L I NÓI

U

Nh m đáp ng xu th h i nh p th gi i, đ a kinh t Vi t Nam lên m t t m
cao m i, giáo d c Vi t Nam c ng ph i có nh ng bi n chuy n m nh m nh m
nâng cao ch t l

ng giáo d c đ có th đào t o ra m t l p ng

i lao đ ng: “t

ch , n ng đ ng, sáng t o, có n ng l c gi i quy t v n đ do th c ti n đ t ra, t lo
li u vi c làm, l p nghi p và th ng ti n trong cu c s ng, qua đó góp ph n xây
d ng đ t n

c giàu m nh, xã h i công b ng, dân ch , v n minh”.

Trong s r t nhi u n i dung ph i thay đ i thì không th không nói đ n n i
dung đ i m i ph

ng pháp d y h c.

th c hi n đ

c nhi m v này, m i giáo

viên ph i trang b cho mình m t cái nhìn t ng th , toàn di n và sâu s c v n i
dung ch

ng trình. Vì v y, vi c nghiên c u n i dung ch

c a ch

ng trình l p 10, h c sinh s g p parabol trong c

i s và Hình h c.

V n đ là li u h c sinh khi g p m t bài toán v parabol s áp d ng ki n th c
đ

c h c nh th nào?

rèn luy n các k n ng toán h c, nâng cao kh n ng

sáng t o và linh ho t trong t duy cho h c sinh đòi h i giáo viên ph i gi ng d y
đ m b o tính logic, h p lý và tính s ph m cao đ h c sinh có th l nh h i tri
th c d dàng. Do đó, tôi ch n đ tài “M t s tính ch t c a parabol và ng d ng”
v i m c đích tìm hi u l ch s hình thành và m t s ki n th c liên quan đ n
parabol đ áp d ng vào vi c gi ng d y n i dung parabol trong ch
thông. T đó, giúp h c sinh th y đ

c m i quan h gi a

ng trình ph

i s và Hình h c qua

m ng ki n th c parabol.
2. M c đích nghiên c u: Parabol là m t ph n ki n th c c b n c a hình
h c nói chung và c a hình s c p nói riêng. Trong lu n v n này tôi đ c p đ n
m t s v n đ nh m i quan h gi a


ng conic.

2

Thang Long University Libraty


Ch

ng 1

T NG QUAN
1.1. L ch s ra đ i c a parabol
Các đ

ng conic là m t ch đ toán h c đ

th ng và tri t đ . Nh ng đ
Hy L p, 375 – 325 n m tr
Great. Nh ng đ

c phát hi n b i Menaechmus (ng

c phôi thai trong n l c gi i 3 bài toán n i ti ng:

c thành ba góc b ng nhau, g p đôi kh i l p ph

ng vòng tròn. Nh ng đ


c Công nguyên), t ng là giám h cho Alexander the

ng conic đ

chia m t góc cho tr
phép c u ph

ng conic đ

c nghiên c u m t cách có h

c đó v nh ng

ng conic trong chuyên kh o "Conic Sections" (Thi t di n conic), g m 8 t p

sách v i 487 đ nh đ . Morris Kline đã nh n xét: “Conic Sections c a
Appollonius là m t thành t u quá v đ i, nó h u nh đã là m t đ tài khép kín
đ i v i các nhà t t
T p th

ng sau này, ít nh t là t quan đi m thu n túy hình h c”.

VIII c a “Conic Sections” đã b th t l c. “Conic Sections” c a

Appollonius và “Elements” c a Euclid có th đ
h c Hy L p. Appollonius c ng là ng

c xem là tinh hoa c a n n toán

i đ t tên elip, hypebol và parabol. M t

i đóng góp ph i k

đ n Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, và
Steiner. Thi t di n conic là m t đ tài kinh đi n đã thúc đ y nhi u s phát tri n
trong l ch s toán h c.
1.2. Quan đi m đ i s v các đ
Trong t a đ

cac, các đ

ng conic

ng conic th a mãn ph

ng trình b c hai có

d ng: ax 2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 trong đó a, b, c, d, e và f là các h ng s ;
a, b, b là các s khác 0. Khi chúng ta thay đ i m t vài trong các h ng s này thì
hình d ng t

ng ng c a đ

ng conic s thay đ i theo. Vì v y, t p trung chú ý

vào nh ng s thay đ i này trong các ph
đ

ng trình đ i s khi nghiên c u t ng

ng conic là m t đi u quan tr ng. Vi c chúng ta bi t đ


và c = 0)
N u b2 - 4ac = 0 thì ph

ng trình bi u di n m t parabol.

N u a2 - 4ac > 0 thì ph

ng trình bi u di n m t hypebol.

N u có thêm đi u ki n a + c = 0, ph

ng trình bi u di n m t hypebol đ u.

Thay đ i h tr c t a đ , ta có th đ a các ph
d ng chính t c.

ng trình c a các đ

ng conic v

x2 y2
x2 y2
Elip: 2  2  1 ; 2  2  1 ; Parabol: y 2  2 px ; Hypebol:
b
a
a
b

x2 y2

i ta k r ng: Archimedes đã s d ng g

ng hình parabol

trong chi n tranh. Su t th i k bao vây thành ph Syracuse (214 - 212 n m tr
Công nguyên) b i nh ng ng

i La Mã, Archimedes đã xây d ng các g

c
ng

ph n chi u làm t nh ng t m kim lo i ghép theo hình d ng c a parabol. Nh ng
t m kim lo i đ

c dùng đ h i t nh ng tia n ng m t tr i vào tàu c a ng

i La

Mã, và làm chúng b c cháy.
Menaechmus tìm th y parabol trong khi đang th tìm m t hình vuông có
di n tích b ng hai l n di n tích c a hình vuông đã cho.
Euclid đã vi t v parabol và Apollonius (200 n m tr
đ a ra đ

ng cong này cùng v i tên c a nó.

Pascal đã xem đ
Luca Valerio (ng
1606; đ


c v trên h tr c t a đ Oxy d a vào ph

c a nó. Parabol là m t trong nh ng đ

ng cong conic đ

c t o nên b i vi c giao

c a m t hình nón tròn xoay và m t m t ph ng. Parabol đ
5

ng trình

c t o nên khi m t


ph ng song song v i m t đ

ng th ng đ

c v trên b m t xiên c a hình nón t

đ nh c a hình nón t i đáy c a nó.
M t parabol là t p h p c a t t c nh ng đi m mà kho ng cách t i m t
đ

ng th ng c đ nh (đ

n m trên đ

PH
2.1.

ng 2.

NG TRÌNH PARABOL

nh ngh a
nh ngh a parabol

2.1.1.

Trong toán h c, parabol là m t đ

ng conic đ

nón và m t m t ph ng song song v i đ
có th đ

c t o b i giao c a m t hình

ng sinh c a hình đó. M t parabol c ng

c đ nh ngh a nh m t t p h p các đi m trên m t ph ng cách đ u m t

đi m cho tr

c (tiêu đi m) và m t đ

ng th ng cho tr

sai b ng 1. Là m t k t qu c a đ nh ngh a này, các parabol đ u đ ng d ng. M t
7


parabol có th đ

c d ng b ng cách tìm gi i h n c a m t chu i elip trong đó

m t tiêu đi m, đ

c gi c đ nh, trong khi tiêu đi m kia đ

V i ngh a này, m t parabol có th đ

c di chuy n ra xa.

c coi là m t elip v i m t tiêu đi m

h n. Parabol là m t nh ngh ch đ o c a m t cardioid (đ

vô

ng hình tim).

M t parabol ch có m t tr c đ i x ng duy nh t, đi qua tiêu đi m và vuông
góc v i đ

ng chu n c a nó. Giao đi m c a tr c này và parabol đ

c g i là đ nh

8

Thang Long University Libraty


2.1.2. Quan h v i các đ
Các đ
t 200 n m tr

ng cônic

ng cônic (bao g m đ

ng tròn, elip, parabol, hypebol) đã đ

c Công nguyên và Apollonius là ng

c bi t

i đ u tiên nghiên c u có h

th ng các tính ch t c a chúng.
Trong t nhiên, các đ

ng cônic có m t vai trò r t quan tr ng, vì chúng là

mô hình cho nhi u quá trình v t lý x y ra trong t nhiên. Có th ch ra r ng m t
v t th b t k d

i tác đ ng c a l c h p d n ph i có q y đ o là m t đ

nh ngh a hình h c

Các đ
cônic hay đ

ng tròn, elip, parabol hay hypebol có tên g i chung là thi t di n
ng cônic.

ng côníc là giao tuy n gi a m t m t nón tròn xoay

hai t ng v i m t m t ph ng, theo các góc nghiêng khác nhau (xem Hình 2.2).
+ Khi giao c a m t nón và m t ph ng là m t đ
m t ph ng c t t t c các đ

ng cong khép kín, t c là

ng sinh và không song song v i đ

9

ng sinh nào, thì


ta có thi t di n là m t elip, tr

ng h p riêng là m t đ

ng tròn khi m t ph ng

n m ngang c t m t nón, nh ng không đi qua đ nh c a nón.


ng th ng c đ nh L không đi
cđ

c g i là đ

ng cônic.

ng chu n và e g i là tâm sai hay đ

ng cônic.

T đ nh ngh a trên có th th y:
o

Elip là đ

o

Para bôn là đq

o

Hypebôn là đ

a)

ng cônic tâm sai e < 1 (Hình 2.3 a).
ng cônic tâm sai e = 1 (Hình 2.3 b).
ng cônic tâm sai e > 1 (Hình 2.3 c).



Hypebol là t p h p các đi m M sao cho |MF1 - MF2| = 2a (h ng s ), trong

đó F1 và F2 là hai tiêu đi m.
V i đ nh ngh a này, parabôn có th xem nh d ng suy bi n c a elip khi tiêu
đi m th hai b đ y ra xa vô t n. C ng v y, đ

ng tròn xem nh d ng suy bi n

c a elip khi hai tiêu đi m g p l i thành m t.
• D ng suy bi n c a đ

ng cônic

Theo đ nh ngh a hình h c, có m t s d ng suy bi n khác nhau c a đ
cônic, trong đó có tr
tr

ng

ng h p m t ph ng đi qua đ nh c a nón. Giao tuy n trong

ng h p này có th là m t đ

ng th ng (khi m t ph ng ti p xúc v i m t nón);

m t đi m (khi góc t o b i m t ph ng v i tr c c a nón l n h n góc t o b i m t
ph ng ti p xúc v i m t nón) ho c m t c p đ


ng cong có d ng

a'x2 + 2b'xy + c'y2 + 2d'x + 2e'y + f' = 0 thì các giá tr ,  và S, tính theo các h
s m i, gi nguyên các giá tr ban đ u.
D ng c a đ

ng cong bi u di n b i ph

nh sau (xem B ng 2.2):
11

ng trình b c hai đ

c xác đ nh


- Tr

ng h p  ≠ 0:

1. Elip khi  > 0: a) elip th c n u .S < 0; b) elip o n u .S > 0.
2. Hypebol khi  < 0.
3. Parabol khi  = 0.
- Tr

ng h p  = 0: C p đ
B ng 2.2 Các đ

ng th ng (song song, c t nhau hay o).
ng cong b c hai (thi t di n cônic)


>0

.S > 0

elip o

=0

0

=0

=0

d2 - af < 0

=0

=0

d2 - af = 0

=0

=0

A

12

Thang Long University Libraty


Hình 2.4. V đ

ng cong parabol

S d ng đ nh ngh a, chúng ta có th v ra m t parabol v i thi t b khá đ n
gi n g m: m t th

c th ng, m t th

c tam giác vuông (Êke ABC), m t s i dây

không đàn h i có đ dài b ng AB, m t đinh ghim và m t cây bút chì. B ng
th

c th ng d c theo đ

đ nh B c a êke.

ng , bu c m t đ u dây vào đi m F và đ u kia vào

t êke sao cho c nh AC n m trên , l y đ u bút chì ép sát s i

dây vào c nh AB và gi cang s i dây r i cho c nh AC c a êke tr

2 
 2 
th ng  là x 

ng trình c a đ

p
 0.
2

Hình 2.5. Ph

ng trình chính t c c a parabol

13

ng


i m M(x, y) n m trên parabol đã cho khi và ch khi kho ng cách MF b ng
2


p
p
2
kho ng cách t M đ n , t c là:  x    y  x  .
2
2


Vì v y, chúng ta th y r ng có 4 h

ng khác nhau c a parabol: Bi n nào là

bi n b c hai (x hay y); p là s âm hay s d

ng.

Ví d 2.1. Xác đ nh t a đ đ nh, tiêu đi m và ph

ng trình đ

ng chu n

c a các parabol sau:
a) y2 = 4x;

b) y2 = - x/12;

c) x2 = 6y;

d) x2 = - y.

L i gi i
a) y2 = 4x = 2.2x

p = 2.

Khi đó parabol có đ nh O(0; 0), tiêu đi m F(1; 0), ph


ng trình đ

ng

chu n : y + 3/2 = 0.
d) x2 = - y = 2(- 1/2)y

p = - 1/2.

Khi đó parabol có đ nh O(0; 0), tiêu đi m F(0, - 1/4), ph
chu n : y - 1/4 = 0.
Ví d 2.2. V các parabol sau:
a) y2 = 4x;

b) y2 = x/2;

c) x2 = 6y;

d) x2 = - y.

L i gi i

a) y2 = 4x.
Hình 2.7 a

2
b) y 

x
2


C  : x

2

1

ng c a 2 đ

ng tròn

 y2  2 x  6 y  2  0 và  C2  : x2  y2  x  6 y  7  0

e) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng Oy và đi qua đi m A(8; - 14)
f) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng trùng v i tr c t a đ và ch n trên đ
th ng d : x 

ng

1
m t dây cung AB = 16.
3

L i gi i

16

Thang Long University Libraty



 Ph

d)

108
 Ph
49

ng

1

1

42 3





2
ng trình chính t c c a (P) : y 

ng chu n là tr c đ ng ph

C  : x

2

1



3 +1 x

ng c a 2 đ

ng tròn

 

2
2
 y2  2 x  6 y  2  0 và C2 : x  y  x  6 y  7  0
2
2

x  y  2x  6 y  2  0
 3x  9  0  x  3
ng trinh  2
2
x
y
x
y





6

A(8; -14) nên t a đ đi m M ph i th a mãn ph
trình: (P) :  14   2 p.8  p 
2

49
 Ph
4

17

ng trình (P), ta có ph

2
ng trình chính t c c a (P) : y 

ng

49
x
2


f) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng Ox và ch n trên đ

ng th ng d : x 

1
m t
3



đ

A

th a

mãn

ph

ng

trình

ng trình chính t c c a (P) : y2  192 x

ng trình hình gi i tích khác c a parabol

a) Trong h t a đ Descartes:
- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Oy và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h; k + p) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n : y = k - p, v i p là kho ng cách t đ nh

2
ng trình nh sau: (x  h)  4p(y  k)

Ta có th bi n đ i ph

tiêu đi m F(h + p; k) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n : x = h - p, v i p là kho ng cách t đ nh

2
ng trình nh sau: (y  k)  4p(x  h)

Ta có th bi n đ i ph

ng trinhg trên v d ng:

x  a(y  k)2  h



x  ay 2  by  c

4ac  b2
b
1
k
k2
; k
trong đó: a  ; b  ; c   h; h 
.
4a
2a
4p
2p

Ví d 2.4. Xác đ nh t a đ đ nh, tiêu đi m và ph

ng trình đ

ng chu n

c a các parabol sau
2
a) y  x  1 ;

b) y  x2  4x  3 ; c) y  x2  4x ; d) y  x2  3x  2 .

L i gi i
- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Oy và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h; k + p) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n : y = k - p, v i p là kho ng cách t đ nh

2
ng trình nh nh sau: (x  h)  4p(y  k)

2
a) y  x  1   x  0   4.
2

1
1
y   1  h  0; p  ; k  1
4

4





Khi đó parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy và có đ nh S(2; -1), tiêu


3





đi m F  2;   và đ
4

ng chu n  : y  

5
4

 1
1
2
2
c) y  x  4x  x  4x  4  4.     y  4   h  2; p   ; k  4
4
 4


2

3
1
1
 h  ;p   ;k 
2
4
4
3 1

Khi đó parabol có tr c đ i x ng song song v i Oy và có đ nh S  ;  , tiêu
2 4
3 
đi m F  ; 0  và đ
2 

Ví d

ng chu n  : y 

1
2

2.5. V các parabol sau:

a) y  x 2  4x
Hình 2.8 a



y  ax 2  bx  c

Do (P) đi qua 3 di m A, B, C nên t a đ các đi m này th a mãn ph
trình c a (P). Ta có h ph

c  1
a  1


ng trình a  b  c  1   b  1
a  b  c  1
c  1


21

ng


2
V y (P): y  x  x  1

b) Gi

s

parabol (P) có tr c đ i x ng song song v i Oy có d ng

y  ax 2  bx  c

,t 
ng trình tham s nh sau: 
2
y

pt

k



- M t parabol v i tr c đ i x ng song song v i tr c Ox và có đ nh S(h; k),
tiêu đi m F(h + p; k) và đ
t i tiêu đi m, s có ph

ng chu n  : x = h - p, v i

là kho ng cách t đ nh

x  pt 2  h
,t 
ng trình tham s nh sau: 


y
2pt
k


c) Trong t a đ c c


L i gi i

A

F

x

B

y2

Hình 2.9

T
đ

ph

ng trình c a (P) suy ra 2p=12  p  6  F  3;0  . Ph

ng trình

ng th ng AB đi qua F là: a  x  3  by  0  ax  by  3a  0
Do A và B không thu c Ox nên a  0 , t a đ A và B là nghi m c a h

ph

2

l

t

là

d1  y1 ,d 2  y2  d1 .d 2  y1.y2  36 không đ i

T ng quát: Cho parabol (P): y 2  2px . G i AB là m t dây cung đi qua têu
đi m c a (P). Ch ng minh r ng tích kho ng cách t A, B đ n tr c hoành là m t
s không đ i
T ph

p



ng trình c a (P) suy ra F  ; 0  . Ph
2 


p
qua F là: a  x    by  0  2ax  2by  ap  0
2


23

ng trình đ


tr c

hoành

l n

l

t

là

d1  y1 ,d 2  y2  d1 .d 2  y1 .y2  p2 không đ i

Ví d 2.8. Cho parabol (P): x2  y . M t góc vuông đ nh O c t parabol t i A
và B. G i A1 ,B1 là hình chi u vuông góc c a A, B trên tr c Ox. Ch ng minh:
a) Tích OA.OB không đ i
b)

ng th ng AB luôn đi qua m t đi m c đ nh

L i gi i

y
A

O

B1



A1;B1

Do

 x1x2  0 (lo¹i)
2
x
x
x
x
0





c 1 2

1 2
 x1x2  1

hình

chi u

c a

A



x x

1 2



ng trình trên đ



c



 x12  x  x1   x1y  x13  x12 1 x  x1   x1y  x13

 xx12  1  y  x1  x  0

Gi s H(x; y) là đi m c đ nh mà đ
ph

ng th ng AB luôn đi qua, khi đó

x  0
x  0

ng trình sau có nghi m v i m i x1  
1  y  0
y  1

B


Hình 2.11
25

x