Mục lục
Mở đầu 3
1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số 6
1.1 Đại cương về bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ . . . . . . 8
1.2.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn số . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Bất phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . . 14
1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Bất phương trình, hệ bất phương trình đại số vô tỷ . . . . . . . . 20
1.3.1 Bất phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Hệ bất phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt
đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . 40
1.4.2 Hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . 48
2 Bất phương trình mũ và lôgarit 52
2.1 Bất phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.2 Các phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Bất phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Các phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số 74
3.1 Phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số . . . . . . . . . 74
3.2 Phương pháp tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

học sinh giỏi.
Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa
3
học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá
trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được
sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
4
Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Vũ
Đỗ Long. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013; Ban giám hiệu
và các đồng nghiệp trường THPT Trần Văn Lan huyện Mỹ Lộc, tỉnh Nam Định
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá
trình học tập và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Học viên
Trần Thị Thu Phương
5
Chương 1
Bất phương trình và hệ bất phương
trình đại số
1.1 Đại cương về bất phương trình
a, Khái niệm bất phương trình một ẩn
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D
f

phương trình dạng f(x)  g(x), f(x) > g(x), f(x)  g(x) ta cũng có các kết quả
tương tự.
• Hai bất phương trình (cùng ẩn) trên cùng một tập xác định D được gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm;
• Nếu f
1
(x) < g
1
(x) tương đương với f
2
(x) < g
2
(x) thì ta viết
f
1
(x) < g
1
(x) ⇔ f
2
(x) < g
2
(x)
• Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng tập xác định D (hay có
cùng điều kiện xác định mà ta ký hiệu là D) và tương đương với nhau ta nói:
+ Hai bất phương trình tương đương trên D;
+ Hoặc với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau.
c, Biến đổi tương đương các bất phương trình
• Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phương
trình tương đương với nó;
• Một số phép biến đổi tương đương thường dùng:

Định lý 1.1. (về dấu của nhị thức bậc nhất):
Cho f(x) = ax + b với a = 0.
Khi đó:
+ f(x) cùng dấu với hệ số a khi x ∈

−
b
a
; +∞

;
+ f(x) trái dấu với hệ số a khi x ∈

−∞; −
b
a

.
Định lý 1.2.
Cho đa thức f(x) được biểu diễn dưới dạng tích các nhị thức bậc nhất. Gọi x
i
là
nghiệm bội bậc k
i
của đa thức f(x).
Khi đó: f(x) sẽ đổi dấu khi đi qua mốc x
i
nếu k
i
là số lẻ;

+ 6x
(5x + 3)(7x + 6)
> 0.
Vậy bất phương trình (1.1) có tập nghiệm là

−
6
7
; −
3
5

∪ (0; 6).
8
(ii) Bất phương trình bậc nhất một ẩn số
• Dạng bất phương trình:
ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0,
trong đó x là ẩn, a và b là hằng số, a = 0.
• Cách giải và biện luận: ax + b ≤ 0 (1)
+ Nếu a > 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ −
b
a
, tập nghiệm
S =

−∞; −
b
a

;

+ m + 5
3(m + 1)
; +∞

.
- Nếu m = −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là R.
- Nếu m > −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là

−∞;
−m
2
+ m + 5
3(m + 1)

.
Bài toán 1.3.
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau xác định với mọi x ≥ −3:
y =

(m −3)x + 2m − 5.
(1.3)
Lời giải.
Điều kiện để hàm số đã cho có nghĩa là:
(m −3)x + 2m − 5 ≥ 0 ⇔ (m − 3)x ≥ 5 −2m.
9
Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ −3 khi và chi khi:





Bài toán 1.4.
Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

−x + 6 ≥ 0 (1.4.1)
3 −mx ≤ x + 4. (1.4.2)
(1.4)
Lời giải.
- Giải bất phương trình (1.4.1) ta được tập nghiệm là (−∞; 6].
- Giải và biện luận bất phương trình (1.4.2):
(1.4.2) ⇔ (m + 1)x ≥ −1.
+ Nếu m < −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là

−∞;
−1
m + 1

.
+ Nếu m = −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là R.
+ Nếu m > −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là

−1
m + 1
; +∞

.
Suy ra hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi



m > −1

Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a = 0), ∆ = b
2
− 4ac
(i) Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R;
(ii) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, ∀ x = −
b
2a
;
(iii) Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
(x
1
< x
2
).
Khi đó: f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x
1
hoặc x > x
2
;
f(x) trái dấu với hệ số a khi x
1
< x < x
2
.
(ii) Bất phương trình bậc hai một ẩn số

− 4m(m + 3) ≤ 0
⇔

m > 0
(m + 3)(3 − 3m) ≤ 0
⇔

m > 0
m ≤ −3 hoặc m ≥ 1
⇔ m ≥ 1.
11
Vậy với m ≥ 1 thì bất phương trình (1.5) nghiệm đúng với mọi x.
1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số
• Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương
trình bậc hai một ẩn số.
• Cách giải:
+ Giải từng bất phương trình của hệ;
+ Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta được
tập nghiệm của hệ bất phương trình.
Bài toán 1.6. (Đại học Cảnh sát - Khối D - 1999)
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

x
2
− 8x + 7 ≤ 0 (1.6.1)
x
2
− (2m + 1)x + m
2
+ m ≤ 0. (1.6.2)

x
2
+ x + 1
< 2.
(1.7)
Lời giải.
Ta nhận thấy x
2
+ x + 1 =

x +
1
2

2
+
3
4
> 0, ∀x.
Do đó
(1.7) ⇔

x
2
− 2x + m < 2(x
2
+ x + 1)
2(x
2
− 2x + m) > x

+ b
2
= 0 ; x và y là các ẩn.
• Mỗi cặp số (x
0
; y
0
) sao cho ax
0
+ by
0
+ c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương
trình ax + by + c < 0.
• Nghiệm của các bất phương trình dạng
ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0
cũng được định nghĩa tương tự.
• Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
được biểu diễn bởi một điểm; tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập
hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.
Định lý 1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng (d) : ax+by + c = 0 chia
mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không
kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by +c > 0, nửa
mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm thỏa mãn bất phương trình
ax + by + c < 0.
• Từ định lý ta suy ra:
+ Nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của bất phương trình ax+by+c < 0 (hay ax+by+c >

trình bậc nhất hai ẩn số.
• Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất
phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ.
• Cách giải:
Để xác định miền nghiệm của hệ ta dùng phương pháp biểu diễn hình học
như sau:
+ Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch
bỏ phần còn lại;
+ Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình của hệ trên
cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm
của hệ bất phương trình đã cho.
• Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quan
chặt chẽ đến một số bài toán kinh tế. Trước khi xét đến ứng dụng này, ta sẽ xét
bài toán về phương pháp tìm cực trị của biểu thức P (x; y) = ax + by trên một
miền đa giác lồi.
Bài toán 1.8.
Cho biểu thức P (x; y) = ax + by (b = 0) và một miền đa giác lồi (S), kể cả biên,
trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P (x; y)
với (x; y) là tọa độ của các điểm thuộc (S).
Lời giải.
Tập hợp các điểm (x; y) để P (x; y) nhận giá trị p là đường thẳng
ax + by = p hay y = −
a
b
x +
p
b
.
(1.8)
Đường thẳng có phương trình (1.8) có hệ số góc không đổi bằng −

m
) lần đầu tiên đi qua một điểm (x
0
; y
0
) nào đó của (S). Khi đó m
đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P (x; y), đó là
P (x
0
; y
0
) = ax
0
+ by
0
.
+) Khi tìm giá trị lớn nhất của P (x; y), ta cho đường thẳng (d
m
) chuyển động
song song với (d
0
) từ một vị trí nào đó ở phía trên miền (S) và đi xuống cho
đến khi (d
m
) lần đầu tiên đi qua một điểm (x
0
; y
0
) nào đó của (S). Khi đó m
đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của P (x; y), đó là

vị. Hỏi cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu đơn vị hàng mỗi loại để doanh thu lớn
nhất.
Lời giải.
Gọi x, y lần lượt là số đơn vị hàng I và hàng II được sản xuất mỗi ngày.
Theo giả thiết x, y phải thỏa mãn các điều kiện











0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x − 2y ≤ 1
0 ≤ 2x + y ≤ 6
0 ≤ 3x + 4y ≤ 10
(1.9)
Gọi tổng số tiền bán hàng I và hàng II mỗi ngày là c (đơn vị tiền tệ).
Suy ra c = 2x + 5y.
Bài toán đã cho trở thành: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình
(1.9) sao cho c = 2x + 5y có giá trị lớn nhất.
• Trước tiên ta tìm tập hợp (S) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn hệ bất
phương trình (1.9).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta vẽ các đường thẳng:
(f
1

ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B;
iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B
không ít hơn
1
2
số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị
vitamin A.
Hãy tìm phương án để một người dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các
điều kiện trên mà số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng giá một đơn vị vitamin
A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.
Lời giải.
Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà một người dùng mỗi ngày.
Theo giả thiết x, y phải thỏa mãn các điều kiện











0 ≤ x ≤ 600
0 ≤ y ≤ 500
400 ≤ x + y ≤ 1000
1
2
x ≤ y ≤ 3x.

vitamin B mỗi ngày, và chi phí mỗi ngày là 3150 đồng.
1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng
Đối với các hệ bất phương trình đối xứng ta có thể giải theo một trong hai
phương pháp sau:
• Phương pháp 1: sử dụng phương pháp đồ thị;
• Phương pháp 2: phương pháp biểu diễn nghiệm thông qua tham số, và phương
pháp này được gọi là phương pháp tham biến.
Bài toán 1.11. (Olympic 30 tháng 4, lần thứ XIII, 2007. Lớp 10, Trường
THPT Phan Chu Trinh - Đà Nẵng đề nghị)
Giải hệ bất phương trình sau:

x
2
+ y
2
> 4
x
2
+ y
2
− 2x −2y ≤ 0.
(1.11)
Lời giải.
18
Ta có (1.11) ⇔

x
2
+ y
2

√
2

2
Từ đó ta có, trong mặt phẳng tọa độ Oxy:
• Những điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn bất phương trình (1.11.1) là những điểm
ở ngoài đường tròn (C
1
);
• Những điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn bất phương trình (1.11.2) là những điểm
ở trong đường tròn (C
2
), kể cả những điểm trên đường tròn (C
2
) ;
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình (1.11) là vùng được in đậm trên hình
vẽ và không nằm trên đường tròn (C
1
).
Bài toán 1.12. (theo Olympic 30 tháng 4, lần thứ XV, 2009. Lớp 10,
THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam)
Giải bất phương trình sau:

x + y ≤ 4
x
2
+ y
2
+ xy = 12
. (1.12)

2
− 12 = 0 với a ≥ 0 (I)
Phương trình (I) có các nghiệm x, y khi và chỉ khi:
∆ = (4 − a)
2
− 4

(4 −a)
2
− 12

≥ 0 với a ≥ 0
⇔ 3a
2
− 24a ≤ 0 với a ≥ 0
⇔ 0 ≤ a ≤ 8
Vậy với điều kiện 0 ≤ a ≤ 8 thì hệ bất phương trình (1.12) có nghiệm là



x =
4 −a −
√
−3a
2
+ 24a
2
, y =
4 −a +
√



B > 0
A ≥ 0
A < B
2
√
A > B ⇔







B < 0
A ≥ 0

B ≥ 0
A > B
2
√
A >
√
B ⇔ A > B ≥ 0.
20
• Đối với bất phương trình có chứa nhiều căn thức bậc chẵn thì khi giải cần đặt
điểu kiện để căn thức có nghĩa và nên sắp xếp lại các số hạng ở hai vế của bất
phương trình để sau khi bình phương ẩn x nằm ngoài căn thức triệt tiêu hay
có bậc thấp nhất, đồng thời để ý đến dấu của hai vế của bất phương trình. Sau












x < 1


x ≥ −
4
3
x ≤ −5

x ≥ 1
13x
2
− 51x −4 < 0
⇔










−
4
3
≤ x < 1
x ≤ −5
1 ≤ x < 4
⇔


−
4
3
≤ x < 4
x ≤ −5.
Vậy bất phương trình (1.13) có tập nghiệm là

−
4
3
; 4

∪ (−∞; −5].
• Đối với một số bất phương trình vô tỷ việc phân tích làm xuất hiện nhân tử
chung tỏ ra khá là hiệu quả, nhưng ta cần lưy ý:
√
xy =
















x ≥ 3
x ≤ 1


x ≥ 1
x ≤
1
2
.
⇔




x ≤
1

1 −2x ≥ −
√
1 −x
⇔
√
3 −x +
√
1 −x ≥
√
1 −2x
⇔ 3 −x + 2
√
3 −x.
√
1 −x + 1 −x ≥ 1 − 2x
⇔ 3 + 2

x
2
− 4x + 3 ≥ 0. (1.14.1)
Ta thấy với ∀x ≤
1
2
đều thỏa mãn bất phương trình (1.14.1)
+Nếu x ≥ 3 thì
(1.14) ⇔

(x −1)(x −3) −

(x −1)(2x −1) ≥ x −1

√
2x −1 + 2x −1
⇔ 2

2x
2
− 3x + 1 ≤ −2x − 1. (1.14.2)
Ta thấy với x ≥ 3 thì bất phương trình (1.14.2) có vế trái không âm, có vế phải
âm.
Do đó trên [3; +∞) thì bất phương trình (1.14.2) vô nghiệm
Vậy bất phương trình (1.14) có tập nghiệm là

−∞;
1
2

∪ {1}.
22
Bài toán 1.15. (Đại học Bách khoa Hà Nội - 2000)
Giải bất phương trình sau:

x
2
+ 3x + 2 +

x
2
+ 6x + 5 ≤

2x

7
2
hoặc x ≥ −1
⇔

x ≤ −5
x ≥ −1.
Nhận xét:
- Đối với bất phương trình (1.15) ta cũng có thể giải tương tự như các bất
phương trình (1.14). Tuy nhiên,bất phương trình này có điều đặc biệt, đó là, nó
có thể biểu diễn dưới dạng
√
u +
√
v ≤
√
u + v
với u = x
2
+ 3x + 2 ; v = x
2
+ 6x + 5.
- Mặt khác, ∀u, v ≥ 0 ta lại có
√
u +
√
v ≥
√
u + v, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi uv = 0.

Bài toán 1.16. (Đại học Mỏ - Địa chất 1999)
Giải bất phương trình sau:
2x
2

3 −
√
9 + 2x

2
< x + 21.
(1.16)
23
Lời giải.
Điều kiện để bất phương trình (1.16) có nghĩa là: x ≥ −
9
2
; x = 0.
Với điều kiện trên thì nhân cả tử và mẫu của phân thức ở vế trái của bất phương
trình (1.16) với biểu thức (3 +
√
9 + 2x)
2
ta được:
2x
2

3 +
√
9 + 2x

2

\{0}.
Bài toán 1.17.
Giải bất phương trình sau:

3x
2
− 7x + 3 +

x
2
− 3x + 4 >

x
2
− 2 +

3x
2
− 5x −1.
(1.17)
Lời giải.
Điều kiện để bất phương trình (1.17) có nghĩa là:







13
6
hoặc x ≥
7 +
√
13
6
x ≤ −
√
2 hoặc x ≥
√
2
x ≤
5 −
√
37
6
hoặc x ≥
5 +
√
37
6
⇔


x ≤ −
√
2
x ≥
5 +

2
− 5x −1
>
3x −6
√
x
2
− 2 +
√
x
2
− 3x + 4
⇔ (x −2)

3
√
x
2
− 2 +
√
x
2
− 3x + 4
+
2
√
3x
2
− 7x + 3 +
√

21 −x ≥ 3.
(1.18)
Lời giải.
Ta có (1.18) ⇔
3
√
−12 −x ≥ 3 −
3
√
21 + x
⇔ −12 −x ≥ 27 −27
3
√
21 −x + 9
3

(21 −x)
2
− 21 −x
⇔
3

(21 −x)
2
− 3
3
√
21 −x + 2 ≤ 0
⇔ 1 ≤
3

f(x).g(x) và f(x) + g(x) = k (k=const)
ta có thể đặt t =

f(x) ±

g(x), khi đó

f(x).g(x) = ±
t
2
− k
2
.
• Nếu bài toán chứa

f(x),

g(x) và

f(x)

g(x) = k(k = const) ta có thể đặt
t =

f(x), với điều kiện tối thiểu t ≥ 0, khi đó

g(x) =
k
t
.