1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn
Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta
hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi
mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy
học đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và
ngành Giáo dục nước ta.
Tuy nhận thức rõ được tầm quan trọng và định hướng đổi mới phương
pháp đã được nêu ra ở trên nhưng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh
hưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ. Nhận định về
vấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý kiến, đặt ra nhiều
vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là
một số ý kiến như vậy:
- ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện
trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy
để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán
chường".
- ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách con
người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường
tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung
dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt
động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững
chắc. Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi
lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm
thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các
tình huống trong thực tiễn và trong khoa học.
Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong
chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt
1
xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất
nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối
số tự nhiên;
- Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác còn phần
công thức được giảm nhẹ;
Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với
hàm số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng
về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng là vấn đề
tư duy hàm. Những đặc trưng về tư duy hàm được các tác giả Nguyễn Bá
Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn
Thường chỉ ra trong [25]. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong
dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện
để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy
học các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng
tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện
nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết
hợp phát triển tư duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất
lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Nhiều công trình
nghiên cứu về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ
đề kiến thức cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập
trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh trong
sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ
năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh
THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ".
2. Mục đích nghiên cứu
3
Xác định mối quan hệ tương hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán
phương trình với phát triển tư duy hàm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 3 chương:
Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phương pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh
1.3.1. Tư duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm thông qua dạy học phương trình
1.4. Kết luận chương 1
Chương 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát
triển tư duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn Toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phương trình, bất phương trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phương trình
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư
duy hàm
2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu
2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phương trình
2.2.3. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các
biểu thức thành phần
2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
5
2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của
- Cách viết SGK như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông
báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài
toán khó nên còn thiếu tính sư phạm. SGK chưa thể hiện được phương pháp
dạy học tích cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn
thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy
thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới,
sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối
cùng là các ví dụ và các bài toán. Theo định hướng đổi mới, SGK phải trình
bày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh
cũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn.
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên
có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,
học sinh được suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm
giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hướng
cho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đưa
ra câu trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt
những suy luận quá hình thức, quá trừu tượng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ
yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính
chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ
nêu những trường hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh.
SGK theo tinh thần mới tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết
thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trường hợp có thể.
Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong Vật lý:
Tổng hợp lực, phân tích lực…
7
Ngoài ra, SGK mới còn đưa thêm các phần như: Có thể em chưa biết,
em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú
học tập cho học sinh.
SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò
lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để
tính toán, chứng minh…”.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản …".
Tóm lại, với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",
thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói
được coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thường không có sự tranh
luận giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngược từ phía học sinh
trong bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" như vậy làm giảm hiệu suất tiếp
thu kiến thức cũng như hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh;
không kiểm soát được việc học. Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học
được xác định là một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở
nước ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các
phương diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt
lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm
trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ
nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền
thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo
viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng
vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, tạo được sự hứng thú học tập cho học sinh, tận
dụng được công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học.
9
Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp
kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để học
sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ
kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phương pháp dạy học
quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới,
theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng,
từng miền ở nước ta.
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả
năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết
một nhiệm vụ mới” [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ
thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra
khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn
có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
11
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và
+ − = −
÷
Như vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
A A=
, phương trình đã cho có dạng:
2 2
1 3 1
cos x cos x
4 4 2
− + + =
. Việc
lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn
chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ
nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm
toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 2 3 1+ + + − − =
12
Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình,
từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
− − + =
Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thường học sinh sẽ chỉ nghĩ đến
việc khai triển rồi đơn giản đưa ra phương trình bậc hai:
( )
2
1
4 2x 4 2 1 x 2 0
2
− + + + =
và tìm nghiệm theo công thức quen
thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:
( ) ( )
2
12
1
4 2 1 4 2 1 4.4 2 2
2
x
2.4 2
+ ± + − +
÷
= =
. . .
13
Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa
các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương
trình về dạng:
cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó
sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các
ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện
các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều
này đã được nhiều tác giả đề cập như:
“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget)
“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant)
“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh
( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,
14
giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời
rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi
dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau
như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + − + − =
Và vế trái của (1) có dạng a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
trong bất đẳng thức
Bunhiakốpxki.
Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết
bài toán: Nếu ta xem
1 2 3 1 2 3
a 1 x; a 2x 3; a 50 3x; b b b 1= + = − = − = = =
thì ta có:
( )
( )
2 2 2
1. 1 x 1. 2x 3 1. 50 3x 1 1 1 48
1 x 2x 3 50 3x 12
+ + − + − ≤ + +
⇔ + + − + − ≤
3 3 50
x x
2 2 3
50
x
3
≥ −
≥ ⇔ ≤ ≤
≤
Đặt:
( )
( )
( ) ( ) ( )
u x 1, 2x 3, 50 3x
v 1, 1, 1
u.v x 1 2x 3 50 3x
u x 1 2x 3 50 3x 48
v 3
u . v 12
+ − −
= + + − + −
(x
2
– 5x + 3)(2x
2
+ 5x – 1) = (x
2
+ 5x + 3)(2x
2
– 5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thường học sinh nhân các số hạng với
nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú
ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế phương trình, nghĩ tới
cách học cấp phương trình,dùng phương pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x
2
- 5x + 3; b = 2x
2
+ 5x -1.
Phương trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b – 10x)
Rút gọn được: - 100x
2
+ 10x(b – a) = 0
Suy ra : x = 0; b – a = 10x
2
x 2
x 4 0
x 2
=
⇒ − = ⇔
được
2 2 2 2
2x 6 4x 2 x 3 2x 1
10x 10x x x
+ − + −
= ⇔ =
−
Giải được:
x 0; x 2; x 2= = = −
18
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư
duy toán học cho học sinh.
1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh
1.3.1. Tư duy hàm
Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiên
không phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là
một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể
là một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tư
duy hàm. Theo Koliagin định nghĩa tư duy hàm như sau: Tư duy hàm là một
loại hình tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tương
ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất của
chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30].
Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là
các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một,
hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần
tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng.
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra các
hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt
không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một
số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận
các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình do thiếu giáo
dục các thành tố tư duy hàm:
- Xác lập sự tương ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,
phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
20
1. Học sinh không biết cách phân chia các trường hợp riêng khi đứng
trước một bài toán cụ thể;
2. Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường hợp riêng thích hợp
cho việc giải quyết bài toán;
3. Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số
Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:
- Lập sự tương ứng giữa các đối tượng, quan hệ trong Toán học;
- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm;
- Hoạt động gợi động cơ.
Một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình:
Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập
nghiệm khi biến đổi phương trình. Sau khi biến đổi phương trình thì tập
nghiệm của phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình thu được
có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả
năng sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
x 2
⇔ + = +
=
⇔ = ⇔
= −
Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được thường là hệ quả
của phương trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho
đều là nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến đổi
phương trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã cho là
tập con của tập nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại lai nếu xuất
hiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phương trình:
x 5 x 1− = −
2
x 5 x 2x 1⇒ − = − =
2
x 3x 4 0⇔ − − =
2
x 3x 4 0⇔ − − =x 1
x 4
= ≠ π + π
Khi đó (1) trở thành:
2
2 2
2.2t 1 t
1
1 t 1 t
−
− =
+ +
1 1
t x 2arctg( ) 2k
2 2
⇒ = ⇒ = + π
Do thu hẹp tập xác định từ
¡
thành
¡ \
{ }
kπ + π
; do đó nếu không
thử:
x k= π + π
vào (1), ta sẽ gặp hiện tượng mất nghiệm
x k= π + π
. Thật
vậy: thay
x k= π + π
vào (1) ta được
2sin( k ) cos( k ) 1 1 1π + π − π + π = ⇒ =
Đặt
x
t tg (x k )
2
= ≠ π + π
ta được:
2
2 2
2t 1 t
1 t(t 1) 0
1 t 1 t
−
+ = ⇔ − =
+ +
(4)
Kiểm tra
x k= π + π
không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và
(4) là hai phương trình tương đương.
Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi
Đối với loại biến đổi này phương trình thu được vừa có khả năng thêm
nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phương trình đã cho. Do vậy
cần vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem
các nghiệm của phương trình thu được có phải là nghiệm của phương trình đã
cho không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của
phương trình thu được nhưng lại là nghiệm của phương trình đã cho.
Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phương trình, ở đây là các
phép biến đổi tương đương mà học sinh đã được học. Nắm vững các định lý
này không những giúp học sinh định hướng, biến đổi phương trình thành
phương trình tương đương đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối
lập luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa
các phương trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu
" "," "," "⇒ ⇐ ⇔
đúng, từ đó biết được diễn biến của các tập nghiệm sau từng bước biến đổi,
dẫn đến xác định được tập nghiệm của phương trình đầu dựa vào tập nghiệm
của phương trình cuối.
Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phương trình
cần quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và
cú pháp.
1.4. Kết luận chương 1
Trong chương này, Luận văn đã sơ lược trình bày quan điểm đổi mới
nội dung và phương pháp dạy học. Phân tích, minh họa khái niệm tư duy
hàm, kỹ năng cũng như vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ
thông, nhấn mạnh một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình.
25
Copyright: Tài liệu đại học ©