  X   a n X n  a n 1 X n 1  ...  a1 X  a 0  K[ X ] n u   K là m t
không đi m c a P khi và ch khi ta có P  X    X    Q  X  .


ng pháp đ ng nh t h s .

Ph

ngăphápă2: Ph

ng pháp chia theo l y th a t ng.

Ph

ngăphápă3: Ph

ng pháp h s b t đ nh.

IV.4.ă ngăd ngăc aăphépăphơnătíchăm tăphơnăth căh uăt .

10


CH
CỄCăD NGăTOỄN V

NG 2

AăTH CăVĨăPHÂNăTH CăH UăT

I.ăD NGă1.ăTệNHăCH T S ăH CăC Aă AăTH CăH ăS ăNGUYểN.
I.1.ăBƠiătoánăv ătínhăchiaăh tăc aăđaăth c.
BƠiătoánăI.1.1.


th c Q  x  x2  x  1 .
BaiătoánăI.1.6.
Cho đa th c P  x  , bi t P  x  chia cho  x  2014  và  x  2015 l n l

td

a , b . Tìm phép d trong phép chia P  x  cho  x  2014  x  2015  .

BƠiătoánăI.1.7.
Ch ng minh r ng UCLN c a xm  1 và xn  1 là xUCLN m,n 1 .

11

Thang Long University Libraty


I.2.ăCh ngăminhăđaăth căkh ăquy,ăb tăkh ăquy
BƠiătoánăI.2.1.
Cho P  x  [x] và có b c n l , nh n giá tr b ng 1 ho c 1 t i n giá tr
nguyên khác nhau. Ch ng minh r ng P  x  [x] b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.2.
Cho P  x  th a mãn xP  x  1   x  2014  P  x và P  2014   2014! . Ch ng
minh r ng f  x  P 2  x  1 b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.3.
Cho a , n nguyên và p là m t s nguyên t th a mãn p  a  1 . Ch ng
minh r ng f  x  xn  ax  p b t kh quy trong [x] .
BƠiătoánăI.2.4.
n


[x] .

BƠiătoánăI.2.8.
Cho đa th c f  x trên [x] có b c n . N u t n t i ít nh t 2n 1 s nguyên,
phân bi t m sao cho f  m nguyên t thì f  x b t kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.9.
Ch ng minh r ng đa th c P  x   x2  x  1 b t kh quy trên [x] .
2n

BƠiătoánăI.2.10.
Cho s nguyên t

p  5 . Tìm s các đa th c b t kh quy trên

[x] c a đa

th c có d ng P  x  x p  pxk  pxl  1, k  l ; k, l  {1, 2,3,..., p  1} .
BƠiătoánăI.2.11.
Ch ng minh r ng n u p là m t s nguyên t thì đa th c P  x 

xp 1
b t
x 1

kh quy trên [x] .
BƠiătoánăI.2.12.
Cho s nguyên t

p và s nguyên a không chia h t cho p . Ch ng minh



đ v i m i x [  1;1] thì f  x  1 .
a , b, c 

đ v i m i x [  1;1] thì

f  x  1 .

BƠiătoánăI.3.2.
Tìm các s th c a , b, c sao cho f  x  max x3  ax2  bx  c đ t giá tr nh
[ 1;1]

nh t.
BƠiătoánăI.3.3. ( ng d ng đa th c Chebyshev gi i ph
Gi i các ph

ng trình b c cao).

ng trình sau

a) x5  10 x3  20 x  18  0 .
b) 16 x5  20 x3  5 x  3  0 .
BƠiătoánăI.3.4.
Cho s th c  th a mãn 6 a  6

1
1
 6 . Hãy tính giá tr c a A  4 a  4 .
a
a


ai
.
an

BƠiătoánăII.2.2.
Ch ng minh r ng m i đa th c b c ch n v i t t c các h s l đ u không
có nghi m h u t .
BƠiătoánăII.2.3.
n

n

i 0

i 0

Cho 2 đa th c P  x   ai xi , Q  x   b j x j , bi t an  bn là s nguyên t và
a n1  bn1 . G i m là nghi m h u t chung c a P  x , Q  x . Ch ng minh r ng m là

s nguyên.
BƠiătoánăII.2.4.
Ch ng minh r ng tích hai nghi m th c c a đa th c P  x  x4  x3  1 là
nghi m c a đa th c Q  x  x6  x4  x3  x2  1 .
BƠiătoánăII.2.5.
n 1

Cho đa th c P  x  1   a i xi  xn , a i  0, i  1, n  1 và P  x  có n nghi m
i 1



trình
x3  px2  qx  r  0.

BƠiătoánăII.2.9.
Cho P  x  [x] . Ch ng minh r ng n u P  0  và P 1 đ u l thì P  x  không
có nghi m nguyên.
BƠiătoánăII.2.10.
Cho P  x  là đa th c nguyên và P  x  1 có nghi m nguyên là x1 , P  x  2
có nghi m nguyên là x2 , P  x   3 có nghi m nguyên là x3 . Ch ng minh r ng
x1 ; x2 ; x3 theo th t là nghi m nguyên duy nh t c a các ph

ng trình

P  x  1; P  x  2; P  x  3 .

BƠiătoánăII.2.11.
Cho P  x  1  x2  x9  xn  xn  ...  xn  x1992 , 9  ni  ni 1  1992, ni  . Ch ng
1

s

2

minh r ng nghi m c a P  x  (n u có) không th l n h n

16

1 5
.

Cho P  x   a i xi  [x] . Ch ng minh r ng n u
i 0

p

q

là nghi m c a P  x 

thì ta luôn có  p  mq  P  m , m  .
BƠiătoánăII.2.15.
Cho đa th c v i h

s

nguyên là P  x  . Th a mãn t t c

các s

P  0  ; P 1 ;..., P  m  1 đ u không chia h t cho m; m  ; m  2 thì P  x  không có

nghi m nguyên.
BƠiătoánăII.2.16.
Cho

f  x  [x]

có ít nh t 2 nghi m th c. Ch ng minh r ng

P  x  f  x   f '  x  c ng có ít nh t 2 nghi m th c.

BƠiătoánăII.2.19.
Cho đa th c

P  x  xn  a n 1 xn 1  ...  a1 x  a 0

có n nghi m không âm. Ch ng

n

minh r ng  a1   a 0n 1 .
n
BƠi toánăII.2.20.
Cho đa th c

P  x  x3  2 x2  2 x  m .

Ch ng minh r ng

P  x

không th có 3

nghi m h u t phân bi t v i m i m .
II.3.ăNghi măb iăvƠăđ oăhƠmăc aăđaăth c.
BƠiătoánăII.3.1.
Cho các đa th c

P  x  x3  2 x2  3 x  4; Q  x   x3  5 x2  10 x  10 .

Ch ng


ki n sau
f  a   0,  1 f '  a   0,  1 f ''  a   0,...,  1 f 
1

2

18

n

n

a   0 .


f  b   0,  1 f '  b   0,  1 f ''  b   0,...,  1 f 
1

2

n

n

b   0 .

Ch ng minh r ng t t c các nghi m th c c a đa th c

f  x

BƠiătoánăIII.1.2.
Xét t p h p các đa th c P  x  khác h ng, th a mãn đi u ki n
P  x2  1  P  x .P   x , x  . Hãy tìm trong t p h p đó 1 đa th c có b c bé nh t

nh ng có nghi m l n nh t.
BƠiătoánăIII.1.3.

19

Thang Long University Libraty


Tìm t t c

các đa th c b c 4 d ng P  x  x4  bx2  c,  b, c  0  sao cho

P  x  x2  0 không có nghi m th c nh ng P  P  x   x4  0 có nghi m th c.

BƠiătoánăIII.1.4.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x có b c n , có

n nghi m th c và th a

mãn P  x .P  2 x2   P  2 x3  x ,  .
BƠiătoánăIII.1.5.
Tìm t t c các đa th c P  x 
Q  x 


ng trình


Tìm t t c các đa th c P  x  th a mãn P  x2  2x   P  x  2 v i m i giá tr
2

th c c a x .
BƠiătoánăIII.2.5.
Tìm t t c các đa th c P  x  h s th c th a mãn
P  x2   x 3P  x  P   x  P 2  x  2 x2

v i m i giá tr th c c a x .
BƠiătoánăIII.2.6.
Tìm t t c các đa th c P  x  h s nguyên th a mãn 16P  x2    P  2x v i
2

m i giá tr th c c a x .
BƠiătoánăIII.2.7.
Tìm t t c các đa th c P  x  h s th c th a mãn
 x y  2  x y 
P  x P  y   P 2 
P 

 2 
 2 

v i m i giá tr th c c a x, y .
BƠiătoánăIII.2.8.
Cho a  0, b, c  . n  1, n  . Ch ng minh r ng t n t i nhi u nh t 1 đa th c


Tìm t t c các đa th c P  x  b c n th a mãn đi u ki n
P  x2  y2   P  x  y .P  x  y  , x, y  .

BƠiătoánăIII.3.4.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x . Th a mãn đi u ki n

P  x  y   P  x  P  y   2 xy, x, y  .

BƠiătoánăIII.3.5.
Tìm t t c các đa th c P1  x , P2  x , P3  x , P4  x sao cho v i m i x, y, z, t 
th a mãn xy  zt  1 thì P1  x P2  y   P3  z  P4  t   1 .
BƠiătoánăIII.3.6.
Tìm t t c các đa th c P  x 

 x có d ng

P  x  n !.xn  a n1 xn1  ...  a1 x   1  n  1
n

có các nghi m là x1; x2 ;...; xn  . Và xk   k; k  1 .
BƠiătoánăIII.3.7.
Ch ng minh r ng t n t i duy nh t 1 đa th c P  x  có d ng
P  x  xn  a n 1 xn 1  ...  a1 x  a 0 th a mãn đi u ki n
n  n  1 P  x   x  a  x  b  P ''  x ; x  .

BƠiătoánăIII.3.8.
Tìm t t c các đa th c P  x  b c n th a mãn đi u ki n sau


4) F  2 x  53 .
2

.

x

 1

8
4
5) F  x  x  23 .
2

x

 x  1

IV.2.ă ngăd ngăc aăphépăphơnătíchăphơnăth căh uăt ăvƠoătínhătíchăphơn.
BƠiăt păIV.2.1.
0

1. Tính tích phân I1  

x

1

 x  1 x  2 



x

 1

1
8
4
5. Tính tích phân I5   x  x  23 dx
2
0

x

 x  1

23

Thang Long University Libraty


K TăLU N
Lu n v n đã thu đ

c nh ng k t qu sau:

- Trình bày tóm t t lý thuy t chuyên đ đa th c và phân th c h u t .
- Cung c p h th ng bài t p đa d ng, phù h p đ h c sinh th s c v i nhi u
c p đ khác nhau.
Các bài toán trong lu n v n ch y u đ